wydział elektroniki

WYDZIAŁ ETI PG
Katedra Systemów Elektroniki Morskiej
Laboratorium Układów Elektronicznych
Nieliniowych
Temat nr 1
GENERATORY RELAKSACYJNE
Opracował: Witold Szkudliński
Na podstawie materiałów Marka Jeżewskiego
Gdańsk 2003
2
1. Wstęp
Generator relaksacyjny to układ wyróżniający się silnym dodatnim sprzężeniem
zwrotnym i brakiem w strukturze rezonatora ( obwodu rezonansowego) o dużej dobroci.
W takich warunkach układ na ogół generuje nie przebieg sinusoidalny a przebieg
okresowy, przy czym najczęściej dąży się aby był to przebieg prostokątny lub trójkątny.
Każdy z nich może być zresztą przekształcony w sinusoidalny : prostokątny drogą filtracji
zaś trójkątny drogą filtracji bądź nieliniowego przetwarzania.
2. Generator przebiegu trójkątnego
Przebieg trójkątny wytwarzany jest w procesie cyklicznego ładowania i rozładowania
kondensatora prądem stałym w układzie z dodatnim sprzężeniem zwrotnym,
przedstawionym w sposób funkcjonalny na rys. 1.1. Źródła stałoprądowe o wydajności I1
(ładujące) oraz I2 (rozładowujące) przełączane są napięciem kluczującym us(t)
uzyskiwanym z układu progowego.
Rys. 1.1. Podstawowy układ generacji przebiegu trójkątnego
a) schemat funkcjonalny, b) napięcia na kondensatorze C,
c) napięcie na wyjściu układu progowego
Przypuśćmy, że dla t < t1 klucz S znajdował się w położeniu 2, rozładowując kondensator
C aż do napięcia progowego uc(t1)= -Um. W momencie t = t1 następuje przerzut układu
progowego ze stanu +Uo do stanu -Uo, a tym samym przełączenie klucza S w pozycję 1.
Kondensator C zaczyna być ładowany prądem I1 aż do chwili t2, gdy napięcie na nim
osiągnie wartość +Um, czyli:
3
u2 ( t2 )  U m 
1 t2
 I1dt  U m
C t1
(1.1)
W chwili t2 następuje przerzut układu progowego ze stanu -Uo do stanu +Uo i
przełączenie klucza S w położenie 2. Kondensator C rozładowuje się prądem I2 aż do
chwili t3, w której napięcie uo(t) osiągnie wartość -Um, co zapiszemy:
u c (t 3 )  U m 
1 t3
 I 2 dt  U m
C t2
(1.2)
Dla t > t3 opisany cykl powtarza się.
Oznaczając czas ładowania jako T1 = t3 - t2, otrzymujemy:
T1  2U m
C
I1
(1.3)
T2  2U m
C
I2
(1.4)
Ponieważ okres wytwarzanego przebiegu trójkątnego wynosi T = T1 + T2 więc
częstotliwość tego przebiegu jest określona zależnością:
f 
I1 I 2
1
2U m C I 1  I 2
(1.5)
Jeżeli oba źródła prądowe mają jednakową wydajność (I1 = I2 =I) to wytwarzany przebieg
T

trójkątny jest symetryczny  T1  T2   , a jego częstotliwość określona jest jako:
2

f 
I
4U m C
(1.6)
realizacjach schematu blokowego z rys.1.1 można powiedzieć, że w praktyce nie ma
trudności z uzyskaniem przebiegu trójkątnego o dobrej symetrii i liniowości zboczy
wtedy, kiedy częstotliwość pracy generatora jest niewielka (do kilkuset kHz), natomiast
ze wzrostem częstotliwości następuje wyraźne pogorszenie.
3. Generatory RC z przerzutnikami Schmitt`a
Pokażemy teraz jeszcze dwie możliwości realizacji prostych generatorów przebiegów
okresowych. Obydwa omawiane dalej układy wykorzystują przerzutniki Schmitta
zbudowane przy użyciu wzmacniaczy operacyjnych.
Na rys. 1.2 przedstawiono generator przebiegu prostokątnego, zrealizowany w oparciu o
przerzutnik odwracający.
Napięcie różnicowe między wejściami wzmacniacza operacyjnego wynosi
u a (t )  u c (t )  u p (t )  u c (t )  u o (t )
(1.7)
gdzie

R1
R1  R 2
Załóżmy, że w chwili to napięcie wyjściowe jest w stanie H, tzn. uo(t) = +Uom, co
odpowiada ua(to) < 0, a tym samym u c ( t o )  U om . Kondensator C ładuje się więc
eksponencjalnie przez rezystor R. Napięcie uc(t) na kondensatorze nie osiągnie jednak
4
Rys. 1.2. Generator przebiegu prostokątnego: a) układ, b) przebieg napięć w układzie
nigdy wartości równej +Uom, gdyż już dla u c ( t )  U om napięcie ua(t) zmieni znak.W
chwili t1 następuje więc zmiana stanu napięcia wyjściowego do stanu L, tzn. dla wartości
u o ( t )  U om . Kondensator zaczyna się rozładowywać przez rezystor R aż do chwili t2, w
której napięcie u c ( t )   U om . Następuje wówczas kolejna zmiana stanu napięcia
wyjściowego i cykl się powtarza.
Dla przedziału czasu od 0 do t1 można więc na podstawie rys.1.2b napisać, że
u c ( t )  U om 1  (1   ) e  t / RC
(1.8)


Ponieważ dla t = t1 = T/2 mamy
u c ( t  T / 2)  U om
więc okres generowanego przebiegu prostokątnego wyznaczymy jako
1 
T  2RC ln
1 
lub, po uwzględnieniu podstawienia na 

R 
T  2RC ln 1  2 1 
R2 

(1.9)
(1.10)
(1.11)
Opisany układ nazywany jest często przerzutnikiem (multiwibratorem) astabilnym.
Napięcie uc(t) na kondensatorze C układu z rys. 1.2 składa się odcinków krzywej
eksponencjalnej, gdyż prąd płynący przez rezystor R zmienia swą wartość w czasie.
Aby uzyskać trójkątny kształt napięcia na kondensatorze należy zapewnić jego
ładowanie i rozładowanie prądem o stałej wartości. Można to z dobrą dokładnością
uzyskać stosując aktywny układ całkujący, współpracujący z przerzutnikiem Schmitt`a.
Odpowiedni układ generatora przebiegu trójkątnego przedstawiono na rys. 1.3.
Napięcie up na wejściu nieodwracającego przerzutnika W1 wynosi
u p (t ) 
R1
R2
u1 ( t ) 
u2 (t )
R1  R2
R1  R2
(1.12)
Przy zmianach znaku napięcia up następuje zmiana stanu napięcia wyjściowego
przerzutnika, a więc dla t = t1 można napisać, że
R1
R2
U 1m 
U 2m  0
R1  R2
R1  R2
R
U 2 m  1 U 1m
R2

a stąd
(1.13)
5
Rys.1.3. Generator przebiegu trójkątnego: a) układ, b) przebieg napięć.
Prąd płynący przez kondensator C ma wartość
i (t ) 
1
u1 ( t )
R
(1.14)
a więc napięcie na kondensatorze wynosi:
u c ( t )  u 2 ( t ) 
1t
 i ( t ) dt
C
(1.15)
Na podstawie wzorów (1.14) i (1.15) napięcie wyjściowe u2(t) ma więc postać:
t
1
(1.16)
u2 (t )  u2 (0) 
u1 (t )dt
RC 0
Rozpatrując cykl rozładowania kondensatora (rozładowania, gdyż u2 = -uc) w przedziale
czasu od t  0 do t  t1 
T
, otrzymujemy na podstawie rys. 8.5 i wzoru (8.24), że:
2
U T
(1.17)
U 2 m  U 2 m  1m
RC 2
Po uwzględnieniu wyrażenia (1.13) otrzymujemy wzór na okres wytwarzanych
przebiegów, prostokątnego i trójkątnego:
T  4RC
R1
R2
(1.18)
Układ z rys.1.3 potencjalnie może generować przebiegi o większych częstotliwościach w
porównaniu do generatora z rys.1.1, gdyż na jego pracę nie mają wpływu opóźnienia
wnoszone przez klucz przełączający źródła prądowe.
4. Przetwornik trójkąt- sinus
Symetryczny przebieg trójkątny o zerowej wartości średniej stanowi idealne
„tworzywo” dla uzyskania przebiegu sinusoidalnego, jeżeli tylko potrafimy skonstruować
układ o charakterystyce przejściowej zbliżonej kształtem do odcinka sinusoidy. Jednym z
niekonwencjonalnych zastosowań wzmacniacza różnicowego jest
6
wykorzystanie tego układu w charakterze przetwornika trójkąt-sinus. Przetworniki takie
są często stosowane w tzw. generatorach funkcji wchodzących w skład podstawowego
wyposażenia wielu laboratoriów elektronicznych.
Rys.1.4. Podstawowe konfiguracje wzmacniacza różnicowego
Wzmacniacz różnicowy, o strukturze jak na rys.1.4 złożony z idealnych ( przede
wszystkim bezinercyjnych) elementów, posiada charakterystykę przejściową daną
wzorem
 u
i
i
(1.19)
 tanh 
 a  
I
I
 2UT
RI
u  u1  u2 , i  i1  i2 , a 
gdzie :
2U T
Wykorzystując wzmacniacz w charakterze przetwornika trójkąt-sinus chcemy, aby
aproksymował on jak najdokładniej zależność teoretyczną postaci
i
 u
 sin
;
Um  u  Um
(1.20)
I
2 Um
Powyższe rozważania zostały zilustrowane na rys.1.5
Wyznaczymy teraz warunki, w których funkcja (1.19) w najlepszy sposób aproksymuje
wyrażenie (1.20). Ponieważ funkcja (1.19) ma postać uwikłaną, porównywać będziemy
funkcje odwrotne, a ściślej - współczynniki rozwinięcia tych funkcji w szeregi potęgowe.
Rys. 1.5. Przetwarzanie trójkąt - sinus przy pomocy wzmacniacza różnicowego
7
Funkcja odwrotna do funkcji (1.19) ma postać:
i
 i
(1.21)
u  2U T  a  ar tanh 
 I
I
i
Po rozwinięciu funkcji ar tanh w szereg potęgowy w otoczeniu (i / I )  0 , a następnie
I
uporządkowaniu składowych otrzymujemy
3
5
2U T  i 
 i  2U T  i 
u  2U T (1  a )  

(1.22)
 
   ...
3 I
5 I
I
Dla funkcji (1.20) otrzymujemy wyrażenie analogiczne o nieco innej postaci
3
5
2U m  i  U m  i 
3U m  i 
u
(1.23)
 
  
   ...
  I  3  I 
20  I 
W idealnym przypadku współczynniki przy tych samych potęgach (i / I ) powinny być
równe. Porównanie obu szeregów pozwala stwierdzić, że rygorystyczne zrównanie
współczynników możliwe jest tylko dla 2 pierwszych składników. Próbując uwzględnić
również 3-ci składnik, a to w celu minimalizacji zniekształceń aproksymowanego
przebiegu sinusoidalnego otrzymujemy
U
4

 m   
2U T 3

(1.24)

RI
2 Um
a

 1

2U T  2U T
Na rys. 1.6 przedstawiono wyniki obliczeń komputerowych współczynnika zawartości
harmonicznych, który otrzymano każdorazowo po stabelaryzowaniu zależności
i
w
I
funkcji według wzoru (1.19), a następnie zastosowaniu 13-to punktowej metody
graficznej do wyznaczenia amplitud poszczególnych harmonicznych rozkładu
i
I
szereg Fouriera.
Rys.1.6. Współczynnik zawartości harmonicznych dla różnych wartości parametrów
w
8
Jak pokazują wykresy na rys.1.6, spełnienie warunków (1.24) pozwala na zmniejszenie w
praktyce współczynnika zawartości harmonicznych do poziomu poniżej 1%.
5. Opis badanych układów
Generator przebiegu z przełączanymi źródłami prądowymi
Schemat ideowy układu i widok płyty czołowej kasety pokazano na rys. 1.7 i 1.8.
Tranzystory T1 i T4 pracują jako źródła prądowe (w układzie tzw. zwierciadła prądowego) o
wydajności I regulowanej potencjometrem wieloobrotowym P1, wyposażonym w licznik
obrotów. Tranzystory T3 i T6 zastosowano w celu zapewnienia przepływu prądu jedynie
przez T1 lub T2 bez względu na wartość P1 - tranzystory te pracują jako klucze prądowe z
nasyceniem w warunkach włączenia.
Rezystory nastawne R1 i R2 służą do wyrównania minimalnej i maksymalnej wartości prądu
I. Przełącznik S zrealizowany jest na przekaźniku kontaktronowym. Umożliwia on przerwanie
pętli dodatniego sprzężenia zwrotnego i przeprowadzenie pomiarów statystycznych układu
przez przyłożenie regulowanego źródła napięcia stałego.
Pomiar wartości prądu I odbywa się wówczas poprzez pomiar napięcia V na rezystorze 100
ohm. Kwartet szybkich (slew rate=12V/s typ) wzmacniaczy operacyjnych (układ TL084)
spełnia następujące funkcje: W1 i W2 są wtórnikami napięciowymi o bardzo dużej (1012 ohm
typ.) rezystancji wejściowej, W3 jest nieodwracającym przerzutnikiem Schmitta ze
stabilizacją poziomów napięcia wyjściowego na diodach Zenera - spełnia on rolę układu
R
progowego
(1.15)
U prog  3  U o
R4
Układ W4 jest napięciowym wzmacniaczem nieodwracającym z możliwością regulacji
poziomu napięcia wyjściowego (LEVEL) i zerowania składowej stałej tego napięcia.
Rys.1.7. Schemat ideowy generatora z przełączanymi źródłami prądowymi
9
Rys.1.8. Widok płyt czołowych kaset generatora z przełączanymi źródłami
oraz przetwornika trójkąt-sinus
Przetwornik trójkąt-sinus
Schemat ideowy układu i widok płyty czołowej kasety pokazano na rys. 1.9. Badany
wzmacniacz różnicowy poprzedzony jest stopniem buforowym na wzmacniaczu operacyjnym
Rys.1.9. Schemat ideowy przetwornika trójkąt-sinus
10
w układzie odwracającym. Zabezpiecza on wzmacniacz różnicowy przed zbyt dużymi
napięciami wejściowymi. Sam wzmacniacz różnicowy zbudowany jest na podwójnym
tranzystorze BCY 87, przy czym do realizacji bloku źródeł prądowych (tranzystory T3... T^)
wykorzystano układ scalony typu UL 1111. Na wyjściu wzmacniacza znajduje się przetwornik
prądowo-napięciowy na wzmacniaczu operacyjnym uA 741, który realizuje funkcję:
u o  R p (i1  i2 );
R p  2 kohm
W układzie zapewniono możliwość regulacji i pomiaru prądu źródłowego I, oraz dobór
wartości rezystancji R przy pomocy precyzyjnego potencjometru wieloobrotowego
wyposażonego w licznik obrotów.