RACHUNEK PREDYKATÓW

Logika i teoria mnogości
Izabela Bondecka-Krzykowska
1.
2.
Sprawdź, czy podana formuła jest tautologią sprowadzając ją do postaci normalnej.
1.1. [( p  q)  ( p  q)]  (p  q)
1.2. p  (q  (q  p))
Sprawdź, czy podana formuła jest kontrtautologią sprowadzając ją do postaci normalnej.
2.1. p  [q  (p  q)]
2.2.
p  [(q  p)  (q  p)]
RACHUNEK PREDYKATÓW - zadania
3.
Wskaż w każdym z podanych niżej wyrażeń zasięg każdego kwantyfikatora, zmienne wolne i zmienne
związane w tym wyrażeniu.
3.1. x[ P( x)  R( x, y)]
x[ P( x)  Q( x, y)]  xR( x, y)
3.3. xy[ R( x, y)  S ( z, y)]
3.4. xy[ P( x)  Q( y)  R( x, y)]  xS ( x, z )
3.5. R( x, y)  [xy( P( x)  S ( z, y))  zQ( z )]
3.2.
4.
Zbuduj kwantyfikatorowe schematy następujących zdań:
4.1. Niektórzy matematycy są muzykalni.
4.2. Niektórzy matematycy nie są muzykalni.
4.3. Wszyscy matematycy są muzykalni.
4.4. Żaden matematyk nie jest muzykalny.
4.5. Tylko matematycy są muzykalni.
4.6. Nie tylko matematycy są muzykalni.
Podaj słowne sformułowania i schematy zdań będących przeczeniami powyższych zdań.
4.7. Każdy matematyk jest uczniem pewnego matematyka.
4.8. Każdy filozof głosi takie zdanie, którego pewien filozof nie uznaje.
4.9. Niektórzy filozofowie głoszą twierdzenia, których nikt nie uznaje.
4.10. Istnieją twierdzenia głoszone tylko przez tych filozofów, którzy nie znają logiki.
4.11. Niektórzy uczeni uznają pewne twierdzenia, które nie zostały potwierdzone przez żaden fakt
empiryczny.
4.12. Każdy prostokąt ma dokładnie dwie przekątne.
4.13. Każdy człowiek zna co najmniej jeden język.
4.14. Każdy student zna co najmniej dwa języki.
4.15. Są studenci, którzy znając dokładnie dwa języki.
5.
Niech x=y, x<y, x≤y oraz x|y (x dzieli y) będą predykatami określonymi dla liczb naturalnych. Za ich
pomocą, korzystając z operacji arytmetycznych, symboli dla liczb oraz symboli logicznych zapisz schematy
logiczne poniższych zdań i funkcji zadaniowych.
5.1. x jest liczbą pierwszą.
5.2. x przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2.
5.3. Każda liczba przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1 lub 2.
5.4. Liczby x i y mają te same dzielniki.
5.5. Każde trzy liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność.
5.6. Każde trzy liczby mają największy wspólny dzielnik.
5.7. Nie istnieje największa liczba naturalna.
5.8. Nie istnieje największa liczba pierwsza.
5.9. Istnieje dokładnie jedna najmniejsza liczba parzysta.
2.10. Każda liczba rozkłada się na sumę czterech liczb pierwszych.
6.
Dla każdego z podanych niżej schematów wskaż taką dziedzinę (tj. taki rodzaj przedmiotów i takie
własności i relacje tych przedmiotów), której istnienie dowodzi nietautologiczności tego schematu:
6.1. xy[ P( x, y)  P( y, x)]
Str. 1/2
Logika i teoria mnogości
Izabela Bondecka-Krzykowska
xy[ P( x)  P( y)  Q( x, y)]
6.3. xy[ R( x, y)  R( y, x)]
6.4. xyz[ R( x, y)  R( y, z )  R( x, z )]
6.5. xP( x, x)
6.2.
7.
Zapisz podane zdania w formalnym języku teorii mnogości Zermela
7.1. Zbiór x ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem y.
7.2. Suma zbiorów x i y jest zbiorem zawierającym dokładnie trzy elementy.
7.3. Różnica zbiorów x i y ma co najwyżej dwa elementy.
8.
Sprawdź metodą drzew semantycznych, czy następujące wnioskowania są dedukcyjne.
8.1. Żaden Myszaty nie jest Pierzasty. Niektóre Myszate są Ogoniaste. Zatem nie wszystkie Ogoniaste są
Pierzaste.
8.2. Wszystkie Pierzaste są Myszate. Nie wszystkie Ogoniaste są Myszate. Zatem pewien Ogoniasty nie
jest Pierzasty.
8.3. Żaden Myszaty nie jest Pierzasty. Są Ogoniaste, będące jednocześnie Myszatymi. Zatem pewien
Ogoniasty nie jest Pierzasty.
9.
Udowodnij następujące tezy rachunku predykatów budując dowód aksjomatyczny
9.1. xyA  yxA
xA  x(A)
9.3. x( A)  x( A)
9.2.
Str. 2/2