Matematyka

Matematyka
Cele kształcenia
1. Wiadomości i umiejętności matematyczne niezbędne do sprawnego funkcjonowania w życiu
codziennym.
2. Umiejętność odpowiedzialnego myślenia, tj. wypowiadania sądów pewnych oraz ich
uzasadniania metodą dedukcji, krytycznej analizy informacji oraz obalania rozumowań błędnych
przez podawanie odpowiednich przykładów.
3. Umiejętność operowania najprostszymi obiektami abstrakcyjnymi (liczbami, zmiennymi,
funkcjami, figurami, zdarzeniami), budowania z ich użyciem prostych modeli matematycznych
różnorodnych sytuacji z życia codziennego oraz wykorzystania tych modeli do rozwiązywania
problemów praktycznych.
Szkoła podstawowa, klasy I–III
Treść kształcenia
1. Stosunki przestrzenne i czasowe
1.1. Klasyfikowanie przedmiotów według ustalonej cechy (np. wielkości, kształtu, koloru,
przeznaczenia).
1.2. Porządkowanie przedmiotów według wielkości lub kształtu.
1.3. Opisywanie stosunków przestrzennych – wzajemne położenie, kierunek ruchu, oddalenie.
1.4. Porządkowanie zdarzeń w czasie.
2. Liczenie
2.1. Zapisywanie i odczytywanie liczb.
2.2. Porównywanie liczb w zakresie 1000.
2.3. Użycie znaków =, <, >.
2.4. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb w zakresie do 1000.
2.5. Algorytm dodawania i odejmowania pisemneg.
2.6. Algorytm mnożenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.
2.7. Dzielenie liczb w zakresie tabliczki mnożenia.
2.8. Dzielenie z resztą liczby większej przez mniejszą w zakresie tabliczki mnożenia.
2.9. Sprawdzanie otrzymanego wyniku za pomocą działania przeciwnego.
2.10. Zmiana kolejności składników (czynników) i grupowanie składników (czynników) w celu
ułatwienia obliczeń.
2.11. Kolejność wykonywania działań, użycie nawiasów.
3. Pomiar w sytuacjach praktycznych
3.1. Mierzenie długości (szerokości, wysokości) konkretnych obiektów z użyciem różnych
jednostek (np. stopami, krokami) i różnych miarek (np. linijką, miarką metrową, taśmą
krawiecką).
3.2. Określanie rozmiarów konkretnych przedmiotów i obiektów przez wykonanie odpowiednich
pomiarów i obliczeń. Użycie jednostek: mm, cm, m, km (bez przeliczania jednostek).
3.3. Mierzenie czasu: lata, miesiące, tygodnie, dni, godziny, minuty.
3.4. Obliczenia zegarowe w systemie 12- i 24-godzinnym.
3.5. Odczytywanie i zapisywanie znaków rzymskich zakresie od I do XII; stosowanie ich
w sytuacjach z życia codziennego – kalendarz, zegar.
3.6. Obliczenia pieniężne: złote i grosze; monety i banknoty (do 100 zł włącznie). Zamiana
złotych na grosze i groszy na złote. Wydawanie reszty.
3.7. Ważenie konkretnych przedmiotów; posługiwanie się w sytuacjach praktycznych
jednostkami: g, dag, kg, tona (bez przeliczania jednostek).
3.8. Odmierzanie ilości płynów za pomocą różnych naczyń, w tym naczyń o pojemności 1 litra.
3.9. Mierzenie temperatury: odczytywanie wskazań termometrów (lekarskiego, pokojowego,
zaokiennego).
4. Obliczenia w sytuacjach praktycznych
4.1. Rozwiązywanie (bez użycia literowego symbolu niewiadomej) zadań umieszczonych w
naturalnym dla ucznia kontekście.
4.2. Porównywanie różnicowe i ilorazowe w sytuacjach praktycznych.
5. Podstawowe figury płaskie
5.1. Rozpoznawanie i rysowanie linii prostej, punktu, półprostej, odcinka.
5.2. Rozpoznawanie podstawowych figur geometrycznych: trójkąt, kwadrat, prostokąt, koło.
5.3. Posługiwanie się pojęciami: wierzchołek, bok, kąt.
5.4. Rozpoznawanie i rysowanie na papierze w kratkę kąta prostego.
5.5. Rysowanie na papierze w kratkę trójkątów, kwadratów, prostokątów.
5.6. Obliczanie liczby kwadratów jednostkowych w prostokącie narysowanym na papierze w
kratkę.
Wymagania
1.1. Wskazuje przedmioty tego samego rodzaju, kształtu, koloru.
1.2. Klasyfikuje przedmioty z użyciem określeń: duży–mały, długi–krótki, szeroki–wąski, wysoki–
niski, gruby–cienki.
1.3. Porównuje przedmioty z użyciem określeń: większy–mniejszy, dłuższy–krótszy, szerszy–
węższy, wyższy–niższy, grubszy–cieńszy.
1.4. Określa swoje położenie w stosunku do obiektów lub innych osób.
1.5. Określa położenie jednego obiektu względem drugiego, używając określeń: nad, pod,
wewnątrz, na zewnątrz, przy, za, przed, obok, pomiędzy.
1.6. Określa kierunek ruchu: do przodu, do tyłu, w lewo, w prawo, poziomo, pionowo, w górę, w
dół.
1.7. Ocenia i porównuje odległości stosując określenia: daleko, dalej, blisko, bliżej.
1.8. Określa zależności czasowe z użyciem określeń: długo, dłużej, krótko, krócej, teraz, przedtem,
potem, najpierw, później, dzisiaj, jutro, wczoraj, rano, w południe, wieczorem.
2.1. Nazywa, czyta i zapisuje cyfry.
2.2. Zapisuje cyframi liczby w zakresie 10 000 i odczytuje je.
2.3. Wskazuje w liczbie trzycyfrowej cyfrę jedności, cyfrę dziesiątek i cyfrę setek.
2.4. Zapisuje liczbę trzycyfrową w postaci sumy setek, dziesiątek i jedności.
2.5. Porównuje liczby w zakresie 1000; używa znaków <, =, >.
2.6. Zapisuje i porządkuje chronologicznie daty.
2.7. Dodaje i odejmuje w pamięci w zakresie do 100 (np. 15 + 18; 40 + 26, 30 – 8, 78 – 20).
2.8. Dodaje pisemnie w zakresie do 1000.
2.9. Odejmuje pisemnie w zakresie do 1000 bez przekraczania progu dziesiątkowego.
2.10. Mnoży pisemnie przez liczbę jednocyfrową w zakresie do 1000.
2.11. Mnoży i dzieli w zakresie do 100, z pomocą tabliczki mnożenia.
2
2.12. Wykonuje dzielenie z resztą liczby większej przez mniejszą z pomocą tabliczki mnożenia, w
zakresie do 100.
2.13. Sprawdza wykonane odejmowanie i dzielenie za pomocą działania odwrotnego.
2.14. Potrafi zmienić kolejność składników (czynników) lub grupować składniki (czynniki) w celu
uproszczenia obliczeń.
2.15. Stosuje zasady dotyczące kolejności wykonywania działań.
3.1. Mierzy wielkość (długość, szerokość, wysokość, grubość) obiektów, figur za pomocą różnych
miar i jednostek.
3.2. Oblicza obwód obiektów, figur.
3.3. Posługuje się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach długości (np. 1 m 15 cm + 40
cm + 2 m 65 cm).
3.4. Posługuje się nazwami dni tygodnia i miesięcy oraz zna ich kolejność.
3.5. Zapisuje i odczytuje czas zegarowy w systemie 12- i 24-godzinnym.
3.6. Wykonuje proste obliczenia kalendarzowe i zegarowe w zakresie pełnych godzin.
3.7. Posługuje się pojęciami: pół godziny, kwadrans.
3.8. Zna monety i banknoty (do 100 zł włącznie). Wykonuje proste obliczenia pieniężne. Posługuje
się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach pieniężnych (np. 3 zł 40 gr + 4 zł 80 gr).
3.9. Posługuje się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach wagi (np. 3 kg 20 dag – 2 kg 90
dag).
3.10. Używa pojęcia: pół kilograma.
3.11. Posługuje się jednostką pojemności: 1 litr.
3.12. Używa pojęć: pół i ćwierć litra.
3.13. Odczytuje wskazania termometrów.
3.14. Posługuje się jednostką temperatury: 1 stopień C.
4.1. Rozwiązuje łatwe zadania umieszczone w naturalnym kontekście, wymagające wykonania co
najwyżej dwóch działań.
4.2. Rozwiązuje zadania dotyczące zależności między ilością, ceną i wartością.
4.3. Rozwiązuje zadania umieszczone w naturalnym kontekście, w których występuje porównanie
różnicowe lub ilorazowe.
5.1. Rozpoznaje, kreśli i nazywa proste, półproste i odcinki.
5.2. Mierzy długość odcinka.
5.3. Rozpoznaje i nazywa podstawowe figury geometryczne: trójkąt, kwadrat, prostokąt, koło;
wskazuje podobieństwa i różnice między nimi.
5.4. Mierzy długości boków i oblicza obwód trójkąta, prostokąta.
5.5. Rysuje na papierze w kratkę figury trójkąty, kwadraty, prostokąty.
5.6. Rozpoznaje i nazywa kąt prosty w figurach geometrycznych.
5.7. Oblicza pole prostokąta narysowanego na papierze w kratkę.
Szkoła podstawowa, klasy IV-VI
Treść kształcenia
1. Liczby całkowite
1.1. Liczby całkowite dodatnie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym.
1.2. Zapis liczb w systemie rzymskim.
1.3. Podzielność liczb całkowitych dodatnich.
1.4. Cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 10, 100.
1.5. Liczby pierwsze.
1.6. Liczby całkowite ujemne.
3
1.7. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (w zakresie wykonalności) liczb
całkowitych.
1.8. Potęga liczby o wykładniku całkowitym dodatnim.
2. Ułamki zwykłe
2.1. Ułamek jako część całości: dzielenie całości na równe części (zginanie, składanie,
rozcinanie); opisywanie otrzymanych części ułamkami 1/2, 1/3, 1/4, 1/8; składanie całości z
równych części.
2.2. Ułamek jako iloraz liczb całkowitych. Skracanie i rozszerzanie ułamków.
2.3. Porównywanie ułamków.
2.4. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
2.5. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.
2.6. Obliczanie ułamka z danej liczby.
2.7. Obliczanie liczby ze znajomości jej ułamka.
3. Ułamki dziesiętne
3.1. Zapis dziesiętny liczby. Przedstawienie skończonego ułamka dziesiętnego w postaci sumy
wielokrotności potęg liczby 10.
3.2. Ułamki dziesiętne na osi liczbowej.
3.3. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych.
3.4. Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych.
4. Wyrażenia algebraiczne
4.1. Oznaczenia literowe wielkości liczbowych.
4.2. Wielokrotności zmiennej i sumy algebraiczne.
4.3. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych z jedną zmienną.
5. Równania i nierówności
5.1. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
5.2. Zadania dotyczące sytuacji praktycznych prowadzące do równań pierwszego stopnia z jedną
niewiadomą.
5.3. Nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
6. Elementy statystyki opisowej
6.1. Porządkowanie i graficzne przedstawianie danych.
6.2. Gromadzenie danych z prostych doświadczeń, także losowych.
6.3. Interpretowanie danych.
7. Figury płaskie
7.1. Proste i odcinki na płaszczyźnie.
7.2. Proste prostopadłe i równoległe.
7.3. Mierzenie kątów.
7.4. Porównywanie kątów.
7.5. Kąty przy prostych równoległych, przeciętych trzecią prostą.
7.6. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta.
7.7. Trójkąty i ich własności.
7.8. Klasyfikacja i konstruowanie trójkątów.
7.9. Twierdzenie o sumie kątów w trójkącie.
7.10. Czworokąty i ich własności: prostokąty, równoległoboki, trapezy.
7.11. Obwód i pole wielokątów.
7.12. Koło i okrąg.
4
7.13. Wzajemne położenie prostej i okręgu.
7.14. Skala i plan.
8. Układ współrzędnych na płaszczyźnie
8.1. Prostokątny układ współrzędnych.
8.2. Współrzędne punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej.
9. Bryły
9.1. Graniastosłupy proste i ostrosłupy.
9.2. Siatki graniastosłupów i ostrosłupów.
9.3. Pole powierzchni i objętość prostopadłościanów.
9.4. Walce, stożki i kule.
Wzory wymagań
1.1. Zapisuje i odczytuje liczby całkowite (co najwyżej dziesięciocyfrowe) w dziesiątkowym
systemie pozycyjnym.
1.2. Zapisuje i odczytuje liczby w systemie rzymskim (w zakresie do 3000).
1.3. Zapisuje w systemie dziesiątkowym liczby zapisane w systemie rzymskim (w zakresie do
3000).
1.4. Znajduje dzielniki i wielokrotności danej liczby.
1.5. Znajduje wspólne dzielniki i wspólne wielokrotności danych liczb.
1.6. Wykorzystuje cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 10, 100.
1.7. Potrafi sprawdzić, czy dana liczba (w zakresie do 100) jest pierwsza.
1.8. Zaznacza i odczytuje liczby całkowite na praktycznym modelu osi liczbowej (osi czasu,
termometrze).
1.9. Wykonuje w pamięci działania typu 120 + 40; 55 – 20; (–13) ·2.
1.10. Wykonuje pisemnie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb całkowitych
(dzielenie przez liczby co najwyżej dwucyfrowe).
1.11. Stosuje w obliczeniach własności działań oraz zachowuje właściwą kolejność działań.
1.12. Oblicza potęgi liczb o wykładniku całkowitym dodatnim.
2.1. Interpretuje ułamek zwykły jako część całości.
2.2. Skraca i rozszerza ułamki.
2.3. Porównuje ułamki. Zaznacza ułamki na osi liczbowej.
2.4. Dodaje i odejmuje ułamki zwykłe o jednakowych i różnych mianownikach.
2.5. Mnoży i dzieli ułamki zwykłe przez liczby całkowite oraz ułamki.
2.5. Oblicza wskazany ułamek danej liczby.
2.7. Znajduje liczbę na podstawie danego jej ułamka.
2.8. Stosuje te umiejętności w sytuacjach praktycznych.
3.1. Zapisuje w postaci dziesiętnej liczbę odczytaną na osi liczbowej.
3.2. Zapisuje ułamek dziesiętny w postaci sumy wielokrotności potęg 10.
3.3. Zapisuje wyrażenia dwumianowane w postaci dziesiętnej (np. 3 m 24 cm = 3,24 m).
3.4. Dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki dziesiętne (w szczególności mnoży i dzieli przez 10,
100, 1000).
3.5. Wykorzystuje kalkulator w obliczeniach dotyczących sytuacji praktycznych.
3.6. Zaokrągla ułamek dziesiętny do danego miejsca po przecinku.
4.1. Posługuje się oznaczeniami literowymi w zapisie wzorów (np. na pole prostokąta).
4.2. Zapisuje i odczytuje wyrażenia postaci x – 2; 3x; 2x + 4.
4.3. Oblicza wartość liczbową wyrażeń algebraicznych takiej postaci.
5.1. Rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, postaci x – 6 = 10; –3x = 12;
0,5 + x = 12.
5
5.2. Rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą postaci 10 + x < 2;
4x > 9.
5.3. Rozwiązuje zadania praktyczne za pomocą równań lub nierówności powyższych typów.
6.1. Odczytuje i interpretuje dane przedstawione w tabeli, na wykresie, na diagramie słupkowym.
6.2. Porządkuje i przedstawia dane w tabeli lub za pomocą diagramu słupkowego.
7.1. Mierzy odcinki; posługuje się jednostkami długości w obliczeniach praktycznych.
7.2. Rozpoznaje oraz kreśli proste równoległe i prostopadłe.
7.3. Mierzy kąty. Posługuje się w sytuacjach praktycznych miarą stopniową kąta.
7.4. Odkłada i porównuje kąty. Rozpoznaje kąt ostry, prosty, rozwarty, półpełny.
7.5. Wykorzystuje własności kątów wierzchołkowych i przyległych.
7.6. Konstruuje symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta.
7.7. Konstruuje kąty o mierze 60o, 30o, 45o.
7.8. Zna warunek istnienia trójkąta o zadanych bokach (nierówność trójkąta).
7.9. Konstruuje trójkąt dla danych bbb, bkb oraz kbk.
7.10 Klasyfikuje trójkąty ze względu na boki (równoboczne, równoramienne, różnoboczne) i kąty
(ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne).
7.11. Zna i umie stosować twierdzenie o sumie kątów w trójkącie.
7.12. Rozpoznaje i nazywa wierzchołki, boki, kąty, przekątne czworokątów.
7.13. Klasyfikuje czworokąty ze względu na wzajemne położenie boków (trapezy, równoległoboki,
prostokąty).
7.14. Oblicza obwody wielokątów.
7.15. Konstruuje wysokości w trójkątach i czworokątach.
7.16. Oblicza pole trójkątów, równoległoboków i trapezów; stosuje te obliczenia w sytuacjach
praktycznych.
7.17. Posługuje się jednostkami miary pola (również ar, hektar), zamienia jednostki miary pola.
7.18. Odróżnia okrąg od koła, zna ich elementy: promień, średnicę, środek, cięciwę.
7.19. Określa wzajemne położenie prostej i okręgu.
7.20. Posługuje się planem, mapą i schematem w sytuacjach praktycznych.
7.21. Odczytuje i interpretuje informacje przedstawione na planie i mapie.
7.22. Rysuje proste figury geometryczne w skali.
7.23. Określa rzeczywiste wymiary figury narysowanej w skali.
8.1. Wyznacza współrzędne punktu płaszczyzny kartezjańskiej.
8.2. Zaznacza na płaszczyźnie kartezjańskiej punkt o danych współrzędnych całkowitych.
9.1. Rozpoznaje i szkicuje graniastosłup prosty oraz ostrosłup.
9.2. Wskazuje wierzchołki, ściany i krawędzie graniastosłupów i ostrosłupów.
9.3. Rozpoznaje i rysuje siatkę graniastosłupa i ostrosłupa oraz wykorzystuje ją w zastosowaniach
praktycznych (np. do sporządzenia modelu, obliczenia pola powierzchni bryły).
9.4. Oblicza pole powierzchni i objętość prostopadłościanu.
9.5. Posługuje się jednostkami objętości i pojemności; zamienia jednostki objętości i pojemności.
9.6. Rozpoznaje i szkicuje walce, stożki i kule.
9.7. Wskazuje elementy kuli: środek, promień i średnicę.
Gimnazjum
Treść kształcenia
1. Liczby wymierne
1.1. Pojęcie liczby wymiernej.
1.2. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb wymiernych.
1.3. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych.
6
1.4. Ułamki dziesiętne okresowe.
2. Potęgi o wykładniku całkowitym
2.1 Pojęcie potęgi o wykładniku całkowitym (także ujemnym).
2.2. Własności potęg o wykładniku całkowitym:
2.2.1. mnożenie i dzielenie potęg o jednakowych podstawach;
2.2.2. mnożenie i dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach;
2.2.3. potęgowanie potęg.
2.3. Zapis liczb w notacji wykładniczej, tzn. w postaci a ⋅ 10 k , gdzie k jest liczbą całkowitą oraz
1 ≤ a < 10.
3. Pierwiastki
3.1. Pojęcie pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej. Pojęcie pierwiastka sześciennego z
dowolnej liczby.
3.2. Pojęcie pierwiastka stopnia n.
3.3. Własności pierwiastkowania:
3.3.1. mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia,
3.3.2. podnoszenie pierwiastka do potęgi równej stopniowi pierwiastka.
3.4. Przykłady liczb niewymiernych.
3.5. Szacowanie wyników działań, w których występują liczby niewymierne.
4. Procenty
4.1. Obliczenia procentowe.
4.2. Praktyczne zastosowania procentów.
4.3. Promile.
5. Wyrażenia algebraiczne
5.1. Budowanie wyrażeń algebraicznych.
5.2. Podstawianie liczb do wyrażeń algebraicznych i obliczanie wartości wyrażeń.
5.3. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wyrażeń algebraicznych.
5.4. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.
6. Równania i nierówności
6.1. Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
6.2. Zapisywanie i rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi.
6.3. Zastosowanie równań stopnia pierwszego z jedną niewiadomą oraz układów równań
pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwiązywania zadań osadzonych w
kontekście praktycznym.
7. Statystyka opisowa
7.1. Zbieranie, porządkowanie i przedstawianie danych (w tabeli, za pomocą diagramów).
8. Wykresy funkcji
8.1. Funkcja liczbowa i jej wykres.
8.2. Przedstawianie danych za pomocą wykresu funkcji w układzie współrzędnych.
8.3. Przykłady zależności funkcyjnych występujących w przyrodzie, gospodarce i życiu
codziennym.
8.4. Proporcjonalność prosta i jej przedstawienie wykresem.
8.5. Odczytywanie informacji z wykresu funkcji opisującej sytuację praktyczną.
7
9. Elementy teorii prawdopodobieństwa
9.1 Przykłady prostych doświadczeń losowych (np. rzut kostką, rzut monetą, wyciąganie losu).
10. Figury płaskie
10.1. Długość okręgu. Pole koła.
10.2. Okrąg opisany na trójkącie. Okrąg wpisany w trójkąt.
10.3. Kąt wpisany w okrąg. Kąt środkowy.
10.4. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowania.
10.5. Cechy przystawania trójkątów.
10.6. Oś symetrii figury. Środek symetrii figury.
11. Bryły
11.1 Graniastosłupy. Ostrosłupy. Bryły obrotowe.
11.2. Pola powierzchni i objętości brył.
Wzory wymagań
1.1. Oblicza wartości niezbyt skomplikowanych wyrażeń arytmetycznych, w których występują
liczby wymierne.
1.2. Przedstawia ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego (skończonego lub okresowego).
2.1. Oblicza potęgę liczby wymiernej o wykładniku całkowitym.
2.2. Stosuje w obliczeniach własności potęgowania (dla wykładników całkowitych)
2.3. Odczytuje i zapisuje liczby w notacji wykładniczej.
2.4. Używa notacji wykładniczej do szacowania i porównywania liczb.
3.1. Stosuje w obliczeniach własności pierwiastkowania:
3.1.1. mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia,
3.1.2. podnoszenie pierwiastka do potęgi równej stopniowi pierwiastka.
3.2. Wyłącza czynnik przed znak pierwiastka: (np.
75 = 5
3,
4
2
=
,
9
3
3
− 16 = − 2 3 2
).
3.3. Szacuje niektóre liczby niewymierne (np. 2 , − 3 ) i wyniki działań na takich liczbach (np.
2 − 3 ).
4.1. Oblicza:
4.1.1. procent z danej liczby;
4.1.2. liczbę na podstawie jej procentu;
4.1.3. jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
4.2. Wykorzystuje powyższe rodzaje obliczeń do rozwiązywania prostych zadań praktycznych (np.
obniżka cen, stopy metali, roztwory).
5.1. Buduje proste wyrażenia algebraiczne (także opisujące zależności wyrażone w zadaniach
umieszczonych w kontekście praktycznym).
5.2. Oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych.
5.3. Dodaje i odejmuje sumy algebraiczne.
5.4. Mnoży sumy algebraiczne przez jednomian.
5.5. Wyłącza przed nawias liczbę lub jednomian.
5.6. Przekształca proste wzory (typu L = 2a + 2b, V = 1 abc ).
3
6.1. Rozwiązuje równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą (w tym także równania zapisane
w postaci proporcji).
8
6.2. Rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym, prowadzące do równania linowego
z jedną niewiadomą.
6.3. Rozwiązuje układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (metodą podstawiania i
przeciwnych współczynników).
6.4. Rozwiązuje zadania osadzone w praktycznym kontekście, prowadzące do układu dwóch
równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
7.1. Porządkuje dane statystyczne i przedstawia je w tabeli lub za pomocą diagramów słupkowych.
7.2. Odczytuje i interpretuje dane statystyczne przedstawione w tabeli lub za pomocą diagramów
różnych typów.
7.3. Łączy i interpretuje informacje pochodzące z kilku źródeł.
8.1. Sporządza wykres funkcji zadanej tabelką.
8.2. Buduje tabelkę dla funkcji opisującej sytuację praktyczną i szkicuje jej wykres.
8.3. Reprezentuje wykresem proporcjonalność prostą w sytuacjach praktycznych.
8.4. Odczytuje z wykresu wartość funkcji dla danego argumentu.
8.5. Odczytuje z wykresu wartość najmniejszą i największą.
8.6. Wskazuje argumenty, dla których przyjmowana jest dana wartość; wskazuje miejsca zerowe
funkcji.
8.7. Wskazuje argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne).
9.1. Ocenia, które z danych (prostych) zdarzeń losowych jest bardziej prawdopodobne.
10.1. Oblicza długość okręgu i pole koła.
10.2. Stosuje własności okręgu wpisanego w trójkąt oraz okręgu opisanego na trójkącie.
10.3. Konstruuje okrąg opisany na trójkącie oraz okrąg wpisany w trójkąt.
10.4. Rozwiązuje proste zadania dotyczące kątów środkowych i wpisanych w okrąg oraz związków
między nimi.
10.5. Stosuje twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości odcinków.
10.6. Oblicza obwody i pola figur (również z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa).
10.7. Rozpoznaje trójkąty przystające.
10.8. Stosuje przystawanie trójkątów w prostych zadaniach.
10.9. Rozpoznaje figury osiowo- i środkowo-symetryczne.
10.10. Znajduje osie symetrii lub środek symetrii takich figur.
11.1. Rozpoznaje i rysuje graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce i stożki.
11.2. Wskazuje niektóre odcinki (krawędzie, wysokości, przekątne) w graniastosłupach prostych i
ostrosłupach prawidłowych.
11.3. Oblicza długości niektórych odcinków (krawędzi, wysokości lub przekątnych) w
graniastosłupach prostych i w ostrosłupach (w tym również z zastosowaniem twierdzenia
Pitagorasa).
11.4. Oblicza pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych, ostrosłupów prawidłowych,
walców, stożków i kul.
Szkoła średnia kończąca się maturą
Treść kształcenia
Treść i wymagania w zakresie podstawowym są podzbiorem zakresu rozszerzonego. Zagadnienia
poprzedzone gwiazdką należą do zakresu rozszerzonego.
1. Liczby rzeczywiste
1.1. *Liczby naturalne. Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
1.2. *Liczby całkowite. Algorytm Euklidesa.
1.3. Liczby wymierne. Rozwinięcia dziesiętne.
9
1.4. Liczby niewymierne.
1.5. Oś liczbowa. Przedziały osi liczbowej.
1.6. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej.
1.7. Pojęcie błędu przybliżenia. Szacowanie wartości liczbowych.
1.8. Pierwiastki (w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych).
1.9. Potęgi liczb nieujemnych o wykładniku wymiernym.
1.10. Logarytmy.
2. Wyrażenia algebraiczne
2.1. Wzory skróconego mnożenia: (a ± b)2; a2 – b2.
2.2. Wzór (a – 1)(1 + a +...+ an-1) = an – 1.
2.3. *Dwumian Newtona
2.4. Wielomiany jednej zmiennej.
2.5. Przekształcanie wielomianów.
2.6. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów.
2.7. *Dzielenie wielomianów z resztą.
2.8. *Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a.
2.9. Wyrażenia wymierne jednej zmiennej.
2.10. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych.
3. Równania i nierówności
3.1. Równania kwadratowe z jedną niewiadomą.
3.2. Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.
3.3. Proste równania i nierówności wielomianowe.
3.4. *Twierdzenie Bézouta o postaci wymiernych pierwiastków wielomianu o współczynnikach
całkowitych.
3.5. Proste równania i nierówności wymierne.
4. Funkcje
4.1. Odczytywanie z wykresu własności funkcji liczbowych.
4.2. Przekształcenia wykresów funkcji liczbowych.
4.3. Funkcja liniowa.
4.4. Funkcja kwadratowa.
4.5. *Wzory Viete’a.
4.6. Funkcja potęgowa.
4.7. Funkcje wielomianowe.
4.8. *Potęga liczby dodatniej o wykładniku rzeczywistym.
4.9. Funkcja wykładnicza.
4.10. *Funkcja logarytmiczna.
5. Ciągi
5.1. Pojęcie ciągu.
5.2. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
5.3. *Szereg geometryczny.
5.4. *Granica ciągu.
6. Funkcje trygonometryczne
6.1. Funkcje sinus, cosinus i tangens kąta w trójkącie prostokątnym.
6.2. Związki między funkcjami trygonometrycznymi.
6.3. *Miara łukowa kąta.
6.4. *Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego.
6.5. *Proste równania i nierówności trygonometryczne.
10
7. *Ciągłość i różniczkowalność
7.1. *Granica funkcji w punkcie (wg Heinego). Pojęcie funkcji ciągłej.
7.2. *Pochodna funkcji.
7.3. *Wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji
wielomianowej.
7.4. *Zastosowania pochodnej do badania funkcji.
7.5. *Związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji w przedziale.
7.6. *Warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum.
8. Elementy statystyki opisowej
8.1. Parametry rozkładów (z próby): średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie
standardowe.
9. Teoria prawdopodobieństwa
9.1. Pojęcie prawdopodobieństwa w skończonej przestrzeni probabilistycznej.
9.2. *Elementy kombinatoryki.
10. Planimetria
10.1. Czworokąty wpisane w koło i czworokąty opisane na kole.
10.2. Twierdzenie Talesa.
10.3. Cechy podobieństwa trójkątów.
10.4. Figury podobne.
10.5. Zastosowania trygonometrii w planimetrii.
10.6. *Twierdzenie sinusów.
10.7. *Twierdzenie cosinusów.
11. Planimetria w układzie współrzędnych
11.1. Równanie prostej na płaszczyźnie.
11.2. *Opis półpłaszczyzny nierównością liniową.
11.3. Odległość punktów we współrzędnych.
11.4. Równanie okręgu.
11.5. Wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej.
11.6. Dodawanie wektorów: [a1, a2] ± [b1, b2]= [a1 ± b1, a2 ± b2] i mnożenie wektora przez
liczbę: α[a1, a2] = [αa1, αa2].
11.7. Przykłady izometrii płaszczyzny:
11.7.1. przesunięcie równoległe,
11.7.2. symetrie osiowe i środkowe.
11.8. *Przykłady podobieństw: jednokładność.
12. Stereometria
12.1. Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach.
12.2. Równoległość i prostopadłość w przestrzeni.
12.3. Zastosowania trygonometrii w stereometrii.
Wzory wymagań
1.1. *Stosuje twierdzenie o rozkładzie oraz algorytm Euklidesa.
1.2. Wykonuje działania na liczbach wymiernych w sytuacjach praktycznych (obliczenia
procentowe związane z kredytami, lokatami, rabatami itp.)
1.3. Zamienia ułamki dziesiętne (skończone lub nieskończone okresowe) na ułamki zwykłe i na
odwrót.
11
1.4. Podaje przykłady liczb niewymiernych.
1.5. *Dowodzi niewymierność niektórych liczb (np. 2 ).
1.6. Wyznacza wartość bezwzględną liczby i interpretuje ją na osi liczbowej.
1.7. Opisuje nierównościami przedziały liczbowe.
1.8. Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną typu |x – b| < c.
1.9. *Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną typu |ax + b| < c.
1.10. Porównuje, przybliża i szacuje wartości liczbowe.
1.11. Przekształca wyrażenia w których występuje pierwiastek kwadratowy (usuwa niewymierność
z mianownika).
1.12. Wykonuje działania na potęgach o wykładnikach wymiernych.
1.13. Oblicza logarytmy liczb, stosuje do obliczeń podstawowe własności logarytmów.
1.14. *Potrafi uzasadnić podstawowe własności logarytmów.
2.1. Stosuje wzory skróconego mnożenia do przekształceń algebraicznych i do rozwiązywania
równań kwadratowych zupełnych i niezupełnych.
2.2. *Stosuje wzory skróconego mnożenia do przekształceń wyrażeń algebraicznych.
2.3. *Stosuje dwumian Newtona w wyrażeniach algebraicznych.
2.4. Rozkłada wielomian na czynniki przez wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
grupowanie wyrazów, stosowanie wzorów skróconego mnożenia.
2.5. Dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany.
2.6. *Dzieli wielomiany, bada podzielność wielomianów.
2.7. Określa dziedzinę wyrażenia wymiernego.
2.8. Oblicza wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej.
2.9. Dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.
2.10. Skraca wyrażenia wymierne.
3.1. Rozwiązuje równania kwadratowe.
3.2. Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do równań
i nierówności kwadratowych.
3.3. *Rozwiązuje równanie kwadratowe z parametrem.
3.4. Rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe metodą rozkładu na czynniki.
3.5. *Stosuje twierdzenie Bézouta do znajdowania wymiernych pierwiastków wielomianu
o współczynnikach całkowitych.
3.6. Rozwiązuje proste równania i nierówności wymierne.
3.7. Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do prostych równań
i nierówności wymiernych.
4.1. Odczytuje z wykresu funkcji:
4.1.1. dziedzinę i zbiór wartości,
4.1.2. miejsca zerowe,
4.1.3. przedziały w których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak.
4.2. Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) potrafi naszkicować wykresy funkcji y = f (x + a),
y = f (x) + a.
4.3. * Potrafi naszkicować wykresy y = cf (x), y = f (dx), |f (x)|.
4.4. *Potrafi naszkicować wykres będący efektem wykonania kilku operacji, np. |sin(3x + 2)|.
4.5. Sporządza wykresy funkcji liniowych.
4.6. Wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie jej własności.
4.7. Zna interpretację współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego wzoru funkcji liniowej.
4.8. Sporządza wykresy funkcji kwadratowych.
4.9. Wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
4.10. Wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale.
4.11. Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do wyznaczania
najmniejszej lub największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale.
4.12. *Potrafi uzasadnić i stosuje wzory Viete’a.
4.13. Zna przebieg wykresu funkcji y = xn, n ≥ 2.
12
4.14. *Potrafi określić zachowanie funkcji wielomianowej gdy x→ +∞ oraz x→ –∞ na podstawie
jej wzoru.
4.15. Sporządza wykresy funkcji wykładniczych i na ich podstawie bada własności tych funkcji.
4.16. *Rozwiązuje równania i nierówności wykładnicze typu ax = b; ax > b; at2 + bt + c = 0,
gdzie t = αx.
4.17. *Sporządza wykresy funkcji logarytmicznych i na ich podstawie bada własności tych funkcji.
4.18. *Rozwiązuje najprostsze równania i nierówności logarytmiczne.
5.1. Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem jawnym.
5.2. *Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym.
5.3. Stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i
geometrycznego.
5.4. Oblicza oprocentowanie lokat i kredytów procentem składanym.
5.5. *Bada zbieżność szeregów geometrycznych i oblicza ich sumy.
5.6. *Wyznacza granice ciągów typu 1/n; (n + 1)/(n + 2); (2n2 + 1)/(5n –1), (3n2 + n)/(2n2+1).
6.1. Znajduje wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.
6.2. Rozwiązuje równania typu sin x = a, cos x = a, tg x=a, 0o < x < 90o.
6.3. Stosuje związki sin2α + cos2α = 1, tgα = sinα/cosα do przekształcania wyrażeń
trygonometrycznych.
6.4. *Stosuje związki sin2α + cos2α=1, tgα = sinα/cosα do przekształcania wyrażeń
trygonometrycznych i dowodzenia tożsamości trygonometrycznych.
6.5. *Zamienia miarę stopniową kąta na miarę łukową i odwrotnie.
6.6. *Sporządza wykresy funkcji trygonometrycznych y = sin x; y = cos x, y = tg x.
6.7. *Rozwiązuje równania trygonometryczne typu sin x= ½; sin2 x + cos x = 1.
6.8. *Posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych przy rozwiązywaniu nierówności
trygonometrycznych typu sin x > a, cos x > a, tg x > a.
7.1. *Rozpoznaje wykresy funkcji ciągłych.
7.2. *Wyznacza pochodne funkcji wielomianowych.
7.3. *Interpretuje geometrycznie i fizycznie pochodną funkcji w punkcie.
7.4. *Stosuje twierdzenie o monotoniczności funkcji różniczkowalnych do znajdowania
przedziałów monotoniczności funkcji.
7.5. *Wyznacza ekstrema funkcji wymiernych w oparciu o warunki konieczny i dostateczny
istnienia ekstremum.
7.6. *Rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do badania
ekstremum funkcji różniczkowalnej.
8.1. Przedstawia dane empiryczne w postaci tabel, diagramów i wykresów.
8.2. Oblicza średnie arytmetyczne i ważone danych liczbowych.
8.3. Wyznacza medianę i odchylenie standardowe. Wyciąga wnioski z obliczonych parametrów
rozkładu.
9.1. Stosuje klasyczną definicję prawdopodobieństwa do wyznaczania prawdopodobieństw zdarzeń
losowych.
9.2. *Operuje pojęciem silni i symbolu Newtona.
9.3. Rozwiązuje proste zadania kombinatoryczne, obejmujące pojęcia permutacji i kombinacji
elementów skończonego zbioru.
10.1. Stosuje własności czworokąta wpisanego w okrąg i czworokąta opisanego na okręgu.
10.2. *Prowadzi proste rozumowania dedukcyjne wykorzystujące własności czworokątów
wpisanych i opisanych na okręgu.
10.3. Określa podobieństwo trójkątów na podstawie cech podobieństwa.
10.4. Stosuje cechy podobieństwa trójkątów do rozwiązywania zadań.
10.5. Stosuje twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem.
10.6. *Prowadzi proste rozumowania dedukcyjne wykorzystujące podobieństwo figur.
10.7. Oblicza wymiary i pola figur podobnych w podanej skali.
13
10.8. *Stosuje funkcje trygonometryczne w zadaniach geometrycznych.
10.9. Rozwiązuje trójkąty z zastosowaniem twierdzeń sinusów i cosinusów.
11.1. Podaje równanie kierunkowe prostej, mając dane dwa jej punkty, jeden punkt i kąt nachylenia
do osi OX.
11.2. Bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.
11.3. Interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
11.4. *Interpretuje geometrycznie na płaszczyźnie układy nierówności liniowych.
11.5. Oblicza odległości punktów na płaszczyźnie współrzędnych, wyznacza współrzędne środka
odcinka.
11.6. Stosuje równanie okręgu (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
11.7. Rozwiązuje zadania o położeniu prostych i okręgów na płaszczyźnie współrzędnych.
11.8. *Opisuje nierównościami obszary na płaszczyźnie ograniczone prostymi lub łukami okręgów.
11.9. Dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę.
11.10. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach.
11.11. *Stosuje wektory do dowodzenia własności figur, np. że środkowe trójkąta dzielą się
w stosunku 1:2.
11.12. Rysuje obrazy prostych figur w symetrii osiowej.
11.13. Podaje współrzędne obrazów punktów w symetrii względem prostych równoległych do osi
OX i OY.
11.14. Rysuje obrazy prostych figur w symetrii środkowej.
11.15. Podaje współrzędne obrazów punktów w symetrii względem punktu (0,0).
11.16. Rysuje obrazy prostych figur w przesunięciu równoległym.
11.17. Podaje współrzędne obrazu punktu w przesunięciu o dany wektor.
11.18. Podaje współrzędne wektora przesunięcia, mając współrzędne punktu i jego obrazu.
11.19. *Rysuje obrazy prostych figur w jednokładności.
11.20. *Podaje przykłady figur jednokładnych.
11.21. *Znajduje współrzędne obrazów punktów w jednokładności o środku (0,0).
12.1. Wskazuje krawędzie, wysokości i przekątne w graniastosłupach i ostrosłupach.
12.2. Wskazuje i oblicza kąty nachylenia: przekątnej lub krawędzi do podstawy, ściany bocznej do
podstawy.
12.3. Stosuje trygonometrię w zadaniach ze stereometrii do obliczania pól powierzchni i objętości
graniastosłupów, ostrosłupów oraz brył obrotowych (walców, stożków, kul).
12.4. *Wyznacza przekroje znanych brył i oblicza ich pola powierzchni.
Zasadnicza szkoła zawodowa
1. Liczby
1. Działania na liczbach rzeczywistych.
2. Porównywanie liczb rzeczywistych.
3. Procenty i promile.
2. Algebra
1. Wielomiany
2. Wzory skróconego mnożenia
3. Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
4. Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
5. Proporcje
6. Równania kwadratowe
3. Funkcje
14
1. układ współrzędnych na płaszczyźnie
2. funkcje liczbowe
3. funkcja liniowa i jej podstawowe własności
4. Planimetria
1. Kąty.
2. Wielokąty.
3. Okrąg, koło.
4. Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie.
5. Twierdzenia Talesa.
6. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
7. Figury symetryczne osiowo i środkowo.
8. Twierdzenie Pitagorasa.
9. Skala i plan.
5. Stereometria
1. Graniastosłupy.
2. Ostrosłupy.
3. Bryły obrotowe.
6. Statystyka
1. Zbieranie, interpretowanie, odczytywanie i przedstawianie danych
2. Średnia arytmetyczna.
Wzory wymagań
1.1. Wykorzystuje w obliczeniach cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 9, 10, 25, 100.
1.2. Zaznacza na osi liczbowej liczby całkowite, ułamki o mianowniku nie większym niż 10, liczby
dziesiętne posiadające co najwyżej jedną cyfrę po przecinku.
1.3. Podaje przybliżenia liczb z określoną dokładnością; szacuje wyniki.
1.4. Posługuje się w obliczeniach liczbą π .
1.5. Wskazuje liczbę największą i najmniejszą w zbiorze skończonym, ustawia elementy zbioru
skończonego w określonym porządku.
1.6. Dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby, również za pomocą kalkulatora .
1.7. Oblicza potęgi o wykładnikach całkowitych i wykorzystuje w obliczeniach własności tych
potęg
1.8. Zapisuje i odczytuje liczby w notacji wykładniczej.
1.9. oblicza pierwiastki stopnia drugiego i trzeciego (w tym pierwiastki stopnia trzeciego z liczb
ujemnych) lub określa ich wartość przybliżoną; wykorzystuje własności tych pierwiastków w
obliczeniach.
1.10. Stosuje w obliczeniach własności działań i kolejność wykonywania działań.
1.11. Wykorzystuje procenty i promile w sytuacjach praktycznych.
2.1. Zapisuje i odczytuje wyrażenia algebraiczne typu: x + 3, 2x, x2 – 4.
2.2. Oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.
2.3. Zapisuje wielomian w prostszej postaci, redukując wyrazy podobne .
2.4. Dodaje i odejmuje wielomiany; mnoży wielomian przez jednomian .
2.5. Wykorzystuje wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów.
2.6. Rozkłada na czynniki: wielomianu typu x2 + 4x + 4 wykorzystując wzory skróconego
mnożenia, wielomian typu: 2x2 – 4x, wyłączając wspólny czynnik przed nawias .
2.7. Rozwiązuje równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
2.8. Rozwiązuje układy dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
15
2.9. Podaje interpretację geometryczną układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema
niewiadomymi .
2.10. Rozwiązuje równia kwadratowe z wykorzystaniem rozkładu na czynniki .
2.11. Wykorzystuje proporcje w sytuacjach praktycznych .
3.1. Oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych.
3.2. Określa własności funkcji na podstawie jej wykresu (wartość najmniejszą, największą, miejsca
zerowe, wartość funkcji dla danego argumentu, znajduje argument dla którego funkcja
przyjmuje określoną wartość, argumenty, dla których funkcja rośnie, maleje lub jest stała,
argumenty dla których wartości funkcji są dodatnie lub ujemne) .
3.3. Zapisuje równanie prostej spełniającej określone warunki (np. równoległej do osi y i
przechodzącej przez dany punkt; o danym współczynniku kierunkowym i przecinającej oś y w
danym punkcie) w postaci x = a lub y = ax + b.
3.4. Znajduje równanie prostej przechodzącej przez punkt o znanych współrzędnych równoległej
do prostej danej wzorem .
3.5. Znajduje równanie prostej przechodzącej przez punkt o znanych współrzędnych prostopadłej
do prostej danej wzorem .
4.1. Rysuje, mierzy i porównuje kąty.
4.2. Wykorzystuje własności kątów wierzchołkowych, przyległych, naprzemianległych i
odpowiadających w zastosowaniach praktycznych.
4.3. Wykorzystuje własności kątów środkowych i wpisanych w koło.
4.4. Oblicza obwody i pola wielokątów.
4.5. Określa wzajemne położenie prostej i okręgu.
4.6. Oblicza pole koła i obwód okręgu.
4.7. Opisuje okrąg na trójkącie.
4.8. Wpisuje okręgu w trójkąt.
4.9. Stosuje twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne.
4.10. Dzieli odcinek na równe części.
4.11. Sprawdza czy proste przecinające ramiona kąta są równoległe.
4.12. Wykorzystuje własności figur podobnych .
4.13. Wykorzystuje cechy przystawania trójkątów.
4.14. Oblicza długości odcinków z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w
trójkącie prostokątnym.
4.15. Wykorzystuje własności figur symetrycznych osiowo i środkowo .
4.16. Określa rzeczywiste wymiary figury narysowanej w skali.
4.17. Rysuje figurę w danej skali.
4.18. Ustala skalę planu i szkicuje plan danego obiektu.
4.19. Odczytuje informacje z planu i mapy.
5.1. Określa położenie krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach .
5.2. Określa kąt nachylenia krawędzi do podstawy oraz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
w ostrosłupie; kąt nachylenia przekątnej do podstawy, kąt między przekątną a krawędzią boczną
w graniastosłupie .
5.3. Oblicza objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego i ostrosłupa.
5.4. Oblicza objętość i pole powierzchni bryły obrotowej (walca, stożka, kuli).
5.5. Wykorzystuje własności przekroju osiowego bryły obrotowej .
6.1. Zbiera i gromadzi dane .
6.2. Prezentuje dane w postaci tabel, wykresów, diagramów.
6.3. Odczytuje i interpretuje dane przedstawione w postaci tabel, wykresów, diagramów.
6.4. Oblicza i interpretuje średnią arytmetyczną .
16