Sito Eratostenesa
advertisement
Publiczne Gimnazjum nr 1
w Wałbrzychu
Generowanie kolejnych liczb pierwszych – sito Eratostenesa
Alina Madera
Pracownia lekcyjna – duże pomieszczenie klasowe.
Ilość uczniów - max 26.
Uczniowie nie będą korzystać z pracowni wyposażonej w komputery. Część materiałów
pomocniczych do zajęć, uczniowie wykonają samodzielnie w ramach innych jednostek
lekcyjnych.
Proponowana ilość jednostek lekcyjnych – 2.
1. Temat zajęć:
Generowanie kolejnych liczb pierwszych – sito Eratostenesa
2. Cele kształcenia:
Uczeń potrafi (wymagane przygotowanie ucznia):
Posługiwać się językiem technologii informatycznej;
Formułować proste sytuacje problemowe;
Podać proste problemy dotyczące optymalizacji rozwiązań z różnych dziedzin;
Porządkować i klasyfikować podane wiadomości i informacje, właściwie
je przeanalizować i pogrupować;
Współpracować w grupie przy opracowaniu rozwiązania problemu, formułować
i przedstawiać swoje rozwiązania;
Być odpowiedzialny wobec stawianych zadań.
3. Treści problemowe:
3.1 Problem szukania kolejnych liczb pierwszych.
Podajemy uczniom problem do rozwiązania:
Rozwiązanie problemu proponujemy w formie zabawy wyobraźni i pomysłowości
z wykorzystaniem metody graficznej i ruchowej.
Sposób przeprowadzania zabawy wprowadzającej uczniów w zadany problem:
Dzielimy klasę na pięć grup;
Wszystkie grupy proponują rozwiązanie na przygotowanych rysunkach. W puste miejsca
wpisują swoje propozycje (rysunek)
Dyskusja nad wyborem metody rozwiązania postawionego problemu:
W dyskusji oczekujemy uzasadnienia proponowanych rozwiązań, kierujemy się tutaj
zasadami:
Każdy ma prawo podać swój pomysł;
Nie wolno krytykować pomysłów innych;
Wszystkie rozwiązania są zapisywane.
Celem dyskusji jest wybór najlepszej metody postępowania przy szukaniu liczb
pierwszych wspólnie z nauczycielem (jego rola ogranicza się do umiejętnego
naprowadzania
dzieci
przy wyborze
metody).
Uczniowie
analizują
wszystkie
zaproponowane rozwiązania i wybierają te, które według nich są właściwie.
W podsumowaniu dyskusji wprowadzić historię powstania sita Eratostenesa.
Po dyskusji można posłużyć się przykładami:
Przykład 1.
Sformułuj specyfikację problemu szukania liczb pierwszych w zbiorze od 1 do 20. Przykład
do omówienia (kartka 1).
Przykład 2.
Sformułuj specyfikację problemu szukania liczb pierwszych w zbiorze od 1 do 100. Przykład
do omówienia (kartka 2).
Kartka 1
Znajdźmy na przykład wszystkie liczby pierwsze od 1 do 20. Liczby złożone będą po kolei
"usuwane" w sposób podany niżej. Na początku nasz przedział wygląda następująco:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Cała idea tego algorytmu polega na tym, że "idziemy" od lewej strony przedziału poczynając
od liczby 2 i gdy liczba ta nie została wcześniej skreślona to skreślamy wszystkie jej
wielokrotności w danym przedziale oprócz niej samej.
Tak więc zaczynamy od liczby 2. Nie jest ona skreślona, więc skreślamy jej wielokrotności
oprócz niej samej. W tym przypadku są to liczby: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Po skreśleniu (usunięciu) wyżej wymienionych liczb otrzymujemy:
1 2 3
5
7
9
11
13
15
17
19
Kolejną liczbę, jaką napotykamy po 2 jest liczba 3. Nie została ona wcześniej skreślona,
więc skreślamy wszystkie jej wielokrotności w naszym przedziale od 1 do 20 oprócz niej
samej. Proszę zauważyć, iż niektóre wielokrotności liczby 3 zostały już skreślone wcześniej.
Liczby, które w tym przypadku skreślimy to: 6, 9, 12, 15, 18. Po tej operacji otrzymamy:
1 2 3
5
7
11
13
17
19
Kolejną liczbę, jaką napotkamy idąc od lewej to 4. Ponieważ została ona już wcześniej
skreślona to nie wykonujemy już żadnych dodatkowych skreśleń.
Proszę zauważyć, że w naszym przedziale zostały już tylko liczby pierwsze. Musimy jeszcze
skreślić liczbę 1:
2 3
5
7
11
13
17
19
W sicie, Eratostenesa może pojawić się jeden problem - a mianowicie, do której liczby
mamy dojść idąc od lewej od liczby 2, aby w danym przedziale zostały nam tylko liczby
pierwsze? Moja odpowiedź brzmi do zaokrąglonego w dół pierwiastka kwadratowego
największej liczby z danego przedziału. W naszym przypadku największą liczbą jest 20.
Pierwiastek kwadratowy z 20 to około 4,47. Gdy zaokrąglimy tą liczbę w dół to otrzymamy
4. I tylko do tej liczby doszedłem w przykładzie powyżej. Teraz postaram się wytłumaczyć,
dlaczego akurat dochodzimy do tej liczby. Każda liczba złożona w danym przedziale to
iloczyn dwóch innych liczb (nie muszą być one koniecznie pierwsze). Liczby te mogą być
równe sobie - wtedy wartość tych liczb to pierwiastek kwadratowy z danej liczby złożonej.
Jednakże, gdy liczby te nie są sobie równe - to jedna jest większa, a druga mniejsza.
Mniejsza z tych liczb jest mniejsza od pierwiastka kwadratowego z danej liczby złożonej.
Tak, więc, aby skreślić daną liczbę złożoną musimy dojść, (gdy idziemy po kolei od 2) do tej
mniejszej liczby, nie musimy wcale dochodzić do tej większej.
Kartka 2
Przypuśćmy, że chcemy znaleźć wszystkie liczby pierwsze wśród liczb od 1 do 100.
1) Ustawiamy liczby w ciąg:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2)
1 nie jest liczbą pierwszą, więc ją skreślamy.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
3) Listę rozpoczyna liczba 2. Jest to liczba pierwsza. Teraz wykreślamy wszystkie liczby
większe od 2 i podzielne przez 2.
2 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
51 53 55 57 59
61 63 65 67 69
71 73 75 77 79
81 83 85 87 89
91 93 95 97 99
4) Najmniejszą liczbą jest teraz liczba 3 (jest to liczba pierwsza - gdyby nią nie była,
to dzieliłaby się, przez 2, ale wtedy byłaby wykreślona). Skreślamy teraz z listy
wszystkie liczby większe od 3 i podzielne przez 3.
2 357
11 13 17 19
23 29
31 35 37
41 43 47 49
53 55 59
61 65 67
71 73 77 79
83 85 89
91 95 97
5) Najmniejszą liczbą na liście jest liczba 5. Jest to liczba pierwsza (argumentacja
jak wyżej). Skreślamy teraz wszystkie liczby podzielne przez 5 i większe od 5.
2357
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47 49
53 59
61 67
71 73 77 79
83 89
91 97
6) Najmniejszą liczbą na liście jest liczba 7. Jest ona liczbą pierwszą. Wykreślamy
wszystkie jej wielokrotności.
2357
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
Zwróćmy uwagę, że do znalezienia wszystkich liczb pierwszych wystarczy badać liczby
pierwsze niewiększe od
. Dzieje się tak, dlatego, że biorąc pod uwagę liczbę pierwszą p,
zaczynam skreślanie od liczby p2 - mniejsze wielokrotności p są już skreślone (dzielą się przez
liczbę mniejszą od p).
Najbliższą liczbą pierwszą jest 11. Zauważmy, że
liczby pierwsze od 1 do 100.
Oto one:
2357
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97
, więc znaleźliśmy wszystkie
3.2 Na czym polega generowanie kolejnych liczb pierwszych w sicie
Eratostenesa?
Co to jest algorytm?
Algorytm jest dokładnym przepisem rozwiązania problemu lub osiągnięcia zamierzonego
celu krok po kroku. Osiągnięcie założonego przez nas celu zależeć będzie również od
zaproponowanego sposobu rozwiązywania, a dokładniej – techniki algorytmicznej. Jedną
z form przedstawienia algorytmu, dla jego przejrzystości służy tzw. algorytm blokowy
algorytm blokowy:
opis krok po kroku rozwiązania postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia
jakiegoś celu, który powinien być dokładnie określony w postaci umownych bloków
decyzyjnych.
Cechy algorytmu:
dane winny być dokładnie sprecyzowane ( winny być uniwersalne),
cel (wynik), który chcemy osiągnąć jasno określony oraz powiązany z danymi;
to powiązanie danych z wynikiem – czyli jak rodzaj i ilość oraz jakość danych
wpłynie na wynik, ( nazywamy to specyfikacją problemu).
W celu lepszego zrozumienia idei algorytmu, zaproponowano zabawę z uczniami
w oparciu o przedstawiony schemat algorytmu. Dopiero po przeprowadzonej zabawie
i dyskusji,
można
przystąpić
do
rysowania
schematu
oraz do sprawdzenie jego działania na innych przykładach.
Na tablicy wisi plansza złożona ze stu pierwszych liczb naturalnych:
blokowego
algorytmu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Uczniowie podchodzą do tablicy i skreślają liczby złożone według podanego algorytmy
Eratostenesa.
Następnie uczniowie przeprowadzają zabawę ruchową. Proponujemy, aby uczniowie ustawili
się na środku klasy w półkole.
Każdy uczeń dostaje kartkę z liczbą (od 1 do 30). Zgodnie z algorytmem sita Eratostenesa
„przesiewają” liczby, które trzymają uczniowie.
1. Jeden nie jest liczbą pierwszą, więc wyjdzie z koła
2. Wyjdą z koła uczniowie, którzy mają liczby podzielne przez 2 (oprócz 2).
3. Następnie wyjdą ci uczniowie, którzy mają liczby podzielne przez 3 (oprócz 3).
4. Następnie wyjdą z koła liczby podzielne przez 5 (oprócz 5).
Jakie liczby zostały w kole, czyli w sicie? ( rysunek 2).
W działaniu sita Eratostenesa widoczny jest analogia do sit stosowanych w praktyce
np. wialnia – maszyna do oczyszczania ziarna z plew składa się z kilku sit o różnej gęstości
siatki drucianej. Również liczby z przedziału (2,30) przechodzą przez trzy sita zatrzymując
odpowiednie wielokrotności 2, 3 i 5.
Liczby pierwsze są tymi, które nie przeszły przez zestaw sit.
4. Algorytm – sito Eratostenesa
Przyjmujemy spostrzeżenia:
Wystarczy od samego początku rozważać jedynie liczby nieparzyste, gdyż parzyste będą
„przesiane” w pierwszym kroku przez oczka nastawiona na liczby podzielne przez 2;
Niech p będzie kolejną liczbą pierwszą, której mamy użyć do odsiania liczb złożonych,
podzielnych przez p. wtedy wystarczy wyeliminować liczby mające postać p 2, p(p+2),
p(p+4),... Wynika stąd, że liczby q p, gdzie q < p, zostały przesiane przez q, a liczb
p(p+1), p(p+3),.... nie musimy już przesiewać, gdyż są one parzyste (p, jako liczba
pierwsza, jest liczbą nieparzystą).
Kolejnym uproszczeniem jest wykonanie w algorytmie jedynie dodawań w miejsce
mnożeń – kolejno eliminowana liczba jest, bowiem o 2p większa od poprzedniej.
Algorytm sita Eratostenesa
Liczba naturalna N (dla uproszczenia można założyć, że jest to liczba parzysta
Dane:
równa 2M).
Tablica S[1..M], w której Si = 1, jeśli 2i + 1 jest liczbą pierwszą, a 0 – w
Wyniki:
przeciwnym przypadku.
Krok 1
{Początkowe wartości zmiennych} Sj : = 1 dla j = 1, 2, ...,M; i : =1; p : = 3, q : = 4.
Krok 2
Jeśli Si = 0, to przejdź do kroku 4.
Krok 3
{Liczba pierwsza p służy do odsiania jej wielokrotności, począwszy od miejsca q
w tablicy S}
Przyjmij j : = q. Dopóki j M, wykonuj Sj : = 0; j : = j + p.
Wykonaj przypisania: i : = i + 1; p : = p + 2; q : = q + 2p – 2. Jeśli q M, to wróć
Krok 4
do kroku 2, a w przeciwnym razie zakończ algorytm.
Przykład działania sita Eratostenesa dla liczby naturalnej N = 100
i
S[i]
p
q
Odsiane liczby
1
1
3
4
9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87, 93, 99
2
1
5
12
25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95
3
1
7
24
49, 63, 77, 91
4
0
9
40 p nie jest liczbą pierwszą
5
1
11
60 q > M – koniec algorytmu
Sposób przedstawiania uczniom algorytmu
Start
Podaj zakres liczb
pierwszych M
j:=1
i:=1
p:=3
q:=4
1 <j> <0>
j:=j+1
N
j=M
<j> <0> S
N
S:=0
i:=i+1
p:=p+2
q : = q +2p - 2
j:=q
N
N
j>M
qM
Koniec
0 <j> <0>
j:=j+p
Zadanie domowe
1. Znajdź wszystkie liczby pierwsze metodą sita Eratostenesa z przedziału liczb naturalnych
od 1 do 200.
2. Przetestuj
działanie
algorytmu
Eratostenesa
w
przedziale
od
1
do
500
(dla zainteresowanych).
5.Osiągnięcia ucznia
Uczeń:
potrafi współpracować w grupie i podejmować decyzje przy realizacji wspólnego
zadania,
potrafi przekazywać swoje pomysły i informacje w różnych formach, używając
tekstu, rysunku,
potrafi prowadzić obserwacje i posługiwać się modelami przy objaśnianiu zagadnień
i problemów,
potrafi samodzielnie zapisywać proste algorytmy w postaci procedur,
zna proste sposoby i przykłady testowania zaproponowanych rozwiązań,
potrafi zaproponować rozwiązania alternatywne,
zaproponowane rozwiązania potrafi przetwarzać, modyfikować wykorzystywać
w innych zadaniach,
posiada umiejętność dyskutowania i wprowadzania zmian.
