Przykładowe zadania dla uczestników Konkursu

ETAP REJONOWY
ZADANIE 1. /4 punkty/
W trójkącie równoramiennym o obwodzie 10 cm, ramię ma długość x cm,
a podstawa ma długość y cm.
a) Opisz wzorem zależność między x i y.
b) Sporządź wykres funkcji, w której argumentowi x przyporządkowujemy wartość y.
ZADANIE 2. /5 punktów/
Trójkąt równoboczny ABC o boku długości 5 podzielono na dwa trójkąty przystające
ADC i DBC. Oblicz odległość między środkami okręgów wpisanych w trójkąty ADC i DBC.
ZADANIE 3. /5 punktów/
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek:
a2+ab+b2 > 0
ZADANIE 4. /6 punktów/
Jurek wybrał się na wycieczkę rowerową. Całą trasę podzielił na dwa odcinki równej
długości. Pierwszy odcinek pokonał z szybkością 30 km/h, a całą trasę ze średnią szybkością
24 km/h. Oblicz, z jaką szybkością przejechał drugi odcinek trasy.
ZADANIE 5
2003
 7 1

Iloczyn 

2


A) mniejszą od 1.
2003
 7 1
 jest liczbą
 

3


B) równą 1. C) większą od 1 i mniejszą od 2.
D) równą 2.
ZADANIE 5
Dana jest funkcja o równaniu f (x ) = x2 + 3. Wartość f(–2) – f( 5 ) jest równa
A) –21
B) –1
C) –7
D) 4 – 5
ZADANIE 6
Wyrażenie 4x2 + 1 + 4x4 można zapisać w postaci
A) (2x2 + 2x)2
B) (2x2 + 1 )2
C) (2x + 1 )2
D) (2x2 + 2)2
ZADANIE 7
1 1 1
 
można otrzymać
x y
f
fy
f y
B) x =
C) x =
f y
fy
Wyznaczając x ze wzoru
A) x =
y f
fy
D) x =
fy
y f
1
ZADANIE 8
W styczniu pensja pracownika wynosiła 1000 zł. W każdym kolejnym miesiącu pracy
pracownik otrzymywał dziesięcioprocentową podwyżkę. Pensja tego pracownika w kwietniu
wyniosła


A) 1000  1 
1

10 
3
B) 1200
ZADANIE 9
Funkcja określona w R wzorem: f ( x) 
D) 1000  1,13
C) 2000
mx  4
2
A) jest rosnąca, gdy m < 0.
B) jest malejąca, gdy m 
C) jest stała, gdy m =1.
D) jest rosnąca, gdy m > 0.
1
.
2
ZADANIE 10
Jeden z dwóch kątów, jakie tworzą o godzinie 820 wskazówki zegara, godzinowa i minutowa,
ma miarę
A) 90o
B) 130o
C) 120o
D) 135o
ZADANIE 11
Odwrotność sumy odwrotności dodatnich liczb a i b jest równa
2
ab
ab
A)
B)
C)
ab
ab
ab
D) a+ b
ZADANIE 12
Który z poniższych rysunków nie przedstawia siatki sześcianu?
A)
B)
C)
D)
ZADANIE 13
Wyspa ma kształt trójkąta różnobocznego. Punktem najbardziej oddalonym od morza jest
punkt przecięcia
A) wysokości trójkąta.
B) dwusiecznych kątów trójkąta.
C) symetralnych boków trójkąta.
D) środkowych trójkąta.
2
ETAP WOJEWÓDZKI
ZADANIE 1. /5 punktów/
Symbol n! gdzie n jest liczbą naturalną , oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do
n. Dodatkowo przyjmujemy, że 0! = 1 i 1! = 1
a) Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby 1!2!3!...  20! .
b) Znajdź największą liczbę naturalną n, dla której 25! jest podzielne przez 10 n .
Odpowiedzi uzasadnij.
ZADANIE 2. /5 punktów/
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru A = 0,1,...17 resztę z dzielenia tej
liczby przez 7, a każdej liczbie ze zbioru B = 18,19,...31 resztę z dzielenia tej liczby przez
5.
a) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
b) Czy prawdą jest, że dla każdej liczby x 14,15,16,17,18,19,20 zachodzi warunek
f x   f 1  f x  1 ? Odpowiedź uzasadnij.
c) Rozwiąż nierówność f ( x)  3 , gdy x  0,1,...31
ZADANIE 3. /5 punktów/
Długości krawędzi prostopadłościanu ,wyrażone w centymetrach, są liczbami naturalnymi.
Jedna ze ścian ma pole 18 cm2, a druga 45 cm2. Jakie wymiary może mieć ten
prostopadłościan?
ZADANIE 4. /5 punktów/
Średnica AB i cięciwa CD tego samego okręgu przecinają się w takim punkcie K, że kąt CKB
ma
104o, a kąt środkowy wsparty na łuku BC ma 116 o. Oblicz miary kątów w trójkątach ACK i
KOC. Punkt O jest środkiem okręgu.
ZADANIE 5
Funkcja f określona wzorem f(x) =
A. 3  2
B.  2
2
7
5
 3 przyjmuje największą wartość równą
3x  4
3
C. 2  3
D.  1
4
ZADANIE 6
Liczba 2 40  1 nie jest podzielna przez
A. 1023
B. 33
2
C. 31
D. 29
ZADANIE 7
Ile różnych dzielników ma liczba 23 . 34 . 55?
A. 4 . 5 . 6
B. 3 + 4 + 5
C. 3 . 4 . 5
D. 2 + 3 + 5
ZADANIE 8
Każdy kąt dwunastokąta foremnego ma miarę
A.108o
B.120o
C.150o
D.180o
3
ZADANIE 9
Temperatura topnienia lodu jest równa 32 w skali Fahrenheita, a temperatura wrzenia wody
jest równa 212 w tej samej skali. Zależność między temperaturą TC w skali Celsjusza a
temperaturą T F w skali Fahrenheita wyraża wzór
A. 5  TF  9TC  32 B. 9  TC  5TF  32 C. TC  TF
ZADANIE 10
1
1
Jeżeli x   4 , to x 2  2 jest równe
x
x
A. 12
B. 14
C. 16
D. 5  TC  9  TF
D. 18
ZADANIE 11
Jeżeli S jest polem prostokąta, a 2p jego obwodem, to
A. p 2  4S
B. p 2  4S
C. p 2  3S
ZADANIE 12
1
1
1
Liczba
jest


2 1
3 2 2 3
A. większa od 1.
B. mniejsza od 1.
C.
D. p 2  3S
naturalna .
D. niewymierna.
ZADANIE 13.
Obszar A na mapie w skali 1:100 000 ma pole 4 cm2. Ten sam obszar na mapie w skali
1:80 000 ma pole równe
A. 5 cm2
B. 550 mm2
C. 6.5 cm2
D. 625 mm2
ZADANIE 14
Punkt O jest środkiem przeciwprostokątnej BC trójkąta
C
1
prostokątnego ABC, odcinek AO ma długość równą 10 , a odcinek
2
AB długość 18. Pole trójkąta ABC jest równe
O
A
A. 27 13
B. 30 13
C. 94,5
B
D. 189
4
PRZYKŁADY ZADAŃ
Zadanie 1
W kwadracie ABCD poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach A i B
i o promieniu równym bokowi kwadratu. Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary.
Oblicz pola i obwody tych obszarów, jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.
Zadanie 2
Długości boków trójkąta wyrażone w centymetrach są trzema kolejnymi liczbami
naturalnymi, przy czym najkrótszy z nich ma długość przynajmniej 4 cm. Wysokość
opuszczona na średni z boków podzieliła ten bok na dwa odcinki. Wyznacz różnicę długości
tych odcinków.
Zadanie 3
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych 24 cm i 32 cm.
Oblicz pole tego trapezu jeśli przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Zadanie 4
Uzasadnij, że jeśli p jest liczba pierwszą większą od 5, to liczba p4
przez 240.
1 jest podzielna
Zadanie 5
Brzeg trójkąta równobocznego o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem wszystkich
punktów, które są odległe od co najmniej jednego z boków nie więcej niż o 1 cm. Oblicz pole
tego zbioru oraz długość jego brzegu.
Zadanie 6
Wyznaczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym promień okręgu wpisanego jest
równy 8 cm a promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 20 cm.
Zadanie 7
Niech punkt (0,0) będzie środkiem kwadratu a punkt (1,3) niech będzie jednym z jego
wierzchołków. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz obliczyć pole i obwód
tego kwadratu.
Zadanie 8
Dany jest trójkąta równoramienny, w którym podstawa ma długość 24 cm, a ramię - długość
15 cm. Obliczyć odległość między środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąta i okręgu
opisanego na tym trójkącie.
5
Zadanie 9
Oblicz pole i obwód sześciokąta foremnego, którego środek znajduje się w punkcie (1,1)
a jednym z wierzchołków jest punkt (1,5). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego sześciokąta.
Zadanie 10
Ile jest naturalnych liczb nieparzystych jedenastocyfrowych, z których każda jest podzielna
przez 9 i w jej zapisie dziesiętnym występują jedynie cyfry 0 i 5.
Zadanie 11
Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego wpisanych w okrąg o promieniu r.
Zadanie 12
Oblicz 5% liczby, której piąta część powiększona o 20 jest równa jej czwartej części
pomniejszonej o 20.
Zadanie 13
W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia i dzieli na połowy kąt
ostry trapezu. Uzasadnij, że długość górnej podstawy jest równa długości ramienia i jest dwa
razy krótsza od długości podstawy dolnej.
Zadanie 14
W trapezie ABCD punkt K jest środkiem boku BC. Uzasadnij, że pole trójkąta AKD jest
równe połowie pola trapezu.
Zadanie 15
Przekątne trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie O. Oblicz pole
trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe p, a pole trójkąta CDO jest równe q.
Zadanie 16
Przekształć następujące wyrażenie:
4a 2  b 2
2b  a 
a 2  b2
a
:
(b  a)(b 2  3ab) a 3b  2a 2b 2  ab3
do postaci możliwie najprostszej.
Oblicz wartość tego wyrażenia dla a = -0,01 i b = 0,13.
Zadanie 17
W trójkącie prostokątnym długości przeciwprostokątnej oraz jednej z przyprostokątnych
można opisać odpowiednio wyrażeniami: 2n2 + 2n + 1 i 2n(n + 1), gdzie n oznacza liczbę
naturalną różną od zera. Podaj wyrażenie opisujące długość drugiej przyprostokątnej tego
trójkąta.
6
Zadanie 18
Wyznacz taką wartość a , aby punkt przecięcia wykresów funkcji:
f(x) = x + 1 – a
f(x) =2x – 3
należał do prostej o równaniu y = 3x.
Zadanie 19
Wykresy funkcji
y = 2x + 2 i y = 2x – 4
przecinają osie układu współrzędnych w punktach A,B,C,D. Oblicz wysokość i pole trapezu
ABCD .
Zadanie 20
Dobierz liczbę a tak, by prosta y = ax + 2 i osie układu współrzędnych utworzyły figurę o
polu S = 2
Zadanie 21
Telewizor kosztuje w sklepie 1220 zł. Wiadomo, że cena detaliczna powstaje przez dodanie
do ceny netto podatku VAT w wysokości 22 % tej ceny netto. Jaką kwotę podatku VAT płaci
klient przy zakupie telewizora? Ile procent ceny detalicznej stanowi podatek VAT?
Niektóre towary obłożone są podatkiem VAT w wysokości 7 %. Ile procent ceny detalicznej
takiego towaru stanowi podatek VAT?
Zadanie 22
Cena pewnego towaru wraz z podatkiem VAT w wysokości 7 % wynosiła 85,60 zł. Podatek
VAT na ten towar podniesiono ustalając, że będzie wynosił 22 %. O ile procent wrosła cena
tego towaru?
Zadanie 23
Oblicz długość okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b.
Zadanie 24
Wykaż, że w równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie
kwadratów długości jego boków.
Zadanie 25
W koszu były pomarańcze. Najpierw Jacek wziął
1
wszystkich pomarańczy i jeszcze 4;
5
1
1
pozostałej liczby pomarańczy i jeszcze 3; kolejno wzięła Beata
4
3
1
pozostałej liczby pomarańczy i jeszcze 2; ostatni wziął Krzysztof
pozostałej liczby
2
pomarańczy i jeszcze 4. Ile pomarańczy pozostało w koszyku, skoro wszyscy czworo wzięli
55 pomarańczy?
potem Robert zabrał
7
Zadanie 26
Środkiem symetrii rombu jest punkt O = (0; 0) . Jednym z jego wierzchołków jest punkt
B = (0; -3). Oblicz obwód tego rombu wiedząc, że jego pole jest równe 12.
Zadanie 27
Okrąg przechodzący przez wierzchołek kąta ostrego i wierzchołki kątów rozwartych rombu,
dzieli jedną z przekątnych rombu na odcinki o długościach 24 cm i 8 cm. Oblicz pole rombu.
Zadanie 28
W kwadracie ABCD o boku długości 10 cm połączono środki E i F boków BC i CD oraz
wierzchołek A .Otrzymano w ten sposób siatkę pewnego ostrosłupa. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.
Zadanie 29
W kole o środku O i promieniu R umieszczono cztery okręgi o jednakowych promieniach w
taki sposób, że każdy z nich jest styczny do okręgu o środku O i promieniu R oraz każde dwa
sąsiednie są styczne do siebie.
a) Jaką figurę wyznaczyły środki mniejszych okręgów?
b) Oblicz pole tej figury .
Zadanie 30
Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe, spełniające warunki: są kwadratami liczb
naturalnych, cyfry tysięcy i setek są równe oraz cyfry dziesiątek i jedności są równe.
Zadanie 31
Wybierz liczbę dwucyfrową . Pomnóż ją przez 3. Tak otrzymaną liczbę zapisz przed wybraną
liczbą. Sprawdź na kilku przykładach, czy liczby otrzymane w ten sposób, są podzielne
przez 7? Sformułuj ogólny wniosek i uzasadnij go.
Zadanie 32
Rozwiąż równanie: (
x +22001)2 - ( x - 22001)2 = 22003
Zadanie 33
a) Dany jest trójkąt równoboczny T o boku długości a. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
b) Połącz środki boków trójkąta T. Oblicz pole i obwód otrzymanego trójkąta T1.
c) Połącz środki boków trójkąta T1.Oblicz pole i obwód otrzymanego trójkąta T2.
d) Oblicz pole i obwód trójkąta, który otrzymasz łącząc środki boków trójkąta Tn.
8
Zadanie 34
Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadrat ABRS.
Środek tego kwadratu O połączono odcinkiem z wierzchołkiem C tego trójkąta. Oblicz
długość odcinka OC, wiedząc, że długość przeciwprostokątnej AB jest równa a.
S
R
A
a
C
B
Zadanie 35
Pole rombu wynosi 16 cm2. Przekątne rombu zawierają się w osiach układu współrzędnych, a
ich wspólny punkt jest początkiem układu współrzędnych. Jeden z boków zawiera się w
prostej będącej wykresem funkcji liniowej określonej wzorem y= 2x – 4. Określ wzorami trzy
inne funkcje liniowe, w których wykresach zawierają się pozostałe boki tego rombu.
Zadanie 36
W liczbie sześciocyfrowej, podzielnej przez 10985 cyfra jedności jest równa cyfrze tysięcy,
cyfra dziesiątek jest równa cyfrze dziesiątek tysięcy i cyfra setek jest równa cyfrze setek
tysięcy.
Znajdź tę liczbę.
Zadanie 37
Właściciel księgarni kupuje podręczniki w hurtowni i sprzedaje je po 21 zł za sztukę.
Cena podręcznika w księgarni (detaliczna) jest o 40% wyższa niż cena w hurtowni.
a) Ile kosztuje jeden podręcznik w hurtowni?
b) Oblicz, jakim procentem ceny sprzedaży jest zysk księgarza.
c) Ile podręczników musi sprzedać księgarz, aby jego zysk przekroczył 1000 zł?
d) Ze względu na dużą konkurencję, właściciel księgarni postanowił obniżyć cenę tak,
aby zysk nie przekroczył 25% ceny sprzedaży.
Jaką maksymalną cenę na podręcznik może ustalić, aby być w zgodzie ze swoim
postanowieniem?
Zadanie 38
W prostokącie ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Zbudowano trójkąt
równoboczny ABE, zakrywający częściowo prostokąt ABCD. Jaką część prostokąta zakrywa
trójkąt ABE?
Zadanie 39
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a i b. Okrąg o promieniu długości r
jest styczny do obu przyprostokątnych, a jego środek leży na przeciwprostokątnej.
Wykaż, że:
1 1 1
 
a b r
Zadanie 41
Obwód prostokąta jest równy L, a jego pole P. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.
9
Zadanie 42
Wykaż, że liczba 353  535 jest podzielna przez 8.
Zadanie 43
6  6 2  63  ...  6100
Udowodnij, że liczba
jest liczbą całkowitą.
7
Zadanie 44
Sprawdź, czy liczba 11  6 2  11  6 2 jest wymierna.
Zadanie 45
Suma dowolnych dwóch spośród trzech różnych liczb a, b, c jest liczbą parzystą. Uzasadnij,
że liczby te są całkowite.
Zadanie 46
2a  b
3b  a
 1 oblicz
Wiedząc, że
.
a  2b
3a  2b
Zadanie 47
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: xy  3x  y  4 .
Zadanie 48
Wyznacz wszystkie liczby całkowite x i y spełniające równanie: x 2  y 2  6 x  4 y  13  0 .
Zadanie 49
Wyznacz wszystkie liczby naturalne a i b spełniające równanie: a 2  b 2  8b  6a .
Zadanie 50
Udowodnij twierdzenie: jeżeli w sześciocyfrowej liczbie naturalnej a różnica liczby
utworzonej z trzech pierwszych cyfr liczby a i liczby utworzonej z trzech ostatnich cyfr liczby
a jest podzielna przez 13, to liczba a jest podzielna prze 13.
Zadanie 51
Wskazówki zegara wskazują dokładnie godzinę dziewiątą. Zakładając, że wskazówki
poruszają się ruchem jednostajnym oblicz, po ilu minutach, od tej chwili licząc, wskazówka
minutowa dogoni wskazówkę godzinną.
Zadanie 52
Ojciec postanowił, że w testamencie zapisze swój majątek swoim synom w ten sposób, że
1
1
najstarszy syn dostanie 1000 zł i
pozostałej części majątku, drugi syn 2000 zł i
nowo
10
10
pozostałej części majątku itd. Po takim podziale całego majątku okazało się, że każdy z
synów otrzymał tyle samo. Oblicz wartość majątku oraz liczbę synów.
Zadanie 53
Świeże grzyby zawierają 90% wody, suszone tylko 12% wody. Ile świeżych grzybów należy
ususzyć, aby otrzymać 5 kg suszonych grzybów?
Zadanie 54
Na każdym ramieniu kąta prostego znajdują się punkty oddalone od wierzchołka kąta o 52
cm. Punkty te zaczynają się jednocześnie poruszać ruchem jednostajnym po ramionach kata w
kierunku wierzchołka kąta, pierwszy z prędkością v1 = 4 cm/s, drugi z prędkością v2 = 8 cm/s.
Po ilu sekundach odległość między poruszającymi punktami wyniesie 26 cm?
10
Zadanie 55
Wyznacz liczby pierwsze p, dla których 2p + 1 jest sześcianem liczby naturalnej.
Zadanie 56
Dwa kawałki złota, jeden o próbie 940, a drugi o próbie 880, stopiono z trzema gramami
czystego złota i otrzymano 30 gram złota próby 930. Ile waży każdy z kawałków?
Zadanie 57
Twierdzenie Ptolemeusza mówi, że czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg wtedy i
tylko wtedy, gdy AB  CD  BC  AD  AC  BD .
Korzystając z podanego twierdzenia sprawdź, czy czworokąt o wierzchołkach: A2; 3 ,
B 1; 4 , C 3;  2 , D 3;  4 można wpisać w okrąg.
Zadanie 58
Udowodnij, że suma długości przekątnych czworokąta wypukłego jest większa od połowy
obwodu i mniejsza od obwodu tego czworokąta.
Zadanie 59
Punkty E, F, G, H są środkami kolejnych boków czworokąta wypukłego o polu S  5 . Oblicz
pole czworokąta EFGH.
Zadanie 60
Wykaż, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to 2R + r = p, gdzie R promieniem okręgu opisanego
na trójkącie, r promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt a p jest połową obwodu trójkąta.
Zadanie 61
Znajdź wszystkie liczby naturalne k, dla których 2k – 1 dzieli się przez 7.
Zadanie 62
Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby 2 30 .
Zadanie 63
Dane jest koło o promieniu r i wpisany w to koło trójkąt ostrokątny. Sprawdź, czy obwód
tego trójkąta jest mniejszy od 6r.
Zadanie 64
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(-3;6) i odcinającej na osiach układu
współrzędnych odcinki jednakowej długości.
Zadanie 65
Prosta l przechodzi przez punkty A(-3;3) i B(3;-6). Wyznacz współrzędne takiego punktu C
prostej l, dla którego zachodzi warunek
AC 1
 .
BC 3
Zadanie 66
Jeżeli na bokach AB, BC, CA trójkąta ABC leżą odpowiednio punkty D, E, F i
AD  BE  CF  DB  EC  FA , to odcinki AE, BF, CD przecinają się w jednym punkcie.
Korzystając z podanego powyżej twierdzenia Cevy wykaż, że odcinki łączące wierzchołki
trójkąta z tymi punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt, które leżą na przeciwległych
bokach, przecinają się w jednym punkcie.
11
Zadanie 67
2 x  5,
 x  2,
Narysuj wykres funkcji o równaniu f ( x)  
x  1,
x  1.
Określ, dla jakich argumentów
funkcja f przyjmuje wartości niedodatnie?
Zadanie 68
Narysuj wykres funkcji o równaniu f(x) = max{2x + 3, 3 – x}, jeżeli max{a, b} oznacza
większą z liczb a i b. Odczytaj z wykresu wartość największą i najmniejszą funkcji f.
Zadanie 69
Stosunek obwodów podobnych trójkątów ABC i A1B1C1 jest równy
7
. Różnica długości
5
AB  A1B1  4 . Oblicz długości AB i A1B1.
Zadanie 70
W trapezie ABCD o podstawie AB przekątne przecinają się w punkcie O. Wiedząc, że pole
trójkąta AOB jest równe 10, a pole trójkąta BOC jest równe 6, oblicz pole trapezu ABCD.
Zadanie 71
Niech X oraz Y będą środkami boków, odpowiednio, AD i BC równoległoboku ABCD. Oblicz
pole czworokąta wyznaczonego przez proste AY, YD, CX, XB, jeżeli pole równoległoboku
ABCD jest równe 20.
Zadanie 72
W siedmiokąt wypukły o obwodzie p = 12 cm wpisano okrąg o obwodzie s = 5 cm. Oblicz
pole siedmiokąta.
Zadanie 73
Wysokości trójkąta ABC oznaczmy h1 , h2 , h3 . Wykaż, że
1 1 1
  .
h1 h2 h3
Zadanie 74
Pokazać, że środkowe trójkąta dzielą go na sześć trójkątów o równych polach.
Zadanie 75
Długości boków trójkąta a, b, c spełniają warunek b – a = c – b. Wykaż, że długość
wysokości hb prostopadłej do boku b jest trzy razy dłuższa niż promień okręgu
wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 76
Już w starożytności znany był wzór na pole trójkąta:
S  p( p  a)( p  b)( p  c) ,
gdzie a, b, c są długościami boków, a p połową obwodu trójkąta.
Wiedząc, że długości boków trójkąta ABC są równe 7, 8, 9 oblicz promień okręgu wpisanego
i opisanego na trójkącie ABC.
Zadanie 77
W trójkąt prostokątny został wpisany okrąg o promieniu r. Oblicz pole tego trójkąta, jeżeli
długość przeciwprostokątnej wynosi c.
Zadanie 78
Z miasta A do miasta B prowadzi 5 dróg. Z miasta B do miasta C 4 drogi. Ile dróg
przechodzących przez B wiedzie z A do C?
12
Zadanie 79
Sieć telefoniczna ma n abonentów. Na ile sposobów można dokonać jednocześnie 3
połączeń?
Zadanie 80
Wykaż, że w miejscowości liczącej 200 tysięcy mieszkańców znajdą się 2 osoby o tych
samych inicjałach trzyliterowych (przyjmujemy 28 liter, które mogą być pierwszą literą słowa
w języku polskim).
Zadanie 81
Przez sześć punktów płaszczyzny, z których trzy są współliniowe, prowadzimy proste. Ile
powstanie różnych prostych ?
Zadanie 82
Podczas olimpijskiego biegu na 100 m Paweł zapisywał numery torów w kolejności
przybywania biegaczy na metę, a jego siostra Magda zapisywała osiągnięte miejsca w
kolejności torów. Jeśli więc Paweł zapisał (4,2,1,3,6,5) to Magda zapisała (3,2,4,1,6,5) .
a) Co zapisała Magda, jeżeli Paweł zapisał (1,5,6,2,3,4) ?
b) Co zapisał Paweł, jeżeli Magda zapisała (3,2,5,4,6,1) ?
c) Podaj przykład kilku takich wyników biegu, które przez Pawła i Magdę zostałyby
identycznie zapisane.
d) Ile jest wszystkich możliwych wyników zakończenia biegu i w ilu przypadkach Paweł i
Magda mogliby zapisać to samo.
Zadanie 83
Ile prostokątów znajduje się na rysunku?
Zadanie 84
Na ile sposobów można podzielić przekątnymi sześciokąt wypukły na trójkąty tak, aby żadne
dwie przekątne nie przecinały się?
Zadanie 85
Środki ścian sześcianu są wierzchołkami pewnego wielościanu. Jaki to wielościan? Ile wynosi
jego objętość i pole powierzchni całkowitej, jeżeli krawędź sześcianu ma długość a ?
Zadanie 86
Jak rozmieszczono pięć punktów na płaszczyźnie, jeżeli istnieje sześć różnych prostych, z
których każda przechodzi przez dwa dane punkty?
Zadanie 87
Ogrodnik dostał następujące zadanie do wykonania:
Należy posadzić w ogrodzie dziesięć krzewów tak, aby powstało dziesięć rzędów, a w każdym
rzędzie znalazły się dokładnie trzy krzewy.
Czy zadanie to jest wykonalne? Jeżeli tak, to pomóż ogrodnikowi zaprojektować miejsca
sadzenia.
Zadanie 88
Na płaszczyźnie danych jest 6 punktów A,B, C, D, E, F, z których każde trzy są
niewspółliniowe. Każde dwa punkty łączymy odcinkiem, który kolorujemy jednym z dwóch
kolorów: zielonym albo czerwonym. Udowodnij, że istnieją takie trzy punkty, które zostały
połączone odcinkami tego samego koloru.
13
Zadanie 89
Przekładnia zębata złożona jest z dwóch kół: większego o 54 zębach i mniejszego 36 zębach.
Jaki kąt zakreśliło większe koło, jeżeli mniejsze wykonało pełny obrót?
Zadanie 90
Promienie słońca padają na poziomą płaszczyznę pod kątem  . Pod jakim do płaszczyzny
należy pochylić płaskie lustro, aby promienie słońca skierować poziomo?
Zadanie 91
Czy z odcinków o długościach
a)4, 6, 9,
b) 1, 2 , 3 ,
3 4
4 3
c) , , 1
można zbudować trójkąt?
Zadanie 92
Trójkąt ABC o bokach długości 5, 6, 9 jest podobny do trójkąta DEF, którego jeden z boków
ma długość 13. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta DEF.
Zadanie 93
Odcinek AD jest wysokością poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego trójkąta
prostokątnego ABC. Znajdź w tym trójkącie wszystkie pary trójkątów podobnych, a następnie
uzasadnij, że AD  BD  CD , czyli, że długość odcinka AD jest średnią geometryczną liczb
BD i CD .
Zadanie 94
Na rysunku przedstawiony został pięciokąt foremny o boku długości 1.
a)Udowodnij, że każda przekątna jest równoległa do jednego z boków pięciokąta.
b)Wykaż, że EF  AB  1 .
c)Korzystając z zaznaczonych przekątnych, wykaż, ze przekątna pięciokąta ma długość
5 1
.
2
A
B
E
F
C
D
Zadanie 95
Dwie cięciwy AB i CD tego samego okręgu przecinają się w punkcie E
a)Wykaż, że trójkąty EDA i EBC są podobne.
b) Wykaż, że AE  BE  DE  CE .
Zadanie 96
14
Symetralna przeciwprostokątnej AC trójkąta ABC dzieli bok AB na dwa odcinki o długościach
1 i 3. Oblicz długości boków tego trójkąta
Zadanie 97
Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie długości 8
i ramionach długości 5.
Zadanie 98
W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości 7 i 8 wpisano kwadrat w ten sposób,
że jeden wierzchołek kwadratu pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego trójkąta ABC.
Oblicz długość boku tego kwadratu.
Zadanie 99
Stosunek długości wysokości równoległoboku jest równy
7
. Oblicz długości boków
5
równoległoboku, jeżeli jego obwód wynosi 24.
Zadanie 100
Znane jest twierdzenie, że każdy placek (niezależnie od kształtu) można poćwiartować równo
dwoma wzajemnie prostopadłymi cięciami. Dokonaj tego na placku w kształcie trójkąta
równobocznego o boku długości 20 cm.
Zadanie 101
W trójkącie prostokątnym ABC dane są:
a) AB  3, BC  4 ,
b) AB  2 , BC  2 2 ,
c) AB 
12
5
, BC  .
13
13
Oblicz długość boku AC. Rozważ wszystkie przypadki.
Zadanie 102
Trzy okręgi są parami zewnętrznie styczne i jednocześnie są styczne do pewnej prostej.
Wykaż, że
1
a

1
b

1
, gdy a, b, c są promieniami tych okręgów i zachodzą warunki
c
aciab.
Zadanie 103
W okrąg o średnicy 123 wpisano trójkąt prostokątny ABC, w którym stosunek długości
przyprostokątnych wynosi
9
. Oblicz długości boków tego trójkąta.
40
Zadanie 104
Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o bokach długości:
5, 5, 6.
Zadanie 105
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a i wysokości h. Wybrano dowolny punkt A wewnątrz
tego trójkąta. Oblicz, jaka jest suma wszystkich trzech odległości punktu A od boków tego
trójkąta.
Zadanie 106
Narysuj kwadrat, którego przekątna ma długość 8 cm. Opisz sposób wykonania rysunku.
Zadanie 107
Masz do dyspozycji 12 zapałek jednakowej długości. Przyjmując za jednostkę długości
długość jednej zapałki, zbuduj wielokąty o polach: 9, 8, 7, 6, 5, 3 j2. Boki
poszczególnych wielokątów mają być do siebie prostopadłe. Narysuj swoje rysunki.
15
Zadanie 108
Narysuj dwa kwadraty o boku 4 cm w taki sposób, aby ich wspólna część była kwadratem o
polu 4 cm 2
Zadanie 109
Oblicz pole latawca:
7 cm
5 cm
6 cm
Zadanie110
Oblicz pole zamalowanej figury:
9 cm
16
Zadanie111
a) Uzupełnij.
32 = .................
332 = .................
3332 = .................
Zapisz, jakie zależności dostrzegasz?
b) Spróbuj przewidzieć wyniki kolejnych potęgowań. Zapisz swoje propozycje:
33332 = .................
333332 = .................
c) Sprawdź poprawność podanych wyników i uzupełnij:
32 = .......................
332 = .......................
3332 = .......................
333332 = .......................
3333332 = ......................
d) Zaproponuj wynik:
33333333332 = ..........................
Sprawdź jego poprawność.
e) Uzupełnij:
.....................2 = 11111111108888888889
3...32
= .......................................
150
Zadanie112
a) Sprawdź, że:
62
66 2
666 2
66666 2
=
=
=
=
36
4356
443556
44435556
Co zauważyłeś?
b) Spróbuj przewidzieć wyniki podanych potęgowań. Zapisz je:
666666 2
=
..........................
17
66666666 2 =
..........................
Sprawdź poprawność tych wyników.
c) Uzupełnij:
.......................2 = 444444443555555556
d) Na podstawie zauważonych zależności sformułuj odpowiednie twierdzenie i zapisz je.
Zadanie113
Sprawdź, czy kwadraty liczb utworzonych z samych dziewiątek również mają podobne
własności.
Zadanie114
Zbadaj kwadraty liczb utworzonych z samych jedynek.
Zadania niespodzianki
Zadanie I
Czy iloczyn cyfr pewnej liczby naturalnej może być równy 66?
Zadanie II
Czy w ciągu liczb 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... istnieje liczba, oprócz liczby 8, która różni się
od pewnej potęgi naturalnej liczby 10 o 2?
Zadanie III
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba 3p+1 jest kwadratem liczby
naturalnej?
Zadanie IV
Podać przykład pięciu liczb całkowitych, których suma jest równa 20, a ich iloczyn jest
równy 420.
Zadanie V
Udowodnij, że liczba 20032 + 20042 + 20032 + 20042 jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie VI
1 
 1 1
Udowodnij, że liczba 1    ... 
  1  2  3  ...  2002 jest podzielna przez 2003.
2002 
 2 3
Zadanie VII
Pokoloruj tablicę o wymiarach 4×4 dwoma kolorami białym i czarnym tak, aby:


każda czarna klatka miała trzech sąsiadów czarnych,
każda klatka biała miała tylko jednego sąsiada.
Klatki nazywamy sąsiednimi gdy mają jeden wspólny bok.
18
Zadanie VIII
Wyznacz liczby a i b, dla których a3 + b3 osiąga wartość najmniejszą jeśli wiadomo,
że a + b = 28.
19