Obwód elektryczny nierozgałęziony

Wykład V
Łączenie szeregowe oporników
Łączenie równoległe oporników
Źródło prądu
Przenoszenie źródeł napięcia
Przenoszenie źródeł prądu
Przekształcenie trójkąt - gwiazda i gwiazda - trójkąt
Układ mostkowy
Łączenie szeregowe źródeł napięcia
Łączenie równoległe
Prawa Kirchhoffa
Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych
Metoda potencjałów węzłowych
Twierdzenie o kompensacji
Rozwiązywanie obwodów elektrycznych metodą superpozycji
Twierdzenie Thevenina
Twierdzenie Nortona
Łączenie szeregowe oporników
Rys 1. Łączenie szeregowe oporników: a) układ szeregowy n oporników
b) opornik zastępczy
U = U1 + U2 + ... + Un
U = R1I + R2I + ... + RnI = (R1 +R2 + ... +Rn)I
• Napięcie na poszczególnych opornikach połączonych
n
proporcjonalne do ich rezystancji.
R   Rk
szeregowo
są
k 1
• Rezystancja zastępcza układu szeregowego kilku oporników jest równa sumie
rezystancji poszczególnych oporników.
• Odwrotność konduktancji zastępczej układu szeregowego kilku oporników jest
równa sumie odwrotności konduktancji poszczególnych oporników.
n
1
1

G k 1 Gk
Łączenie równoległe oporników
• Prądy w połączonych równolegle gałęziach rezystancyjnych
są odwrotnie proporcjonalne do ich rezystancji albo wprost
proporcjonalne do ich konduktancji.
U

 G1U 
R1

U
I2 
 G 2 U 

R2
............................

U
In 
 GnU 

Rn
I1 
Rys. 2. Łączenie równoległe oporników: a) układ równoległy n oporników b)
opornik zastępczy
I  I1  I 2  ...  I n
U 1
1
1 
I    
    U
R  R1 R2
Rn 
Stąd
n
1
1

R k 1 Rk
• Odwrotność rezystancji zastępczej układu równoległego n oporników jest
równa sumie odwrotności ich rezystancji.
n
G   Gk
k 1
• Konduktancja zastępcza układu równoległego n oporników jest równa sumie
konduktancji poszczególnych oporników.
Rys. 3. Układ równoległy dwóch oporników
R
I1 
R1  R2
R1  R2
U RI
R2


I
R1
R1
R1  R2
U RI
R1
I2 


I
R2
R2
R1  R2
• Obok połączeń szeregowych i równoległych stosuje się również połączenia
szeregowo-równoległe (mieszane).
Rys. 4. Przykład szeregowo - równoległe połączenia oporników
Źródło prądu
Rys. 5. Źródło napięcia i źródło prądu: a) rzeczywiste źródło napięcia
obciążone opornikiem R b) równoważne źródło prądu
• Rzeczywiste źródło napięcia o napięciu źródłowym E i rezystancji
wewnętrznej Rw można zastąpić idealnym źródłem prądu o prądzie
Iźr =E/Rw i połączonym równolegle z nim opornikiem o rezystancji Rw.
Odwrotnie: każde idealne źródło prądu zbocznikowane opornikiem Rw można
zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia o napięciu źródłowym
E = Rw Iżr i o rezystancji wewnętrznej Rw.
•
•
Gdy R  ∞, to I  0 – stan jałowy, cały prąd płynie przez opornik bocznikujący Rw
Gdy R  0, I  Iźr – stan zwarcia, cały prąd płynie przez gałąź zwierającą
I
•
Moc obciążająca źródło :
Rw
1
 I zr 
 I zr
R
Rw  R
1
Rw
R  Rw 2
Pzr 
 I zr
R  Rw
•
Moc oddawana przez źródło prądu :
2
 Rw

R
P  RI  R  
 I zr  
 Rw2  I zr2
R  Rw 
 R  Rw

2
• Odbiornikiem dopasowanym do źródła prądu nazywa się odbiornik
o rezystancji R tak dobranej, że moc pobierana przez odbiornik ze źródła prądu
jest największa.
• Dopasowanie na maksymalną moc:

R  Rw   2  R  Rw   R
d
R


0
2
4
dR R  Rw 
R  Rw 
2
Otrzymujemy: R = Rw
Rys. 6. Przybliżona realizacja źródła prądu
Przenoszenie źródeł napięcia
• Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia: Rozpływ
prądów w obwodzie rozgałęzionym nie ulegnie zmianie, jeżeli w każdą gałąź
przynależną do danego, dowolnie wybranego, węzła zostanie włączone idealne
źródło napięcia o tym samym napięciu źródłowym i o zwrocie jednakowo
zorientowanym względem danego węzła (wszystkie zwroty E do węzła albo
wszystkie od węzła).
Rys. 7. Węzeł obwodu
elektrycznego
Rys. 8. zastosowanie I prawa Kirhoffa do dowolnie
wydzielonego fragmentu sieci elektrycznej
a) sieć elektryczna b) fragment tej sieci
• Twierdzenie o przenoszeniu źródeł napięcia : Rozpływ prądów w obwodzie nie
ulegnie zmianie, jeżeli idealne źródło napięcia E, znajdujące się w jednej gałęzi
obwodu, przynależnej do danego węzła, zostanie przeniesione do pozostałych
gałęzi przynależnych do tego węzła, ale ze zwrotem przeciwnym względem
danego węzła.
Rys. 9. Przenoszenie idealnego źródła napięcia z jednej gałęzi do pozostałych
gałęzi łączących się z nią we wspólnym węźle
Rys. 10. Przenoszenie źródeł napięcia z uwzględnieniem rezystancji
wewnętrznej
Przenoszenie źródeł prądu
• Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym nie ulegnie zmianie, jeżeli do
dowolnego węzła tego obwodu zostaną dodatkowo włączone dwa idealne
źródła prądu o jednakowych prądach źródłowych, różniące się jedynie
zwrotami względem węzła.
• Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli równoległe do
każdej gałęzi dowolnie wybranego oczka zostanie włączone idealne źródło
prądu o takim samym prądzie źródłowym i o takim samym zwrocie
w stosunku do przyjętego obiegu oczka (rys. 11. a i b).
Rys. 11. Włączenie źródła prądu równolegle do każdej gałęzi oczka a) oczko
obwodu elektrycznego b) to samo oczko z włączonymi równolegle źródłami
prądu
Rys. 12. Rysunek objaśniający przenoszenie źródeł prądu a) schemat obwodu
elektrycznego b) wprowadzenie wyprowadzenie źródła prądu do węzła b c)
zastąpienie źródeł prądu źródłami napięcia d) włączenie trzech źródeł prądu
równolegle do gałęzi oczka a d c a e) zastąpienie źródeł prądu źródłami
napięcia
Przekształcenie trójkąt - gwiazda i gwiazda - trójkąt
Rys. 13. Układy połączeń oporników a) w trójkąt b) w gwiazdę
• Rezystancja między dwoma dowolnymi zaciskami układu połączenia
w gwiazdę jest suma rezystancji dwóch gałęzi przyłączonych do tych zacisków.
W układzie połączenia w trójkąt rezystancja mierzona np.: między zaciskami
1 – 2 jest rezystancją układu równoległego, w którym jedną gałąź stanowi R12,
a drugą – szeregowego połączone pozostałe dwie gałęzie (R23 + R31). Dla
poszczególnych par zacisków muszą być spełnione równości :
R12 ( R23  R31 ) 

R12  R23  R31 
R ( R  R12 ) 
R2  R3  23 31

R12  R23  R31 
R ( R  R23 ) 
R3  R1  31 12
R12  R23  R31 
R1  R2 
(1)
• Odejmując kolejno poszczególne równania (1) od połowy ich sumy otrzymuje
się wyrażenia:
R R
R1 
(2)
12
31
R12  R23  R31
R23 R12
R2 
R12  R23  R31
R31R23
R3 
R12  R23  R31
G12G31 

G23 
G G 
G2  G23  G12  23 12 
G31 
G G 
G3  G31  G23  31 23 
G12 
G1  G12  G31 
Rezystancja gałęzi gwiazdy równoważnej trójkątowi jest równa iloczynowi
rezystancji gałęzi trójkąta wychodzących z tego samego węzła podzielonemu
przez sumę rezystancji trójkąta.
• Jeżeli dane są rezystancje układu w gwiazdę, to można wyznaczyć rezystancję
poszczególnych gałęzi układu w trójkąt. W tym celu wystarczy utworzyć
z wyrażeń (2) sumę iloczynów (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1) i podzielić ją
kolejno przez R1, R2, R3. Stąd otrzymujemy następujące wyrażenia :
R1 R2 

R3 
RR 
R23  R2  R3  2 3 
R1 
RR
R31  R3  R1  3 1 
R2 
R12  R1  R2 

G1G2

G1  G2  G3 
G2G3

G23 

G1  G2  G3 
G3G1

G31 
G1  G2  G3 
G12 
• Rezystancje gałęzi trójkąta symetrycznego są trzy razy większe od rezystancji
gałęzi równoważnej mu gwiazdy symetrycznej.
Rys. 14. Kolejne etapy przekształcania Rys. 15. Kolejne etapy przekształcania
aktywnej gwiazdy na aktywny trójkąt aktywnego trójkąta na aktywną gwiazdę
E
E  R E  R12 E31 
E1  R1  12  31   31 12

R
R
R

R

R
31 
12
23
31 
 12
E
E  R E  R23 E12 
E2  R2  23  12   12 23

R
R
R

R

R
23
12
12
23
31



 E31 E23  R23 E31  R31E23 
 
E3  R3 


R
R
R12  R23  R31 
23 
 31
Układ mostkowy
Rys. 16. Mostek Wheatstone’a a) układ mostka b) mostek z wyłączoną gałęzią
środkową c), d) schematy do obliczania rezystancji wewnętrznej mostka
mierzonej na zaciskach c – d
U 0  U CD  VC  VD  VC  VB   VD  VB   U CB  U DB
U0 
R2 R3  R1 R4
R2
R4
E
E
E
R1  R2 R3  R4 
R1  R2
R3  R4
• Rezystancja układu mierzona między zaciskami c – d
Rw 
RR
R1 R2
 3 4
R1  R2 R3  R4
• Prąd w gałęzi galwanometru
U0
R2 R3  R1 R4
I

E
R  Rw RR1  R2 R3  R4   R1 R2 R3  R4   R3 R4 R1  R2 
• Mostek jest w równowadze, gdy:
R2 R3  R1R4  0
• Czyli gdy:
R1 R3

R2 R4
• Mostek Wheatstone’a jest używany do pomiaru rezystancji. Jeżeli z czterech
rezystancji ostatniego równania trzy są znane, a mostek jest w równowadze, to
czwartą rezystancję można obliczyć.
Łączenie szeregowe źródeł napięcia
Rys. 17. Łączenie szeregowe źródeł napięcia a) a źródeł napięcia
połączonych zgodnie w szereg b) źródło zastępcze c) trzy źródła napięcia
połączone niezgodnie w szereg
n
E  U 0  E1  E1    En   E j
j 1
n
Rw  Rw1  Rw2    Rwn   Rwj
•
j 1
Układ szeregowy n gałęzi aktywnych i pasywnych (Ej= 0) można zastąpić
jedną gałęzią aktywną o napięciu źródłowym E równym sumie napięć
źródłowych i o rezystancji Rw równej sumie rezystancji poszczególnych
gałęzi aktywnych i pasywnych.
Łączenie równoległe
• Układ równoległy n gałęzi aktywnych o dowolnych napięciach źródłowych Ej
i konduktancjach Gj , można zastąpić jedną gałęzią o napięciu źródłowym
równym sumie iloczynów konduktancji i napięć źródłowych poszczególnych
gałęzi podzielonej przez sumę ich konduktancji, która jest zarazem
konduktancją gałęzi zastępczej.
• Rezystancja gałęzi zastępczej:
Rw 
1

Gw
1
n
G
j
G E
j
j 1
n
U0  E 
j 1
n
j
G
j 1
n
j
Gw   G j
j 1
Prawa Kirchhoffa
• I Prawo Kirchhoffa (prądowe) – suma prądów wpływających do węzła jest
równa sumie prądów odpływających od węzła.
I=0
Rys. 18. Węzeł obwodu
elektrycznego
Rys. 19. Zastosowanie I prawa Kirchhoffa do
dowolnie wydzielonego fragmentu sieci
elektrycznej a) sieć elektryczna b) fragment tej
sieci
• Suma algebraiczna prądów dopływających i odpływających z dowolnie
wydzielonego fragmentu obwodu elektrycznego jest równa zeru.
• II Prawo Kirchhoffa (napięciowe) – Suma napięć źródłowych w dowolnym
oczku obwodu elektrycznego prądu stałego jest równa sumie iloczynów
rezystancji i prądów w gałęziach należących do danego oczka.
U ab  Va  Vb  E1  R1 I1
Rys. 20. Oczko obwodu elektrycznego
U bc  Vb  Vc  E2  R2 I 2
U cd  Vc  Vd   E3  R3 I 3
U da  Vd  Va  R4 I 4
E1  R1 I1  E2  R2 I 2  E3  R3 I 3  R4 I 4  0
R1 I1  R2 I 2  R3 I 3  R4 I 4  E1  E2  E3
lub
 ( R, I )   E
 ( E,U )  0
• W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna
napięć źródłowych i napięć odbiornikowych jest równa zeru (jeżeli obwód nie
jest poddany działaniu zmiennych pól elektromagnetycznych). Rozwiązywanie
obwodu elektrycznego polega na wyznaczaniu prądów przy danych
parametrach obwodu i działających w nim wymuszeniach.
• Liczba niewiadomych równań jest równa liczbie gałęzi g. Dla ich wyznaczania
służą równania prądowe wg I prawa Kirchhoffa dla węzłów
I
k
0
oraz równania napięciowe wg II prawa Kirchhoffa dla oczek
 (R I
k k
)   Ek
• Liczba równań prądowych w obwodzie o w węzłach wynosi (w-1)
• Brakujące równania w liczbie n = g – ( w – 1 ) = g – w +1 należy wypisać na
podstawie II prawa Kirchhoffa, gdzie n oznacza liczbę niezależnych oczek w
danym obwodzie.
Rys. 21. Oczka zależne i niezależne sieci elektronicznej
a) graf sieci elektronicznej b,c,d,) oczka niezależne w tej sieci
e) oczka zależne
• Po wypisaniu równania dla dowolnego oczka skreśla się w nim jedną gałąź w
tym celu, aby ją ominąć przy doborze następnych oczek. Postępowanie jest
zakończone, gdy nie można utworzyć oczka z samych nie skreślonych oczek.
Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów
elektrycznych
• Liczba niezależnych równań Kirchhoffa, stanowiących podstawę analizy
obwodu elektrycznego, jest równa liczbie gałęzi g w danym obwodzie.
Składają się na nie równania prądowe w liczbie (w-1) i równania napięciowe
w liczbie n oznaczającej liczbę niezależnych oczek.
Rys. 22. Metoda prądów oczkowych a) schemat obwodu elektrycznego
b), c) przykłady doboru oczek niezależnych
• Metoda oczkowa może być stosowana do rozwiązywania obwodów
spełniających zasadę superpozycji, a więc obwodów liniowych.
R11I1  R12 I 2  R13 I 3  ...  R1n I n  ( E )1
R21I1  R22 I 2  R23 I 3  ...  R2 n I n  ( E ) 2
............................................................
Rn1 I1  Rn 2 I 2  Rn 3 I 3  ...  Rnn I n  ( E ) n
• (E)j – suma napięć źródłowych w oczku j.
• Rezystancje własne oczek zawsze ze znakiem (+).
• Rezystancje wzajemne ze znakiem (+) jeżeli zwroty prądów oczkowych są
zgodne, ze znakiem (-) gdy zwroty prądów oczkowych są przeciwne.
• Jeżeli w obwodzie istnieją źródła prądu należy je najpierw zamienić na źródła
napięcia, lub tak dobierać oczka, aby znany prąd źródłowy był jednocześnie
prądem oczkowym i gałęziowym.
Metoda potencjałów węzłowych
• Prąd w gałęzi aktywnej o danych parametrach E oraz G lub R jest zależny od
potencjałów na końcach gałęzi.
Rys. 23. Przykłady zastępowania gałęzi szeregowe E, R przez źródło prądu
i równolegle włączony opornik
I k1  G(Vk  V1 )  GE
• W przypadku gałęzi pasywnej E=0 czyli
I k1  G(Vk  V1 )
• Prąd w dowolnej gałęzi obwodu elektrycznego prądu stałego można wyrazić
za pomocą parametrów E, G tej gałęzi oraz różnicy potencjałów na końcach
gałęzi, tj. potencjałów węzłowych.
Rys. 24. Rysunek objaśniający wyprowadzenie równania węzłowego
a) fragment obwodu elektrycznego b) układ zastępczy ze źródłami prądu
• Bilans prądów w węźle l przy przyjętych zwrotach: I  I  I  ...  I  0
11
• Prądy w poszczególnych gałęziach:
21
31
k1
I11  G11 (V1  V2 )  G11E11
I 21  G21 (V2  V1 )  G21E21
I 31  G31 (V3  V1 )  G31E31
I k1  Gk1 (Vk  V1 )
• Po przekształceniach otrzymujemy równanie dla węzła l:
(G11  G21  G31  Gk1 )V1  (G11V1  G21V2  G31V3  Gk1Vk )  G11E11  G21E21  G31E31
• Ogólnie (równanie węzłowe): 
k
k

  G jl  Vl   G jl V j    G j1  E jl   I l


j 1
j 1
 j 1

k
• Iloczyn sumy konduktancji łączących rozpatrywany węzeł l z węzłami
sąsiednimi, przez potencjał tego węzła Vl, pomniejszony o sumę iloczynów
konduktancji tych gałęzi Gjl i potencjałów Vj węzłów sąsiednich jest równy
sumie iloczynów tych konduktancji i napięć źródłowych Ejl w wymienionych
gałęziach.
• Napięciom źródłowym Ejl skierowanym do rozpatrywanego węzła
przypisujemy znak (+), a znak (-) skierowanym przeciwnie.
• Jeżeli do węzła l dopływa prąd Il to należy go dodać do prawej strony równania
węzłowego ze znakiem (+) jeżeli dopływa, ze znakiem (-) gdy wypływa.
• Równania węzłowe przyjmują następującą postać ogólną:
G11V1  G12V2  G13V3 ...  G1mVm  ( I źr )1
G21V1  G22V2  G23V3 ...  G2 mVm  ( I źr ) 2
.............................................................
Gm1V1  Gm 2V2  Gm 3V3 ...  GmmVm  ( I źr ) m
• Konduktancje własne węzłów występują ze znakiem (+), a konduktancje
wzajemne węzłów ze znakiem (-). Gdy węzły nie są połączone ich wzajemna
konduktancja wynosi 0.
Twierdzenie o kompensacji
Rys. 25. Rysunek objaśniający twierdzenie o kompesancji a) gałąź rezystencyjna
o prądzie I b) ta sama gałąź, z włączonymi w szereg przeciwsobnie źródłami napięcia
c) gałąź skompensowana jednym źródłem napięcia
Vc  Vb  Vc  Vb   Vd  Vb   E '  U  0
•
•
•
•
•
Punkty ekwipotencjalne w obwodzie elektrycznym można ze sobą zewrzeć nie
powodując przez to zmian w rozpływie prądów.
Twierdzenie o kompensacji: Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym nie ulegnie
zmianie, jeżeli dowolny element rezystancyjny R tego obwodu zostanie zastąpiony
źródłem idealnym o napięciu źródłowym R równym spadkowi napięcia RI na tym
elemencie i o zwrocie przeciwnym niż zwrot prądu I.
Napięcie źródłowe, którego wartość i zwrot zależą od prądu płynącego przez źródło
nazywa się napięciem źródłowym sterowanym.
Napięcie źródłowe, którego wartość i zwrot nie zależą od prądu płynącego przez źródło
nazywa się napięciem źródłowym nie sterowanym.
Element rezystancyjny R, przez który płynie prąd I, można zastąpić idealnym źródłem
napięcia o napięciu źródłowym sterowanym: E = RI.
Rozwiązywanie obwodów elektrycznych
metodą superpozycji
• Prąd w dowolnie wybranej gałęzi k przy jednoczesnym działaniu wielu
idealnych źródeł napięcia w obwodzie jest sumą algebraiczną prądów
wywołanych w tej gałęzi przez poszczególne źródła napięcia.
I k  I k1  I k 2  ...  I kg
• Potencjał w dowolnym węźle obwodu liniowego zasilanego przez wiele źródeł
napięcia i prądu jest sumą potencjałów wywołanych w tym węźle przez
poszczególne źródła przy przyjęciu, że potencjał jednego z węzłów ma stale tą
samą wartość, np. równą zeru w wyniku uziemienia.
• Metodę superpozycji można stosować do rozwiązywania obwodów
elektrycznych. W tym celu oblicza się prądy w gałęziach lub potencjały
węzłów, pochodzące od poszczególnych źródeł zakładając, że wszystkie inne
źródła mają napięcia źródłowe i prądy źródłowe równe zeru, ale ich
rezystancje wewnętrzne i bocznikujące pozostają w obwodzie. Otrzymane
wyniki dodaje się algebraicznie.
Twierdzenie Thevenina
Rys. 26. Obwód złożony zawierający kilka źródeł napięcia, traktowany jako
dwójnik a) obwód nie obciążony na obranych zaciskach a - b b) ten sam obwód
obciążony opornikiem na zaciskach a – b c) ten sam obwód z włączonymi
przeciwswobnie w gałąź obciążenia źródłami napięcia d) ten sam obwód z
włączonym źródłem napięcia E e) ten sam obwód z włączonym źródłem
napięcia f) dwójnik zastępczy
• Prąd płynący przez odbiornik rezystancyjny R, przyłączony do dwóch
zacisków a – b dowolnego liniowego układu zasilającego prądu stałego jest
równy ilorazowi napięcia U0 mierzonego na zaciskach a – b w stanie jałowym
przez rezystancję R powiększoną o rezystancję zastępczą Rw układu
zasilającego mierzoną na zaciskach a – b.
U0
I
R  Rw
• Obwód elektryczny liniowy o dowolnym ukształtowaniu, traktowany jako
złożony dwójnik liniowy aktywny o zaciskach a – b, można zastąpić jednym
źródłem o napięciu źródłowym E, równym napięciu stanu jałowego U0 na
zaciskach a – b i o rezystancji zastępczej mierzonej na zaciskach a – b
obwodu.
• Rezystancję Rw można wyznaczyć z pomiaru stanu zwarcia na zaciskach
a – b.
lim I  I z 
R 0
U0
Rw
stąd
I
U0
U
R 0
Iz
• Do scharakteryzowania aktywnego dwójnika liniowego prądu stałego
wystarcza znajomość napięcia stanu jałowego i prądu zwarcia.
Twierdzenie Nortona
Rys. 27. Rysunek objaśniający twierdzenie Nortona a) obwód elektryczny
b) zastępcze źródło napięcia obciążone opornikiem R c) zastępcze źródło prądu
• Każdy liniowy obwód elektryczny prądu stałego, traktowany jako dwójnik
źródłowy o zaciskach a – b, można zastąpić jednym źródłem prądu o prądzie
Iżr = U0/Rw = Iz , równym prądowi zwarcia na zaciskach a – b oraz
równolegle włączonym opornikiem o konduktancji Gw = 1/Rw równej
konduktancji wewnętrznej obwodu mierzonej na zaciskach a – b.
• Prąd płynący przez odbiornik jest proporcjonalny do konduktancji gałęzi
odbiornika
G
G
I
G  Gw
• Napięcie na zaciskach odbiornika
I zr 
G  Gw
U
Iz
I
Iz

G G  Gw