Wst*p do teorii gier

Wstęp do teorii gier
Sherlock Holmes i prof. Moriarty
Sherlock Holmes and prof. Moriarty
• „Sherlock Holmes, pursued by his opponent, Moriarty, leaves
London for Dover. The train stops at a station on the way, and he
alights there rather than travelling on to Dover. He has seen
Moriarty at the railway station, recognizes that he is very clever and
expects that Moriarity will take a faster special train in order to
catch him in Dover. Holmes' anticipations turns out to be correct.
But what if Moriarity had been still more clever, had estimated
Holmes' mental abilities better and had foreseen his actions
accordingly? Then, obviously, he would have travelled to the
intermediate station [Canterbury]. Holmes again would have had to
calculate that, and he himself would have decided to go on to
Dover. Whereupon, Moriarity would again have “reacted”
differently.”, Morgenstern 1935
Sherlock Holmes and prof. Moriarty
M
D(q)
C(1-q)
4,25
12,5
H
D(p)
C(1-p)
16,10
8,15
Holmes: Moriarty wie, że ja chcę jechać do Dover, zatem
muszę wysiąść w Canterbury. Ale Moriarty jest przecież
bardzo przebiegły. Dlatego może on przewidzieć mój ruch i
również pojechać do Canterbury. Zatem, powinienem
pojechać do Dover. Ale Moriarty i to również może
przewidzieć – w końcu jest równie mądry jak ja.
Sherlock Holmes i prof. Moriarty
Czyli jakkolwiek bym nie rozumował, Moriarty jest w
stanie odgadnąć gdzie pojadę i tym samym mnie złapie
Sherlock Holmes i prof. Moriarty
Rozwiązanie dylematu Holmes’a: Jeśli ja sam nie wiem co
zrobię, wówczas Moriarty nie może zgadnąć mojej akcji –
Ignorance is a bliss (Niewiedza jest błogosławieństwem)
Sherlock Holmes i prof. Moriarty
M
D(q)
C(1-q)
D(p)
4,25
12,5
C(1-p)
16,10
8,15
H
Równowaga strategii mieszanych:
• Moriarty wybiera strategię q, przy której Holmes jest obojętny, czy
jechać do Dover czy do Canterbury:
• Holmes wybiera strategię p, przy której Moriarty jest obojętny:
Sherlock Holmes i prof. Moriarty
q
1
BMoriarty(p)
BHolmes(q)
1/4
1
1/5
p
Sherlock Holmes i prof. Moriarty
M
H
D(p)
C(1-p)
1/5D+4/5C
D(q)
(4,25)
(16,10)
(13.6,13)
C(1-q)
(12,5)
(8,15)
(8.8,13)
1/4D+3/4C
(10,10)
(10,13.75)
(10,13)
Doniesienie o przestępstwie, czyli
czemu ludzie w tłumie są obojętni
• 20 osób widzi przestępstwo i decyduje, czy
zadzwonić na policję
– Jeśli ja nie zadzwonię i nikt inny też nie: 0
– Jeśli ja nie zadzwonię, ale ktoś inny tak: 10
– Jeśli ja zadzwonię: 10-5=5
• Jest N równowag Nasha w czystych strategiach
– W każdej równowadze dokładnie jedna osoba dzwoni
– Ale jak zdecydować kto? (norma społeczna)
• Rozpatrzmy równowagę symetryczną (każdy
wybiera tą samą strategię)
Doniesienie o przestępstwie
• Równowagi symetryczne:
• Nikt nie dzwoni na policję – nie może być równowagą
• Każdy dzwoni na policję – nie może być równowagą
• Jedyna opcja – symetryczna równowaga strategii
mieszanych
• Każda osoba musi być obojętna między
zadzwonieniem a nie dzwonieniem:
Gdzie p – prawdopodobieństwo, że ktoś inny zadzwoni
• Każda osoba zadzwoni z prawdopodobieństwem α
= 0.0358
Eliminacja strategii zdominowanych
przez strategię mieszaną
Eliminacja strategii zdominowanych
przez strategię mieszaną
• T jest akcją, która nigdy nie jest najlepszą
odpowiedzią
• Z tego wynika, że istnieje prawdopodobieństwo p
takie, że U1(pM+(1-p)B,i)>U1(T,i), dla każdej akcji
i gracza kolumnowego
Eliminacja strategii zdominowanych
przez strategię mieszaną
Statyczne vs dynamiczne gry
Gra statyczna:
• Gracze poruszają się jednocześnie
• Naturalnie prezentowana w postaci tabelki (forma
standardowa, strategiczna, normalna)
Gra dynamiczna z doskonałą informacją:
• Gracze poruszają się sekwencyjnie
• Są doskonale poinformowani o wcześniejszych ruchach
swoich i swoich przeciwników
• Kolejność ruchów jest sprecyzowana
• Naturalnie prezentowana w postaci drzewa (forma
ekstensywna)
Doskonała a zupełna informacja
• Doskonała vs niedoskonała informacja – Czy
gracze mają wszelką możliwą wiedzę co do
wcześniejszych ruchów (swoich własnych,
przeciwników i natury)?
• Zupełna vs niezupełna informacja – Czy wszystkie
elementy gry (gracze, zbiory akcji i strategii,
wypłaty) są wiedzą wspólną dla graczy?
• 3 ważne słowa:
– strategia – pełny plan akcji dla każdego wierzchołka
decyzyjnego danego gracza
– akcja – co zrobić w danym wierzchołku decyzyjnym
– ruch – akcja rzeczywiście podjęta przez gracza
Szeryf Kane vs Frank Miller
p1(d0)
1-p1(d0)
p2(d1)
1-p2(d1)
p1(d2)
1-p1(d2)
p2(d3)
1-p2(d3)
p1(d4)
1-p1(d4)
p2(d5)
1-p2(d5)
p1(d6)
1-p1(d6)
W
L
L
W
W
L
L
W
W
L
W
L
L
W
Szeryf Kane vs Frank Miller
p1(d0)
1-p2(d1)
p1(d2)
1-p2(d3)
p1(d4)
1-p2(d5)
p1(d6)
Dylemat więźnia – wersja dynamiczna
Dylemat więźnia – wersja dynamiczna
Biedronka i Lidl
• Lidl zastanawia się,
czy wybudować
kolejny
supermarket na
ulicy
Szadkowskiego w
Warszawie blisko
Biedronki
• Jeśli Lidl zbuduje
sklep, Biedronka
zdecyduje, czy
zaangażować się z
wojnę cenową
(attrition war)
Biedronka i Lidl – forma strategiczna
• Dwie równowagi Nasha
– problem selekcji
• Niektóre równowagi
Nasha mogą zawierać
niewiarygodne groźby –
nieracjonalne
zachowanie poza ścieżką
równowagi
Równowaga indukcji wstecznej
• Równowaga indukcji wstecznej likwiduje „złą”
równowagę, która zawiera niewiarygodną
groźbę
Trzy firmy
• Równowaga indukcji wstecznej: (OUT; OUT; AAF)
• Jest jednak dużo więcej równowag Nasha, na przykład
(IN; IN; AFA) – niewiarygodna groźba Tesco.
Subgame Perfect Nash Equilibrium
• Zbiór SPNE jest podzbiorem NE
• SPNE wymaga racjonalności sekwencyjnej
• SPNE jest NE w każdej podgrze
– Podgra to kontynuacja gry po tym, jak parę ruchów już
zostało dokonanych
– Akcja to możliwa decyzja w wierzchołku decyzyjnym
– Strategia to kompletny plan akcji dla wszystkich
możliwych sytuacji w grze (Tesco ma dwie akcje w
każdym ze swoich wierzchołków decyzyjnych, ale aż 8
strategii AAA, AAF, …, FFF)
Gry w formie ekstensywnej (drzewo)
vs gry w formie strategicznej (tabelka)
• Gra w postaci strategicznej składa się z:
– Zbiór graczy
– Dla każdego gracza:
• Zbiór akcji
• Funkcja wypłat dla każdego profilu akcji
• Gry w postaci ekstensywnej zawierają więcej
informacji:
– Kolejność ruchów
– Akcje, które mają do dyspozycji gracze na różnych
etapach gry
– Informacja dostępna dla graczy podczas gry
Drzewo – graf acykliczny
• Wierzchołki:
– Wierzchołki decyzyjne oraz losowe
– Korzeń i liście
•
•
•
•
•
Krawędzie (gałęzie)
Etykiety graczy
Etykiety akcji
Wypłaty
Zbiory informacji
Strategie w grach ekstensywnych
• Strategia czysta gracza jest to plan akcji w
każdym wierzchołku decyzyjnym tego gracza
• W równowadze indukcji wstecznej każdy gracz
gra optymalnie w każdym wierzchołku
decyzyjnym (gra sekwencyjnie racjonalną
strategię)
• Równowaga a wynik gry w równowadze
Dr Strangelove
• Komandor floty powietrznej
Stanów Zjednoczonych
rozkazuje 34 B-52, aby
rozpocząć nuklearny atak na
Związek Radziecki
• Zamyka wszystkie kanały
komunikacji z bazą i
samolotami
• Amerykański prezydent
zaprasza rosyjskiego
ambasadora do war room i
wyjaśnia sytuację
• Decydują się zadzwonić do
rosyjskiego premiera Dimitrija
Dr Strangelove
• Co jest wynikiem jeśli Stany
Zjednoczone nie wiedzą o
istnieniu doomsday device?
• Co jest wynikiem jeśli wiedzą?
• Zobowiązanie (commitment)
musi być obserwowalne
• Co jeśli Związek Sowiecki może
zdezaktywować urządzenie?
• Zobowiązanie musi być
nieodwracalne
Thomas Schelling: The power to constrain an adversary
depends upon the power to bind oneself