Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne — Zdarzenie (zdarzenie

Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne
— Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wynik pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jakościowy.
— Zdarzenie elementarne - najprostszy wynik doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe, którego nie da się
rozłożyć na zdarzenia prostsze.
— Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lub obserwacji.
— Uwaga. Gdy przestrzeń Ω ma skończoną lub przeliczalną liczbę elementów, wówczas każdy podzbiór zbioru Ω jest
zdarzeniem losowym. Tak być nie musi, gdy Ω nie jest przeliczalne.
Zdarzenia losowe
—
—
—
—
—
—
Niech A, B ⊂ Ω.
A ∪ B - suma zdarzeń A i B („zaszło A lub B")
A ∩ B - iloczyn zdarzeń A i B („zaszło A i B")
A \ B - różnica zdarzeń A i B („zaszło A i nie zaszło B")
A0 - zdarzenie przeciwne do A („nie zaszło A")
∅ - zdarzenie niemożliwe
Ω - zdarzenie pewne
σ-ciało zdarzeń
Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą
warunki:
— Ω ∈ F;
— jeśli A ∈ F, to A0 ∈ F;
∞
[
Ai ∈ F.
— jeśli A1 , A2 , A3 , · · · ∈ F, to
i=1
Rodzinę F podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-ciałem zdarzeń, a elementy tej rodziny nazywamy zdarzeniami
losowymi.
Przykład
Rzut monetą.
Ω = {O, R}
zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony
F = ∅, {O}, {R}, {O, R}
Zbiory borelowskie
Jeżeli Ω = R, to ważnym σ-ciałem zdarzeń jest σ-ciało B zbiorów borelowskich.
B – najmniejsze σ-ciało zawierające wszystkie odcinki
Zbiory borelowskie na prostej: (−∞, ∞), (−∞, ai, (−∞, a), hb, ∞), (b, ∞), (a, b), ha, b), (a, bi, ha, bi, {a}, ∅, ...
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
— Jeżeli zbiór Ω składa się z n jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych i wśród nich jest dokładnie k zdarzeń
k
sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę P (A) =
nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia
n
A.
— Piszemy również P (A) = n(A)
n(Ω) , gdzie n(A) oznacza liczbę zdarzeń elementarnych w podzbiorze A, zaś n(Ω) oznacza
liczbę zdarzeń elementarnych w zbiorze Ω.
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
— Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, zaś F będzie σ-ciałem zdarzeń losowych.
1
— Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P : F → R, która spełnia następujące warunki:
— dla każdego A ∈ F zachodzi 0 6 P (A) 6 1;
— P (Ω) = 1;
— jeśli zdarzenia Ai , gdzie i ∈ {1, 2, . . . }, wykluczają się parami (tzn. Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j; i, j ∈ {1, 2, . . . }), to
!
∞
∞
[
X
P
Ai =
P (Ai ).
i=1
i=1
— Trójkę (Ω, F, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Własności prawdopodobieństwa
Niech A, B ∈ F.
—
—
—
—
P (∅) = 0;
P (A0 ) = 1 − P (A);
jeśli A ⊂ B, to P (A) 6 P (B);
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Zmienna losowa
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną.
— Zmienną losową nazywamy każdą funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, przyjmującą
wartości rzeczywiste, taką, że dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω spełniających warunek
X(ω) < x jest zdarzeniem losowym, tzn. należy do rodziny F.
— Tzn. X : Ω → R nazywamy zmienną losową, jeżeli
^
{ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ F
x∈R
— Rzut monetą:
— Niech funkcja
X({O}) = 2,
— Mamy wtedy
Przykład
Ω = {O, R}, F = ∅, {O}, {R}, {O, R} .
X : Ω → R będzie określona następująco:
X({R}) = −2.

dla
 ∅
{R} dla
{ω : X(ω) < x} =

Ω
dla
x 6 −2,
−2 < x 6 2,
x > 2.
— Zatem dla dowolnego x ∈ R mamy {ω : X(ω) < x} ∈ F.
— Wniosek: funkcja X jest zmienną losową.
Dystrybuanta zmiennej losowej
— Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję
F (x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) < x}) , x ∈ R;
— tzn. F (x) = P (X < x).
Własności dystrybuanty
— F jest funkcją niemalejącą,
tzn. jeżeli x1 < x2 , to F (x1 ) 6 F (x2 )
— F jest funkcją lewostronnie ciągłą,
tzn. dla każdego a ∈ R lim F (x) = F (a)
x→a−
—
lim F (x) = 0, lim F (x) = 1
x→−∞
x→+∞
— jeżeli a < b, to P (a 6 X < b) = F (b) − F (a)
2
— jeżeli x jest liczbą skończoną, to P (X > x) = 1 − F (x)
Rodzaje zmiennych losowych
Wyróżniamy dwa podstawowe rodzaje zmiennych losowych:
— zmienne losowe typu skokowego (z.l. dyskretne) - gdy zbiór wartości funkcji X(ω) jest zbiorem skończonym
lub przeliczalnym;
— zmienne losowe typu ciągłego - gdy zbiór wartości funkcji X(ω) zawiera pewien przedział właściwy lub niewłaściwy.
Zmienna losowa typu skokowego
— Niech {x1 , x2 , . . . , xk , . . . } będzie skończonym lub przeliczalnym zbiorem wartości zmiennej losowej X typu skokowego.
— Funkcję
pi = P (X = xi ) = P ({ω : X(ω) = xi })
przyporządkowującą wartościom x1 , x2 , . . . , xk , . . . zmiennej losowej X odpowiednie prawdopodobieństwa p1 , p2 , . . . , pk , . . .
nazywamy funkcją
X prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.
Mamy przy tym
pi = 1.
i
Zmienna losowa typu skokowego
— Wartości x1 , x2 , . . . , xk , . . . zmiennej losowej X nazywamy punktami skokowymi, a ich prawdopodobieństwa
p1 , p2 , . . . , pk , . . . skokami.
— Dystrybuanta zmiennej losowej typu skokowego ma postać:
X
X
F (x) =
P (X = xi ) =
pi .
xi <x
{i : xi <x}
Zmienna losowa typu ciągłego
— Zmienna losowa X o ciągłej dystrybuancie F nazywa się zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna
i całkowalna funkcja f taka, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi
Zx
F (x) =
f (t)dt.
−∞
— Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej X.
Własności gęstości prawdopodobieństwa
— f (x) > 0 dla każdego x ∈ R
+∞
Z
—
f (x)dx = 1
−∞
— f (x) = F 0 (x), jeżeli dystrybuanta F jest funkcją różniczkowalną
Zmienna losowa typu ciągłego
Zauważmy, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego mamy:
— P (X = a) = 0 dla każdego a ∈ R;
— P (a 6 X < b) = P (a 6 X 6 b) = P (a < X 6 b) =
Zb
= P (a < X < b) = f (x)dx = F (b) − F (a).
a
3
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeśli dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X, względnie gdy dana jest funkcja prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej skokowej lub
gęstość prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej ciągłej.
Podstawowe rozkłady skokowe
—
—
—
—
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
jednopunktowy
dwupunktowy
Bernoulliego (dwumianowy)
Poissona
Rozkład jednopunktowy
— P (X = a) = 1
— Jest to rozkład zdegenerowany, a jego dystrybuanta ma postać:
0 dla x 6 a,
F (x) =
1 dla x > a.
Rozkład dwupunktowy
— P (X = a) = p, P (X = b) = q, przy czym p + q = 1
— Dla a = 1, b = 0 otrzymujemy rozkład zero-jedynkowy:
P (X = 1) = p, P (X = 0) = q, przy czym p + q = 1.
— Dystrybuanta rozkładu zero-jedynkowego ma postać:

x 6 0,
0 dla
F (x) = q dla 0 < x 6 1,

1 dla
x > 1.
Rozkład Bernoulliego (dwumianowy)
n k n−k
— P (X = k) =
p q
,
k
gdzie k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}, n ∈ N, 0 < p < 1, q = 1 − p
X n
— Dystrybuanta ma postać: F (x) =
pk q n−k .
k
k<x
Rozkład Poissona z parametrem λ > 0
— P (X = k) =
λk −λ
e , gdzie k ∈ {0, 1, 2, . . . }
k!
— Dystrybuanta rozkładu Poissona ma postać: F (x) = e−λ
X λk
.
k!
k<x
— Rozkład Poissona jest stablicowany.
Związek rozkł. Poissona z rozkł. Bernoulliego
4
— Twierdzenie.
Niech Xn , n ∈ {1, 2, . . . }, będzie ciągiem zmiennych losowych mających rozkłady Bernoulliego z parametrami
n i pn , tzn. n k n−k
P (Xn = k) =
p ·q
, gdzie qn = 1 − pn .
k n n
Jeżeli lim npn = λ > 0, to dla każdego całkowitego k > 0 zachodzi równość
n→∞
lim P (Xn = k) =
n→∞
λk −λ
e .
k!
— Uwaga. Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu Bernoulliego. Im większe n oraz mniejsze p, tym
rozkład Poissona lepiej przybliża rozkład Bernoulliego. Przybliżenie jest dostatecznie dobre, gdy p 6 0.1, n > 100
oraz λ ∈ h0.1; 10i.
5