Grupa A Klasa .................... Imię i nazwisko .................................................... 1 Kwadrat ma taką samą przekątną jak prostokąt o wymiarach 2 cm i 14 cm. Który z tych czworokątów ma większy obwód? O ile większy? 2 Suma długości dwóch krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równa 12, a ich Liczba punktów ...... / 52 ( ... / 2 p.) ( ... / 3 p.) iloczyn jest równy 32. Oblicz długość najdłuższego boku tego trójkąta. 3 ( ... / 2 p.) Boki pewnego równoległoboku mają długość 9 cm i 13 cm, a jedna z przekątnych ma długość 5√10 cm. Czy ten równoległobok jest prostokątem? Odpowiedź uzasadnij. 4 W trójkącie prostokątnym najkrótszy bok ma długość 6 cm, a najdłuższy 3√13 cm. Oblicz sinus i tangens większego z kątów ostrych w tym trójkącie. 5 W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 20 cm, a ramiona mają po ( ... / 3 p.) ( ... / 2 p.) 8 cm. Każda z przekątnych tego trapezu jest prostopadła do jednego z ramion. Wyznacz tangens kąta między przekątną a krótszą podstawą tego trapezu. 6 ( ... / 3 p.) W trójkącie prostokątnym o obwodzie (26 + 2√91) cm cosinus jednego z kątów ostrych jest równy 0, 3. Oblicz pole tego trójkąta. 7 ( ... / 2 p.) Dwie części drabiny dwustronnej po rozstawieniu wyznaczają u góry kąt α = 38∘ . Punkty, w których obie części stoją na podłodze, są odległe o d = 1, 4 m. Na jakiej wysokości nad podłogą znajduje się najwyższy punkt tej drabiny? Wynik zaokrąglij do dziesiątych części metra. 8 ( ... / 3 p.) Komin fabryczny jest widoczny z punktu A pod kątem α = 13∘ . Pod jakim kątem jest widoczny ten komin z punktu B znajdującego 5 razy bliżej komina niż A? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 9 ( ... / 3 p.) Z samochodu znajdującego się w punkcie A na drodze d widać punkt E, w którym stoi słup elektrowni wiatrowej. Widać go pod kątem, którego cotangens jest równy 3, 1. Po przejechaniu odcinka długości a = 200 m ten punkt widać pod kątem dwukrotnie większym. Jaka jest odległość tego słupa od drogi? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby metrów. 10 ( ... / 2 p.) Rozwiąż trójkąt równoramienny o podstawie 8 cm i obwodzie 44 cm. Grupa A | strona 1 z 2 11 ( ... / 3 p.) W trójkącie ABC mamy: ∢ACB = 90∘ , ∣CA∣ = 15, ∣CB∣ = 8. Punkt D jest środkiem boku BC, a punkt E jest środkiem odcinka CD. Rozwiąż trójkąt ADE. 12 13 ( ... / 2 p.) Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli: 21 3 a) sin α = b) tg α = . , 29 4 Tangens kąta ostrego α jest równy ( ... / 3 p.) √5 . Wykaż, że wartość wyrażenia 2 sin α − √5 cos α sin α − jest równa 0. 2 2 6 (cos α − sin α ) cos α 14 ( ... / 2 p.) Sprawdź, czy istnieje kąt ostry α spełniający dwa następujące warunki: sin α = √15 i tg α = 5 sin α. 5 15 2 Tangens kąta ostrego α jest równy . Oblicz wartość wyrażenia 3 ∘ ∘ sin (180 − α )+ sin (90 − α ) . cos α 16 Wyznacz kąt ostry α, dla którego spełniona jest równość 2√2 cos 135∘ − ( ... / 3 p.) ( ... / 3 p.) 6 sin (180∘ − α ) = tg 45∘ . tg 120∘ 17 Sprawdź, czy trójkąt o bokach p, q, r jest prostokątny, jeśli cos 135∘ p = sin 120∘ , q = − ctg 135∘ , r = − . √2 18 Kąt między ramionami w trójkącie równoramiennym ma miarę 45∘ . Pole tego trójkąta ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) jest równe 18√2. Oblicz długości ramion. 19 W pewnym trójkącie o polu 84 boki mają długość 13, 14, 15. Wyznacz miarę kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku. Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 20 Pole pewnego trapezu o wysokości 14 cm jest równe 91 cm2 . Oblicz średnią ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) arytmetyczną długości podstaw tego trapezu. 21 Wysokość wyprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego rombu dzieli go na trójkąt 2 i trapez. Cosinus kąta ostrego w tym rombie jest równy . Oblicz stosunek pola tego 3 trapezu do pola trójkąta. ( ... / 3 p.) Grupa A | strona 2 z 2 Grupa B Klasa .................... Imię i nazwisko .................................................... 1 Kwadrat ma taką samą przekątną jak prostokąt o wymiarach 3 cm i 21 cm. Który z tych czworokątów ma większy obwód? O ile większy? 2 Suma długości dwóch krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równa 16, a ich Liczba punktów ...... / 52 ( ... / 2 p.) ( ... / 3 p.) iloczyn jest równy 48. Oblicz długość najdłuższego boku tego trójkąta. 3 ( ... / 2 p.) Boki pewnego równoległoboku mają długość 3 cm i 21 cm, a jedna z przekątnych ma długość 15√2 cm. Czy ten równoległobok jest prostokątem? Odpowiedź uzasadnij. 4 W trójkącie prostokątnym najkrótszy bok ma długość 4 cm, a najdłuższy 4√17 cm. Oblicz sinus i tangens większego z kątów ostrych w tym trójkącie. 5 W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 18 cm, a ramiona mają po ( ... / 3 p.) ( ... / 2 p.) 10 cm. Każda z przekątnych tego trapezu jest prostopadła do jednego z ramion. Wyznacz tangens kąta między przekątną a krótszą podstawą tego trapezu. 6 ( ... / 3 p.) W trójkącie prostokątnym o obwodzie (12 + 4√6) cm cosinus jednego z kątów ostrych jest równy 0, 2. Oblicz pole tego trójkąta. 7 ( ... / 2 p.) Dwie części drabiny dwustronnej po rozstawieniu wyznaczają u góry kąt α = 42∘ . Punkty, w których obie części stoją na podłodze, są odległe o d = 1, 6 m. Na jakiej wysokości nad podłogą znajduje się najwyższy punkt tej drabiny? Wynik zaokrąglij do dziesiątych części metra. 8 ( ... / 3 p.) Komin fabryczny jest widoczny z punktu A pod kątem α = 15∘ . Pod jakim kątem jest widoczny ten komin z punktu B znajdującego 4 razy bliżej komina niż A? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 9 ( ... / 3 p.) Z samochodu znajdującego się w punkcie A na drodze d widać punkt E, w którym stoi słup elektrowni wiatrowej. Widać go pod kątem, którego cotangens jest równy 2, 8. Po przejechaniu odcinka długości a = 180 m ten punkt widać pod kątem dwukrotnie większym. Jaka jest odległość tego słupa od drogi? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby metrów. 10 ( ... / 2 p.) Rozwiąż trójkąt równoramienny o podstawie 12 cm i obwodzie 54 cm. Grupa B | strona 1 z 2 11 ( ... / 3 p.) W trójkącie ABC mamy: ∢ACB = 90∘ , ∣CA∣ = 13, ∣CB∣ = 16. Punkt D jest środkiem boku BC, a punkt E jest środkiem odcinka CD. Rozwiąż trójkąt ADE. 12 13 ( ... / 2 p.) Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli: 15 5 a) sin α = b) tg α = , . 17 12 Tangens kąta ostrego α jest równy ( ... / 3 p.) √8 . Wykaż, że wartość wyrażenia 8 √8 sin α cos α + sin α jest równa 0. − √8 √8 − cos α sin α cos α ( ... / 2 p.) 14 Sprawdź, czy istnieje kąt ostry α spełniający dwa następujące warunki: 3 sin α = i cos α = 2 tg α. 7 15 5 Tangens kąta ostrego α jest równy . Oblicz wartość wyrażenia 7 ∘ ∘ cos (180 − α )+ cos (90 − α ) . cos α 16 ( ... / 3 p.) ( ... / 3 p.) Wyznacz kąt ostry α, dla którego spełniona jest równość 3 tg(180∘ − α ) 4 ⋅ sin 60∘ − = tg 60°. 3 2√3 sin 120∘ 17 Sprawdź, czy trójkąt o bokach p, q, r jest prostokątny, jeśli sin 135∘ p = − cos 150∘ , q = − tg 135∘ , r = . √2 18 Kąt między ramionami w trójkącie równoramiennym ma miarę 30∘ . Pole tego trójkąta ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) jest równe 32. Oblicz długości ramion. 19 W pewnym trójkącie o polu 204 boki mają długość 17, 25, 26. Wyznacz miarę kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku. Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 20 Pole pewnego trapezu o wysokości 9 cm jest równe 171 cm2 . Oblicz średnią ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) arytmetyczną długości podstaw tego trapezu. 21 Wysokość wyprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego rombu dzieli go na trójkąt 2 i trapez. Cosinus kąta ostrego w tym rombie jest równy . Oblicz stosunek pola tego 5 trapezu do pola trójkąta. ( ... / 3 p.) Grupa B | strona 2 z 2 Grupa C Klasa .................... Imię i nazwisko .................................................... 1 Kwadrat ma taką samą przekątną jak prostokąt o wymiarach 23 cm i 7 cm. Który z tych czworokątów ma większy obwód? O ile większy? 2 Suma długości dwóch krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równa 16, a ich Liczba punktów ...... / 52 ( ... / 2 p.) ( ... / 3 p.) iloczyn jest równy 28. Oblicz długość najdłuższego boku tego trójkąta. 3 ( ... / 2 p.) Boki pewnego równoległoboku mają długość 5 cm i 15 cm, a jedna z przekątnych ma długość 5√10 cm. Czy ten równoległobok jest prostokątem? Odpowiedź uzasadnij. 4 W trójkącie prostokątnym najkrótszy bok ma długość 12 cm, a najdłuższy 6√29 cm. Oblicz sinus i tangens większego z kątów ostrych w tym trójkącie. 5 W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 24 cm, a ramiona mają po ( ... / 3 p.) ( ... / 2 p.) 9 cm. Każda z przekątnych tego trapezu jest prostopadła do jednego z ramion. Wyznacz tangens kąta między przekątną a krótszą podstawą tego trapezu. 6 ( ... / 3 p.) W trójkącie prostokątnym o obwodzie (28 + 4√21) cm cosinus jednego z kątów ostrych jest równy 0, 4. Oblicz pole tego trójkąta. 7 ( ... / 2 p.) Dwie części drabiny dwustronnej po rozstawieniu wyznaczają u góry kąt α = 40∘ . Punkty, w których obie części stoją na podłodze, są odległe o d = 1, 8 m. Na jakiej wysokości nad podłogą znajduje się najwyższy punkt tej drabiny? Wynik zaokrąglij do dziesiątych części metra. 8 ( ... / 3 p.) Komin fabryczny jest widoczny z punktu A pod kątem α = 19∘ . Pod jakim kątem jest widoczny ten komin z punktu B znajdującego 3 razy bliżej komina niż A? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 9 ( ... / 3 p.) Z samochodu znajdującego się w punkcie A na drodze d widać punkt E, w którym stoi słup elektrowni wiatrowej. Widać go pod kątem, którego cotangens jest równy 4, 2. Po przejechaniu odcinka długości a = 160 m ten punkt widać pod kątem dwukrotnie większym. Jaka jest odległość tego słupa od drogi? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby metrów. 10 ( ... / 2 p.) Rozwiąż trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm i obwodzie 38 cm. Grupa C | strona 1 z 2 11 ( ... / 3 p.) W trójkącie ABC mamy: ∢ACB = 90∘ , ∣CA∣ = 32, ∣CB∣ = 20. Punkt D jest środkiem boku BC, a punkt E jest środkiem odcinka CD. Rozwiąż trójkąt ADE. 12 13 Tangens kąta ostrego α jest równy √15 sin α + cos α √15 sin α 2 cos α 14 − ( ... / 3 p.) √15 . Wykaż, że wartość wyrażenia 15 cos α jest równa 0. sin α ( ... / 2 p.) Sprawdź, czy istnieje kąt ostry α spełniający dwa następujące warunki: sin α = 15 ( ... / 2 p.) Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli: 24 20 a) sin α = b) tg α = , . 25 21 √10 i cos α = √10 tg α. 10 Tangens kąta ostrego α jest równy ( ... / 3 p.) 9 . Oblicz wartość wyrażenia 11 sin (90∘ − α )− sin (180∘ − α ) . cos α 16 ( ... / 3 p.) Wyznacz kąt ostry α, dla którego spełniona jest równość tg (180∘ − α )+ 1 + sin 135∘ = sin 45∘ . √2 cos 150∘ 17 Sprawdź, czy trójkąt o bokach p, q, r jest prostokątny, jeśli ctg 150∘ p = sin 135∘ , q = − cos 120∘ , r = − . 2 18 Kąt między ramionami w trójkącie równoramiennym ma miarę 45∘ . Pole tego trójkąta ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) jest równe 1, 5√2. Oblicz długości ramion. 19 W pewnym trójkącie o polu 210 boki mają długość 17, 25, 28. Wyznacz miarę kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku. Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 20 Pole pewnego trapezu o wysokości 13 cm jest równe 273 cm2 . Oblicz średnią ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) arytmetyczną długości podstaw tego trapezu. 21 Wysokość wyprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego rombu dzieli go na trójkąt 3 i trapez. Cosinus kąta ostrego w tym rombie jest równy . Oblicz stosunek pola tego 4 trapezu do pola trójkąta. ( ... / 3 p.) Grupa C | strona 2 z 2 Grupa D Klasa .................... Imię i nazwisko .................................................... 1 Kwadrat ma taką samą przekątną jak prostokąt o wymiarach 31 cm i 17 cm. Który z tych czworokątów ma większy obwód? O ile większy? 2 Suma długości dwóch krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równa 20, a ich Liczba punktów ...... / 52 ( ... / 2 p.) ( ... / 3 p.) iloczyn jest równy 75. Oblicz długość najdłuższego boku tego trójkąta. 3 ( ... / 2 p.) Boki pewnego równoległoboku mają długość 27 cm i 9 cm, a jedna z przekątnych ma długość 9√10 cm. Czy ten równoległobok jest prostokątem? Odpowiedź uzasadnij. 4 W trójkącie prostokątnym najkrótszy bok ma długość 6 cm, a najdłuższy 2√34 cm. Oblicz sinus i tangens większego z kątów ostrych w tym trójkącie. 5 W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 9 cm, a ramiona mają po ( ... / 3 p.) ( ... / 2 p.) 8 cm. Każda z przekątnych tego trapezu jest prostopadła do jednego z ramion. Wyznacz tangens kąta między przekątną a krótszą podstawą tego trapezu. 6 ( ... / 3 p.) W trójkącie prostokątnym o obwodzie (17 + √51) cm cosinus jednego z kątów ostrych jest równy 0, 7. Oblicz pole tego trójkąta. 7 ( ... / 2 p.) Dwie części drabiny dwustronnej po rozstawieniu wyznaczają u góry kąt α = 36∘ . Punkty, w których obie części stoją na podłodze, są odległe o d = 1, 7 m. Na jakiej wysokości nad podłogą znajduje się najwyższy punkt tej drabiny? Wynik zaokrąglij do dziesiątych części metra. 8 ( ... / 3 p.) Komin fabryczny jest widoczny z punktu A pod kątem α = 23∘ . Pod jakim kątem jest widoczny ten komin z punktu B znajdującego 2 razy bliżej komina niż A? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 9 ( ... / 3 p.) Z samochodu znajdującego się w punkcie A na drodze d widać punkt E, w którym stoi słup elektrowni wiatrowej. Widać go pod kątem, którego cotangens jest równy 3, 6. Po przejechaniu odcinka długości a = 250 m ten punkt widać pod kątem dwukrotnie większym. Jaka jest odległość tego słupa od drogi? Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby metrów. 10 ( ... / 2 p.) Rozwiąż trójkąt równoramienny o podstawie 14 cm i obwodzie 68 cm. Grupa D | strona 1 z 2 11 ( ... / 3 p.) W trójkącie ABC mamy: ∢ACB = 90∘ , ∣CA∣ = 15, ∣CB∣ = 24. Punkt D jest środkiem boku BC, a punkt E jest środkiem odcinka CD. Rozwiąż trójkąt ADE. 12 13 ( ... / 2 p.) Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli: 4 2 a) sin α = , b) tg α = 2 . 5 5 Tangens kąta ostrego α jest równy ( ... / 3 p.) 3√ 7 . Wykaż, że wartość wyrażenia 7 sin α ⋅ cos α 7 sin α − jest równa 0. sin2 α − cos2 α 2 cos α 14 ( ... / 2 p.) Sprawdź, czy istnieje kąt ostry α spełniający dwa następujące warunki: cos α = √7 i tg α = √2 sin α. 4 15 2 Tangens kąta ostrego α jest równy . Oblicz wartość wyrażenia 5 ∘ ∘ cos (180 − α )− cos (90 − α ) . cos α 16 Wyznacz kąt ostry α, dla którego spełniona jest równość ( ... / 3 p.) ( ... / 3 p.) cos (180∘ − α ) + sin 60∘ = − tg 120∘ . tg 150∘ 17 Sprawdź, czy trójkąt o bokach p, q, r jest prostokątny, jeśli − tg 135∘ p = −√2 ctg 120∘ , q = , r = sin 135∘ . √6 18 Kąt między ramionami w trójkącie równoramiennym ma miarę 30∘ . Pole tego trójkąta ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) jest równe 10. Oblicz długości ramion. 19 W pewnym trójkącie o polu 360 boki mają długość 25, 29, 36. Wyznacz miarę kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku. Wynik zaokrąglij do całkowitej liczby stopni. 20 Pole pewnego trapezu o wysokości 16 cm jest równe 264 cm2 . Oblicz średnią ( ... / 2 p.) ( ... / 2 p.) arytmetyczną długości podstaw tego trapezu. 21 Wysokość wyprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego rombu dzieli go na trójkąt 3 i trapez. Cosinus kąta ostrego w tym rombie jest równy . Oblicz stosunek pola tego 5 trapezu do pola trójkąta. ( ... / 3 p.) Grupa D | strona 2 z 2
