1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA
Wykład 1
http://totto1.prv.pl
20.02.2008r.
1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1.1 Rozkład dwumianowy
Rozkład dwumianowy $%&, () 0 * ( * 1
&
(%+) , - . ( / %1 0 ()12/ ; + , 1,2, … , &
+
Uwaga:
$%1, () 8 $%() – rozkład zero – jedynkowy.
Fakt:
Niech AB , … , A1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie $%()
Wtedy:
1
I AJ ~$%&, ()
JKB
1.2 Rozkład Poissona
Rozkład Poissona M%N) N O 0
(%+) ,
P 2Q N/
+!
+ , 0,1,2, …
Fakt:
Niech AB , … , A1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie M%N)
Wtedy:
1
I AJ ~M%&N)
JKB
1.3 Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy exp%N) N O 0
V%+) , N W exp%0N+) W X%Y,Z) %+) + [ \
Fakt:
Niech AB , … , A1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
wykładniczym exp%N)
Wtedy:
1
I AJ ~ ]^__^%N, &)
JKB
1.4 Rozkład normalny
Rozkład normalny a%b, c d ) b [ \ ; c O 0
1
1 %+ 0 b)d
V%+) ,
exp f0 W
g
2
cd
√2M W c
Własności:
1. Jeżeli zmienna losowa A~a%b, c d ) to i%A) , b
Strona 1
+[\
j^kA , c d
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
2. Jeżeli l jest dystrybuantą zmiennej losowej A o rozkładzie a%b, c d ) to:
+0b
.
l%A) , m c
gdzie m%n) ,
p P
√do 2Z
B
u
2
qr
r
st – dystrybuanta rozkładu a%0,1)
3. Jeżeli A~a%b, c d ) oraz v , ^A w $ to v~a%^b w $, ^d c d )
4. Jeżeli AB , … , A1 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach a%bJ , cJd ) x ,
1, … , & odpowiednio oraz zmienna losowa:
1
Wtedy:
v , I ^J AJ
^J y 0
JKB
1
1
v~a zI ^J bJ , I ^Jd cJd {
JKB
JKB
Przykład 1:
Niech AB , … , A1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
a%b, c d )
Rozważmy zmienną losową:
A , ∑1JKB AJ – średnia arytmetyczna
B
1
Mamy:
Zatem na podstawie własności 4.:
1
Ponadto niech:
Wtedy:
Stąd:
1
1
A , I AJ
&
1
JKB
1
1 d d
cd
A~a zI b , I  € c { , a b, ‚
&
&
&
JKB
JKB
t,
t,
A0b
√&
c
√&
√&b
·A0
c
c
√&
√&b & c d
t~a  b 0
, · ‚ , a%0,1)
c
c cd &
Definicja:
Ciąg zmiennych losowych %A1 ) nazywamy asymptotycznie normalnym
†a%^1 , $1d ) $1 O 0, gdy ciąg zmiennych losowych:
A1 0 ^1

€
$1
jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej o rozkładzie normalnym a%0,1)
Strona 2
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Twierdzenie 1 %Centralne tw. graniczne Linderberga – Levy’ego):
Niech AB , … , A1 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie z wartością oczekiwaną b i skończoną dodatnią wariancją c d .
Wtedy ciąg średnich %A1 ), gdzie A1 , 1 ∑1JKB AJ
jest asymptotycznie normalny †a -b,
B
‹r
d
.
Twierdzenie 2:
Niech ciąg zmiennych losowych %A1 ) będzie asymptotycznie normalny †a%b, c1d ) przy
czym c1 Œ 0 gdy & Œ ∞ oraz niech Ž: \ Œ \ będzie funkcją różniczkowalną w
punkcie b i Ž %b) y 0
Wtedy ciąg zmiennych losowych ‘Ž%A1 )’ jest asymptotycznie normalny
†a%Ž%b), “Ž %b)”d c1 )
Przykład 2:
Niech %A1 ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie M%N)
Wtedy:
N
A1 ~†a N, €
&
Niech w twierdzeniu 2: A1 8 A1
Mamy: c1d , 1 Π0
Q
&ΰ
Ponadto: Ž%+) , √+ ; Ž %+) , d
Zatem:
Stąd:
B
√/
Ž %N) ,
1
2√N
O0
1 dN
1
•
)
Ž%A1 8 A1 ~†a √N , 
€ ‚ , †a √N , €
4&
2√N &
1.5 Rozkład chi – kwadrat
Rozkład chi – kwadrat — d %&) ; & , 1,2, …
Definicja:
Niech AB , … , A1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
a%0,1). Mówimy, że ABd w Add w ˜ w A1d ma rozkład chi – kwadrat z & stopniami swobody.
Fakt:
Strona 3
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
V%+) ,
1
1
+d
1
&
d
2 ™- .
2
2B
/
· P 2d · X%Y,Z) %+) + [ \
Twierdzenie 3 %Fishera):
Niech AB , Ad , … , A1 ) %& O 1) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie a%b, c d ).
Wtedy zmienne losowe:
1
1
A , I AJ
&
JKB
są niezależne oraz:
Wykład 2
cd
‚
&
A~a b ,
27.02.2008r.
1
1
d
š ,
I‘AJ 0 AJ ’
&01
;
d
JKB
%& 0 1)š d
~— d %& 0 1)
cd
Lemat:
Niech A , %AB , Ad , … , A1 ) , gdzie AB , Ad , … , A1 są niezależne i mają jednakowe rozkłady
a%b, c d ). Ponadto niech:
v , %vB , … , v1 ) , † A
przy czym † , %^/œ ) jest macierzą ortogonalną rozmiaru &  &
Wtedy vB , … , v1 są niezależne i mają rozkłady a‘b, ∑1œKB ^Jœ , c d ’, x , 1,2, … , &
Dowód tw. 3:
Konstruujemy macierz † w następujący sposób:
1) pierwszy wiersz -
B
√1
,…,
B
√1
.
2) pozostałe wyznaczamy tak, aby otrzymać macierz ortogonalną
v , %vB , … , v1 ) , † A A , %AB , Ad , … , A1 )
Mamy:
1. vB , … , v1 są niezależne
2. vB ,
B
√1
AB w
B
√1
3. Dla x , 2, … , &
4.
ABd
Add
w
Zatem
Ad w ˜ w
B
√1
A1 ,
i%vB ) , b √&
1
B
√1
1
∑1JKB AJ , √& A
i%vJ ) , b I ^Jœ , b√& I
w ˜w
A1d
œKB
,
vBd
1
j^k%vB ) , c d
√&
œKB
^Jœ , b √& I ^Bœ ^Jœ , 0
j^k%vJ ) , c
w ˜ w v1d
Strona 4
1
d
œKB
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
1
%& 0 1)š , I‘AJ 0 A’ ,
d
JKB
,
d
1
I AJd
JKB
1
I AJd
JKB
0 2&A
Ponadto:
0 2A I AJ &A
Ÿ ¡
JKB
d
1
d
1¢
1
1
d
d
d
d
w &A , I AJ 0 &A , I vJ 0 vB , I vJd
JKB
JKB
JKd
B
B
1
d
d
∑
A,
š ,
v są niezależne/
12B JKd J
√1
d
Stąd zmienna losowa
1
1
1 d
cd
A~a  b√&, c € , a b, ‚
&
&
√&
%& 0 1)š d ∑1JKB vJd
vJd
,
,
I
, I ¤Jd
cd
cd
cd
Mamy:
¤J ~a 
¤B , … ¤1 0 niezależne
Czyli:
1
JKd
1
JKd
1
1
· 0, d c d € , a%0,1) x , 2, … , &
d
c
c
%& 0 1)š d
~— d %& 0 1)
cd
Fakt:
Niech zmienna losowa A~M%N)
Wtedy
l¢ %x) , 1 0 l¥ %2N) x , 1,2, …
gdzie
v~— d ‘2%x w 1)’
Dowód %szkic):
1 0 l¥ %2N) , 1 0 ¦
J
dQ
Y
,I
ªKY
+
1
+
1 Q J 2u
,n
J
+ exp -0 . s+ , © 2
© , 1 0 ¦ n P sn
2J§B Ÿ¨
™%x
w¨¡
1)
2
x! Y
¨ ¨
s+ , 2sn
J!
P 2Q Nª
, l¢ %x)
«!
1.6 Rozkład ­ 0 studenta
Rozkład n 0 studenta n%&)
& , 1,2, …
Definicja:
Niech A~a%0,1) oraz v~— d %&) będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Mówimy, że
zmienna losowa
Strona 5
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
A
•1 v
&
ma rozkład n 0 Studenta z & stopniami swobody.
Fakt:
1§B
&w1
d 2 d
.
+
2
V%+) ,
+[\
& 1 w & ‚
√&M · ™ -2.
™-
Fakt:
Niech %V1 ) będzie ciągiem gęstości zmiennych losowych A1 o rozkładzie n%&)
Wtedy:
1
+d
®/[\ : lim V1 %+) , ¯%+) ,
exp 0 ‚
1Œ\
2
√2M
Przykład 3:
Niech AB , … , A1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
a%b, c d ) %& O 1) wtedy:
oraz
°,
A0b
√& ~ a%0,1) ± przykład 1
c
%& 0 1)š d
~— d %& 0 1) ± tw. 3
cd
Ponadto zmienne losowe °, v są niezależne
Wtedy:
°
~n%& 0 1)
1
•
& 0 1v
Mamy:
A0b
A0b
c √&
,
,
√&
d
š
%&
1
1
0
1)š
•
v •
&01
&01·
cd
1.7 Rozkład ² 0 Snedecora
Rozkład l 0 Snedecora l%&, _) &, _ , 1,2, …
°
Definicja:
Niech A~— d %&) oraz v~— d %_) będą niezależnymi zmiennymi losowymi.
Mówimy, że zmienna losowa
1
&A
1
v
_
Strona 6
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
ma rozkład l 0 Snedecora z &, _ stopniami swobody.
Fakt:
1
_w&
2B
™. _ ³
d
A
d
2
V%+) ,
³§1 XY,Z %+) + [ \
&
_ - .
™- .™- . &
_
d
2
2
-A w .
&
Przykład 4:
Niech AB , … , A1 vB , … , v1 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
odpowiednio równych a%b¢ , c d ); a%b¥ , c d )
Wtedy:
%& 0 1)š d
A,
~— d %& 0 1) ± tw. 3
cd
%_ 0 1)š d
~— d %_ 0 1) ± tw. 3
v,
cd
Ponadto zmienna losowa A, v są niezależne
1
& 0 1 A ~l%& 0 1, _ 0 1)
1
_ 0 1v
Mamy:
1 %& 0 1)š¢d
1
A
š¢d
&01 , &01
cd
,
1
1 %_ 0 1)š¥d š¥d
v
_01
_01
cd
2. DANE STATYSTYCZNE. MODEL STATYSTYCZNY
Przykład 5:
1) Centrala telefoniczna
W 200 losowo wybranych 5 0 sekundowych odcinkach czasowych, badano liczbę
zgłoszeń. otrzymano wynik:
0,5,3, … ,2.
2) Auto – test
Przeprowadzono 50 niezależnych eksperymentów polegających na hamowaniu
badanego typu samochodu.
Zaobserwowano długości drogi hamowania %w metrach)
18,13; 17,61; … ; 18,62
Wykład 3
05.03.2008r.
Definicja:
Populacja – zbiór obiektów
Cecha %zmienna) – funkcja określona na obiektach populacji %ozn. A)
Strona 7
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Rozkład %rzeczywisty) populacji – rozkład wartości tej cechy A na elementach populacji.
Próba – podzbiór populacji złożony z obiektów podlegających badaniu statystycznemu
Rozkład %empiryczny) z próby – rozkład wartości cechy A na elementach próby.
AB
A
A , ´ d ¶ 0 dane
µ
A1
Przykład 5 %Cd.):
częstość
zgłoszeń
0
1
2
3
4
5
%
16%
33,5%
24,5%
15,5%
7,5%
3%
dyskretna cecha
długość
drogi
liczebność
hamowania
hamowania
17,6 – 17,8
4
17,8 – 18
5
18 – 18,2
6
18,2 – 18,4
8
18,4 – 18,6
11
18,6 – 18,8
12
18,8 – 19
4
ciągła cecha
Konstruując model matematyczny eksperymentu statystycznego.
Dane A , %AB , Ad , … , A1 ) traktujemy jako realizację wektora losowego
A , %AB , Ad , … , A1 ) o rozkładzie ¹ należącej do pewnej rodziny rozkładu º
» 0 przestrzeń próby
¼ 0 c 0 ciało podzbiorów zbioru » na którym określone są rozkłady ¹ w zbiorze ½
Próby proste
‘», ¼, º’ 0 przestrzeń statystyczna
• częstość wartości cechy A w próbie
%rozkład empiryczny)
• funkcja prawdopodobieństwa rozkładu
Poissona %rozkład tradycyjny)
• wielobok częstotliwości
wartości cechy A w próbie
%rozkład empiryczny)
• gęstość rozkładu normalnego
%rozkład teoretyczny)
Strona 8
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Budując model zakładamy, że cecha A jest zmienną losową o rozkładzie ¹ z rodziny º
%jednowymiarowy). Indukuje ona przestrzeń statystyczną w taki sposób, że AB , … , A1 są
niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie ¹ [ º.
»,»
Ÿ¨
¨¨»
¨ ¨
…
¨¨
¨¡
»
1
¼,¼
Ÿ¨¨¨¨ ¨¨¨¨¡
¼ … ¼
1
º,º
Ÿ¨
¨¨º
¨ ¨
…
¨¨¨¡
º
1
‘», ¼, º’ 8 %», ¼, º)1
¹ 0 rozkład populacji
º , ¾¹¿ : À [ ÁÂ
Á 0 przestrzeń populacji
Á Ã \J 0 model parametryczny
Á Ä \J 0 model nieparametryczny
Przykład 5:
1) A 0 budujemy model
Zakładamy A~M%N) N O 0
Zatem » , ¾0,1,2, … Â 0 zbiór potencjalnych wartości
¼ , 2»
º , ¾M%N) N O 0Â
Model %», ¼, º)dYY
Uwaga:
À,N
Á , \§ Ã \ 0 przestrzeń parametru
2) A 0 długość drogi hamowania
Zakładamy, że A~a%b, c d ) b [ \; c O 0
»,\
¼ , Å %borelowski)
º , ¾Æ%b, c d ): b [ \, c d O 0Â
zatem
Model %», ¼, º)ÇY 0 przestrzeń statystyczna
Uwaga:
À , %b, c d ) 0 parametr
Á , \  \§ à \d 0 przestrzeń parametru
Strona 9
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Niech %», ¼, º) będzie przestrzenią statystyczną 8 Niech A , %AB , Ad , … , A1 ) będzie
próbą z populacji o rozkładzie ¹¿ , gdzie À [ Á jest parametrem.
Wykład 4
12.03.2008r.
3. STATYSTYKI DOSTATECZNE I ZUPEŁNE
Niech A , %AB , Ad , … , A1 ) będzie próba z populacji o rozkładach ¹¿ gdzie À [ Á jest
parametrem.
Statystyką nazywamy każdą funkcję mierzalną È próby A.
np. A , ∑1JKB AJ 0 średnia z próby.
B
1
š d , 12B ∑1JKB‘AJ 0 A’ 0 wariancja z próby
B
d
Definicja:
Statystyka È jest dostateczna dla rodziny rozkładów º , ¾¹¿ : À [ Á gdy rozkład
warunkowy:
A|È , n
nie zależy od parametru À
Przykład 6:
Niech A , %AB , Ad , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie M%N), N O 0 0 parametr.
rozważmy statystykę postaci:
1
ȑA’ , I AJ
JKB
Mamy È~M%&N)
Zatem
Î 0,
Ì
1
I +J y n
JKB
1
͹‘A , +’
, I +J , n
Ì
Ë ¹%È , n) JKB
,
Î0,
Ì
¹‘A , +ÊÈ 0 n’ ,
Ï,
Î 0,
Ì
¹‘A , +, È , n’
¹%È , n)
1
I +J y n
JKB
1
Í∏1JKB ¹%AJ , +J )
, I +J , n
Ì
¹%È , n)
Ë
JKB
1
I +J y n
JKB
1
ÍP
n!
, I +J , n
Ì 1
2Q1 u u
Ë ∏JKB +J ! P & N JKB
21Q %0N)∑Ò
ÑÓÔ /Ñ
Strona 10
Ï,
Î0,
Ì
Ï,
1
Î 0,
Ì
Ì
I +J y n
JKB
Ï
P 2Q N/Ñ
1
1
∏
Í JKB + !
J
Ì
Ì P 21Q %0N)u , I +J , n
JKB
Ë
n!
1
I +J y n
JKB
1
Í
n!
, I +J , n
Ì u 1
Ë & ∏JKB +J ! JKB
Ï
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Stąd rozkład warunkowy A|È , n nie zależy od N, czyli ȑA’ , ∑1JKB AJ jest dostateczny
od parametru N.
Twierdzenie 4 %Kryterium faktoryzacji):
Statystyka È jest dostateczna dla parametru À ⇔ funkcje prawdopodobieństwa
%gęstość) próby A można przestawić w postaci:
¹¿ ‘A’ , Ž¿ -ȑA’. ֑A’
gdzie funkcja Ö nie zależy od parametru À a funkcja Ž %zależna od À) zależy od A tylko
poprzez wartości statystyki È.
Przykład 7:
Niech A , %AB , Ad , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie a%b, c d ), b [ \, c d O 0
Wtedy:
1
1
V[,‹r ‘A’ , × VØ,‹r %AJ ) , × Ù
JKB
, %2Mc)
,
gdzie
2
JKB
1
d exp Û0
1
√2Mc d
1
exp f0
1 %AJ 0 b)d
gÚ
cd
2
1
I%AJ 0 b)Ü
2c d
1
%2Mc d )2 d exp Û0
JKB
1
1
1
zI AJd 0 2b I AJ w &b d {Ü
2c d
JKB
JKB
ß
ã
1
1
1
&b d â
Þ &
d
exp Þ0 d I AJ 0 d I AJ 0 d â · ç
1 , ŽØ,‹r %n)֑A’
,
2c Ÿ ¡ 2c Ÿ ¡ 2c
Þ
â è%/)
JKB
JKB
Ý
á
àÔ %¢)
àr %¢)
Ÿ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¡
1
%2Mc d )2 d
n , %nB , nd );
äå,ær %u)
1
nB ‘A’ , I AJ ;
JKB
1
nd ‘A’ , I AJd
JKB
Zatem statystyka dostateczna dla parametru À , %b, c d ) ma postać:
1
1
ȑA’ , zI AJ , I AJd {
JKB
JKB
Definicja:
Statystykę dostateczną È nazywamy minimalną statystyka dostateczną jeżeli dla każdej
statystyki dostatecznej š istnieje funkcja Ö taka, że È , Ö%é)
Definicja:
Statystyka È jest zupełna dla rodziny rozkładów º , ¾¹¿ : À [ Á) %dla parametru Θ) gdy
z warunku
®¿[ë : i¿ ‘Ö%È)’ , 0
Strona 11
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
wynika, że:
Przykład 6 %Cd.):
Ö 8 0 prawie wszędzie º
1
ȑA’ , I AJ 0 statystyka dostateczna dla parametru N.
Niech:
JKB
21Q %&N)J
∑Z
Ö%x) · &J J
JKY Ö%x)P
21Q
iQ ‘Ö%È)’ ,
, Pì
I
N ,0
x!
x!
íY JKY
Ÿ¨¨¨¨ ¨¨¨¨¡
Z
îïðñðä òóuęäóôõ
Ö%x) · &
, 0 x , 0,1,2, …
x!
Ö%x) , 0 x , 0,1,2, …
Ö80
1
∑
Zatem statystyka È , JKB AJ jest zupełna dla parametru N.
J
Twierdzenie 5:
Jeżeli statystyka È jest dostateczna i zupełna dla rodziny rozkładów º, to È jest
minimalną statystyką dostateczną dla rodziny º.
Definicja:
Rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa º , ¾¹¿ : À [ Á nazywamy ö 0 parametrową
rodziną wykładniczą jeżeli funkcje prawdopodobieństwa %lub gęstość) rozkładu ¹¿
można zapisać w postaci:
ú
Przykład 8:
Zatem:
VØ,‹r ,
(¿ %+) , Ö%+) exp ÷I øª %À)Ȫ %+) 0 ù%À)û
ªKB
º , ¾a%b, c d ), b [ \, c d O 0Â
1 %AJ 0 b)d
1
1
g,
exp ü0 d %+ d 0 2b+ w b d )ý
d
2
c
2c
√2Mc d
√2Mc d
d
1
b
1
b
,
exp f d + 0 d + d 0 d g
c
2c
2c
√2Mc d
1
exp f0
, exp þ
øB %b, c d ) ,
b
cd
b
1 d
bd
1
ç
+
0
+
0
0 ln%2Mc d )
d
d
d
Ÿ¨¨¨¨¨ ¨
c
2c
2c
2 ¨¨¨¨¡
Ô
àÔ
r
àr
ÈB %+) , +
ød %b, c d ) ,
1
2c d
ù%+) , 0
Èd %+) , + d
Strona 12
bd
1
w ln%2Mc d )
d
2c
2
Ö%+) , 1
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Zatem rodzina rozkładów º jest rodziną wykładniczą.
Wykład 5
19.03.2008r.
Twierdzenie 6 %Lemanna):
Niech A , %AB , Ad , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie z rodziną wykładniczą
º dla której zbiór
¾‘øB %À), … , øú %À)’: À [ ÁÂ
zawiera niezdegerowany prostokąt w \d .
Wtedy statystyka
1
1
ȑA’ , zI ÈB %AJ ), … , I Èú %AJ ){
JKB
JKB
jest dostateczna i zupełna dla rodziny rozkładów º.
Przykład 8 %Cd.):
Rozważmy następujący zbiór:
b
1
‘øB %b, c d ), ød %b, c d )’: b [ \, c d O 0 ,  d , 0 d € : b [ \, c d O 0 , \  \
c
2c
d
– zawiera niezdegenerowany prostokąt w \ .
zatem statystyka:
1
1
1
1
ȑA’ , zI ÈB %AJ ), I Èd %AJ ){ , zI AJ , I AJ {
JKB
JKB
JKB
jest dostateczna i zupełna dla rodziny rozkładów normalnych.
JKB
4. ESTYMACJA PUNKTOWA %SZACOWANIE)
Niech A , %AB , Ad , … , A1 ) będzie próbą z populacji z rozkładem prawdopodobieństwa o
rozkładzie ¹¿ , gdzie À [ Á jest parametrem.
Ponadto niech Ž%À) będzie funkcją parametryczną.
Definicja:
Statystykę ȑA’ o wartościach w zbiorze Ž%À) %skonstruowana w ten sposób, aby jej
wartości szacowały prawdziwą wartość funkcji parametrycznej Ž%À))
nazywamy estymatorem funkcji parametrycznej Ž%À). Oznaczamy Ž
‘A’.
Przykład 9:
Załóżmy, że badamy cechę A o której to cesze zakładamy, że A~M%N), N O 0 0 (^k.
Poszukamy estymatorów funkcji parametrycznej.
a) ŽB %N) , iQ %A) , N
b) Žd %N) , ¹Q %A , 0) , P 2Q
Przykładowe estymatory:
Strona 13
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
a) Ž
B ‘A’ , A
b) Ž
d ‘A’ , P 2¢
Przykład 10:
Badamy cechę A.
Model: A~a%b, c d ), b, c d 0 parametry.
Poszukujemy estymatorów funkcji parametrycznej:
a) ŽB %b, c d ) , iØ,‹r %A) , b
b) Žd %b, c d ) , j^kØ,‹r %A) , c d
Przykłady estymatorów:
a) Ž
B ‘A’ , A
b) Ž
d ‘A’ , š d
Definicja:
Statystykę Ž
‘A’ nazywamy estymatorem nieobciążonym funkcji par Ž%Á), gdy
®¿[ë i¿ Ž
‘A’ , Ž%À)
Przykład 11:
Zakładamy, że cecha A ma dowolny rozkład
Estymujemy prawdopodobieństwo ( , ¹%A [ †), gdzie † jest zbiorem borelowskim.
Rozważmy „estymator częściowy” postaci:
#¾x: AJ [ †Â
(̂ ‘A’ ,
&
Mamy #¾x: AJ [ †Â ~ $%&, ()
Zatem
1
1
i -(̂ ‘A’. , i%#¾x: AJ [ †Â , &( , (
&
&
Czyli estymator (̂ jest estymatorem nieobciążonym dla (.
Uwaga:
Niech l będzie dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej A, tzn. l%+) , ¹%A +).
Wtedy dystrybuanta empiryczna
#¾x: AJ +Â
l1 %+) ,
&
jest nieobciążonym estymatorem dystrybuanty l w punkcie +.
Przykład 12:
Zakładamy, że badana cecha A populacji ma rozkład o wartości oczekiwanej b.
Ponieważ
Strona 14
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
1
1
1
1
1
i‘A’ , i z I AJ { , I i%AJ ) , W b W & , b
&
&
&
JKB
JKB
Zatem A jest estymatorem nieobciążonym dla b.
Uwaga:
Niech ^B , … , ^1 będą liczbami takimi, że ∑1JKB ^J , 1
Wtedy statystyka b̂ ‘A’ , ∑1JKB ^J AJ jest nieobciążonym estymatorem parametru b.
Mamy
1
1
i -b̂ ‘A’. , I ^J i%AJ ) , b I ^J , b
JKB
JKB
Przykład 12 (cd.):
Zakładamy dodatkowo, że cecha A ma skończoną wariancję c d oraz, że & O 1. Wtedy:
1
1
1
1
2A
&
d
d
1
d
d)
i%š , i z
I‘AJ 0 A’ { , i I AJ 0
IA w
A
&01
& 0 1 Ÿ ¡J & 0 1 &01
JKB
JKB
JKB
Ÿ¨¨¨ ¨¨
¨¡
1¢
, iz
Ponadto:
1
1
2
r
d¢ 1
12B
1
&
1
&
d
d
I AJd 0
A {,
I i%AJd ) 0
i -A .
&01
&01
&01
&01
JKB
JKB
d
i%AJd ) , j^k%A
%A¨J¡) , c d w b d
Ÿ¨ ¨¡
٬
J) w i
1
d
‹r
Ør
i -A . , j^k‘A’ w i d ‘A’ ,
1
cd
w bd
&
1
1
1
1
1 d
cd
j^k‘A’ , j^k z I AJ { , d j^k zI AJ { , d I j^k%AJ ) , d c & ,
&
&
&
&
&
Zatem:
i%š
d)
1
JKB
JKB
1
&
cd
,
I%c d w b d ) 0
 w bd‚
&01
&01 &
JKB
JKB
&
&
1
&
&
1
cd w
bd 0
cd 0
bd , c d 
0
€ , cd
&01
&01
&01
&01
&01 &01
czyli statystyka š d jest estymatorem nieobciążonym dla c d .
,
Wykład 6
26.03.2008r.
Ž%À) 0 funkcja parametryczna
A , %AB , … , A1 ) 0 próba
Ž
%A) 0 estymator dla Ž%À)
Strona 15
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Ž
0 estymator nieobciążony
®¿[ë i¿ -Ž
‘A’. , Ž%À)
Definicja:
Ciąg estymatorów -Ž
1 ‘A’. funkcji parametrycznej Ž%À) nazywamy (słabo) zgodnym,
gdy ciąg -Ž
1 ‘A’. jest zbieżny według prawdopodobieństwa do Ž%À) tzn.:
®¿[ë ®íY lim ¹¿ %|Ž
1 %A) 0 Ž%À)| ) , 0
1Z
Przykład 12 (cd.):
Z prawa wielkich liczb Chińczyna wynika, że
jest zgodnym estymatorem dla b.
Ponadto š d 0
- ∑1 A d 0 A .
12B 1 JKB J
1
B
d
b̂ 1 ‘A’ , A
Zastosujemy prawo wielkich liczb Chińczyna do ciągu ABd , Add
Wtedy
1
Zatem š c
d
1Z
d
1Z
1
I AJd i%A d ) , c d w b d
&
JKB
Czyli š jest zgodnym estymatorem parametru c d
d
Twierdzenie 7:
Niech Ž
1 ‘A’ będzie nieobciążonym estymatorem funkcji parametrycznej Ž%À), dla
której:
®¿[ë j^k¿ Ž
1 ‘A’ 0
Wtedy Ž
1 ‘A’ jest zgodnym estymatorem dla Ž%À).
1[Z
Lemat %Nierówność Czybyszewa):
Jeżeli A jest zmienną losową o wartości oczekiwanej b i skończonej wariancji c d , to
prawdziwe jest:
1
®QíY : ¹%|A 0 b| Nc) d
N
Dowód tw. 7:
Obieramy dowolne À [ Á; O 0
Mamy: ®¿[ë : i¿ Ž
1 ‘A’ , Ž%À)
Niech:
N,
•j^k¿ Ž
1 ‘A’
Zatem:
Strona 16
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
¹¿ z ŽŸ ¡
1 ‘A’ 0 Ž%À)
{
ì ç
¢
Ponieważ:
Ø
Q‹
j^k¿ Ž
1 ‘A’
d
j^kŽ
1 ‘A’
0
1Z
d
¹¿ %|Ž
1 ‘A’ 0 Ž%À)| ) 0
Zatem:
1Z
Czyli Ž
1 ‘A’ jest zgodnym estymatorem dla Ž%À).
4.1 Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Niech ! będzie rodziną estymatorów nieobciążonych posiadających skończoną
wariancję dla każdego À [ Á dla Ž%À).
Statystykę Ž
Y ‘A’ nazywamy estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji
(ENMW) funkcji parametrycznej Ž%À), gdy:
®ä
‘¢’[" ®¿[ë j^k¿ Ž
Y ‘A’ j^k¿ Ž
‘A’
Twierdzenie 8:
ENMW funkcji parametrycznej Ž%À) jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do
zbioru miary zero.
Lemat 1:
Niech È będzie ENMW funkcji parametrycznej Ž%À), š statystyką taką, że:
®¿[ë : i¿ %š) , 0. Wtedy ®¿[ë : i¿ %Ț) , 0
Dowód lematu 1:
Niech ° , È w #š; # [ \
Mamy i%°) , i%È)
ì w #i%š)
Ÿ ¡ , Ž%À)
ä%¿)
KY
Zatem U jest estymatorem nieobciążonym dla Ž%À).
j^k%°) , j^k%È) w # d j^k%š) w 2# Ÿ¨
$%&%È,
é)
¨ ¨
¨¡
'‘à2ä%¿)’(
Ponieważ È jest ENMW dla Ž%À), to:
Stąd ) 0
Lemat 2:
j^k%È) j^k%°) , j^k%È) w # d j^k%š) w 2#i -‘È 0 Ž%À)’š.
# d jk%š) w 2#i -‘È 0 Ž%À)’š. 0
) , 4i‘È 0 Ž%À)’š 0
d
i -‘È 0 Ž%À)’š. , 0
i%Ț) 0 Ž%À)i%š) , 0
i%Ț) , 0
Strona 17
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Niech A, v będą zmiennymi losowymi takimi, że |*%A, v)| , 1
Wtedy istnieją, liczby ^ y 0 i $ y 0 takie, że ¹%v , ^A w $) , 1
Ponadto ^ ,
+ó,%¢,¥)
-.ñ%/)
; $ , i%v) 0 ^i%A)
Dowód tw. 8:
Niech È, š będą ENMW dla Ž%À).
Zatem i%È) , i%š) , Ž%À); j^k%È) , j^k%š)
Ponadto:
$%&%È, š) , i‘È 0 Ž%À)’‘š 0 Ž%À)’ , i%Ț) 0 Ž%À) i%È)
ì 0 Ž%À) i%š)
ì w Žd %À)
ä%¿)
, i%Ț) 0 Žd %À) , i%È d ) 0 Žd %À) , j^k%È)
Mamy i%È 0 š) , 0
Czyli È 0 š 0 ia dla 0
Zatem (z lematu 1) mamy i‘È%È 0 š)’ , 0
i%È d ) 0 i%Ț) , 0
i%Ț) , i%È d )
Stąd:
$%&%È, š)
j^k%È)
*%È, š) ,
,
,1
/&^k%È)j^k%š) j^k%È)
Zatem (z lematu 2) mamy:
Istnieją stałe # y 0 i 0 takie, że:
Ponadto:
Stąd È , š (. 1.
ä%¿)
È , #š w 0 (. 1.
$%&%È, š) j^k%È)
,
,1
j^k%š)
j^k%È)
0 , i%È) 0 i%š) , 0
#,
Twierdzenie 9 %Rao ― Blackwella):
Niech Ž
‘A’ będzie estymatorem nieobciążonym funkcji parametrycznej Ž%À), È
statystyką dostateczną dla parametru À. Wtedy:
1. i%Ž
|È) 0 estymator nieobciążony funkcji parametrycznej Ž%À)
2. ®¿[ë : j^k¿ ‘i%Ž
|È)’ j^k¿ Ž
‘A’
Lemat:
Jeżeli odpowiednie wartości oczekiwane istnieją, to:
1. i‘i%A|v)’ , i%A)
2. j^k‘i%A|v)’ j^k%A)
Dowód :
Mamy, że A|È , n nie zależy od parametru θ, bo È jest statystyką dostateczną. Zatem
Ž
‘A’|È , n nie zależy od parametru θ.
Strona 18
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Wykład 7
02.04.2008r.
Twierdzenie 9:
Ž
‘A’ ― Estymator nieobciążony dla Ž%À)
È 0 statystyka dostateczna dla À
i‘Ž
‘A’|Ȓ
1. Estymator nieobciążony dla Ž%À)
2. j^k‹ -i -Ž
‘A’. |È. j^k‹ -Ž
‘A’.
Stąd:
i‘Ž
‘A’ÊȒ nie zależy od parametru À, czyli jest statystyką.
Ponadto:
i¿ %i‘Ž
‘A’ÊȒ , i¿ -Ž
‘A’. , Ž%À)
czyli i‘Ž
‘A’ÊȒ jest Estymatorem nieobciążonym dla Ž%À)
dodatkowo:
j^k‹ -i‘Ž
‘A’ÊȒ. j^k‹ -Ž
‘A’.
Twierdzenie 10 %Lehmanna ― Scheffego):
Niech Ž
będzie nieobciążonym estymatorem funkcji parametrycznej Ž%À), È statystyką
dostateczną i zupełną dla parametru À.
Wtedy i‘Ž
‘A’ÊȒ jest Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji
parametrycznej Ž%À).
Dowód tw. 10:
Niech š%È) , i‘Ž
‘A’ÊȒ
Mamy i¿ ‘š%È)’ , Ž%À)
j^k‹ %š%È)) j^k‹ -Ž
‘A’.
Niech Ž
‘A’ będzie dowolnym estymatorem nieobciążonym dla funkcji parametrycznej
Ž%À).
Zatem dla każdego c [ Á
Rozważmy statystykę:
mamy:
š%È) , i‘Ž‘A’ÊȒ
i¿ -š%È). , Ž%À)
j^k‹ -š%È). j^k‹ -Ž‘A’.
‘š 0 š’%È)
l¿ -‘š 0 š’%È). , l‹ ‘š%È)’ 0 i‹ -š%È). , 0
Zatem z zupełności statystyki È
Strona 19
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
š 0 š 8 0 (. 1.
š 8 š (. 1.
Stąd ®‹[ë
j^k‹ ‘š%È)’ , j^k‹ -š%È). j^k -Ž‘A’.
czyli š%È) , i‘Ž
‘A’ÊȒ jest Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji
parametrycznej Ž%À).
Przykład 9 (cd.):
Niech A , %AB , … , A1 )4 będzie próbą z populacji o rozkładzie M%N), N O 0 0 parametr
oraz niech Žd %N) , P 2Q .
Niech Ž
d ‘A’ ,
#¾J:¢Ñ KYÂ
1
, 1 ∑1JKB XY %AJ )
B
Wiemy, że Ž
d ‘A’ 0 Estymator nieobciążony dla Žd %N) 0 przykład 11
Poznadto
ȑA’ , ∑1JKB AJ ― statystyka dostateczna i zupełna dla parametru N %przykład 6)
Zatem:
1
1
1
1
1
1
i‘Ž
d ‘A’ÊÈ , n’ , i z I XY %AJ ) I Aª , nÏ { , I i zXY %AJ ) I Aª , nÏ{
&
&
JKB
1
ªKB
JKB
1
, i zXY %AB ) I Aª , nÏ{ , ¹ zAB , 0 I AJ , n{
ªKB
ªKB
JKB
¹%AB , 0, ∑1JKB AJ , n) ¹%AB , 0) W ¹%∑1JKB AJ , n)
,
,
¹%∑1JKB AJ , n)
¹%∑1JKB AJ , n)
“%& 0 1)N”u P 2%12B)Q
P 2Q
%& 0 1)u
1 u
n!
,
,
, 1 0 €
%&N)u P 21Q
&n
&
n!
1 à
Ž
d ‘A’ , 1 0 €
&
Twierdzenie 11:
Niech È będzie statystyką dostateczną i zupełną dla parametru À oraz niech Ž
%È) będzie
Estymatorem nieobciążonym funkcji parametrycznej Ž%À). Wtedy Ž
%È) jest
Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej Ž%À).
Lemat:
Jeżeli A , Ö%v) oraz istnieje i%A|v), to i%A|v) , A
Dowód tw. 11:
Z twierdzenia 10 i%Ž
%È)|È) 0 ENMW funkcji parametrycznej Ž%À)
Z lematu i%Ž
%È)|È) , Ž
%È)
czyli Ž
%È) jest ENMW funkcji parametrycznej Ž%À).
Strona 20
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Przykład 10 (cd.):
Niech A , %AB , … , A1 ) %& O 1) będzie próbą z populacji o rozkładzie a%b, c d ); b [ \; c O 0
Estymujemy funkcję parametryczną ŽB %b, c d ) , b, Žd %b, c d ) , c d
Wiemy, że statystyka
1
1
ȑA’ , zI AJ , I AJd {
jest dostateczna i zupełna dla %b, c d )
Mamy:
JKB
JKB
Ž
B ‘A’ , A ― Estymator nieobciążony dla parametru b
Ž
d ‘A’ , š d 0 Estymator nieobciążony dla parametru c d
Zatem
1
1
1
1
Ž
B ‘A’ , A , I AJ , ÈB ‘A’
&
&
JKB
1
d
d
1
1
1
1
I AJd 0
zI AJ { ,
Èd ‘A’ 0
-ÈB ‘A’.
Ž
d ‘A’ , š d ,
&01
&%& 0 1)
&01
&%& 0 1)
JKB
JKB
Zatem A i š są ENMW dla b i c odpowiednio.
d
d
Mówimy, że rodzina rozkładów º , ¾¹¿ : À [ Á à \ na przestrzeni próby » à \1
spełnia warunki regularności Cramera – Rao , gdy dla funkcji prawdopodobieństwa (lub
gęstości) rozkładu ¹¿ mamy:
Zbiór † , A , »: ¹¿ ‘A’ O 0 nie zależy od parametru À. Dla dowolnych + [ † i À [ Á
istnieje skończona pochodna
5 ln (¿ %+)
5À
Jeżeli È jest dowolną statystyką taką, że i¿ %È) * ∞ dla dowolnych À [ Á, to
5
5
¦ ȑA’¹¿ ‘A’s+ , ¦ ȑA’ ¹¿ ‘A’s+
5À »
5À
»
Do końca rozdziału zakładamy, że rodzina º , ¾¹¿ : À [ Á rozkładów
prawdopodobieństwa spełnia warunki regularności Cramera – Rao.
d
Funkcję X1 %À) , i¿ 68¿ ln (¿ ‘A’9 nazywamy ilością informacji Fishera o parametrze À z
próby A.
Wykład 8
Własność 1:
Dowód:
7
09.04.2008r.
X1 %À) , &XB %À)
Strona 21
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
d
1
d
1
1
5
5
5
X1 %À) , i¿ Û ln z× (¿ %AJ ){Ü , i¿ Û I ln (¿ %AJ )Ü , i¿ ÛI
ln (¿ %AJ )Ü
5À
5À
5À
JKB
1
JKB
JKB
d
d
5
5
5
, i¿ :I  ln (¿ %AJ )€ w 2 I  ln (¿ %Aª ) ln (¿ ‘Aœ ’€<
5À
5À
5À
1
JKB
, I i¿ ü
JKB
ª;œ
d
5
5
5
ln (¿ %AJ )ý w 2 I üi¿  ln (¿ %Aª )€ W i¿  ln (¿ ‘Aœ ’€ý
5À
5À
5À
ª;œ
5
, & i¿ ü ln (¿ %AB )ý , &XB %À)
Ÿ¨¨5À
¨¨¨ ¨¨¨¨¨¡
d
=Ô %¿)
1
5
5
5
%>) , ¦
ln (¿ %Aª )(¿ %Aª ) s+ª , ¦
W
(¿ %Aª ) W (¿ %Aª )s+ª , ¦
(¿ %Aª )s+ª
» 5À
» (¿ %Aª ) 5À
» 5À
5
,
¦ (¿ %Aª )s+ª , 0
5À Ÿ¨
» ¨¨ ¨¨¨¡
B
Jeżeli dla dowolnych + [ † i À [ Á istnieje skończona pochodna 7¿r ln (¿ ‘A’ oraz
Własność 2:
5d
5d
¦
(
‘A’s+
,
¦
( ‘A’s+
d ¿
5À d » ¿
» 5À
7r
to X1 %À) , i¿ 60 7¿r ln (¿ ‘A’9
Dowód:
7r
i¿ ü0
5 5
5
1
5
 ln (¿ ‘A’€ý , i¿ :0 ?
W
( ‘A’@<
5À sÀ
5À (¿ ‘A’ 5À ¿
d
5
1 5d
, i¿ ´0 þ0
(¿ ‘A’{ w
(¿ ‘A’¶
dz
(¿ ‘A’ 5À d
(¿ ‘A’ 5À
1
1
5
1
5d
, i¿ f
W
(¿ ‘A’g 0 i¿ f
W
(¿ ‘A’g , X1 %À)
(¿ ‘A’ 5À
(¿ ‘A’ 5À d
Ÿ¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¡
Ÿ¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¡
AB òC ‘¢’
Ÿ¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¡
7¿
7
7
'C ü AB òC ‘¢’ý
7¿
Ÿ¨¨¨¨ ¨¨¨¨¡
%>)KY
DÒ %C)
5
5d
5d
(
‘A’
W
(
‘A’
W
(
‘A’s+
,
¦
(
‘A’s+
,
¦ (¿ ‘A’s+ , 0
¿
¿
d ¿
d ¿
5À d Ÿ¨¨ ¨¨¡
» (¿ ‘A’ 5À
» 5À
»
%>) ¦
1
d
W
d
B
Przykład13:
Niech A , %AB , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie M%N), gdzie N O 0
Mamy:
Strona 22
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
P 2Q N/
(Q ,
; + , 1,2, …
+!
ln (Q %+) , 0N w + ln N 0 ln +!
5
+
ln (Q %+) , 01 w
5N
N
d
5
+
ln (Q %+) , 0 d
d
5N
N
+
1
&
X1 %N) , &XB %N) , & W iQ - d . , & W d i
Ÿ ¡
Q %A) ,
N
N
N
Zatem:
Q
Twierdzenie 12 %Nierówność Cramera ― Rao):
Niech Ž
‘A’ będzie estymatorem nieobciążonym o skończonej wariancji funkcji
parametrycznej Ž%À) oraz niech 0 * X1 %À) * ∞. Wtedy:
“Ž %À)”d
®¿[ë : j^k¿ Ž
‘A’ X1 %À)
oraz równość zachodzi ⇔ gdy
7
7¿
ln (¿ ‘A’ , x%À)Ž
‘A’ 0 Ž%À)
Dowód:
Lemat %Nierówność Cauchy’ego ― Schwarza):
Jeżeli odpowiednie wartości oczekiwane istnieją, to “$%&%A, v)”d j^k%A)j^k%v), przy
czym równość zachodzi ⇔ gdy ¹%v , ^A w $) , 1, gdzie
$%&%A, v)
; $ , i%v) 0 ^i%A)
^,
j^k%A)
Dowód tw. 12:
Niech A ,
Zatem
7
7¿
ln (¿ ‘A’
EF %G) , i¿ ü
v , Ž
‘A’
5
5
1
5
ln (¿ ‘A’ý , ¦
ln (¿ ‘A’(¿ ‘A’ s+ , ¦
W
(¿ %A) W (¿ ‘A’s+
5À
» 5À
» (¿ ‘A’ 5À
5
5
(¿ ‘A’s+ ,
¦ (¿ ‘A’s+ , 0
5À Ÿ¨
» 5À
Ȭ
¨ ¨¨¨¡
,¦
KB
i¿ %A) , 0
d
5
HIJF %G) , i¿ ‘A ’ 0 “i¿
, i¿ ü ln (¿ ‘A’ý , X³ %À)
5À
EF %K) , i¿ Ž
‘A’ , Ž%À)
d
%A)”d
HIJF %K) , j^k¿ -Ž
‘A’.
Strona 23
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
$%&¿ %A, v) , i¿ ü
5
ln (¿ ‘A’ -Ž
‘A’ 0 Ž%À).ý
5À
, i¿ ü
5
5
ln (¿ ‘A’ Ž
‘A’ý 0 Ž%À) i¿ : ln (¿ ‘A’<
Ÿ¨¨ ¨¨¡
5À
5À
Ÿ¨¨¨¨ ¨¨¨¨¡
¢
KY
5
1
5
,¦
ln (¿ ‘A’ Ž
‘A’(¿ ‘A’s+ , ¦
W
(¿ %A) W Ž
‘A’ W (¿ ‘A’s+
» 5À
» (¿ ‘A’ 5À
5
5
, ¦ Ž
‘A’ (¿ ‘A’s+ ,
¦ Ž
‘A’(¿ ‘A’s+ , Ž4%À)
5À
5À Ÿ¨¨¨¨ ¨¨¨¨¡
»
»
ä
‘¢’
'C¨ ¨
٬
¨¡
Stąd:
czyli:
Ponadto:
Zatem:
L%C)
“Ž %À)”d X1 %À) W j^k¿ Ž
‘A’
j^k¿ Ž
‘A’ “Ž %À)”d
X1 %À)
5
ln (¿ ‘A’ , #Ž
‘A’ w 0, gdzie
5À
$%&¿ %v, A)
Ž %À)
#,
,
, x%À)
j^k%v)
j^k¿ Ž
‘A’
5
0 , i¿ ‘A’ 0 #i¿ %v) , i¿ ü ln (¿ ‘A’ý 0 # Ÿ¨
i¿¨ ¨
Ž
‘A’
¨¡ , 0#Ž%À)
Ÿ¨¨¨¨ ¨¨¨¨¡
5À
KY
ä%¿)
5
ln (¿ ‘A’ , x%À)Ž
‘A’ 0 x%À)Ž%À) , x%À)Ž
‘A’ 0 Ž%À)
5À
Wniosek:
Estymator nieobciążony Ž
‘A’ funkcji parametrycznej Ž%À) dla którego
“Ž %À)”d
®¿[ë j^k¿ Ž
‘A’ ,
X1 %À)
jest Estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji parametrycznej Ž%À).
Estymatory nieobciążone, dla których spełniona jest powyższa równość nazywamy
efektywnymi w sensie Cramera – Rao.
Przykład 9 (cd.):
Niech A , %AB , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie M%N), gdzie N O 0
Ponadto niech ŽB %N) , N
Niech Ž
B ‘A’ , A 0 Estymator nieobciążony dla ŽB %N) , N %przykład 12)
Mamy:
&
%przykład 13)
X1 %N) ,
N
Strona 24
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
j^kQ ‘A’ ,
j^kQ %A) N
,
&
&
N “ŽB %N)”d
,
&
X1 %N)
czyli Ž
B ‘A’ , A jest ENMW (efektywnym w sensie Cramera – Rao) parametru N.
Stąd:
j^kQ ‘A’ ,
4.2. Estymatory największej wiarygodności
Niech A , %AB , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie ¹¿ z rodziny
º , ¾¹¿ : À [ Á à \8 Â
Ponadto niech rozkłady ¹¿ opisane będą za pomocą funkcji prawdopodobieństwa (lub
gęstości).
Funkcję ö określoną wzorem:
ö‘À, +’ , (¿ ‘A’
nazywamy funkcją wiarygodności.
Estymatorem największej wiarygodności parametru À (ENW) nazywamy statystykę
ÀM‘+’, której wartość ÀM‘+’ spełnia warunek:
®/[» : ö‘ÀM‘+’, +’ , sup ö‘À, +’
¿[ë
Uwaga:
Dla dowolnego parametru À, ENW może istnieć albo być wyznaczony niejednoznacznie.
Przyjmujemy, że funkcja parametryczna Ž%À) jest statystyką Ž
-ÀM‘+’., gdzie ÀM‘+’ ENW
parametru À.
Zazwyczaj wygodnie jest operować funkcją ln ö niż funkcją ö.
Przykład 9 (cd.):
Mamy A~M%N) N O 0
Zatem:
ŽB %N) , N;
(Q %+) ,
1
Žd %N) , P 2Q
P 2Q N/
;
+!
1
+ , 0,1,2, …
P 2Q N¢Ñ
N1¢
21Q
ö‘N, A’ , × (Q %AJ ) , ×
,P
∏1JKB AJ !
AJ !
JKB
JKB
1
ö , ln‘ö%N, A)’ , 0&N w &A ln N 0 ln × AJ !
&A
5ö
, 0& w
N
5N
Strona 25
JKB
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
&A
,0 ⇔N,A
N
&A
5 dö
&
5 dö
,
0
;
‘A’ , 0 * 0
d
d
d
5N
N
5N
A
N
Zatem ENW dla parametru N jest N‘A’ , A
0& w
Stąd ENW dla ŽB %N) jest Ž
B ‘A’ , A
Žd %N) jest Ž
d ‘A’ , P 2¢
Wykład 9
16.04.2008r.
Niech A , %AB , … , A1 )4 będzie próbą z populacji o rozkładzie ¹¿ , gdzie À [ Á jest
parametrem.
5. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA
Ponadto niech Ž%À) [ \ będzie funkcją parametryczną.
Definicja:
Przedział -ÈB ‘A’, nd ‘A’. określony parą statystyk ÈB , Èd takich, że ¹¿ %ÈB Èd ) , 1 dla
każdego À [ Á, nazywamy przedziałem ufności dla Ž%À) na poziomie ufności 1 0 #
%0 * # * 1), gdy:
®¿[ë : ¹¿ -ÈB ‘A’ * Ž%À) * Èd ‘A’. 1 0 #
Przykład14:
Niech A , %AB , … , A1 )4 będzie próbą z populacji o rozkładzie z wartością oczekiwaną b i
skończoną wariancją c d .
Zakładamy, że b [ \ jest parametrem, a c d jest znane.
Mamy:
¹Ø OA 0 i‘A’
Ÿ ¡O N P‘A’
Ÿ ¡ Ø
‹
√1
¹Ø 
1
0 z nierówności Czebyszewa
Nd
ÊA 0 bÊ
1
√& N‚ d
c
N
ÊA 0 bÊ
1
¹Ø 
√& * N‚ 1 0 d
c
N
Strona 26
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
¹Ø 0N *
¹Ø 0
Nc
√&
¹Ø A 0
A0b
1
√& * N‚ 1 0 d
c
N
*A0b *
Nc
√&
Nc
√&
*b*Aw
10# , 10
1
Nd
€10
Nc
√&
Q
1
Nd
€10
N , √#
1
Nd
c
c ¹Ø A 0
*b*Aw
10#
٬
¨ ¨
#&
٬
¨ ¨
#&
√¨¡
√¨¡
àÔ ‘¢’
àr ‘¢’
Zatem %1 0 #) W 100% przedział ufności dla parametru b ma postać:
A 0
c
√#&
; Aw
c
√#&
€
Definicja:
Funkcję R -A, Ž%À). nazywamy funkcją centralną dla Ž%À), gdy rozkład
Konstrukcja przedziałów ufności za pomocą funkcji centralnej.
prawdopodobieństwa R -A, Ž%À). jest absolutnie ciągły i nie zależy od parametru À.
R -A, Ž%À). jest funkcją ciągłą i ściśle monotoniczną względem Ž%À).
Obieramy funkcję centralną R -A, Ž%À).
Konstrukcja:
Wybieramy stałe ^ i $ tak, aby ®¿[ë : ¹¿ -^ * R -A, Ž%À). * $. , 1 0 #
Stałe ^, $ można dobrać na wiele sposobów. Zazwyczaj dobieramy je tak, aby
#
¹¿ %R ^) , ¹%R $) ,
2
Strona 27
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Rozwiązujemy nierówność ^ * R -A, Ž%À). * $ względem Ž%À) otrzymując przedział
-ÈB ‘A’, Èd ‘A’..
Przykład 10 (cd.):
A~a%b, c d ) ; b, c d 0 parametry
ŽB %b, c d ) , b ; Žd %b, c d ) , c d
a) Dla ŽB :
R‘A, b’ ,
A0b
√& ; R‘A, b’~n%& 0 1) 0 przykład 3
š
¹Ø,‹r %R n#) ,
#
2
#
¹Ø,‹r %R * n#) , 1 0
2
#
#
lS %n#) , 1 0
n# , n%1 0 , & 0 1)
2
2
A0b
0n# *
√& * n#
š
n#š
n#š
0
* A 0 b √& *
√&
√&
n#š
n#š
A0
* b √& * A w
√&
√&
%1
zatem 0 #) W 100% przedział ufności dla b:
b) Dla Žd :
%>) zA 0
š
√&
n -1 0
#
š
#
, & 0 1. , A w
n -1 0 , & 0 1.{
2
2
√&
%& 0 1)š d
R‘A, c ’ ,
cd
d
d %&
R‘A, c ’~—
0 1) 0 tw. 3
d
Strona 28
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
#
¹Ø,‹r %R ^) ,
2
#
lS %^) ,
2
%& 0 1)š d
^*
*$
cd
%& 0 1)š d
%& 0 1)š d
* cd *
$
^
#
¹Ø,‹r %R * $) , 1 0
2
#
lS %$) , 1 0
2
#
d
$ , — -1 0 , & 0 1.
2
d
Zatem %1 0 #) W 100% przedział ufności dla c ma postać
#
^ , — - , & 0 1.
2
#
¹Ø,‹r %R $) ,
2
d
%& 0 1)š d
%& 0 1)š d
?
,
@
#
#
— d -1 0 , & 0 1. — d - , & 0 1.
2
2
Przykład 9 (cd.):
A~M%N) N O 0 0 parametr
ŽB %N) , N ; Žd %N) , P 2Q
%& 100)
^) Dla ŽB :
Q
A~†a -N, 1. 0 z centralnego twierdzenia granicznego
szukamy stałych ^ i $:
R‘A, N’ ,
A0N
√&
√N
R‘A, N’~†a%0,1)
¹Q %R tT ) ,
Strona 29
#
2
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
#
¹Q %R * tT ) , 1 0
2
#
lS %°T ) , 1 0
2
#
m%tT ) , 1 0
2
#
tT , t -1 0 .
2
A0N
0tT *
√& * tT
√N
ÊA 0 NÊ
√& * tT /d bo tT O 0
√N
d
‘A 0 N’
& * tTd
N
d
&A 0 2&NA w &Nd 0 NtTd * 0
d
&Nd 0 ‘2&A w tTd ’N w &A * 0
d
d
d
d
) , ‘2&A w tTd ’ 0 4&d A , 4&d A w tTU w 4&AtTd 0 4&d A , tTd ‘4&A w tTd ’ O 0
ÈB ‘A’ ,
2&A w tTd 0 tT •4&A w tTd
2&
,Aw
4# d
# A
A tTd
0 tT V w d W A 0 t -1 0 . V
2&
& 4&
2 &
tTd
# A
A tTd
w tT V w d W A w t -1 0 . V
2&
& 4&
2
&
Zatem %1 0 #)100% przedział ufności dla par N %& 100):
Èd ‘A’ , A w
# A
# A
%>>) ?max XA 0 t -1 0 . V Y , XA w t -1 0 . V Y@
2 &
2 &
Porównajmy %>) i %>>)
AZ
š
√&
AZ
n -1 0
/A
#
, & 0 1.
2
#
t -1 0 .
2
√&
Fakt:
%1 0 #)100% przedział ufności dla parametru N:
1
#
1
#
z — d - , 2&A. , — d 1 0 , 2‘&A w 1’‚{
2&
2
2&
2
Przykład 5 (cd.):
^) A 0 liczba zgłoszeń
Model: A~M%N) N O 0 0 parametr
Funkcja parametryczna
]^ %_) , _
]` %_) , a2_
Estymator punktowy
1,74
0,17
Strona 30
[\% przedział ufności
%1,59; 1,89)
%0,15; 0,20)
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
$) A 0 długość drogi hamowania
Model: a%b, c d ) b, c d 0 parametry
Funkcja parametryczna
]^ ‘b, c` ’ , _
]` ‘b, c` ’ , c`
Estymator punktowy
18,38
0,13
[\% przedział ufności
%18,28; 18,48)
%0,09; 0,20)
Niech A , %AB , … , A1 )4 będzie próbą z populacji o rozkładzie ( [ ¹ , ¾¹¿ : À [ ÁÂ
gdzie À jest parametrem.
6. WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Hipoteza statystyczna:
― hipoteza zerowa:
dY : ¹ [ ºY e º %À [ ÁY e Á)
― hipoteza alternatywna:
dB : ¹ [ ºB e º %À [ ÁB e Á)
ºY f ºB , g %ÁY f ÁB , g)
Definicja:
Testem statystycznym nazywamy statystykę:
¯: » ¾0,1Â
określoną następująco:
1, A [ ù
Ï
¯‘+’ , X ‘A’ , Ù
0, A [ ù
gdzie:
1 oznacza decyzję „odrzucamy hipotezę zerową dY ”
0 oznacza decyzję „nie ma podstaw do odrzucenia dY ”
Typowa postać obszaru krytycznego ù:
ù , ¾A [ »: Ÿ
ȑA’
ç
x
Â
¡ Błąd I rodzaju:
Odrzucamy dY , gdy jest ona prawdziwa
Błąd II rodzaju:
Przyjmujemy dY , gdy jest ona fałszywa
ô.ñuóść
îu.uõîuõJª
uðîuóôðœ
ô.ñuóść
Jñõuõï1.
Definicja:
Funkcję 0: Á “0,1” taką, że 0%À) , ¹¿ %A [ ù) nazywamy funkcją mocy testu.
Uwaga:
Strona 31
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
òñ.ô8. lłę8m = ñó8ï.œm
Îhi
iji
ik
̹¿ %A [ ù
¹¿ ‘A
[¨¡
ù’
0%À) , 1 0 Ÿ¨
¨ ¨
Í
òñ.ô8.
Ì
lłę8m == ñïę8m
Ë
RYSUNEK!!!
, À [ ÁY
, À [ ÁB Ï
Uwaga:
Zmniejszenie prawdopodobieństwa błędu I rodzaju powoduje zwiększenie
prawdopodobieństwa błędu II rodzaju (i na odwrót).
konstrukcja „optymalnego” (jednostajnie najmocniejszego) testu na poziomie istotności
# %0 * # * 1):
1. Ustalamy poziom istotności # i wyznaczamy wszystkie testy, dla których:
%>) À [ ÁY : 0%À) #
2. Wśród testów spełniających %>) wybieramy ten, dla którego:
®¿[ëÔ : 0%À) , max
6.1. Testy jednostajnie najmocniejsze.
Zakładamy, że rozkłady ¹¿ : À [ Á badanych cech A są absolutnie ciągłe z funkcją gęstości
V¿ .
Twierdzenie 14 %Lemat Neymana ― Pearsona):
Niech ù , A [ »: n
nCÔ ‘¢’
Cr ‘¢’
xT będzie obszarem krytycznym dla testu hipotezy zerowej
dY : À [ Á, przeciwko hipotezie alternatywnej dB : À [ Á, przy czym xT O 0 wyznaczamy z
równości:
0 %ÀY ) , #
gdzie # jest zadanym poziomem istotności.
Jeżeli ù > jest dowolnym obszarem krytycznym testu powyższej hipotezy na poziomie
istotności #, to 0 %ÀB ) 0> %ÀB )
czyli test z obszarem krytycznym ù jest najmocniejszy.
V¿ ‘A’
©0 %ÀY ) , ¹¿o ‘A [ ù’ , ¹¿o 
xT ‚ , #© ? ? ?
V¿ ‘A’
Dowód tw. 14:
Mamy:
Strona 32
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
0 %ÀB ) 0 0> %ÀB ) q ¹¿Ô ‘A [ ù’ 0 ¹¿Ô ‘A [ ù > ’ , ¦ V¿Ô ‘+’s+ 0 ¦ V¿Ô ‘+’s+
,¦
f>
,¦
f>
V¿Ô ‘+’s+ w ¦
f>
V¿Ô ‘+’s+ 0 ¦
, xT f¦
f>
V¿Ô ‘+’s+ 0 ¦
> 2
f>
V¿Ô ‘+’s+ ¦
V¿o ‘+’s+ 0 ¦
> 2
>
V¿Ô ‘+’s+ 0 ¦
f>
V¿o ‘+’s+g
> 2
xT V¿o ‘+’s+ 0 ¦
V¿Ô ‘+’s+
> 2
xT V¿o ‘+’s+
ß
ã
Þ
â
, xT Þ¦
V¿o ‘+’s+ w ¦ V¿o ‘+’s+ 0 ¦ V¿o ‘+’s+ w ¦
V¿o ‘+’s+‚â
Ÿ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¡
f>
f>
f>
> f
ޟ¨¨¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¡
â
‘/’8/
n
pr Co
pr> nCo ‘/’8/
Ý
á
%À¨Y¡) 0 Ÿ
%À
, xT ¹¿o ‘+ [ ù’ 0 ¹¿o ‘+ [ ù > ’ , x
0¨> T Û0
٬
¨Y¡)Ü 0
sY Ÿ¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¡
KT
tT
sY
Przykład 15:
Niech A , %AB , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie a%b, c d ), gdzie b jest
parametrem a c d jest znane. Weryfikujemy hipotezę dY : b , bY przeciwko hipotezie
dB : b O bY
Niech dB : b , bB O bY
Zatem:
Q
bY 0 bB * 0
1
1 %+J 0 bB )d
1
d )2 d
%2Mc
VØÔ ‘+’ , × VØÔ %+J ) , ×
exp Ù0
Ú
,
exp
÷0
I%+J 0 bB )d û
d
d
d
2
c
2c
√2Mc
1
JKB
stąd:
1
JKB
1
1
1
VØo ‘+’ , %2Mc d )2 d exp ÷0
Strona 33
1
1
I%+J 0 bY )d û
2c d
JKB
JKB
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
1 1
d
d ∑JKB%+J 0 bB ) v
2c
1
ù , X+ [ \ :
xT Y
1
exp u0 d ∑1JKB%+J 0 bY )d v
2c
1
1
1
1
d
, ÷+ [ \ : exp ÷0 d zI%+J 0 bB ) 0 I%+J 0 bY ){û xT û
2c
exp u0
JKB
1
JKB
1
, ÷+ [ \1 : I%+J 0 bB )d 0 I%xJ 0 bY )d 02c d ln%xT )û
, ÷+ [ \
1
JKB
1
: I +Jd
JKB
JKB
0 2bB &+ w
&bBd
1
0 I +Jd w 2bY &+ 0 &bYd 02c d ln xT û
JKB
, + [ \ : 2&+%bY 0 bB ) w &%bBd 0 bYd ) 02c d ln xT , + [ \1 : 2&+%bY 0 bB ) 02c d ln xT 0 &%bBd 0 bYd )
1
Î
02c d ln xT 0 &%bBd 0 bYd ){
, + [ \1 : + , + [ \1 : + xT )
2&%b
0
b
Ÿ¨¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¨¡
Í
z
Y
B
x
Ë
y
Jw
Ponadto:
0 %bY ) , #
¹Øo ‘+ [ ù’ , #
¹Øo ‘A xT ’ , #
Ponieważ:
Zatem:
¹Øo ‘A * xT ’ , 1 0 #
l¢||o %xT ) , 1 0 #
A|dY ~a bY ,
cd
‚
&
xT 0 bY
m
√&‚ , 1 0 #
c
xT 0 bY
√& , t%1 0 #)
c
c
xT , bY w
t%1 0 #)
√&
c
t%1 0 #)v
M&
Ponieważ obszar krytyczny ù nie zależy od wyboru wartości bB , zatem skonstruowany test jest
jednostajnie najmocniejszy przy hipotezie alternatywnej dB : b O bY
Uwaga:
1. Równoważna postać obszaru krytycznego:
Stąd:
ù , u+ [ \1 : + bY w
Strona 34
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
+ 0 bY
√& t%1 0 #)Ú
c
2. Dla hipotezy alternatywnej dB : b * bY jednostajnie najmocniejszy test ma postać:
+ 0 bY
ù , Ù+ [ \1 :
√& t%#)Ú
c
3. Dla hipotezy alternatywnej dB : b y bY jednostajnie najmocniejszy test nie istnieje!!
ù , Ù+ [ \1 :
6.2. Testy ilorazu wiarygodności
Niech A , %AB , … , A1 )4 będzie próbą z populacji o rozkładzie z rodziny º , ¾¹¿ : À [ Á à \T Â
Ponadto niech rozkłady ¹¿ z rodziny º opisane będą za pomocą funkcji
prawdopodobieństwa (lub gęstości) (¿ .
Testujemy hipotezę dY : À [ ÁY przeciwko hipotezie alternatywnej dB : À [ ÁB
Definicja:
Testem ilorazu wiarygodności nazywamy test z obszarem krytycznym
sup ö‘À, +’
¿[ëÔ
ù , X+ [ »:
xT Y
sup ö‘À, +’
¿[ëo
gdzie xT jest najmniejszą stałą taką, że ®¿[ëo : 0%À) #.
Uwaga:
Jeżeli dY i dB są hipotezami prostymi, to test ilorazu wiarygodności pokrywa się z testem
lematu Neymana – Pearsona, czyli jest najmocniejszy.
Wyznaczając test używamy równoważnego obszaru krytycznego postaci:
sup ö‘À, +’
¿[ëÔ
ù , X+ [ »:
xT Y
sup ö‘À, +’
¿[ëo
Supremum funkcji wiarygodności osiągane jest dla À , ÀM‘+’, gdzie ÀM ‘+’ jest ENW
parametru À.
Przykład16 (Test t – Studenta dla jednej próby):
Niech A , %AB , … , A1 ) będzie próbą z populacji o rozkładzie a%b, c d ),
gdzie b, c d ― parametry. Wyznaczamy test ilorazu wiarygodności hipotezy zerowej
dY : b , bY przeciwko hipotezie alternatywnej dB : b y bY
Mamy:
Á , ¾%b, c d ): b [ \, c d O 0Â
ö‘b, c , +’ , %2M)
d
2
1
1
2
d %c d ) d exp ÷0
Ponadto ENW parametrów b, c mają postać:
d
Strona 35
1
1
I%+J 0 b)d û
2c d
JKB
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
1
1
b̂ ‘+’ , + c} , I%+J 0 b)d ‘przykład 10 %4.2)’
&
d
Zatem
sup ö‘b, c d , +’ ,
%Ø,‹r )[ë
JKB
Î
{
1
1
Ì
1
1
&
2
d
d d
~
d
%2M)
I%+
0
+)
,
‘š
’
exp -0 .
J
d
2
Í 2š~ Ÿ¨
z
JKB¨¨ ¨¨¨¡Ì
Ì
1(~ r
Ë
y
d
¾%b,
):
c b , bY , c O 0Â
ÁY ,
Ì
1
1
%2M)2 d %c} d )2 d exp 0
sup ö‘b, c d +’ , sup ö‘bY , c d , +’
Zatem:
%Ø,‹r )[ë
‹íY
1
&
&
1
 , ln ö‘bY , c , +’ , 0 ln%2M) 0 ln%c d ) 0 d I%+J 0 bY )d
2c
2
2
Zatem:
d
1
&
1
5
,
0
w
I%+J 0 bY )d
2c d 2c U
5c d
JKB
JKB
1
5
, 0 € &c d , I%+J 0 bY )d
5c d
cd ,
sup ö‘bY , c d , +’ ,
‹r
1
1
2
%2M)2 d ‘š~Yd ’ d
1
JKB
1
I%+J 0 bY )d , š~Yd
&
JKB
ß
ã
1
1
1
&
2
Þ 1
â
exp Þ0 d I%+J 0 bY )d â , %2M)2 d ‘š~Yd ’ d exp -0 .
2
2š~Y Ÿ¨¨¨ ¨¨¨¡
JKB
Þ
â
Ý
1(~or
á
2
&
%2M)2 d ‘š~ d ’ d exp -0 .
d
š~Yd d
š~ d
2
1
1
1 Y
1
%x
)
ù , + [ \ :
x
‚
,
X+
[
\
:

‚
x
Y
,
Ù+
[
\
:
Ú , %>)
T
T
T
1
1
2
&
š~ d
š~ d
2
d
d
~
d
%2M) ‘šY ’ exp -0 .
2
1
1
1
1
š~Yd , I%+J 0 bY )d , I%+J 0 + w + 0 bY )d
&
&
1
JKB
1
JKB
1
1
1
1
2
, I%+J 0 +)d w %+ 0 bY ) I%+J 0 +) w %+ 0 bY )d , š~ d w %+ 0 bY )d
&
Ÿ¨¨¨ ¨¨¨¡ &
Ÿ¨¨¨ ¨¨¨¡
JKB
(~ r
JKB
∑
/Ñ 21/
ì
٬
¨ ¨
¨¡
҃
Óo
Strona 36
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
d
d
%+ 0 bY )d
š~ d w %+ 0 bY )d
1
1
1Ú
%>) , Ù+ [ \ :
%x
)
%x
)
Ú
,
Ù+
[
\
:
1
w
T
T
š~ d
š~ d
1
, Ù+ [ \1 :
1
d
d
%+ 0 bY )d
|+ 0 bY | •
1
1
1
%x
)
%x
)
0
1Ú
,
÷+
[
\
:
0 1û , %>>)
T
T
š~ d
š~
1
1
&01
1
&01 d
W
I%+J 0 +)d ,
š
š , I%+J 0 +)d ,
&
&
&01
&
~d
JKB
JKB
Î
{
Ì
Ì
d
|+
|
0
b
Y
%>>) , ÷+ [ \1 :
0 1û , + [ \1 :
√& √& V%& 0 1) %xT )1 0 1€
š
Í
√& 0 1 W š
Ÿ¨¨¨¨¨¨ ¨¨¨¨¨¨¡z
Ì
Ì
x
Ë
Jw
y
|+ 0 bY |
ù , Ù+ [ \1 :
√& xT Ú
š
|+ 0 bY |
0%bY ) #
¹Øo ‘Êȑ+’Ê xT ’ #
d
•%x )1
T
+
Ï 0 bY √ & O
Ÿ¨¨ ¨
š ¨¡
óï1. à
|o
~n%& 0 1)
%przykład 3)
¹Øo ‘Êȑ+’Ê * xT ’ 1 0 #
¹Øo ‘0xT * ȑ+’ * xT ’ 1 0 #
là||o %xT ) 0 là||o %0xT ) 1 0 #
là||o %xT ) 0 1 w là||o %xT ) 1 0 #
2là||o %xT ) 2 0 #
là||o %xT ) 1 0 d
T
xT n%1 0 d , & 0 1)
T
Zatem:
ù , Ù+ [ \1 :
|+ 0 bY |
#
√& n -1 0 , & 0 1.Ú
š
2
Uwaga:
Dla hipotezy alternatywnej dB : b O bY obszar krytyczny ma postać:
+ 0 bY
ù , Ù+ [ \1 :
√& n%1 0 #, & 0 1)Ú
š
Dla hipotezy alternatywnej dB : b * bY obszar krytyczny ma postać:
+ 0 bY
ù , Ù+ [ \1 :
√& n%#, & 0 1)Ú
š
Przykład 5b (cd.):
Na poziomie istotności # , 0,05 zweryfikujmy hipotezę głoszącą, że średnia długość
hamowania dla samochodu wyposażonego w nowy typ układu hamulcowego jest
istotnie krótsza niż w poprzednio stosowanym typie (wynosiła ona wtedy 18,6 [m]).
A 0 długość drogi hamowania
Strona 37
STATYSTYKA
http://totto1.prv.pl
Model: A~a%b, c d ); µ, σd 0 parametry
Formułujemy hipotezy:
d : b , 18,6Ï
Y
dB : b * 18,6
& , 50 ; A , 18,38
Wartość statystyki testowej:
A 0 bY
18,38 0 18,6
W √50 W 04,32
√& ,
š
√0,13
Wartość krytyczna:
n%#, & 0 1) , n%0,05,49) , 0n%0,95,49) , 01,677
Decyzja:
Odrzucamy hipotezę dY .
Przykład 17 Test †` dla wariancji w jednej próbie:
Niech A , %AB , … , A1 ) %& O 1) będzie próbą z populacji o rozkładzie a%b, c d ), gdzie b, c d
― parametry. Weryfikujemy hipotezę zerową dY : c d , cYd
Statystyka testowa: — d ,
%12B)( r
‹or
d
Rozkład statystyki testowej — || Y ~— d %& 0 1)
Obszary krytyczne:
1. dB : c d y cYd
ù , u+ [ \1 : — d ‘+’ — d -1 0
2. dB : c d * cYd
3. dB : c d * cYd
Wykład 11
26.03.2008r.
#
#
, & 0 1. lub — d ‘+’ - , & 0 1.v
2
2
ù , ¾+ [ \1 : — d ‘+’ — d %1 0 #, & 0 1)
ù , + [ \1 : — d ‘+’ — d %#, & 0 1)
Przykład 18 (Test t – Studenta dla dwóch prób):
Niech AB , %ABB , … , AB³ ) ; Ad , %AdB , … , Ad1 ) %_, & O 1) będą niezależnymi próbami z
populacji o rozkładach a%bB , c d ); a%bd , c d ) odpowiednio, gdzie bB , bd , c d 0 parametry
Weryfikujemy hipotezę zerową: dY : bB , bd przeciwko hipotezie alternatywnej
dB : bB y bd
Strona 38