a) sortowanie b¥belkowe

Algorytmy sortowania
Przez „sortowanie” rozumiemy porzdkowanie elementów tablicy; takie jej
przekształcenie, aby jej elementy układały si – w zalenoci od potrzeb – rosnco
lub malejco.
a)
sortowanie bbelkowe
W tej metodzie w kadym obiegu ptli wewntrznej przebiegamy przez wszystkie
elementy tablicy porównujc kady z nich z elementem po nim nastpujcym.
Jeeli dane dwa elementy nie zachowuj okrelonego porzdku (np. gdy chcemy
posortowa tablic rosnco, a pierwszy jest wi kszy ni drugi) zamieniamy je
miejscami. Ptla zewntrzna wykonuje si tak długo, dopóki w ptli wewntrznej
wystpi przynajmniej jedna zamiana.
Nazwa pochodzi od faktu, e skrajne elementy okrelonego porzdku (np. w
sortowaniu rosncym element najwi kszy, w malejcym najmniejszy) wdruj
kolejno na koniec tablicy, tak jak pcherzyki powietrza w wodzie unosz si do
góry.
Przykład
Posortuj metod b belkow zbiór piciu elementów: 9 5 6 3 1 w porz dku
rosncym. Funkcja porównuj ca przyjmuje posta :
f p (a, b ) → a ≤ b
Rozpisany pierwszy obieg sortowania:
9 5 6 3 1
Porównujemy pierwszy element z drugim. 9>5,
zatem elementy zamieniamy miejscami.
5 9 6 3 1
Przesuwamy si do nast pnego elementu
i porównujemy go z s siadem. 9>6 – zamieniamy je
miejscami.
5 6 9 3 1
9>3 – zamieniamy miejscami.
5 6 3 9 1
9>1 – zamieniamy miejscami.
5 6 3 1 9
Koniec pierwszego obiegu sortowania. Zbiór nadal
jest nieposortowany.
1 obieg
W celu posortowania całego zbioru nale
y wykona 5 obiegów porzdkujcych, w
których 20 razy porównuje si elementy i dokonuje 9 zamian.
Po wykonaniu pierwszego obiegu maksymalny element zbioru został umieszczony
na samym ko cu, czyli wypłynł jak bbelek powietrza na powierzchni wody. Zatem
w drugim obiegu nie ma sensu sprawdza, czy element ten jest na właciwej pozycji,
gdy
on jest na właciwej pozycji.
Podobnie w obiegu drugim, kolejny najwi kszy element zostaje umieszczony na
swojej docelowej pozycji. W nastpnych obiegach jest identycznie.
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 1
Wniosek: w sortowaniu bbelkowym kolejne obiegi umieszczaj na właciwych
miejscach w porzdkowanym zbiorze kolejne elementy maksymalne.
Algorytm sortowania b belkowego
1. Je li liczba elementów w zbiorze jest mniejsza od 2, koczymy algorytm.
2. Rozpoczynamy od pierwszego elementu.
3. Biecy element porównujemy z elementem bezpo rednio nast pnym
w zbiorze. Je li kolejno elementów jest zła, to zamieniamy je
miejscami.
4. Je li biecy element nie jest przedostatnim elementem zbioru, to
przesuwamy si do kolejnego elementu i wracamy do punktu 3.
5. Je li w trakcie przegldania zbioru dokonali my zamiany miejsc
elementów, wracamy si do punktu 2.
6. Koniec.
Oznaczenia:
D – zbiór elementów do posortowania
n – liczba elementów w zbiorze D
zamiana – zmienna logiczna
okre laj ca, czy w danym
obiegu sortuj cym
zamieniano miejscami
jakie elementy zbioru D
i – indeks przegldanych elementów
fp() – funkcja porównuj ca
x – zmienna pomocnicza,
wykorzystywana przy wymianie
zawarto ci elementów
di – i-ty element zbioru D
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 2
Zamiana zawarto ci dwóch elementów
W algorytmie wykorzystywana jest operacja wymiany dwóch elementów.
Operacj tak wykonujemy zawsze w trzech krokach korzystaj c
z dodatkowego elementu pomocniczego:
temp ← A
A ← B
B ← temp
b) sortowanie przez wstawianie
Algorytm sortowania przez wstawianie w porównaniu do opisanego wczeniej
algorytmu sortowania bbelkowego jest du o szybszy i bardziej efektywny, lecz
oczywi cie bardziej zło ony koncepcyjnie. Zasada działania tego algorytmu
przypomina układanie w rce kart pobieranych kolejno z talii.
Przykład
9 5 6 3 1
3
9 5 6
1
s 3
1
9 5 6
1 obieg
3
9 5 6 1
9 5 6 1 3
Podstawy Informatyki 2
Na
kocu
zbioru
tworzymy
tzw.
list uporz dkowanych elementów. Pocz tkowo lista ta
zawiera tylko jeden, ostatni element zbioru.
Ze zbioru wyci
gamy element le
cy bezpo rednio
przed list uporz dkowan
. Tutaj jest to liczba 3.
Zajmowane przez ni
miejsce w zbiorze staje si
wolne.
Wyci
gni ty
element
porównujemy
kolejno
z elementami listy, a napotkamy jej koniec lub
element wikszy lub równy.
Poniewa element listy jest mniejszy od bie
cego
elementu, przesuwamy go w zbiorze na zwolnione
miejsce. Puste miejsce przemieszcza si wg ł
b listy
uporz dkowanej.
Na li cie uporz dkowanej nie ma wicej elementów
do porównania. Zatem element bie
cy umieszczamy
w zbiorze na wolnym miejscu. Zwró uwag, i
przemie cił si on w stosunku do swojej pozycji
pierwotnej, a na kocu zbioru powstała
dwuelementowa lista uporz dkowana.
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 3
W celu posortowania trzeba wykona 4 obiegi, w których trzeba dokona 10
porówna i 9 przesuni elementów zbioru.
Algorytm sortowania przez wstawianie
1. Je li zbiór zawiera mniej ni dwa elementy, to koczymy.
2. Na kocu zbioru tworzymy list uporz dkowanych elementów.
Pocz tkowo lista ta obejmuje jeden, ostatni element.
3. Sortowanie rozpoczynamy od elementu le
cego w zbiorze tu przed list uporz dkowan
. Element wyci
gamy ze zbioru. Miejsce zajmowane
przez niego staje si wolne.
4. Wyci
gni ty element porównujemy kolejno z elementami na li cie
uporz dkowanej. Je li element listy jest mniejszy (ze wzgldu na
porz dek wyznaczony przez funkcj porównuj c ) od elementu
wyci
gni tego, to przesuwamy go na wolne miejsce. Operacj t powtarzamy dot d, a napotkamy koniec listy lub element wikszy lub
równy elementowi wyci gnitemu.
5. Element wyci
gnity wstawiamy na wolne miejsce. Rozmiar listy
uporz dkowanej ro nie o 1 element.
6. Je li lista uporz dkowana nie obejmuje jeszcze całego zbioru, to
przechodzimy do punktu 2.
7. W przeciwnym wypadku koczymy algorytm.
Oznaczenia:
D – zbiór do posortowania
n – liczba elementów w zbiorze D
i, j – zmienne licznikowe p tli
x
–
zmienna
pomocnicza
przechowuj ca wybrany element
di – i-ty element zbioru D
fp( ) – funkcja porównujca dwa elementy
zbioru D
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 4
c) sortowanie przez wybór
Algorytm
1. Je li zbiór liczy mniej ni dwa elementy, to koczymy.
2. W zbiorze wyszukujemy najmniejszy element.
3. Najmniejszy element zamieniamy miejscami z pierwszym elementem
zbioru.
4. Za nowy zbiór przyjmujemy zbiór bez pierwszego elementu, gdy ten jest
ju na prawidłowym miejscu. Powracamy do punktu 1.
Przykład
Naley posortowa zbiór: 9 5 6 3 1
porównuj ca przyjmie zatem posta :
w porz dku rosn
cym. Funkcja
f p ( a, b) → a ≤ b
9 5 6 3 1
Znajdujemy najmniejszy element w zbiorze. Jest nim liczba
1.
1 5 6 3 9
Element ten wymieniamy z pierwszym elementem zbioru.
Element ten jest ju na swojej wła ciwej pozycji. Za nowy
zbiór przyjmujemy zbiór bez pierwszego elementu
1 5 6 3 9
Znajdujemy najmniejszy element – liczb 3.
1 3 6 5 9
Wymieniamy z pierwszym elementem nowego zbioru.
1 3 6 5 9
Znajdujemy najmniejszy element.
1 3 5 6 9
Wymieniamy go z pierwszym.
1 3 5 6 9
Znajdujemy najmniejszy element.
1 3 5 6 9
Wymieniamy z pierwszym elementem (z samym sob )
1 3 5 6 9
Zbiór jednoelementowy – elementy pierwotnego zbioru
zostały uporz dkowane.
Wyszukanie najmniejszego elementu w zbiorze
Algorytm
1. Tymczasowy najmniejszy (najwi kszy) element przyjmujemy pierwszy
element zbioru.
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 5
2. Je li zbiór ma mniej ni dwa elementy, koczymy.
3. Za pomoc funkcji porównuj cej sprawdzamy kolejno element
tymczasowy z pozostałymi elementami zbioru. Je li w wyniku
porównania elementu tymczasowego z elementem zbioru funkcja
porównuj ca da wynik false (dla elementu najwikszego da wynik true),
to za nowy element najmniejszy (najwikszy) przyjmujemy dany element
zbioru i kontynuujemy przegl danie.
Przykład
Znale
najmniejszy
element w zbiorze 4 7 3 2 5 1 w porz dku rosn
cym.
4
Za tymczasowy element najmniejszy przyjmujemy pierwszy
4 7 3 2 5 1 element zbioru, czyli liczb 4.
4
f (4, 7) = true – przechodzimy do nast pnego elementu
4 7 3 2 5 1 p
4
f (4,3) = false – zast pujemy 4 liczb 3, itd.
4 7 3 2 5 1 p
D – sortowany zbiór
n – liczba elementów w zbiorze D
i, j – zmienne licznikowe p tli
m – przechowuje indeks elementu
minimalnego
fp( ) – funkcja porównuj ca dwa
elementy ze zbioru D
x – zmienna pomocnicza, uywana
przy wymianie zawarto ci elementów
di – i-ty element zbioru D
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 6
d) szybkie sortowanie - quicksort
Sortowanie QuickSort zostało wynalezione przez C.A.R. Hoare'a. Jest to jeden z
najpopularniejszych algorytmów sortowania. Wpłyn ły na to dwie rzeczy. Po
pierwsze jest ono bardzo szybkie (jak sama nazwa wskazuje), a po drugie - proste do
wytłumaczenia i implementacji. W praktyce jest to najszybszy algorytm sortowania
duych tablic danych.
Sortowanie szybkie opiera si na technice "dziel i zwyci aj". Wej ciowa tablica jest
dzielona (po przestawieniu niektórych z jej elementów) na dwie mniejsze. Kady
element pierwszej tablicy nie jest wi kszy ni kady element drugiej tablicy. Liczb ,
według której wykonuje si podziału to najcz ciej pierwszy element tablicy.
Nast pnie dla tych dwóch podtablic wywoływany
jest rekurencyjnie ten sam algorytm.
Wywołania rekurencyjne ko cz si a która z kolejnych podtablic b dzie zawierała
tylko jeden element.
Posortujmy dla przykładu nast pujc tablic :
578140468215269
Liczb, według której b dziemy wykonywa podział b dzie pierwsza liczba danej
tablicy - w tym przypadku jest to 5. Na pocztku przegl damy tablic od lewej strony,
a znajdziemy element wi kszy od naszej liczby. W tym przypadku jest to element
drugi, czyli 7. Nast pnie przegl damy nasz tablic od ko ca a znajdziemy element
mniejszy od naszej liczby (5). Tym elementem jest trzeci od ko ca, czyli liczba 2.
578140468215269
Elementy,
które ju "przeszli my" s pogrubione, ate, na których zatrzymali my si
podkre lone. Tak wi c po lewej stronie zatrzymali my si na 7, a po prawej na 2.
Teraz zamieniamy te elementy ze sob:
528140468215769
Znowu kontynuujemy przegl danie od lewej strony. Zatrzymujemy si na elemencie
trzecim, czyli 8. A w przegl daniu od ko ca zatrzymujemy si na elemencie 5 od
ko ca, czyli 1:
528140468215769
Zamieniamy te elementy ze sob:
521140468285769
Post pujc jak wyej po lewej dochodzimy do elementu nr 8, czyli 6, a po prawej do
6 od ko ca, czyli 2:
521140468285769
Jak zwykle zamieniamy je ze sob:
521140428685769
Idc od lewej zatrzymujemy si na 8, a od prawej na dwójce, poniewa nasze
przegl dania od lewej i od prawej "spotkały si " tak wi c cofamy si w kadym o
jedn pozycj do tyłu i w ten sposób mamy wyznaczony podział:
52114042
8685769
Z tymi podtablicami post pujemy tak, jak z tablic wej ciow. Nie b d tutaj
prezentował poszczególnych kroków sortowania. Elementem dziel cym po lewej jest
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 7
liczba 5, a po prawej liczba 8 (pierwsze w tych tablicach). Po podziale takim jak
przeprowadzonym wyej otrzymujemy:
2211404
5
6675
889
Zauwamy, e dla liczby 5, która jest "sama" nie b dzie ju wywołania
rekurencyjnego. Po nast pnym podziale otrzymamy:
011
2424
5
5
676
8
89
W tym przypadku mógł by problem z podziałem tablicy 6,6,7,5. W tym przypadku
z
lewej strony i prawej doszli my do elementu drugiego, tj. liczby 6 i zatrzymali my si .
Nie mona zamieni elementu z nim samym. W tej sytuacji mona przyj, e
"sporna" liczba b dzie nalee do lewej lub do prawej strony. Przyjłem, e do
prawej.
Po nast pnym podziale otrzymamy:
0
11
2
424
5
5
6
76
8
8
9
Kolejny podział daje nam:
0
1
1
2
2
44
5
5
6
6
7
8
8
9
Po ostatnim podziale nasze dane b d wygl da nast pujco:
0
1
1
2
2
4
4
5
5
6
6
7
8
8
9
Teraz łczymy wszystkie liczby i powstaje nast pujcy ci g:
011224455667889
Liczby s ju posortowane. Oczywi cie wszystkie
podziały s wykonywane
rekurencyjnie. Poprzez zastosowanie rekurencyjno ci algorytm QuickSort ma zwi zły
kod i jest łatwy w implementacji.
Inna odmiana QuickSort
Problem długo ci wykonania wyst puje w przypadku, gdy tablica wej ciowa jest
posortowana odwrotnie, tzn. jej wyrazy stanowi cig nierosncy. Na przykład tak
tablic moe by:
9876543210
Prosz spróbowa przeprowadzi algorytm QuickSort dla tych danych. Wynika to z
tego, e jako element dziel cy dan tablic wybieramy jej pierwszy element. Dla
tablicy powyej takie załoenie powoduje, e za kadym razem granica podziału jest
za pierwsz liczb tej tablicy. Mona oczywi cie wybra inny element jako granic
podziału. W ten spowodujemy, e algorytm szybkiego sortowania dla wyej
przedstawionych danych b dzie działał duo szybciej. Ale który element wybra?
Najlepiej wylosowa. Jak si okazuje to bardzo dobre rozwi zanie, które nie wymaga
duo oblicze . Najbardziej optymalnym rozwi zaniem jest wybranie mediany
(najbardziej " rodkowego" elementu tablicy). Jednake wymaga to duo
dodatkowego czasu. Mona take zmiesza losowanie
liczb z wyborem mediany. Po
prostu
losujemy
z
tablicy
do
podziału
pewn
ilo
liczb
(najlepiej 3) i wyznaczamy
w ród nich median , czyli element rodkowy pod wzgl dem warto ci. Nast pnie
dokonujemy podziału według tego elementu.
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 8
W j zyku C zaimplementowana została funkcja realizujca szybkie sortowanie. Jest
to funkcja qsort(), znajdujca si w module <stdlib.h> i <search.h>..
Oto jej nagłówek:
void qsort(void *base, size_t nelem, size_t width, int (*fcmp)(const void *, const void *));
Jej parametry to (kolejno):
a) zrzutowany adres pierwszego elementu tablicy,
b) liczba elementów tablicy,
c) rozmiar pojedynczego elementu tablicy,
d) funkcja porównujca, która zwraca: 0 – gdy elementy porównywane s równe,
liczb dodatni – gdy pierwszy element jest wi kszy ni drugi, liczb ujemn –
gdy drugi element jest wi kszy ni pierwszy.
Oto przykład ilustrujcy działanie i wywołanie funkcji qsort():
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int sort_function( const void *a, const void *b);
char list[5][4] = { "cat", "car", "cab", "cap", "can" };
int main(void)
{
int x;
qsort((void *)list, 5, sizeof(list[0]), sort_function);
for (x = 0; x < 5; x++)
printf("%s\n", list[x]);
return 0;
}
int sort_function( const void *a, const void *b)
{
return( strcmp((char *)a,(char *)b) );
}
Podstawy Informatyki 2
rok akad. 2003/2004
mgr in . Paweł Myszkowski 9