Zadania Maturalne: Ciąg Arytmetyczny i Geometryczny - Przygotowanie do Egzaminu

Zadania maturalne
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Zad. 1 (4 pkt) (maj 2024 - zad. 7)
Trzywyrazowy ciąg (x, y, z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x, y
oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (an ), określonego
dla każdej liczby naturalnej n ­ 1. Oblicz x, y oraz z.
Zad. 2 (5 pkt) (czerwiec 2023 - zad. 11)
Ciąg (a, b, c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg (2a, 2b, c + 1) jest
trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek c − b = 6. Oblicz a, b oraz c.
Zad. 3 (4 pkt) (maj 2022 - zad. 10)
Ciąg (an ), określony dla każdej liczby naturalnej n ­ 1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie.
1
5
Ponadto a1 = 675 i a22 = a23 + a21 .
4
5
Ciąg (bn ), określony dla każdej liczby naturalnej n ­ 1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu
(an ) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (bn ). Ponadto a3 = b4 .
Oblicz b1 .
Zad. 4 (5 pkt) (marzec 2021 - zad. 12)
Czterowyrazowy ciąg (a, b, c, d) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest
równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg (a + 100, b, c) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu a, b, c, d.
Zad. 5 (5 pkt) (maj 2020 - zad. 10)
W
trzywyrazowym
ciągu
geometrycznym
(a1 , a2 , a3 )
spełniona
jest
równość
21
. Wyrazy a1 , a2 , a3 są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego
a1 + a2 + a3 =
4
ciągu arytmetycznego. Oblicz a1 .
Zad. 6 (6 pkt) (maj 2019 - zad. 12)
1 2
1
Trzywyrazowy ciąg (a, b, c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg
,
,
a 3b 2a + 2b + c
jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Zad. 7 (4 pkt) (czerwiec 2018 - zad. 10)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a, aq, aq 2 ), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi
nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz
aq tego ciągu.
Zad. 8 (4 pkt) (maj 2018 - zad. 13)
Wyrazy ciągu geometrycznego (an ), określonego dla n ­ 1, spełniają układ równań
(
a3 + a6 = −84
a4 + a7 = 168
Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma Sn jest równa 32769.
–1–
matematykaszkolna.pl
Zad. 9 (4 pkt) (czerwiec 2017 - zad. 10)
Ciąg (an ) jest arytmetyczny, a ciąg (bn ) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a1 ciągu arytmetycznego jest
ilorazem ciągu geometrycznego (bn ). Wyrazy ciągu (an ) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych
wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz b1 ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu
arytmetycznego (an ). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (bn ) jest równa 18. Wyznacz
te ciągi.
Zad. 10 (6 pkt) (maj 2017 - zad. 14)
Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych
liczb jest równa 27. Ciąg (a − 2, b, 2c + 1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a, b, c.
Zad. 11 (6 pkt) (maj 2015 - zad. 4)
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy 5, do drugiej 3, a do trzeciej 4,
to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy większy od pierwszego.
Znajdź te liczby.
Zad. 12 (6 pkt) (czerwiec 2014 - zad. 8)
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy
kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli
pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.
Zad. 13 (5 pkt) (maj 2013 - zad. 5)
Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a+b+c = 33, natomiast ciąg (a−1, b+5, c+19) jest geometryczny.
Oblicz a, b, c.
Zad. 14 (5 pkt) (sierpień 2013 - zad. 3)
Ciąg arytmetyczny (an ), określony dla n ­ 1 jest malejący i a1 = 6. Siódmy, dziesiąty i szesnasty wyraz tego
ciągu w podanej kolejności są równe trzem początkowym wyrazom ciągu geometrycznego (bn ), określonego
dla n ­ 1. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu (bn ).
Zad. 15 (3 pkt) (sierpień 2013 - zad. 11)
Udowodnij, że jeżeli ciąg (an ) określony dla n ­ 1 jest geometryczny, to dla dowolnych liczb całkowitych
dodatnich n takich, że n ­ 11 prawdziwa jest równość (an+1 )2 = an−10 · an+12 .
Zad. 16 (6 pkt) (maj 2012 - zad. 5)
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie
znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
Zad. 17 (5 pkt) (czerwiec 2012 - zad. 5)
W ciągu arytmetycznym (an ), dla n ­ 1, dane są a1 = −2 oraz różnica r = 3. Oblicz największe n takie,
że a1 + a2 + . . . + an < 2012.
Zad. 18 (4 pkt) (maj 2011 - zad. 5)
O ciągu (xn ) dla n ­ 1 wiadomo, że:
a) ciąg (an ) określony wzorem an = 3xn dla n ­ 1 jest geometryczny o ilorazie q = 27.
b) x1 + x2 + . . . + x10 = 145
Oblicz x1 .
–2–
matematykaszkolna.pl
Zad. 19 (5 pkt) (czerwiec 2011 - zad. 3)
Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a + 3, 2b, c − 12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych
wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c.
Zad. 20 (5 pkt) (maj 2010 - zad. 5)
O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c = 10, zaś ciąg (a + 1, b + 4, c + 19) jest
geometryczny. Wyznacz te liczby.
Zad. 21 (5 pkt) (sierpień 2010 - zad. 11)
Ciąg (a, b, c) jest geometryczny i a + b + c = 26, zaś ciąg (a − 5, b − 4, c − 11) jest arytmetyczny. Oblicz a, b, c.
Zad. 22 (3 pkt) (maj 2008 - zad. 6)
Udowodnij, że jeżeli ciąg (a, b, c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a = b = c.
Zad. 23 (4 pkt) (maj 2007 - zad. 11)
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an ) wyraża się wzorem Sn = 2n2 + n dla n ­ 1.
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: a2 + a4 + a6 + . . . + a100 .
Sn
.
b) Oblicz lim
n→∞ 3n2 − 2
Zad. 24 (5 pkt) (styczeń 2003 - zad. 4)
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an ), jest obliczana według wzoru Sn = n2 + 3n, (n ∈ N + ).
Wyznacz an . Wykaż, że ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym.
Zad. 25 (5 pkt) (styczeń 2003 - zad. 5)
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych,
kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zad. 26 (6 pkt) (informator)
Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21
7
.
oraz suma ich odwrotności jest równa 12
Zad. 27 (3 pkt) (informator)
Dany jest ciąg (an ) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego
1
ciągu jest równa (7n2 −n). Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Wykaż, że (an ) jest ciągiem arytmetycznym.
2
Zad. 28 (3 pkt) (informator)
Wiedząc, że dla pewnego ciągu geometrycznego (an ) o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równość
S14 = 5 · S7 , oblicz iloraz tego ciągu. Symbol Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an ).
–3–
matematykaszkolna.pl
Odpowiedzi
Zad. 1
x = 5, y = 20, z = 80
Zad. 7
aq = 3
Zad. 8
n = 15
Zad. 2
a = 1, b = 3, c = 9
Zad. 3
b1 = 129
Zad. 9
an = 3n + 2, bn = 35 · 5n
Zad. 12
28
−3, 6, −12 lub − 97 , 14
9 ,− 9
Zad. 4
(-36,144,324,504)
Zad. 10
5, 9, 13 lub 15 21 , 9, 2 12
Zad. 13


a=9
a = 33






b = 11 lub b = 11






c = 13
c = −11
Zad. 14
−6138
Zad. 15
-
Zad. 17
n = 37
Zad. 18
x1 = 1
Zad. 19
a = 3, b = 12, c = 48
Zad. 21
a = 2, b = 6, c = 18 lub
a = 18, b = 6, c = 2
Zad. 22
-
Zad. 23
a) 10150
Zad. 24
an = 2n + 2
Zad. 27
a20 = 136
Zad. 28
√
q= 74
matematykaszkolna.pl
Zad. 6
q = 13
Zad. 11
−2, 3, 8
Zad. 16
4
20 100
9 , − 9 , 9 lub 4, 12, 36
b) 23
Zad. 5
a1 = 3
Zad. 20
a = 2, b = 5, c = 8 lub
a = 26, b = 5, c = −16
Zad. 25
1019
Zad. 26
12, 6, 3 lub 3, 6, 12