Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb
Systemem liczenia nazywamy sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł
umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.
Najbardziej prymitywnym systemem liczbowym jest system jedynkowy, którym nie będziemy się
zajmować.
Będziemy zajmować się bardziej złożonymi systemami liczenia, do których zaliczamy:
 addytywny system liczbowy
 pozycyjny system liczbowy
W systemach addytywnych liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich
nazwa. Przykładem takiego systemu jest system alfabetyczny, hieroglificzny i rzymski.
Cyfry systemu rzymskiego to: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M – 1000.
Liczby tworzone są przez dodawanie poszczególnych cyfr w ciągu,
np. XVI = 10+5+1 = 16.
Jednak w tym systemie w niektórych przypadkach występuje odejmowanie, a nie tylko dodawanie.
Jeżeli przed wiekszą cyfrą pojawia się mniejsza, to przyjmuje ona wartość ujemną,
np. XIV = 10-1+5 = 14.
System pozycyjny – to sposób zapisywania liczb za pomocą skończonego zbioru znaków (cyfry
arabskie, litery alfabetu), gdzie wartość liczbowa cyfry zależy od jej umiejscowienia (pozycji)
względem sąsiednich znaków.System pozycyjny charakteryzuje liczba zwana podstawą systemu
pozycyjnego, która jednocześnie określa ilość używanych cyfr (znaków). Liczby zapisuje się za
pomocą cyfr, które ustawia się na określonych pozycjach. Np. powszechnie używa się systemu
dziesiętnego, w którym za podstawę przyjmuje się liczbę dziesięć. Każda pozycja ma swoja wagę,
która jest równa podstawie podniesionej do potęgi o wartości numeru pozycji. Wartość liczby
uzyskujemy po zsumowaniu poszczególnych iloczynów wag i cyfr pozycji.
Do najbardziej popularnych pozycyjnych systemów liczbowych zaliczamy:
 system dziesiętny/decymalny (sposób oznaczenia liczb: 9910/99D)
 system dwójkowy/binarny (sposób oznaczenia liczb: 01012/0101B)
 system szesnastkowy/heksadecymalny (sposób oznaczenia liczb: FF16/FFH)
 system ósemkowy/oktalny (sposób oznaczenia liczb: (778/77O)
System dziesiętny (decymalny)
Używany jest w codziennym zyciu. Podstawę stanowi liczba 10, a do zapisu liczb używa się
dziesięciu cyfr arabskich: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Przykład:
543D = 5*100+4*10+3*1
524130 = 5 * 102 + 4 * 101 + 3 * 100
cyfra
podstawa
waga
Każda cyfra w ciągu została ponumerowana, począwszy od prawej strony. Pozycji jedynek
przyporządkowano - 0, dziesiątek – 1, a setek – 2. Nastepnie każda cyfra z ciągu mnożona jest
przez wagę, którą stanowi podstawa 10 podniesiona do potęgi równej pozycji.
System dwójkowy (binarny: zero-jedynkowy)
Wszystkie urządzenia elektroniczne (w tym mikroprocesory) wykorzystują do obliczeń system
binarny. System binarny jest pozycyjnym systemem liczbowym tzn. że wartość danej cyfry zależy
od jej położenia. Do zapisu liczb w systemie dwójkowym używamy dwóch cyfr 0 i 1. Podstawą
tego systemu liczbowego jest liczba 2 (stąd jego nazwa: dwójkowy). Oznacza to, że kolejne liczby
licząc od prawej strony będą przyjmowały wartość 20, 21, 22... itd.
Zapis liczby dwójkowej jest dłuższy niz dziesiętnej, jedank stosowanie tylko dwóch cyfr ułatwia
budowanie układów półprzewodnikowych, gdzie w uproszczeniu 1 oznacza przepływ prądu, a 0 –
brak przepływu.
Przykład liczy w systemie binarnym: 10101B
Konwrsja liczby dwójkowej na postać dziesiętną:
10101B = 1403120110 = 1*24 +0*23+1*22+0*21+1*20 = 1*16+0*8+1*4+0*2+1*1 = 16+4+1 = 21D
10101B wynosi 21 w systemie dziesiętnym.
Aby dokonąć zamiany liczby dziesiętnej na postać binarną, należy wykonać dzielenie z resztą.
Dzielną jest liczba dziesiętna, a dzielnikiem podstawa systemu binarnego, czyli 2. Wynik z
pierwszego dzielenia ponownie jest dzielony przez 2, i tak aż do uzyskania 0. Liczba binarna
powstaje na bazie reszt zapisanych w odwrotnej kolejności:
Przykład: 25D
25:2 = 12
12:2 = 6
6:2 = 3
3:2 = 1
1:2 = 0
r=1
r=0
r=0
r=1
r=1
25D = 11001B
Po przekształceniu dziesiętnej liczby 25 otrzymujemy odpowiednik binarny 11001.