Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
wybrane twierdzenia, zadania ćwiczeniowe
Pojęcia pierwotne (nie podlegają definiowaniu)
-
zdarzenia elementarne;
przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór wszystkich zdarzeń) – oznaczamy:  .
Przykłady:
1) Jeden rzut kostką – zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie orła (O) lub reszki (R)
- przestrzenią zdarzeń elementarnych jest dwuelementowy zbiór:
  O; R;
2) Dwukrotny rzut kostką: - zdarzeniami elementarnymi są dwuwyrazowe ciągi utworzone z
liczb:1; 2;...6, gdzie pierwszy wyraz oznacza wynik pierwszego
rzutu, drugi – drugiego;
- przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zestaw wyników
1;1; 1;2; 1;3...1;6;
uzyskanych w wyniku doświadczenia:   
.




2
;
1
;
2
;
2
;...


Wszystkich zdarzeń jest: 36.
3) W urnie są trzy kule: biała, czarna i zielona. Losujemy kolejno trzy razy po jednej kuli bez
zwracania: - zdarzeniami elementarnymi są wyniki trzech losowań;
- przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich wyników losowań:
  b; c, z ; b, z, c; z, b, c; z, c, bc, z, bc, b, z 
Podstawowe definicje
- zdarzenie losowe – jest to każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych (oznaczamy
dużymi literami alfabetu: A: B; C...). Jeśli zaszło zdarzenie A i jakiś element:   A , to
mówimy, że zdarzenie elementarne  sprzyja zdarzeniu A.
- zdarzenie pewne – jest to cała przestrzeń zdarzeń elementarnych 
- zdarzenie niemożliwe – jest to podzbiór pusty zdarzeń elementarnych  (zdarzenie
niemożliwe oznaczamy:  (zdarzenie A nazywamy zdarzeniem niemożliwym, jeśli żadne
zdarzenie elementarne zbioru  nie sprzyja zajściu zdarzenia A).
- suma zdarzeń: sumą zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i
tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A lub zdarzenie B; C  A  B
- iloczynem (częścią wspólną) zdarzeń A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi
wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A i zdarzenie B; C  A  B
- różnicą zbiorów A i B nazywamy takie zdarzenie C, które zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B; C  A  B
- zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie polegające na tym, że
zdarzenie A nie zaszło (A’);
- zdarzeniami rozłącznymi (wykluczającymi się) nazywamy zdarzenia A i B, takie, że:
A B  
1
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
1) Niech A oraz B będą dowolnymi zdarzeniami losowymi z przestrzeni zdarzeń
elementarnych:  . Za pomocą zdarzeń A; B; A’; B’ i odpowiednich działań na tych
zdarzeniach zapisz zdarzenia:
C – zaszło oba zdarzenia A i B;
D – nie zaszło żadne ze zdarzeń A i B;
E - zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń A i B;
F – zaszło tylko zdarzenie A;
G – zaszło co najwyżej jedno ze zdarzeń A i B;
H – zaszło dokładnie jedno ze zdarzeń A i B.
2) Z partii towaru zawierającej sztuki dobre i wadliwe losujemy dwie sztuki. Oznaczam
zdarzenia:
A – wylosowano dokładnie jedną sztukę dobrą;
B – wylosowano co najwyżej jedną sztukę dobrą;
C – wylosowano co najmniej jedną sztukę dobrą.
Wyjaśnij, co oznaczają zdarzenia: A’; B’; C’; A  B; A  B; B  C; B'C ' ; B'C ' .
KOMBINATORYKA
Podstawowe definicje wstępne:
Mocą zbioru skończonego A nazywamy liczbę jego elementów. (  ) ;
Iloczyn 1 2  3  ...  n , gdzie n  N  \ 
1 , oznaczamy n! (czytamy n silnia). Ponadto
przyjmujemy, że: 0! = 1;
1! = 1
n! = (n-1)!n;
n
n!
Symbol Newtona:   
. i k  n.
 k  k!n  k !
Permutacje bez powtórzeń
Permutacją (przemianą) zbioru skończonego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg o różnych
wyrazach należących do zbioru A.
Liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego n  1 jest równa Pn = n!
Przykłady
1) Na ile różnych sposobów można ustawić w szeregu 7 osób?
Pierwsza osoba może zając jedno z 7 miejsca, druga –
jedno z 6 miejsc,......ostatniej pozostaje tylko jedno
miejsce, czyli: P7 = 7! = 5040.
2
2) Cztery kule białe, cztery zielone i cztery czerwone numerujemy i układamy obok siebie w
szereg tak, aby żadne dwie kule tego samego koloru nie leżały obok siebie. Na ile
sposobów możemy to zrobić?
Mając 12 kul układamy je na 12 miejscach, ale
uwzględniając treść zadania musimy wziąć pod uwagę,
że np. kule białe mogą zająć miejsca: 1; 4; 7; 12, czyli
mogą być ustawione na 4! sposobów; kule białe możemy
ustawić na 2; 5; 8; 11 miejscu , czyli też na 4! sposobów;
pozostałe kule ustawiamy na pozostałych miejscach i też
na 4! sposobów. Ponieważ nie jest powiedziane od
których kul mamy zacząć, więc mamy do czynienia z
permutacją kolorów – 3!. Reasumując:
3
P  4!4!4!3! 4!  3! 82944 .
3) W urnie są trzy kule o numerach: 1; 2; 3. Wyciągamy kolejno trzy kule i notujemy ich
numery wg kolejności wyciągnięcia. Ile można otrzymać wyników, wyznacz je.
Zgodnie z definicją permutacji bez powtórzeń, mamy do
czynienia ze darzeniem: Pn = 3!, czyli 6. Otrzymane
liczby to: (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2); (3,2,1).
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
1) Wykaż prawdziwość równości:
 n   n   n  1
  
 , gdzie k < n
a)    
k
k

1
k

1
  
 

n
n
n
     
n  n
     2 n
b)          ...  
 0  1   2 
 n  1  n 
2) Na ile różnych sposobów można ustawić na półce 7 książek, tak aby książki A i B:
a) stały obok siebie w dowolnej kolejności;
b) stały książki A i B w tej kolejności.
3) Ze zbioru Z = {1; 2; 3; 4; 5; 6} losujemy kolejno jedną po drugiej, bez zwracania, sześć
liczb i ustawiamy je jedną za drugą. Ile różnych liczb
a) sześciocyfrowych możemy w ten sposób otrzymać?
b) Parzystych możemy w ten sposób otrzymać?
4) Kasia ma pięć swetrów, cztery spódnice i trzy pary butów. Przez ile dni może się inaczej
ubierać, jeśli za inne stroje będziemy uważali stroje różniące się co najmniej jednym
elementem ubioru?
Permutacje z powtórzeniami
Liczba wszystkich n-elementowych permutacji z powtórzeniami zbioru A = {a1, a2, ... ak}przy
n!
n , n ... n
powtórzeniach elementów odpowiedni: n1, n2, ... , nk razy jest równa: Pn1 2 k 
n1!n2 !...nk !
3
Przykłady
1) Ile różnych wyrazów, mających sens lub nie, można ułożyć z liter wyrazu KUKUŁKA
Wyraz liczy 7 liter, z których powtarzalność jest równa
odpowiednio: litera K – 3 razy; litera U – 2 razy, litery
Ł i A odpowiednio po jednym razie. Otrzymujemy więc
tyle różnych wyrazów ile jest permutacji bez
7!
3, 2 ,1,1,

 420 .
powtórzeń, czyli: P7
3!2!1!1!
2) Ile różnych liczb 13-to cyfrowych można ułożyć z cyfr: 1; 2; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 6; 9; 9; 9?
Mamy do dyspozycji 13 cyfr, z tym, że 1 – raz, 2 – dwa
razy, 3 – dwa razy, 4 – raz, 5 – raz, 6 – trzy razy, 9 –
trzy razy. Otrzymujemy więc tyle różnych liczb ile jest
permutacji bez powtórzeń, czyli:
13!
1, 2 , 2 ,1,1, 3, 3,

.
P13
3!2!1!1!2!1!3!
3) Ile pięciocyfrowych liczb parzystych można utworzyć z cyfr: 1; 2; 3; 4 przy założeniu, że
cyfra 1 powtarza się dwa razy?
Dostrzegamy, że liczba parzysta to taka liczba, w które
na miejscu jedności występuje 2 lub 4, czyli mamy do
czynienia z permutacją bez powtórzeń; natomiast
ustawienie innych cyfr wyznaczamy na podstawie
permutacji z powtórzeniami, więc:
4!
2 ,1,1,
2  P4  2 
 24
2!1!1!
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
1) Z siedmiu cyfr można utworzyć 42 liczby 7-cyfrowe. Ile cyfr jest jednakowych?
2) W urnie znajduje się osiem kul ponumerowanych, przy czym 4 kule są oznaczone
numerem 1, dwie numerem 2, dwie kule numerem 3. Losujemy kolejno bez zwracania
osiem kul. Ile różnych liczb ośmiocyfrowych możemy otrzymać w ten sposób?
3) Iloma sposobami można posadzić na pięciu krzesłach:
a) pięć osób;
b) trzy osoby?
4) Ile można ułożyć różnych permutacji zbioru Y = {a}, w których element a powtarza
się dwa razy?
5) W biegu na 100 metrów uczestniczyło 8 zawodników. Ile jest wyników możliwych
4
ukończenia biegu, jeżeli sędziowie punktują tylko sześć pierwszych miejsc i
zawodnicy nie dzielą miejsc ex aequo?
Wariacje bez powtórzeń
K-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru skończonego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg
o różnych wyrazach należących do zbioru A.
Liczba wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:
n!
Vnk 
 n  k    n  k  2  n  k  3  ...  n
n  k !
Przykłady
1. Windą zatrzymującą się na ośmiu piętrach jedzie 5 osób. Na ile różnych sposobów mogą
wysiąść z windy te osoby, tak, aby każdy wysiadł na innym piętrze?
Zadanie dotyczy wariacji bez powtórzeń zbioru
ośmioelementowego. Liczba wyrazów wariacji
jest równa liczbie osób, więc 5; ponieważ każda z
osób może wybrać dowolne piętro (przy
założeniu, że każda inne), to ilość wariacji jest
8!
równa: V85 
 6720 (Zadanie można też
8  5!
rozwiązać traktując polecenie jako permutacja
bez powtórzeń, czyli: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720.
2. Ze zbioru Z = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} losujemy kolejno jedną po drugiej trzy liczby.
Pierwsza wylosowana liczba jest cyfrą setek, druga – dziesiątek, trzecia – jedności pewnej
liczby trzycyfrowej. Ile różnych liczb trzycyfrowych możemy w ten sposób otrzymać?
Ponieważ n = 9, natomiast k = 3 i liczby nie
mogą się powtarzać, mam do czynienia z
wariacjami bez powtórzeń zbioru 99!
elementowego. V93 
 504 .
9  3!
3. Ile można utworzyć czterokolorowych chorągiewek z sześciu barw, jeżeli rozumiemy jako
kolorowe pasy pionowe występujące obok siebie?
Dysponujemy sześcioma kolorami, które
możemy połączyć w ten sposób, by barwy się
nie powtarzały, czyli wariacje bez powtórzeń
zbioru 6-elementowego, więc:
6!
V64 
 360.
6  4!
5
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
1. Z ilu osób składa się grupa, jeżeli wiadomo, że można je posadzić w trzyosobowych
ławkach na sześć sposobów?
2. W klasie liczącej 37 uczniów rozlosowano trzy bilety jednoosobowe do trzech różnych
teatrów. Ile jest możliwych wyników losowania?
3. Z miasta A do miasta B prowadzi pięć dróg. Iloma sposobami można odbyć podróż
A  B  A pod warunkiem, że nie można wracać tą samą drogą?
Wariacje z powtórzeniami
K-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru skończonego nazywamy każdy k-wyrazowy
ciąg o wyrazach należących do zbioru A
Liczba k–wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa: Wnk  n k
Przykłady
1. Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Ile różnych wyników można otrzymać?
Ponieważ kostka ma sześć ścianek, więc liczba
elementów zbioru wynosi 6, a rzucając
trzykrotnie, mamy do czynienia z 3-wyrazowymi
wariacjami z powtórzeniami, czyli:
W63  6 3  216
2. Centrala telefoniczna pracuje na numerach siedmiocyfrowych, które składają się z cyfr od 0
do 9, przy czym mogą się one powtarzać, lecz numer nie może zaczynać się cyfrą 0. Ilu
abonamentom można przydzielić numery?
Ponieważ na pierwszym miejscu nie może
występować zero, wiec liczbę numerów można
wyznaczyć na dwa sposoby: 9  10 6  9000000
lub: W107  W106  10 7  10 6
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
1. Ile tablic rejestracyjnych możemy utworzyć dysponując alfabetem 24 literowym i cyframi
od 1 do 0?
2. Iloma sposobami można umieścić w trzech szufladach pięć koszul?
3. Z talii 52 kart dwukrotnie losujemy jedną za każdym razem zwracając do talii. Ile jest
możliwych wyników?
4. Rzucamy:
a) dwiema;
b) trzema;
c) n
6
monetami. Ile jest możliwych wyników. Dla a), b) przedstaw zadanie za pomocą drzewka i
wypisz wszystkie wyniki.
5. W urnie znajduje się sześć kul ponumerowanych liczbami 0d 1 do 6. Losujemy kolejno,
zwracając za każdym razem po zapisaniu ich numerów. Ile różnych liczb czterocyfrowych
możemy w ten sposób otrzymać?
Kombinacje bez powtórzeń
Kombinacją bez powtórzeń k-elementową, zbioru Y złożonego z n różnych , nazywamy każdy
podzbiór złożony z k różnych elementów zbioru Y.
Liczba k-elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru Y złożonego z n różnych
n
n!
elementów, gdzie 0  k  n , jest równa: C nk    
.
 k  k!n  k !
Przykłady
1. Na ile sposobów możemy wylosować cztery pytania z zestawu składającego się z 30 pytań?
n = 30 – liczba wszystkich pytań; k = 4 – liczba
wylosowanych pytań; czyli mamy do czynienia z
kombinacjami bez powtórzeń, więc:
 30 
30!
  
.
 4  4!30  4!
2. Ile elementów ma zbiór A, gdy wiadomo, że ma on dokładnie 79 podzbiorów o co najwyżej
dwóch elementach.
Mamy do czynienia z niewiadomą liczba
elementów, które są łączone w podzbiory: zero;
jedno- lub dwuelementowymi podzbiorami;
n  n n
wynika z tego, że:          79 .
 0  1   2 
Po odpowiednich przekształceniach,
otrzymujemy równanie: n 2  n  156  0 .
Ostatecznie otrzymujemy odp: n = 12 (bo dla n =
-13 równanie jest sprzeczne.
3. Na ile sposobów można rozdać karty 4 brydżystom?
Ponieważ dysponujemy 52 kartami, to każdy z
graczy ma otrzymać po 13 kart. Pierwszy z nich
 52 
otrzyma na   sposobów karty, natomiast
13 
 39 
drugi już tylko na   sposobów, ponieważ 13
13 
otrzymał już pierwszy gracz itd., czyli karty
7
można rozdać na:
 52   39   26  13 
           sposobów.
13  13  13  13 
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
1. Oblicz:
n



n  2 

a)
n 


 n  1
 x  4
 x  x
  P3 c)       0
b) 
 x  5
 2 3 
2. W klasie liczącej 25 uczniów należy wybrać ośmioosobową delegację. Ile istnieje
możliwości wyboru?
3. Z okazji zjazdu koleżeńskiego spotyka się 10 przyjaciół. Ile nastąpi powitań?
4. Iloma sposobami można umieścić 20 kul w trzech szufladach, tak by w pierwszej było 10
kul, drugiej sześć a w trzeciej cztery?
5. Ile istnieje możliwości otrzymania przez brydżystę trzynastu kart tego samego koloru?
6. W klasie liczącej 20 chłopców należy wybrać dwie sześcioosobowe drużyny. Ile istnieje
sposobów sformowania drużyn, przy założeniu, że uczeń może być tylko w jednej
drużynie.
Rachunek prawdopodobieństwa
Zdarzenia losowe
Zdarzeniem losowym (elementarnym) nazywamy takie zdarzenie, które spełnia dwa warunki:
- musi być jednoznaczne, tzn. takie, które wyklucza inne;
- musi być kompletne tzn. takie, które kończy się wynikiem możliwym do uzyskania.
Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym.
Przykłady;
1. Zbiór zdarzeń elementarnych określamy następująco:   1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Niech A, B, C, D, E będą następującymi zdarzeniami:
A  x : x    x  4,
B  x : x    3  x  6,
C  x : x    5  x  10,
D  x : x    6  x  10,
E  x : x    5  x  6.
Opisz zdarzenia: A  B; A  B' ; D  A' ; E  D.
8
Rozwiązując zadanie, należy w pierwszej
kolejności ustalić zbiór zdarzeń elementarnych
należących do danych zbiorów, czyli:
A : x  1,2,3,4; B : x  3,4,5,6; C : x  5,6,7,8,9,10;
D : x  6,7,8,9,10; E : x  5,6. W następnej
kolejności wyznaczyć zbiory: A’; B’ niezbędne do
udzielenia poprawnej odpowiedzi, pamiętając o tym,
że symbol A’ oznacza elementy które należą do
zbioru zdarzeń elementarnych, ale nie należą do
zbioru A (zdarzenie przeciwne):
A': x  5,6,7,8,9,10; B': x  1,2,7,8,9,10. Przy tak
ustalonych danych, udzielamy odpowiedzi,
pamiętając o tym, że raz wyznaczony element, choć
należy do obu zbiorów, spełnia warunki zadania.
A  B : x  1,2,3,4,5,6; A  B': x  1,2,
D  A': x  ; E  D : x  5;
2. Z talii pięćdziesięciu dwu kart losujemy jedną. Z następujących zdarzeń wybierz pary
zdarzeń rozłącznych:
A – wylosowano asa;
B – wylosowano kartę pik;
C – wylosowano kartę czerwoną;
D – wylosowano kartę młodszą od siódemki.
Pamiętając o tym, że zdarzeniami rozłącznymi
nazywamy takie zdarzenia, które nie zachodzą
jednocześnie ( A  B   ), dostrzegamy, że:
zdarzeniami rozłącznymi są zdarzenia A i D oraz
B i C.
3. Rzucamy monetą aż do powtórzenia wyniku z pierwszego rzutu, ale nie więcej niż pięć
razy. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.
Opisując przestrzeń zdarzeń elementarnych,
bierzemy pod uwagę dwie możliwości: za
pierwszym razem wypadnie orzeł lub reszka,
następnie natomiast za drugim razem może wypaść
podobnie, lecz jeśli wypadnie po orle orzeł, to nas
zadawala, jeśli reszka to rzucamy kolejny raz.
W taki sposób wypisujemy wszystkie możliwości:
(0,0); (0,RO); (0,R,R,0); (O,R,R,R,0); (R,R);
(R,0,R); (R,0,0,R); (R,0,0,0,R).
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
1. Z partii towaru zawierającej sztuki dobre i wadliwe losujemy dwie sztuki. Oznaczamy
zdarzenia:
A – wylosowano dokładnie jedną sztuką dobrą;
B – wylosowano co najwyżej jedną sztukę dobrą;
9
C – wylosowano co najmniej jedną sztukę dobrą.
Wyjaśnij, co oznaczają zdarzenia: A’; B’; C’; A  B; A  B; B  C ; B 'C '
2. Niech A oznacza zbiór osób o niebieskich oczach, B – zbiór osób znających język
angielski, C – zbiór osób mających prawo jazdy. Opisz, co oznaczają zbiory:
( A  B)  C; A  B  C ' ; B  C
3. Z talii pięćdziesięciu dwu kart losujemy trzy karty. Określamy zdarzenia:
A – wylosowano co najmniej jednego asa;
B – wylosowano trzy kiery;
C – wylosowano trzy karty młodsze od trójki.
Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia, oblicz moc tego zboru
oraz opisz, co oznaczają zdarzenia: A  B; A  C ; B  C ; A'C .
Własności prawdopodobieństwa
Jeśli  jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych i każdemu zdarzeniu A   jest
przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że: 0  P( A); P()  1 oraz dla każdej
pary rozłącznych zdarzeń A, B   zachodzi: P( A  B)  P( A)  P( B) , to mówimy, że na
zdarzeniach zbioru  określone jest prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy
prawdopodobieństwem zdarzenia A.
Jeśli mamy do czynienia z para zdarzeń nie rozłącznych, to
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) .
10