13DRAP - Funkcje tworzące i procesy gałązkowe A Zadania na

13DRAP - Funkcje tworzące i procesy gałązkowe
Definicja. 1. Funkcją tworzącą momenty zmiennej losowej X nazywamy funkcję MX (t) = E(etX ) określoną w pewnym
otoczeniu zera.
Twierdzenie. 1 (O jednoznaczności). Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest jednoznacznie wyznaczony przez
jej funkcję tworzącą momenty (o ile jest ona określona na przedziale (−t0 , t0 ), t0 > 0).
Twierdzenie. 2. Jeżeli MX (t) < +∞ dla t ∈ (−t0 , t0 ), gdzie t0 > 0, to
(a) E|X|k < +∞ dla każdego k ∈ N;
(b) MX (t) =
∞
X
EX k
k=0
k!
tk dla t ∈ (−t0 , t0 );
(k)
(c) MX (0) = EX k dla k ∈ N.
Twierdzenie. 3. (i) Dla dowolnych a, b ∈ R, MaX+b (t) = ebt MX (at).
(ii) Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to MX+Y = MX · MY .
Definicja. 2. Funkcją tworzącą (prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X o rozkładzie P (X = k) = pk dla k ∈ N0
nazywamy funkcję
∞
X
gX (s) = E(sX ) =
pk sk ,
k=0
określoną dla s ∈ [−1, 1].
Twierdzenie. 4 (O jednoznaczności). Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach w N0 jest jednoznacznie
wyznaczony przez jej funkcję tworzącą prawdopodobieństwa.
Twierdzenie. 5. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi przyjmującymi wartości w N0 .
(a) gX (1) = 1;
00
(k)
0
(b) E[X(X − 1) · . . . · (X − k + 1)] = gX (1) dla k = 1, 2, . . .; w szczególności E(X) = gX
(1) oraz E[X(X − 1)] = gX (1);
(c) jeżeli zmienne X, Y są niezależne, to gX+Y = gX · gY .
Twierdzenie. 6. Jeżeli X1 , X2 , . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z funkcją
tworzącą g, a N jest niezależną od nich zmienną losową, to dla sumy S = X1 + X2 + . . . + XN losowej liczby kolejnych
elementów ciągu X1 , X2 , . . . zachodzi wzór gS (s) = gN (g(s)).
Twierdzenie. 7. Niech gn = gZn , gdzie Zn jest zmienną losową mierzącą liczebność n-tego pokolenia w pewnym procesie
gałązkowym, oraz niech m = EZ1 . Wtedy
(a) gn+m (s) = gm (gn (s));
(b) EZn = mn .
Twierdzenie. 8. Prawdopodobieństwo wyginięcia (wymarcia) procesu d jest najmniejszym, nieujemnym pierwiastkiem
równania s = g1 (s), gdzie g1 = gZ1 jest funkcją tworzącą liczby potomków pojedynczego osobnika.
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Zmienna losowa X ma funkcję tworzącą momenty postaci
MX (t) =
1 −2t 1 −t 1 t 1 2t
e
+ e + e + e .
6
3
4
4
Wyznacz P(|X| ¬ 1).
Zadanie A.2. Korzystając z funkcji tworzącej momenty, wyznacz k-ty moment zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [a, b].
Zadanie A.3. Pewne towarzystwo ubezpiecza domy w trzech miastach: A, B oraz C. Szkody spowodowane przez huragan
w tych miastach są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących momenty równych odpowiednio
MA (t) = (1 − 2t)−3 ,
5
MB (t) = (1 − 2t)− 2 ,
9
MC (t) = (1 − 2t)− 2 .
Zmienna losowa X stanowi sumę szkód powstałych w miastach A, B oraz C. Wyznacz E(X 3 ).
1
Zadanie A.4. Wiedząc, że niezalezne zmienne losowe dyskretne X i Y o wartościach całkowitych nieujemnych mają
2
3s
funkcje tworzące gX (s) = 3−s
i gY = 5−2s
, wyznacz funkcję tworzącą zmiennej Z = 3X + 2 oraz T = X + 2Y + 1.
Zadanie A.5. Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli klientów na grupy o mniej więcej jednakowym ryzyku, by im wyznaczyć
jednolitą składkę. Załóżmy, że wysokości roszczeń są niezależnymi zmiennymi losowymi X1 , X2 , . . . o jednakowym rozkładzie
Poissona z parametrem 100, a liczba szkód jest zmienną N o rozkładzie P o(λ), niezależną od zmiennych losowych X1 , X2 ,
. . . . Wielkość wypłat jest zmienną losową S = X1 + . . . + XN . Znaleźć funkcję tworzącą zmiennej losowej S.
Zadanie A.6. Bakterie rozmnażają się przez podział komórki. W jednostce czasu bakteria umiera (z prawdopodobieństwem
0,25), pozostaje bez zmian (z prawdopodobieństwem 0,25) albo dzieli się na dwie nowe (z prawdopodobieństwem 0,5). Na
początku mamy 100 bakterii.
(a) Napisz wzór funkcji tworzącej rozkładu liczebności populacji w n-tym pokoleniu.
(b) Wyznacz prawdopodobieństwo wyginięcia całej populacji.
(c) Niech mn będzie największą możliwą liczbą bakterii w n-tym pokoleniu. Znajdź mn oraz oblicz prawdopodobieństwo,
że w n-tym pokoleniu jest dokładnie mn osobników.
(d) Zakładając, że w 50. generacji jest 1000 bakterii, wyznacz wartość oczekiwaną liczby bakterii w 51 pokoleniu.
Zadanie A.7. Zosia co roku zakupuje wszystkie dostępne w pobliskim sklepie sadzonki pewnego gatunku kwiatu i sadzi
je w ogródku. Liczba dostępnych sadzonek ma rozkład Poissona z parametrem λ = 2. Każda z sadzonek się przymie
niezależnie z prawdopodobieństwem 1/3. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że Zosia w tym roku nie będzie miała żadnego
z zakupionych kwiatów? Ile wynosi średnia liczba sadzonek, które się przyjęły? Jaki ma rozkład zmienna losowa równa
liczbie sadzonek, które ostatecznie przyjmą się w ogrodzie Zosi? Zadanie rozwiąż wykorzystując aparat funkcji tworzących.
Zadanie A.8. Wyznacz rozkład zmiennych losowych X i Y z zadania A.4.
B
Zadania domowe
Zadanie B.1. Zad. 1, §8.1.
Zadanie B.2. Zad. 5, §8.1.
Zadanie B.3 (por. Zad. 6, §8.1). Oblicz funkcję tworzącą dla rozkładu jednopunktowego δk oraz dwupunktowego pδk + qδl
(p + q = 1), a następnie za ich pomocą wyznacz wartości oczekiwane i wariancje podanych rozkładów.
Zadanie B.4. Zmienna losowa X ma funkcję tworzącą g(s) = 41 (1 + s)2 . Oblicz EX oraz VarX.
Zadanie B.5. Wyznacz funkcję tworzącą sumy n niezależnych zmiennych losowych X1 , . . . , Xn o rozkładach Poissona z
parametrami λ1 , . . . , λn , odpowiednio.
Zadanie B.6. Wyznacz funkcję tworzącą momenty dla sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
wykładniczych z parametrem 1.
Zadanie B.7. Wyznacz funkcję tworzącą oraz funkcję tworzącą momenty dla zmiennej losowej X przyjmującej wartości
równe liczbie oczek przy rzucie symetryczną kostką do gry.
Zadanie B.8. Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie P(X1 = 0) = 23 ,
P(X1 = 1) = 16 oraz P(X1 = 2) = 16 . Znajdź funkcję tworzącą oraz funkcję tworzącą momenty dla zmiennych: S1 = X1 ,
S2 = X1 + X2 , Sn = X1 + . . . + Xn oraz n1 Sn .
Zadanie B.9. Zad. 1, §8.3.
Zadanie B.10. Liczba potomków w procesie gałązkowym ma następujący rozkład: P(Z1 = 0) = 0,25, P(Z1 = 1) = 0,4
oraz P(Z1 = 2) = 0,35.
(a) Wyznacz średnią liczebność n-tej generacji.
(b) Wyznacz prawdopodobieństwo wyginięcia całej populacji.
Zadanie B.11. Rozważmy proces gałązkowy Z0 , Z1 , . . ., w którym prawdopodobieństwo wydania j potomków jest równe
pj , gdzie
(a) p0 = 12 , p1 =
1
4
oraz p2 = 41 ;
(b) p0 = 31 , p1 = 0 oraz p2 = 23 ;
(c) p0 = p1 = p2 = p3 = 14 .
Wyznacz średnią liczbę członków w n-tej generacji oraz prawdopodobieństwo wymarcia populacji.
2
C
Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Zad. 3, §8.1.
Zadanie C.2. Zad. 8, §8.1.
Zadanie C.3. Zad. 11, §8.1.
Zadanie C.4. Zad. 1, §8.2. (uwaga: G0 (p) to zmodyfikowany rozkład geometryczny, którym liczymy liczbę porażek do
pierwszego sukcesu)
Rozwiązania niektórych zadań
B.3 rozkład jednopunktowy: g(s) = sk , EX = k, VarX = 0
rozkład dwupunktowy: g(s) = psk + qsl , EX = pk + ql, VarX = (k − l)2 pq
B.4 EX = 1, VarX = 1/2
B.5 gX1 +X2 +...+Xn (s) = e−(λ1 +...+λn )(1−s) UWAGA: Z tego wynika, że X1 + X2 + . . . + Xn ma rozkład Poissona z
parametrem λ1 + . . . + λn
B.6 MX (t) =
1
(1−t)2 , t
∈ (−1, 1)
s6 −1
s−1 ,
MX (s) =
s
6
B.7 gX (s) =
B.8 gSn (s) =
MSn (t) =
·
1 n
(s2 + s +
6
1 n
(e2t + et
6
et
6
·
e6t −1
et −1
4)n , gSn /n (s) =
+ 4)n , MSn /n (t)
1 n
(s2/n + s1/n + 4)n
6
n
= 61 (e2t/n + et/n +
11 n
,
10
η = 5/7
n
B.11 (a) EZn = 43 , η = 1
n
(b) EZn = 43 , η = 1/2
√
n
(c) EZn = 32 , η = 2 − 1
B.10 EZn =
3
4)n