Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa” WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2017/2018 1. [8p.] a) Wyznaczyć, o ile istnieje, macierz Y z równania (2A · Y T )T − B = 3Y , gdzie " A= 1 1 2 −1 # " , B= 1 2 0 −1 # [2p.] b) Podać możliwe wartości wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n, jeżeli A2 = 8A−1 . Odpowiedź uzasadnić. 2. [8p.] a) Dla jakich wartości parametru rzeczywistego p układu równań x+y =4 −x + y = 6 x − y = 2p ma rozwiązanie? Rozwiązać układ dla wyznaczonych wartości parametru p. [2p.] b) Dana jest macierz A wymiaru 2×3 i nieosobliwa macierz B stopnia 2. Które z iloczynów B −1 AT A i AAT B −1 istnieją? Odpowiedź uzasadnić. 3. [8p.] a) Dane są proste x = −1 + 2t l1 : y = 2 + t z = −1 − 2t i x = −3s l2 : y = 5 + s z = −4 + s gdzie t, s ∈ R. Znaleźć punkt przecięcia tych prostych i równanie płaszczyzny zawierającej je. [2p.] b) Sprawdzić, czy punkty A(1, 3, 0), B(2, 4, 5) i C(3, 5, 9) należą do jednej prostej. ............................................................................................. q 4. [5p.] a) Wyznaczyć wszystkie elementy zbioru 4 (1 + i)8 w postaci algebraicznej i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej. [5p.] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę I C e2z dz , z 2 (z + 2i) gdzie C jest krzywą o równaniu |z + 3i| = 2 zorientowaną dodatnio. Wykonać rysunek tej krzywej. 5. [8p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a 3s2 + 10s + 27 s3 + 5s2 + 7s − 13 wiedząc, że s = 1 jest jednym z pierwiastków wielomianu w mianowniku. [2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji f (t) = t. F (s) = 6. *) [dla chętnych] [5p.] Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek Im(z 3 ) < 0.
