LICZBY RZECZYWISTE: - zsp3

LICZBY RZECZYWISTE:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych;
w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych.
b) badam, czy wynik obliczeń jest liczbą wymierną.
c) wyznaczam rozwinięcia dziesiętne; znajduję przybliżenia liczb.
d) stosuję pojęcie procentu i punktu procentowego w obliczeniach.
e) posługuję się pojęciem osi liczbowej i przedziału liczbowego; zaznaczam przedziały na osi liczbowej.
f) wykorzystuję pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznaczam na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności.
g) obliczam potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuję prawa działań na potęgach
o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych.
h) znam definicję logarytmu i stosuję w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm potęgi, logarytm ilorazu.
1. Oblicz:
2
3 4
 1
1  2  3   4
2
3
4 5
a) 
; b)
1 1
17  16 : 2
2 5
2
3 1
 1
10  2  3   2
5
4 5
 2
1 1
33 : 16 : 2
2 5
2. Oblicz:
a)  


3
2   3
1
:   2 

3 
4
2
d)  2  3 8 
1 3
:
2 5



2
3
8  1
c)   2 2   1 301
3 3 

2
8
27 
5
324


 
 

  3 2  :  3  2 1     3  3 3  3  8   2 1

3  
4  
8
27 

e)
2
2
301

 2   1
5
324

b)  
3
2
2
33
 1  2
3. Wynik obliczeń 1 : (1,4)  3,2    1    2   3
to:
5
64
 4  3
1
1
28
A. 10
B. 15
C. 16
3
3
75
4. Wartość podwojonej różnicy kwadratów liczb
A. 8
B. 16
13 i 3 wynosi:
C. 44  12 3
D. 12
D. 6
1
3
5 i 2 ma wartość:
5. Podwojony kwadrat sumy liczb
B.18
A. 18  4 5
6. Podwojony iloraz sumy liczb
A.  30  8 14
C. 14
D. 18  8 5
7 i 2 2 przez ich różnicę ma wartość:
B. 30  8 14
C.  30  8 14
D. 30  8 14
7. Suma dwóch liczb wynosi 15. Jeżeli pierwszą liczbę zwiększymy dwukrotnie i weźmiemy
suma zwiększy się o 7. Szukane liczby to:
A. 6 i 9
B. 9 i 6
C. 8 i 7
drugiej liczby, to
D. 7 i 8
8. Pan Andrzej jechał samochodem z Poznania do Warszawy przez pierwsze trzy godziny z prędkością 70 km/h, a
następnie przyspieszył i kolejne dwie godziny jechał z prędkością 90 km/h. Zatem podróż pan Andrzej odbył ze
średnią prędkością:
A. 78 km/h
B. 80 km/h
C. 82 km/h
D. 76 km/h
9. Która z poniższych liczb jest większa od ?
A. 0,03
B.
10. Liczbą odwrotną do liczby
A.
B.
11. Do jakiej potęgi należy podnieść
A. 2
B. -2
5
B. 4,5
D.
C.
D.
jest:
aby otrzymać
C. 4
12. Suma liczby odwrotnej do -3,5 i przeciwnej do
A.
C.
D. 0,5
jest równa:
C.
D.
-4
13. Wskaż liczby niewymierne w zbiorze:

14
12; 0, (12); 64 ;  ;
17

2
8
3
.
5
; 0;  ; 3,14;
14. Rozstrzygnij, czy liczby a 
2 2
2 1
oraz b  1
7
2
  2 są wymierne czy niewymierne.
9
15.Oblicz wartość wyrażenia:
a)
3
1  3 
3

1  3 
2
b)
3
16. Porównaj liczby
17. Liczba
A. (1; 2) \ (
6  5 oraz

jest elementem zbioru:
B. W \ C
)
6 5

1
 
1  3 
( 1 3
2
3
.
C. (
)\W
D. 1,2 \
2 , 
18. Liczbę 3,72491 zaokrąglij z dokładnością do:
a) całości
b) części dziesiątych
c) części setnych
19. O liczbach a i b wiemy, że a  17,5 i jest to przybliżenie z nadmiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia
wynosi 0,224, oraz że b  8,5 i jest to przybliżenie z niedomiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi
0,116.
a) znajdź liczby a i b.
b) oblicz sumę liczb a i b. Otrzymany wynik zaokrąglij do pierwszego miejsca po przecinku, a następnie oblicz
błąd bezwzględny i błąd względny otrzymanego przybliżenia.
20. Ułamek okresowy zamień na nieskracalny ułamek zwykły
a) 0, 6
b) 0,46 
c) 3,3(123).
21. Dane są liczby x  0, 15 oraz y  0,136 . Znajdź rozwinięcie dziesiętne liczby x  y .
22. Liczba 0,(45) po zamianie na ułamek zwykły jest równa:
A.
B.
C.
D.
23. Oprocentowanie kredytu mieszkaniowego w BR wynosiło dotychczas 6%. Zarząd banku podniósł wysokość
oprocentowania tego kredytu o 20%. O ile punktów procentowych wzrosło oprocentowanie kredytu
mieszkaniowego?
24. Jeden bok prostokąta zmniejszono o 25%, a drugi zwiększono o 25%. Pole tak otrzymanego prostokąta:
A. zmniejszyło się o 6,25%
B. zwiększyło się o 6,25%
C. nie zmieniło się
D. stanowi 0,75 pola pierwszego prostokąta
25. Liczba dodatnia b jest mniejsza od liczby a o 16
2
%. O ile procent liczba a jest większa od liczby b.
3
26. Cenę produktu zmniejszono o 10%, a potem podwyższono o 10% i wynosi ona 49,50 zł. Jaką cenę miał
produkt przed tymi zmianami?
27. Na diagramie przedstawiono wyniki ankiety przeprowadzonej w III SP wśród 120 uczniów na temat „Czym się
interesujesz?”. Wyniki przedstawiono na diagramie. Odpowiedz na pytania:
a) Ile osób interesuje się sportem?
b) Jaki jest procent uczniów lubiących czytać książki?
c) Ile osób lubi TV i komputer?
28. Do 10% roztworu soli kuchennej dolano 2,5 kg wody. Stężenie otrzymanego roztworu wynosi:
A. 6%
B. 8%
C. 2,5%
D. 7,5%
29. Nektarynki i brzoskwinie kosztują tyle samo. Jeśli nektarynki zdrożeją o 4% a brzoskwinie o 8%, to koszyk
zawierający 2 kg nektarynek i dwa kg brzoskwiń zdrożeje o:
A. 24%
B. 12%
C. 6%
D. 10%
30. Jakim procentem liczby a jest 100?
B.
A.
C.
31. Cena towaru nie uległa zmianie, jeśli najpierw:
A.podniesiono ją o 30% a następnie nową cenę
obniżono o 30%.
C. obniżono ją o 20%, a następnie nową cenę
podniesiono o 25%.
B. obniżono ją o 10%, a następnie nową cenę
podniesiono o 10%.
D. obniżono ją o 20%, a następnie nową cenę
podniesiono o 15%.
D.
32. Kontroler jakości akceptuje przeciętnie 15 wyrobów na 20 wyprodukowanych. Jaki procent wyrobów jest
przyjmowany do sprzedaży?
A.25%
B. 5%
C. 75%
D)
%
33.. Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, których
odległość na osi liczbowej od liczby (-1) jest mniejsza niż 4.

34. Liczba 6,5 stanowi 175% liczby a. Sprawdź, czy liczba a należy do przedziału  6, 3 .
35. Zaznacz na osi liczbowej liczby
1
i 0,25. Podaj dwie liczby, które leżą pomiędzy nimi.
3
36. Jakim liczbom odpowiadają punkty A, B i C, zaznaczone na osi?
A
11

B
C

37. Elementami zbioru A   3,8 \ 5, 9  N
A.{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.
13
są:
B.{0; 1; 2; 3; 4; 5}.
C.{0; 1; 2; 3; 4}.
D.{1; 2; 3; 4; 5}.
38. Zbiór X   10,100  C jest:
A. przedziałem obustronnie domkniętym.
B. podzbiorem zbioru liczb wymiernych.
C. zbiorem o parzystej liczbie elementów.
D. zbiorem o skończonej liczbie elementów.
39. Rozwiąż nierówność: x  3  2 . Zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej, a następnie wskaż wśród
rozwiązań nierówności
a) liczby naturalne
b) najmniejszą liczbę pierwszą
40. Rozwiązanie nierówności x  4  1
A. jest takie samo jak suma rozwiązań dwóch nierówności:
x  5 lub x  4 .
C. . to zbiór liczb mniejszych od 5.
41. Na osi liczbowej zaznaczono zbiór rozwiązań nierówności :
B. to przedział 3;5 . .
D.. to zbiór liczb większych od 3.
A. x  1
B. x  1  1
C. x  1  1
D. x  1  1
42. Zapisz podane zdanie w postaci równania lub nierówności i rozwiąż to równanie lub nierówność:
a) Odległość na osi liczbowej między liczbą 3 a liczbą x wynosi 5.
b) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą 5 jest mniejsza lub równa 7.
c) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą o 3 mniejszą od x wynosi 4.
43. Znajdź liczby spełniające jedną lub drugą nierówność:
Nierówności to: x  3  3 i
x  2  1.
44. Oblicz 5  5 
5 5 .
45. Oblicz:
a)
(8  2 3) 2  (2 3  8) 2
b) Liczbę
10  4 6 można zapisać
64 6 4 
 6
2
 2  2 6  22 

6 2

2
 6  2.
W podobny sposób oblicz 7  2 6 .
46. Rozwiąż równania i nierówności.
a) x  2  3
e) 3x  3  2
b) 5x  3  2
f) x  5
c) x  3  2
g)  x  1  8
d) 10 x  4  0
h) 3  7 x  10
47. Jaką najmniejszą wartość może mieć wyrażenie x  3 ?
A. 0
B. 3
C.
–3
D. 6.
48. Korzystając z graficznej interpretacji wartości bezwzględnej zapisz nierówność, której rozwiązaniem są liczby
rzeczywiste należące do danego przedziału.
A. x  1  3
x 3  2
C. x  5
D. x  3  2
, to
B. x   , 4
C. x  R
D.
B.
49. Jeżeli
A.

50. Wartość wyrażenia
A.
-4
dla x= -5 jest równa:
B. -10
C. -2
51. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
A.
-4
B. - 3
D. -6
jest liczba:
C. - 5
D. 0
52. Który układ równań przedstawia treść zadania:
Obwód prostokąta wynosi 200 cm. Jeden z boków jest 5 razy dłuższy od drugiego.
A.
C.
B.
D.
53. Oblicz:
a)
49  81
2
4
b) 5  5
c)
49  81
d) (4  16)
2
h) 210  2 9
14
15
i) 14 : 14
 2 1   3 2
 2    3
3  2
j)
2304 1



3
1
3
e) (6 3 : 6) 2
56
f)
25 2
1


6
  2 
g)    
  36  


4
54. Przedstaw w postaci potęgi o podstawie 2 wyrażenie:
0,5  166  9  2166
1
 
2
148
.
 2  23
10
k
Przyjmując, że 2  1000 zapisz przybliżenie otrzymanej liczby w postaci a  10 , gdzie a  1;10 , a k jest
liczbą całkowitą.
4
55. Liczba 33 3  9 3  27 1,5 jest równa
A. 3
1
2
3
B.
3
 1
C.   
 3

1
2
D. 
3
3
56. Porównaj liczby
a)
3 4
5 i6
1
12
b)
35 i
3
94
57. Liczba x jest równa 49, gdy
A) x 
( 7 )6
( 7)
2
B) x = 7-6∙492∙73 C)
75  7 2  6  76
x
74
58. Czwarta część liczby 872 ma wartość:
A. 4108
B. 2214
59. Oblicz log ab , wiedząc, że log 10a  2010 i log
60. Stosując własności działań na logarytmach, oblicz:
C. 272
10
 1020 .
b
2
D) x  7
D. 2216
a) 2 log
5
5  log
5
125  log
5
5 5
b) log
3
27  log
3
1
9
61. Oblicz x.
a) log x  log 4  log 5  log 6
b) log x  log 40  log 5
c) log x  0,5 log 5  0,5 log 2
c) log 8 x  log 8 0,4  log 8 2
62. Wartość wyrażenia log340,5 + log32 jest równa:
A. 81
B. 42,5
C. 38,5
2
 log 8 15
3
D. 4
63. Wyrażenie x = log3(log224 – log23) jest równe:
A.
log621
B. 1
C. 7
B. x = -2
C.
D.
21
64. Jeżeli
log 3
A.
1
x
81
,
x=2
to
x = -4
D.
x=4
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) posługuję się wzorami skróconego mnożenia: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, sześcian sumy i sześcian różnicy (dwóch wyrażeń), różnica
kwadratów, suma i różnica sześcianów (dwóch wyrażeń).
b) rozkładam wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia, grupuję wyrazy, wyłączam wspólny czynnik poza nawias.
c) dodaję, odejmuję i mnożę wielomiany.
d) wyznaczam dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się sprowadzić
do iloczynu wielomianów kwadratowych i liniowych za pomocą przekształceń opisanych w punkcie b).
e) obliczam wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej,
f) dodaję, odejmuję, mnożę i dzielę wyrażenia wymierne; skracam i rozszerzam wyrażenia wymierne.
1. Doprowadź wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci:
a)  (4 x  1) 2  10  (4 x  3)(3  4 x)
b) 7  (4 x  1)3  (5 x  2)( 25 x 2  10 x  4)
2. Zamień sumy na iloczyn
a) (a  2b) 2  (a  2b) 2
b) 121  ( x  12) 2
3. Przekształć potęgi na sumy algebraiczne
a) (2 x  5 y)
1

b)  ab  4 
2

2
2
c) x  4 x  4
2
c) (2a  ab)3
d) ( x  2 yz )3
4. Oblicz
b) (3 3  3 2 )(3 9  3 6  3 4)
a) ( 5  3 ) 3
c) 3,5 2  5  2 2
2 2 1
3 24
5. Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, usuń niewymierność
z mianownika liczby:
a)
7
7
b)
1 5
1 5
c)
3
3
42
6. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest równość:
2
2
3
3
A. a  b  a  b  2ab
B. a  b  a  b  2b b 2  3a




C. a  b a  ab  b -a-b a  ab  b  2b
D. (a  b)
7. Rozłóż wielomian na czynniki jak najniższego stopnia.
3
4
a) 27 x  8
b) ( x  3) 2  25
c) 16 x  81
2
3
2
d) 2 x  3x  x
2
2
2
e) 4 x  4 x  1
2
3

2
 a  b
2
2
3
2
f) 16 x  24 x  9 x
8. Wielomian W ( x)  4 x 4  2 x 3  2 x 2 ma postać
A.
1
W ( x)  2 x 2 ( x  1)( x  )
2
C.
W ( x)  2 x 2 ( x  1)(2 x  1)
B.
W ( x)  4 x 2 ( x  1)( x  1)
D.
W ( x)  2 x 2 ( x  1)(2 x  1)

9. Stosując wzory skróconego mnożenia, rozłóż na czynniki wyrażenie:
a) x 3  1
b) 125 x 3  1
c) 8 x 3  1 .






10. Dane są wielomiany W ( x)  6 x  3 , P( x)  x 2  2 x  1 oraz Q( x)  5 x 3  x  4. Wielomian
1
W ( x)( P( x)  Q( x)) jest równy
3
4
3
2
A. 10 x  7 x  5 x  13 x  5
4
3
2
C. 10 x  7 x  5 x  13 x  5
4
3
2
B. 10 x  7 x  5 x  13 x  5
4
3
2
D. 10 x  7 x  5 x  13 x  5
11. Wykonaj mnożenie wykorzystując wzory skróconego mnożenia
a) (2 x  1)( 2 x  1)( 4 x 2  1)(16 x 4  1) b) ( x  2)( x  2)( x 2  2 x  4)( x 2  2 x  4)
12. Wykonaj działania na wielomianach
W ( x)  2 x 3  7 x  4 , P ( x )  x 3  8 i V ( x )  x 2  2 x  4
a) W ( x)  2 P( x)
b) 2W ( x)  4 P( x)
c) W ( x)  P( x)
d) ( x  2)V ( x)  P( x)
e) W ( x)  (3x  5)  P( x)
13. Dane są wielomiany W(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 i Q(x) = x5 + x3 + 1.
Wówczas:
A. W(x) + Q(x) jest wielomianem dziewiątego
B. W(x) – Q(x) jest wielomianem piątego stopnia
stopnia
C. W(x) · Q(x) jest wielomianem piątego stopnia
D. W(x) + 2Q(x) jest wielomianem czternastego
stopnia
14. Wyznacz dziedzinę wyrażeń
a)
x2  2x  5
16 x 3  9 x
b)
2x  5
x  2x2  4x  8
3
c)
x 1
(2 x  1)( x  1)( 2 x  3)
x2 1
jest zbiór
2x2  6x  4
B. (;  2)  (1;  )
d)
x2
x 3
15. Dziedziną wyrażenia
A. R \ {2;  1}
C. (2; 1)
D.
R
( x 3  1)( x 2  4)
16. Podaj dziedzinę i przekształć wyrażenie do najprostszej postaci:
.
( x 2  x  2)( x  2)
3 x
17. Dziedziną funkcji f x  
może być zbiór:
x4
A.
R
B. N
C. C
D.
W
18. Przekształć do najprostszej postaci i oblicz wartość liczbową wyrażenia:
( x  4) 2  4(2 x  1)
a)
(3x  2) 2  (2 x  3) 2
2
 x 2  16  24 x  9 x 2
b)
dla x  1
2
3
x 3
2
dla x  
2
x 4  81
d)
dla x  0,5
(2 x 2  18)( x 2  4 x  3)
1
(4 x  1) 2  1
c)
dla x  3
2
4x  2
e)
x3
dla
x3
x  4
19. Wykonaj działania i doprowadź do najprostszej postaci
a)
5
3
6x

 2
x2 2 x x 4
c)
8x  4
: (4 x 2  1)
7x
b)
x2  2x 2x  4

36  9 x 2
x2
 x2  4
 x3  8  1 1 
 x  : 2
:  
 2
 x 4 2 x
d) 
(3x  1) 2  1
otrzymamy
3x  2
B. ) 3x
C. 3x  1
20. Po przekształceniu wyrażenia
A. 3x  2
D. ) 6x
21. Rozszerz wyrażenie tak, aby otrzymać wyrażenie wymierne o wskazanym mianowniku:
3x  2

.
x  1 x2  2x  1
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) rozwiązuję równania i nierówności kwadratowe, zapisuję rozwiązania w postaci sumy przedziałów.
b) rozwiązuję zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań i nierówności kwadratowych.
c) rozwiązuję układy równań prowadzące do równań kwadratowych.
d) rozwiązuję równania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki.
e) rozwiązuję proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.
f) rozwiązuję równania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do prostych równań wymiernych.
1. Rozwiąż równania i nierówności:
a) x2 - 25=0 b) x2 - 4x=0 c) x2-2x+3=0; d) x2-5x+6=0; e) x2+36=0; f) x(3-x)-(2+x)2 = (x-1)(x+1)
h) -x2+64>0 i) 2x2 -2x -24  0
g) x2<25; x2 + x+8 >0
j) 4x2+2x-1  0
k) -x2+2x-1  0.
2. Funkcja f(x) = 4x – x2 przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:
A. x  0;4
B. x   ;0  4; 
C. x   ;4
D.
3. Równanie x2 + 5 = 9
A. nie ma
pierwiastków
B. ma dwa dodatnie C. ma dwa ujemne
pierwiastki
pierwiastki
D. ma dwa pierwiastki o
różnych znakach
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności x2 > 4 jest
A. 2;  
B. (-2; 2)
C.
D. (-2; 0)
(0; 2)
5. Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała się wysokość (W), na której znajdowała się piłka od momentu, w którym została
odbita przez siatkarkę do momentu, w którym upadła na ziemię, Wykres ten jest fragmentem paraboli
a) Oblicz, po jakim czasie piłka spadła na ziemię.
b) Jaka jest dziedzina funkcji przedstawionej na wykresie.
c) Oblicz, na jaką wysokość W wzniosła się piłka po upływie 0,1 s.
6. Pole prostokąta wynosi 12 cm2. Jeden z boków jest dwa razy dłuższy od
drugiego boku. Oblicz długości boków.
7. Pole prostokąta wynosi 12 m2, jeden z boków jest o 1m dłuższy od drugiego.
obwód tego prostokąta.
Oblicz
8. Sklep zakupił za 8160 zł pewną ilość cukru. Gdy cukier potaniał o 4 gr za kilogram, to za tę samą kwotę zakupiono o 80 kg
cukru więcej. Ile kilogramów i po jakiej cenie za 1 kg kupiono cukier za pierwszym razem?
y  2x  1

2
2
( x  5)  y  16
9. Rozwiąż układ równań: 
10. Znajdź współrzędne punktów przecięcia prostej o równaniu 2x-y-1=0 z parabolą o równaniu (x-5)2+y=16.
11. Sprawdź, czy prosta o równaniu y=2x-6 jest styczna do okręgu x2+y2- 4y-15=0.
12. Układ równań
A. jest sprzeczny
B. jest nieoznaczony
wtedy i tylko wtedy, wtedy i tylko wtedy,
gdy a1 = a2
gdy b1 ≠ b2
13. Rozwiąż równania:
a) x3-4x2+2x-8=0
b) 2x5-5x4-3x3=0
C. jest oznaczony
wtedy i tylko wtedy,
gdy a1 ≠ a2
D. jest oznaczony wtedy i
tylko wtedy, gdy a1 = a2
c) x3-4x=x-2
14. Pierwiastkami wielomianu W(x) = (x – 3)(x2 – 25) są liczby:
A. -3; 3; 5
B. -3; 3; -5
15. Rozwiąż równania:
a)
x4
3
x2
b)
2x  3
x
x 1
c)
C. -5; 3; 5
D. -5; -3; 5
1 x
x4
2
3

 0 d) 3 
 0 e)
 x2
x x 1
2x  5
2x  4
16. Rozwiązaniem równania
jest liczba:
A. -2
B. 1
C. -5
D. 2
17. Dwaj tynkarze, pracując razem, otynkują ścianę w czasie 8 godzin.
Jeśli każdy z tynkarzy wykonywałby tę pracę sam, to pierwszy tynkarz zakończyłby ją o 12 godzin wcześniej niż drugi. W
ciągu ilu godzin każdy z tynkarzy wykona samodzielnie tę pracę?
18. Cena wynajęcia autobusu na wycieczkę wynosi 1200 zł. Gdyby 4 uczestników zrezygnowało z wycieczki, to każdy z
pozostałych płaciłby o 10 zł więcej.
Ilu uczniów liczy klasa?
FUNKCJE:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) określam funkcję za pomocą wzoru, tabelki, wykresu, opisu słownego.
b) odczytuję z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe.
c) sporządzam wykres funkcji spełniającej podane warunki.
d) potrafię na podstawie wykresu funkcji y = f ( x ) naszkicować wykres funkcji:
y = f ( x + a ); y= f ( x ) +a;y = -f ( x ); y = f ( -x ).
e) sporządzam wykres funkcji liniowej.
f) wyznaczam wzór funkcji liniowej.
g) wykorzystuję interpretację współczynników we wzorze funkcji.
h) sporządzam wykres funkcji kwadratowej.
i) wyznaczam wzór funkcji kwadratowej.
j) wyznaczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
k) wyznaczam wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
l) rozwiązuję zadania prowadzące do badania funkcji kwadratowej (również umieszczone w kontekście praktycznym).
m) sporządzam wykres, odczytuję własności i rozwiązuję zadania umieszczone w kontekście praktycznym związane z proporcjonalnością odwrotną.
n) sporządzam wykres funkcji wykładniczych dla różnych podstaw i rozwiązuję zadania umieszczone w kontekście praktycznym.
1. Przedstaw funkcję f (x) = 2 – 3x, dla liczb całkowitych z przedziału  2;2  .
w postaci tabelki oraz wykresu.
2. Funkcja f określona jest wykresem (rysunek). Przedstaw tę funkcję za pomocą grafu oraz tabelki.
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-4
-2
-0,5
0
2
4
-1
-1,5
-2
-2,5
3. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru X  1,2,3,4,5,6,7,8 resztę z dzielenia tej liczby
przez 3. Uzupełnij tabelkę:
x
y
1
2
3
4
1
5
2
4. Dana jest funkcja określona tabelką:
x
-2
-1
0
1
f(x)
-3
0
-1
2
6
7
2
1
8
3
0
4
1
Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
A. funkcja ma dwa miejsca zerowe
B. funkcja jest malejąca
C. wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (-1; 0) D. funkcja przyjmuje wartości nieujemne
5. Odczytaj z wykresów funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, i miejsca zerowe.
6. Funkcja f , określona w zbiorze liczb naturalnych, przyporządkowuje liczbie n resztę z dzielenia tej
liczby przez 4. Narysuj wykres funkcji f(n) dla n  10.
7. Naszkicuj wykres funkcji
 2 dla x  0
a) f x   
 x  2 dla x  0
 x dla x   .1

b) f x   1 dla x  1, 3
 x  2 dla x  3,  

8. Na podstawie wykresu funkcji f(x) sporządź wykres funkcji
a) g(x) = f(x-3), b) h(x)=-f(x),
c) p(x)=f(-x),
d) s(x)=f(x)-1
3
2
-2,5
2
9. Wykres funkcji f(x) = (x – 1)2, x  R otrzymamy w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji
f(x) = x2
A. wzdłuż osi OX
B. wzdłuż osi OX
C.wzdłuż osi OY
D. wzdłuż osi OY o 1 w dół
o 1 w lewo
o 1 w prawo
o 1 do góry
10. Sporządź wykres funkcji:
a) y = 2x – 3 – 5(x – 1)
b) 4x-2y-8=0;
x y
 1
3 2
 2x  2
d) f ( x)  
 x  1
 3x  1
e) f ( x)  
 x  7
c)
dla x  3
dla x  3
dla x  2
dla x  2
11. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty: A(-2;3) i B(4; -5).
12. Dla kolejnych liczb parzystych 0, 2, i 4 wartości pewnej funkcji liniowej określonej dla wszystkich
liczb rzeczywistych wynoszą odpowiednio: 3, 6 i 9. Oblicz wartość tej funkcji dla x =-2 i x = 123.
13. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji
f(x) = 0,5 x + 2 i przechodzi przez punkt P ( -4; 2 ).
14. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji g(x) = -324x – 3 i
przechodzi przez punkt Q(3; -6).
15. Wskaż funkcję, której wykresem jest prosta prostopadła do wykresu y = 2x – 1.
A. y = 2x
B.y= - 2 x
C. y = - 0,5 x + 4
D. y = 0,5 x -1
16. Prosta o równaniu y = ax – 1 przechodzi przez punkt A=(2; 3). Zatem
Aa=1
B. a = 2
17. Równania y =
A. osie układu współrzędnych
C. a = 3
D. a = - 2
oraz 4x + 6y – 9 = 0 przedstawiają:
B. proste przecinające się
C. różne proste
równoległe
D. tę samą prostą
18. Które zdanie dotyczące prostej l: y = 3x + 6 jest fałszywe?
A. prosta l przecina osie układu w punktach
B. prosta l przechodzi przez I, II i III ćwiartkę
(-2; 0), (0; 6)
układu współrzędnych
C. prosta l jest równoległa do prostej
D. prosta l przecina prostą
-3x + y – 2 = 0
19. Wykres funkcji g(x) =
B. nie przechodzi przez IV ćwiartkę układu
współrzędnych
D. nie przecina osi OY
A. przechodzi przez punkt
C. przecina prostą y = x w punkcie (2; 2)
20. Miejscem zerowym funkcji y = 0,5x + 3 jest:
A.
3
B.
21. Sporządź wykres funkcji
a) f ( x)  2( x  2) 2  3
6
c) h( x)  2 x  4 x  1
d) j ( x)  1  3x 2
2
C.
-6
D.1,5
b) g ( x)  3(2 x  1)(1  x)
22. Napisz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola
o wierzchołku W ( 1; -9 ), przechodząca przez punkt A ( -1; 8 ).
23. Znając miejsca zerowe funkcji , x1  1; x2  3 napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej
f(x)=ax2+bx+c,
a) przy założeniu, że współczynnik a ma wartość -2.
b) przy założeniu, że współczynnik a ma wartość 3.
24. Postacią kanoniczną trójmianu kwadratowego f(x) = -2x2 + 5x – 6 jest:
A.
B.
C.
D.
25. Postacią ogólną funkcji kwadratowej f(x) = -2(x + 1)2 – 3 jest
A. f(x) = 4x2 + 8x + 1
B. f(x) = -2x2 – 5
C. f(x) = -2x2 – 2x – 1
D. f(x) = -2x2 – 2x – 5
26. Funkcja kwadratowa, której wykres przechodzi przez punkty (0, -3), (1, -5) oraz (-2, -11) wyrażona
jest wzorem:
A. f(x) = 3x2 – 11
B. f(x) = -2x2 – 3
C. f(x) = x2 – 3x – 3
D. f(x) = -x2 + 2x – 3
27. Wyznacz miejsca zerowe funkcji:
a) f ( x)  x 2  6 x  9 ;
b) g ( x)  3( x  4) 2  27
c) s( x)   (2 x  4)(   4 x)
d) h( x)  3x 2  ( x  3) 2  1
28. Miejscami zerowymi funkcji f(x) = 4x2 + bx + c są liczby 5 i -3. Zatem:
A. b = 2 i c = 8
B. b = -2 i c = -15
C. b = -8 i c = -60
D. b = -2 i c = -8
29. Wyznacz największą oraz najmniejszą wartość funkcji f ( x)  3x 2  8 x  4 w przedziale <-2; 1>.
30. Wyznacz największą oraz najmniejszą wartość funkcji g ( x)  3x 2  10 x  3 w przedziale <-2; 2>.
31. Dla jakiego x funkcja f(x) = x2 + 2x przyjmuje w przedziale <-4; 1> wartość największą?
A.
x = -1
B. x = -4
C. x = 1
D. x = 1 lub x = -3
32. Zdjęcie o wymiarach 9cm x 13 cm chcemy oprawić w ramkę o jednakowej szerokości. Oblicz, jaką
szerokość ramki należy dobrać, aby po oprawieniu pole zdjęcia wraz z ramką wynosiło 221 cm2.
33. Mamy 240m bieżącej siatki ogrodzeniowej. Chcemy ogrodzić prostokątny ogródek o jak największej
powierzchni. Jakie wymiary powinien mieć ogródek?.
34. Jakie jest równanie osi symetrii paraboli y = 2(x + 5)2 – 4 ?
A.
x = -5
B. x = 5
C.
y = -5
D.
y=x
35. Wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku położonym nad osią
OX, gdy
A. f(x)=-x2 + x + 1
B. f(x)=5x2 + x – 1
C. f(x)=2x2 + 3x –1
D. f(x )= -(x – 1)2
36. Klomb z kwiatkami ma kształt prostokąta o bokach długości 8 m I 12 m. Klomb otoczony jest alejką o
stałej szerokości. Powierzchnia alejki jest równa powierzchni klombu. Oblicz szerokość alejki.
37. Zależność między wysokością w metrach osiągniętą przez kamień rzucony z dachu a czasem jego lotu
w sekundach przedstawia wzór:
1
1
h(t )   t 2  t  6
2
2
a) Po jakim czasie kamień osiągnie najwyższą wysokość?
b) Z jakiej wysokości rzucono kamień?
38. Przy produkcji n rowerów dziennie pewien zakład osiąga dochód wyrażony w przybliżeniu funkcją
f(n) = 200n – 5000 – 0,2n2
a) Czy opłaca się zwiększyć produkcję z 50 na 100 sztuk?
b) Jaka wielkość produkcji daje największy dochód?
39. Zbiór wartości pewnej funkcji kwadratowej jest równy (-∞, 5>. Oznacza to, że:
A. a > 0 i q = 5
B. a < 0 i q = 5
C.
a>0ip=5
D. a < 0 i p = 5
40. Dana jest funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej f(x)=2(x – 3)2 – 2.
Podkreśl zdanie fałszywe:
A. Wierzchołek paraboli to punkt (3, -2). B. Wykres tej funkcji powstał przez przesunięcie wykresu funkcji
f(x)=2x2 o trzy jednostki w lewo i dwie jednostki w dół.
D. Miejsca zerowe funkcji to liczby 2 i 4.
C. Zbiór wartości funkcji to <-2, ).
41.
Wysokość h ciała wyrzuconego pionowo w górę jest funkcją czasu t określoną wzorem:
h(t) = -5t2 + 30t. Przedstaw tę funkcję za pomocą wykresu. Po jakim czasie wysokość ciała nad ziemią
będzie największa?
42. Każdej liczbie jednocyfrowej przyporządkowujemy jej odwrotność. Który z punktów nie należy do
wykresu funkcji:
A. A: ( 1, 1 )
C. C: ( 1, -1 )
1
1
B. B: ( 4, )
D. D: ( 3,
).
4
3
43. Samochód poruszał się z prędkością 70 km/h i przejechał 50 km. O ile minut skróciłaby się podróż tym
samochodem, gdyby na przejechanym odcinku 50 km przyspieszył on o 12 km/h?
44. Dziedziną funkcji
A. R
jest zbiór
B.
R \ {-1}
45. Zbiorem wartości funkcji
A. R \ 3
B.
C. R \ {
}
D.
R\
R \ {0}
D.
R \ {-3}
jest zbiór:
R
C.
46. Dla której z podanych funkcji dziedziną jest zbiór R \ {0}
A.
B. f(x) = x20
C.
D. f(x) = x -5
47. Sporządź wykres funkcji:
a) f ( x)  3 x  2
1
2
x
b) g ( x)     4
48. Liczebność pewnej kolonii bakterii wynosi 1 mln. Co każde 6 minut kolonia powiększa swoja
liczebność o 10%.
a) Ile bakterii będzie liczyć ta kolonia po upływie 18 minut? Wynik podaj w zaokrągleniu do 1000.
b) Po jakim czasie kolonia ta będzie liczyć 1,61051∙106 bakterii.
49. Czas połowicznego rozpadu radonu 219 wynosi 3,92 sekundy. Ile miligramów radonu pozostanie \
w próbce zawierającej 1g tego izotopu po upływie 30 sekund? Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,01 mg.
CIĄGI LICZBOWE:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) wyznaczam wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
b) badam, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.
c) stosuję wzory na n – ty wyraz i sumę n – początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i geometrycznego.
1. Oblicz a3 oraz a6 wiedząc, że:
a) a n
n

 1  5

2n  3
2n 2  1
b) bn 
n5
3n
c) cn  3 .
n
2. Który wyraz ciągu an jest równy zero?
a) an  2n 2  3n  1
b) an 
3
n  12
4
2n
 8 są większe od 10?
5
4. Ciąg liczbowy określony jest wzorem an  2n 2  9 . Które poniższych zdań są prawdziwe?
3. Które wyrazy ciągu an 
A. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.
C.Tylko dwa wyrazy ciągu są ujemne.
B.Wszystkie wyrazy ciągu są liczbami nieparzystymi.
D. Istnieje wyraz ciągu równy 0.
5 Liczba 6 jest piątym wyrazem ciągu:
A. an= (4 – n)3 + 7
B. an= (n – 1)2 + 5
6. Liczba 6 jest piątym wyrazem ciągu:
A. an = (n – 1)2 + 5
B. an =
C. an=
D. an=
C. an = (4 – n)3 + 7
D. an = 3n – 7
C. cn = -2n
D.
7. Który z podanych ciągów jest ciągiem rosnącym?
A. an = 0,6n – 1
B. bn =
n
8. Który z podanych ciągów jest arytmetyczny?
dn = 7 – 2n
A. 2, 22, 222,…
9. Zbadaj, czy ciąg a n 
B. 1,1,2,…
C. 2 , 2  3, 2  6 , …
D. 2, 4, 8, …
2n  3
jest arytmetyczny.
n
10. Który z podanych niżej ciągów jest geometryczny?
2
3
4
A. 5,  5 ,  5 ,  5 ,...... B. 1, 3, 5, 7,…
C. 5, 52 , 53 , 54 ,...
D. 1, -2, 3, -4,…
11. Zbadaj, czy ciąg a n  3 n jest geometryczny.
12. Dla jakiego x liczby: 3x,
A. x = 0,25
B.
,
5x + 2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
x=3
C.
x=2
D. x = 0
13. Który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym?
A. 2, 4, 6
B. 2, 4, -8
C. -2, 4, -6
D. -2, 4, -8
14. Jakie wartości powinny przyjąć x i y, aby ciąg x, 3, y, 12 był ciągiem arytmetycznym?
A. x = -1,5 i y = 7
B. x = 0 i y= 7
C. x = -1,5 i y = 7,5
D. x = 1,5 i y = 7
15. Który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym?
A. an = 3n2
B. bn = n –1
C. cn = 5n + 3
D. d n  3 5 n
16.Liczby 1, 4, 7, … są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę a100  a85 .
17. W ciągu arytmetycznym a3  5; a6  20 . Ile wyrazów ciągu jest mniejszych od 100?
18. Dachówki ułożone są na jednej połaci dachu w 16 rzędach. Najniższy rząd składa się ze 130 dachówek a w
każdym następnym rzędzie leży o 5 dachówek mniej niż w rzędzie poprzednim. Ile dachówek leży w najwyższym
rzędzie? Ile dachówek leży na całej połaci dachu?
19. Suma 15 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego którego początkowe trzy wyrazy to:
1
13; 11 ; 10. wynosi:
2
A. 28
B. 21
C.33
1
2
20. W ciągu geometrycznym dane są a1  4; a5 
D. 37
1
2
64
. Oblicz iloraz tego ciągu.
81
21. W ciągu arytmetycznym dane są a3  5 i a5  3 . Oblicz różnicę tego ciągu.
22. Wyznacz liczby a i b, dla których ciąg (a, b, 1) jest ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg (1, a, b) jest
ciągiem geometrycznym.
23. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Najkrótszy bok ma długość 6 cm. Oblicz
pole tego trójkąta.
24. Jak długo należałoby oszczędzać na lokacie półrocznej, której oprocentowanie wynosi 6%, aby kwota
podwoiła się?
A
10 lat
B 11 lat
C 12 lat
D 13 lat
25. Marek zamierza uczyć się codziennie matematyki. Pierwszego dnia poświęci na to 20 minut, a
każdego następnego dnia zamierza uczyć się o 5 minut dłużej niż dnia poprzedniego. Którego dnia będzie
uczył się matematyki 1,5 godziny?
A piątego dnia
B dziesiątego dnia
D piętnastego dnia
C dwunastego dnia
26. Kasia postanowiła codziennie biegać. Pierwszego dnia biegała 15 minut, a każdego następnego o 10
minut dłużej. Którego dnia łączny czas biegania wyniesie 10 godzin?
27. Tomek w dwunastym dniu sezonu grzybowego zebrał 14 kg grzybów. Ile grzybów zebrał Tomek
pierwszego dnia, jeśli wiadomo, że każdego poprzedniego dnia zebrał o 0,5 kg grzybów mniej?
A
7,5 kg
B
8 kg
C
8,5 kg
D
9 kg
28. Zaznaczone w układzie współrzędnych punkty należą do wykresu
monotonicznego ciągu geometrycznego. Który wyraz ciągu jest równy
?
A 10
B
12
C
14
D
16
29. Pole narysowanej figury jest równe 1562 mm2. Pola prostokątów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 0,75.
Pole najmniejszego prostokąta jest równe:
A 256 mm2
B 512 mm2
C 500 mm2
D
400 mm2
30. Dany jest ciąg, którego wyraz ogólny opisany jest wzorem an = 4n – 1 . Ciąg ten jest:
A ciągiem arytmetycznym o różnicy 1
B ciągiem geometrycznym o ilorazie 4
C ciągiem arytmetycznym o różnicy 4
D nie jest ciągiem arytmetycznym ani geometrycznym
31. W 1998 roku w sadzie wycięto 4 drzewa zniszczone przez owady. W każdym następnym roku liczba
wycinanych drzew wzrastała dwukrotnie. W którym roku liczba wyciętych drzew wyniosła 64?
A w 2002 roku
B w 2003 roku
C w 2001 roku
D nie było takiego roku
GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) wykorzystuję pojęcie układu współrzędnych na płaszczyźnie.
b) podaję równanie prostej w postaci Ax+By+C=0 lub y = ax + b, mając dane dwa punkty lub punkt, współczynnik kierunkowy
c) badam równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.
d) interpretuję geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
e) obliczam odległość punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej.
f) wyznaczam współrzędne środka odcinka
g) posługuję się równaniem okręgu.
1. Dana jest prosta o równaniu y = -3x + 2 oraz punkty F(-1,5) i G(2,8)
Do danej prostej należą punkty
A. F i G
B. F
C. G
D. żaden z nich
2. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów spełniających warunek:
a) x > 3 i y  4
b) x  4 i y > 0
c) y = 2 i -3 < x  5
3. Zapisz w postaci ogólnej i kierunkowej wzór prostej przechodzącej przez punkty A(2,5) i B(-2,3).
4. Napisz w postaci ogólnej równanie prostej o współczynniku kierunkowym a  
3
, przechodzącej
2
przez punkt P(1; 3).
5. Napisz równania prostych zawierających boki trójkąta o wierzchołkach K(-3,4) L(-1;0) i M(3,2).
6. Prosta l tworzy z osią X kąt o mierze 450 i przechodzi przez punkt M (-2; 2) Napisz równanie tej prostej.
7. Prostą równoległą do prostej o równaniu y=2x+1 jest prosta o równaniu :
A. y = -2x -1
B. y = -2x+1
C. y - 2x + 4=0
D. y 
1
x2
2
8. Dane są proste o równaniach: k : y = 3x + 1; l: y  x 
a) wskaż proste równoległe
1
; m: 2y - 6x = 7; n: y + x = 3.
2
b) wskaż proste prostopadłe.
9. Napisz równanie prostej równoległej do prostej y=-x+3, przechodzącej przez punkt A(4; 1).
10. Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej y = 2x przechodzącej przez punkt A(-2; 5).
11. Wyznacz równania symetralnej odcinka o końcach K(-2;7) L(4,5).
12. Wyznacz wartość parametru a, dla której prosta y  (a  5) x  6 jest
a) równoległa do prostej y  4 x  6
b) prostopadła do prostej y 
1
x 1
2
13. Prosta o równaniu 2x + y – 3 = 0 jest
A. równoległa do prostej y = 2x + 1
C. prostopadła do prostej 2x + 4y + 1 =0
B. prostopadła do prostej y = 0,5x + 5
D. równoległa do prostej y = 2x – 1
14. Proste mx – 3y – 15 = 0 i 2x + 0,5y + 5 = 0
A. są równoległe dla m = 12
B. nigdy nie będą prostopadłe
C. przecinają się w punkcie (0; 5) dla m = 12
D. są prostopadłe dla m = 0,75
15. Rozwiąż graficznie układ równań. Podaj liczbę rozwiązań:
2 x  y  1
4 x  2 y  6
a) 
x  y  5
3x  3 y  15
b) 
2 x  y  5
 2 x  y  6
c) 
Sprawdź swoje rozwiązania, rozwiązując te układy równań metodą algebraiczną.
16. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych o równaniach
x + y = 0, 2x - 4y = 3.
3 x  2 y  1
 x  y  3
17.. Punkt będący interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań 
A. I
B. II
C. III
należy do
D. IV ćwiartki układu współrzędnych
18. Oblicz długość odcinka AB, jeśli A(-4; 2), B(6; 8).
19. Oblicz obwód trójkąta o wierzchołkach A(-3;4), B(-1;0), C(3;2).
20. Oblicz długość promienia okręgu, którego średnicą jest odcinek AB, gdzie
A(-5; 1) i B(1; -7).
21. Środkiem odcinka o końcach A(-1; 4) i B(6; -3) jest punkt o współrzędnych:
A. S(-7; 7)
B. S(2,5; 0,5)
C. S(7; -7)
D. S(5; 1)
22. Wiedząc, że punkt S(0; -5) jest środkiem odcinka AB i A(-3; 6), wyznacz współrzędne punktu B.
23. Oblicz długości środkowych w trójkącie o wierzchołkach A(-4;3), B(6;1), C(8;3).
24. Odległość punktu P(1;3) od środka odcinka o końcach A(-3;4), B(5;6) wynosi:
A. 8 2
B. 2 2
C. 8
D. 5
25. W równoległoboku ABCD dane są wierzchołki A(-4; 6), B(-2; 4), C(0; 2). Wyznacz współrzędne
punktu D.
26. Znajdź środek okręgu, którego średnica jest odcinkiem o końcach A(-2; 5) i B(4; 3).
27. Oblicz długość wysokości trójkąta ABC, która jest opuszczona z wierzchołka C,
jeżeli A(-2; 1), B(1; -3), C(3; 3).
28. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S(-4; 2) i promieniu r = 6.
29. Wyznacz promień i środek okręgu opisanego równaniem:
a) ( x  2) 2  ( x  6) 2  9
b) x 2  ( y  3) 2  10
2
2
c) x  y 
9
16
30. Wyznacz równanie okręgu wpisanego w kwadrat o wierzchołkach:
A(0;-3), B(4;-1), C(2;3), D(-2;1).
31. Ile punktów wspólnych ma okrąg o środku S(0; 3) i promieniu
6 z prostą o równaniu y  3x  15 ?
32. Dany jest okrąg o równaniu ( x  1) 2  ( y  2) 2  4 . Wskaż współrzędne środka S i długość promienia
tego okręgu.
A. S(-1; 2); r = 4
B. S(-1; 2); r = 2
C. S(1; -2); r = 2
D. S(1; -2); r = 4
33. Okrąg o środku w punkcie O(-1; 2) i promieniu 2 ma równanie postaci:
A. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 2 B. (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4
C. (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4
D. (x - 1)2 + (y – 2)2 = 4
C. x2 + y2 – 3x =0
D. x2 +y2 – 3x – 3,25 =0
34. Które z podanych równań opisuje okrąg?
A. x2 + y – 3x =0
B.
x + y2 – 3y =0
PLANIMETRIA:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) korzystam ze związków miedzy kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu,
b) wykorzystuję własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym
c) znajduję związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w
kontekście praktycznym.
d) określam wzajemne położenie prostej i okręgu.
1. Wyznacz miarę kąta BAC w trójkącie
ABC
2. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC.
3. Dany jest okrąg o środku S. Miary kątów
A.  =300,  =500
C. 2  = 400,  = 500
 i  wynoszą:
B.  = 500,  = 400
D.  = 500,  = 300
4 .Miara kąta wpisanego opartego na półokręgu wynosi:
A.180o
B. 900
C. 2700
D. 3600
5. Jeżeli kąt wpisany i środkowy, oparte są na tym samym łuku, to miara kąta wpisanego jest :
A. dwa razy mniejsza
od kąta środkowego,
B. dwa razy większa
od kąta środkowego,
C. taka sama jak kąta
środkowego.
D. równa 900.
1
6. W celu oszacowania wysokości drzewa uczeń ustawił się tak, że koniec jego cienia pokrywał się z
końcem cienia drzewa. Następnie zmierzył swój cień – 3, 6 m. Odległość ucznia od drzewa wynosiła
16,4m. Jaka jest wysokość drzewa, jeśli uczeń ma 180cm wzrostu.
7. W trójkącie ABC bok AB ma długość 18 cm. Bok AC podzielono w stosunku 2:3:4 i przez punkty
podziału poprowadzono odcinki KL i MN, równoległe do AB (L, N  BC).
Oblicz długość odcinków KL i MN.
8. Oblicz x.
4
3
12
x
9. Trójkąty przedstawione na rysunku są podobne. Podaj skalę podobieństwa tych trójkątów.
Oblicz x i y.
10. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do trójkąta o obwodzie równym
6. Podaj długości przeciwprostokątnych obu trójkątów.
11. Prostokąt P1 o bokach długości 9 cm i 12 cm jest podobny do prostokąta P2 o przekątnej długości
20 cm. Wynika stąd, że
2
A. obwód prostokąta P2 jest równy 54 cm.
B. stosunek pola prostokąta P1 do pola prostokąta P2
jest równy 9 : 16
C. stosunek pola prostokąta P1 do pola prostokąta D. długość przekątnej prostokąta P1 wynosi 21
P2 jest równy 16 : 9
12. Mamy dwa trójkąty podobne o polach 81 cm2 i 27 cm2. Skala podobieństwa pierwszego trójkąta do
drugiego wynosi:
A. 3
C.
B.
D.
13. z Poznania do Warszawy w linii prostej wynosi 300 km. Zatem odległość na mapie w skali 1 :
10000000 wynosi:
A. 3 cm
B. 30 cm
C.
3 mm
D. 0,3 mm
14. Wiedząc, że narysowane poniżej trójkąty są podobne długość boku x wynosi:
A. 3,75
B.
C. 5
D. 1.
15. Trójkąt ABC przecięto prostą równoległą do podstawy AB w ten sposób, że otrzymano mniejszy trójkąt
i trapez o podstawach długości 3cm i 5cm, boki trójkąta ABC wynoszą |AC|=4cm, |BC|=7cm. Oblicz
obwód otrzymanego trapezu.
3
16. Pole rombu jest równe 8, a kąt ostry rombu ma miarę 300. Oblicz długość boku i wysokość tego rombu.
17. Wysokość trapezu prostokątnego jest równa 9, a kąt ostry ma miarę 600. Oblicz pole tego trapezu, jeśli
wiadomo, że dolna podstawa jest dwa razu dłuższa od górnej.
18. Oblicz wysokość wieży
19. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 3 i 4 3 . Oblicz długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
20. Przekątne rombu mają długości 6 i 6 3 . Oblicz długość boku rombu, kąt ostry rombu i długość
wysokości rombu.
21. W trapezie równoramiennym przekątna tworzy z dłuższa podstawą kąt
2
jest równe d sin  cos  .
 . Wykaż, że pole tego trapezu
22. Płetwonurek chce się zanurzyć na głębokość 8m, płynąc pod kątem 600 do tafli wody, aby zaczepić linę
zakotwiczoną hakiem do kufra leżącego na dnie. Czy do tej wyprawy wystarczy mu lina długości 10m?
Odpowiedź uzasadnij wykonując odpowiednie obliczenia (pomiń wysokość kufra).
23. Dane są trzy koła parami styczne zewnętrznie. Pola tych kół są równe 4 , 9 , 16 . Ile wynosi
obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki tych kół?
A. 15
B. 18
C. 20
D. 25
24. Dwa koła o promieniu 8 przecinają się w dwóch punktach w taki sposób, że promienie poprowadzone
ze środka każdego okręgu do punktów przecięcia tworzą kąt 450. Oblicz pole części wspólnej tych kół.
25. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 6, a sinus kąta leżącego naprzeciw
niej jest równy
A.12
2
. Jaką długość ma przeciwprostokątna?
3
B.13
26.Pod jakim kątem prosta o równaniu y 
A. 600
B. 300
C.14
D.15
3
x przecina dodatnią część osi OX?
3
C. 450
D. 150
1
27. Ze skrawka materiału w kształcie trójkąta o długościach boków 7 cm, 24 cm, 25 cm wycięto koło
wpisane w ten trójkąt. Ile cm2 materiału pozostało? Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
28. Plac przed szkołą jest w kształcie prostokąta o wymiarach 10 m x 15 m. Dyrektor postanowił, że na
środku powstanie klomb kwiatowy w kształcie koła o promieniu 2 m. Pozostałą część placu chce obsiać
trawą. Oblicz, ile kg trawy należy zakupić, jeśli 1 kg trawy wystarcza na obsianie 12 m2. Przyjmij, że
π≈3,14. Wynik podaj w pełnych kilogramach.
29. W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę o 15° większą od miary kąta między
ramionami.
Miara kąta między ramionami wynosi:
A. 50°
B. 65°
C. 130°
D. 22,5°
30. W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej równej 9 i jednej z przyprostokątnych równej 5,
długość drugiej przyprostokątnej jest równa:
A.
B.
C.
D.
31. Szczyt domu jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 24 m i ramieniu długości 13 m.
Firma chce umieścić na tej ścianie plakat reklamowy w kształcie prostokąta wpisanego w trójkąt tak, aby
jeden bok prostokąta należał do podstawy trójkąta, a dwa jego wierzchołki do jego ramion i aby plakat miał
możliwie największe pole powierzchni. Oblicz pole tego plakatu.
32. Pole trójkąta równobocznego o boku równym 3cm wynosi:
A.
,
B.
C.
D.
.
33. Ile punktów wspólnych ma prosta k o równaniu y  3 z okręgiem o środku
w punkcie O(3;-1), w zależności od promienia r tego okręgu.
34. Prosta przecina okrąg o promieniu 10 w punktach A i B. Oblicz odległość tej prostej od środka okręgu,
jeśli AB=12.
35. Punkty A, B, C dzielą okrąg w stosunku 3:4:5. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
36. Dwa okręgi o promieniach 2 cm i 1 cm są styczne zewnętrznie. Prosta AB jest styczna do tych okręgów.
Wyznacz długość odcinka CO1 oraz oblicz pole trapezu ABO1O2.
2
37. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość a i b. W ten trójkąt wpisano kwadrat, którego dwa
wierzchołki leżą na przyprostokątnych, trzeci na przeciwprostokątnej, czwarty zaś pokrywa się z
wierzchołkiem kąta prostego trójkąta. Wykaż, że długość boku kwadratu wynosi
ab
.
ab
38. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i promieniu r1 oraz okrąg o środku S i promieniu r2.
Określ wzajemne położenie tych okręgów, gdy
a) OS=1, r1 = 5, r2 = 6 b) OS=2, r1 = 5, r2 = 6 c) OS=14, r1 = 5, r2 = 6
39. Obwód trójkąta wyznaczonego przez środki trzech okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 3
cm, 4 cm, 5 cm wynosi:
B 12 cm
C 24 cm
A 24π cm
D 12π cm
TRYGONOMETRIA:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) wykorzystuję definicję i wyznaczam wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.
b) rozwiązuję równania typu sin x = a, cos = a, tg x = a; dla 00<x<900.
c) stosuję proste związki między funkcjami trygonometrycznymi kata ostrego.
d) znając wartości jednej funkcji trygonometrycznej wyznaczam wartości pozostałych funkcji tego samego kąta.
3
1. Zbuduj kąt ostry
1
a) sin  =
3
 wiedząc, że
b) cos
 =
2
3
c) tg
 =3
2. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów
 i  w trójkącie na rysunku.
3. Oblicz wartości wyrażenia:
a) 2 sin  – tg2  , gdzie  = 450,  = 600.
b) (sin  – cos  )2 + sin 2  , dla  = 300.
c) (sin  + cos  )(cos  – sin  ) – cos 2  , dla
 = 300.
4. Oblicz długość przeciwprostokątnej,
wiedząc, że cos  = 0,84. Wynik podaj z dokładnością do części setnych.
5. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej
przyprostokątnej.
6. Na podstawie rysunku oblicz wartość wyrażenia
 1


 cos    tg .
 tg

1
0
7. Wiadomo, że sin   cos 27 i  jest kątem ostrym. Ile jest równy kąt
A.270
B.1530
C.630
8 Sinus kąta ostrego
A. cos  =
?
 jest równy . Wynika stąd, że
B. tg  = 0,75
C. tg  = 1,25
D. 330
D. cos  =
9. Między godziną 710 a 850 wskazówka minutowa zegara obróciła się o kąt, którego miara wynosi:
A. -240°
B. -180°
C. -600°
D. 600°
10. Wartość wyrażenia sin 30° + sin 60° wynosi:
A.
B.
C.
D.
11.Wiedząc, że x jest kątem ostrym, rozwiąż równanie:
a) 2sin x = 1
b)
2 cos x = 1
3 tg x= 3
c)
12. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości 1340 m różnicę wzniesień ok. 300m. Zakładając, że kolejka porusza się
wzdłuż linii prostej oblicz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki.
13. Podaj dokładne wartości kąta ostrego  .
a)
3
tg  - sin  = 0 ;
2
b) 8 sin 2   2 2 cos 2  ;
14. Czy istnieje taki kąt ostry
a) sin  =
2
3
i
cos
=
c) cos   3 sin  .
 , dla którego:
1
3
15. Wykaż, że wartość wyrażenia
W = (sin  – cos  )2 + (sin  +cos
b) sin  =
5
5
i tg  =
?
13
12
 )2 jest stała dla każdego kąta ostrego a.
2
16. Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością.
a) (1+cos  )(1-cos  ) = sin2 
b) tg

cos a
+1 = 2 (sin2  +cos2  )
sin a
c)
1
1
2


1  cos  1  cos  sin 2 
17. Czy istnieje trójkąt prostokątny o kątach ostrych
 i  spełniający warunki?
1
1
3
i cos  
b) sin  
i tg  1
2
2
2
3
18.Dany jest sin  = . Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego  .
7
a) sin  
19. Dany jest tg  = 4. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego  .
20.Obserwator widzi czubek drzewa odległego o 65 m pod kątem a=290 (oczy ma na wysokości 1,5 m nad ziemią). Jaką wysokość ma drzewo?
21. Jaki kąt z powierzchnią ziemi tworzy promień słoneczny, jeśli drzewo o wysokości 20m rzuca cień długości 17m?
22.Dwaj obserwatorzy stojący w punktach A i B w odległości 200m od siebie widzą nadlatujący samolot pod kątami
 =250 i  =150.
Na jakiej wysokości jest ten samolot?


A
B
23. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych stanowi 40% przeciwprostokątnej. Wyznacz kąty tego trójkąta z dokładnością do 10.
3
STATYSTYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) obliczam średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuję te parametry dla danych empirycznych.
b) zliczam obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuję zasadę mnożenia.
c) wykorzystuję sumę, iloczyn i różnicę zdarzeń do obliczania prawdopodobieństwa.
d) wykorzystuję własności prawdopodobieństwa i stosuję twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństwa zdarzeń.
1. Podaj średnią arytmetyczną, medianę i odchylenie standardowe dla następujących zestawów danych: a) 1,4,2,3,4,1,2,3,4,4
5,4,3,5,4,3,7,8,7,8,5,3
b)
2. Oblicz wartość średnią arytmetyczną, podaj medianę i odchylenie standardowe dla zestawów danych przedstawionych w tabeli:
a)
Wartość
-2
-1
0
3
4
Liczba wskazań 4
3
2
1
5
b)
Wartość
Liczba wskazań
10
2
12
1
14
4
16
3
3. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe dla zestawów danych:
a)1,3,2,1,3,2,1,2,3,2
b)21,20,22,23,25,21
4. W pewnej miejscowości mierzono temperaturę powietrza (w oC) otrzymano następujące wyniki: 28,28,27,26,25,25,24,24,25,26. Oblicz średnią i
odchylenie standardowe tych temperatur.
5. Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione w tabelce
Ocena
Liczba ocen
1
2
2
4
3
2
4
4
5
3
Średnia ze sprawdzianu wynosi:
4
A. 3,2
B. 3,31
C. 3,14
D. 3,13
6. W ciągu semestru uczeń otrzymał oceny: 4, 4, 5 z wagą 5; 3 i 2 z wagą 7 oraz 3, 4, 5, 5 z wagą 3. Oblicz średnią ważoną ocen tego ucznia.
7. Dany jest zestaw liczb: 1; 2; 20; 12; 10; 15. Zatem
A. średnia arytmetyczna tych liczb jest większa od B.tylko dwie z tych liczb są mniejsze od średniej
mediany
C. mediana zestawu danych wynosi 16
D. cztery z tych liczb są mniejsze od średniej
arytmetycznej
8. Do Młodzieżowego Klubu Filmowego należy 20 uczniów. Informacje o ich wieku przedstawiono na diagramie. Oblicz średnią wieku członków tego
klubu oraz odchylenie standardowe.
9. Diagramy przedstawiają oceny z kolejnych pięciu sprawdzianów otrzymane przez dwóch uczniów .
5
Jaką średnią ocen ze sprawdzianów uzyskali odpowiednio Bociek i Skowronek:
A. 4,4 i 4,0
B. 4,4 i 3,6
C. 4,0 i 3,6
D. 4,0 i 4,0
10. W szkole przeprowadzono zbiórkę butelek. Wyniki zbiórki w klasie 2A przedstawiono w postaci diagramu.
a)Ilu uczniów przyniosło co
najmniej 4 butelki?
A. 2
B. 4
C.14
D.5
6
b) Ile butelek zebrała klasa 2A?
A. 30
B. 97
C.7
D.28
c) Ile butelek przypada średnio na jednego ucznia?
A. ok. 3,5
B. ok. 3,4
C.ok. 3,3
D. 4
11. Ania chce pojechać za granicę korzystając z oferty „Last Minute”. Aby wybrać najlepszą propozycję oferowaną przez biuro podróży, sporządziła
poniższą tabelkę, w której zapisała swoje oceny kilku proponowanych wycieczek, biorąc pod uwagę trzy najważniejsze dla niej kryteria. Ponieważ
kryteria te nie były dla niej jednakowo istotne, przydzieliła im różne wagi. Który wyjazd powinna wybrać?
Kraj
EGIPT
RIWIERA TURECKA
TUNEJZA
GRECJA
A. Egipt
Koszt (z wagą 0,4)
6
9
8
5
Koszt (z wagą 0,3)
4
4
5
7
B. Riwiera Turecka
C. Tunezja
Koszt (z wagą 0,1)
4
7
5
8
D. Grecja
12. Wyniki matury pisemnej z języka polskiego wśród 5000 uczniów przedstawiono w postaci diagramu.
a) Ilu uczniów nie zdało matury pisemnej z języka polskiego?
A. 27
B. 375
C. 1350
D. 215
b) Ilu uczniów nie otrzymało oceny dostatecznej?
A. 5000
B. 2000
C.3500
D.1500
c)Jakie jest prawdopodobieństwo, ze wybrany uczeń nie otrzymał
A. 1,2
B. 0,7
C. 0,3
oceny dostatecznej?
D. - 0,3
7
13. Rzucono sześcienną kostka do gry, a potem monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia? Ile jest zdarzeń polegających na
tym, że na kostce wypadła parzysta liczba oczek, a na monecie orzeł?
14. Magda ma 4 różne spódniczki, 3 różne bluzeczki i 5 różnych par butów. Na ile sposobów może się ubrać, jeśli zestawienia kolorystyczne nie mają dla
Magdy znaczenia?
15. Ile można utworzyć różnych liczb o niepowtarzających się cyfrach z cyfr 1, 2, 3, 4?
A. 32
B. 24
C. 64
D. inny wynik
16.Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 2 i 3?
17. Ile można utworzyć liczb trzycyfrowych z cyfr 0, 1, 2, 3, 6, 8, w których
a) cyfry nie powtarzają się
b) cyfry mogą się powtarzać.
18. Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych parzystych?
19. W dwudziestoosobowej klasie zostanie wybrany samorząd złożony z trzech osób: przewodniczący, zastępca i skarbnik. Na ile sposobów można
dokonać wyboru?
20. Ile jest różnych liczb pięciocyfrowych parzystych ułożonych z cyfr 0, 2, 3, 5, 7?
A
55
B. 4 Ē 54
C. 53 Ē 23
D.
54 Ē 2
21. Z talii 32 kart (od „siódemki” do asów) wyciągnięto losowo kartę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyciągnięta karta jest: a) kierem b)
asem c) asem lub kierem
d) asem kierowym.
22. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadła parzysta suma oczek lub iloczyn podzielny przez 5.
23. Sześciotomową encyklopedię ustawiono w sposób losowy na półce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) wszystkie tomy ustawiono kolejno od pierwszego do szóstego
b) tom 1. i 2. stoją obok siebie.
24. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – na obu kostkach wypadła parzysta liczba oczek, B – suma
oczek jest równa co najwyżej 9 oraz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) A  B
b) A  B
A\ B
25. Liczby naturalne od 1 do 30 napisane zostały na 30 kartkach po jednej liczbie na kartce. Losujemy jedną kartkę. Oblicz prawdopodobieństwo, że na tej
kartce jest liczba:
a) parzysta
b) podzielna przez 4
c) pierwsza
8
26. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej dwóch oczek w rzucie sześcienną kostką do gry wynosi:
A.
1
3
B.
5
6
C.
1
6
D.
1
2
27. W pudełku jest 10 lizaków: 6 malinowych i 4 truskawkowe. Dziecko wyjmuje dwa lizaki. Prawdopodobieństwo tego, że oba są malinowe jest równe
A.
6
10
B.
3
10
C.
1
3
18
D. 50
28. Danych jest 11 kolejnych liczb naturalnych dodatnich. Losujemy spośród nich jedną. Wówczas prawdopodobieństwo, że jest ona:
A. podzielna przez 4 jest zawsze mniejsze od
3
11
1
C. podzielna przez 11 jest zawsze równe 11
B. podzielna przez 5 jest zawsze równe
2
11
1
D. podzielna przez 10 jest zawsze mniejsze od 11
STEREOMETRIA:
STANDARDY WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH (umiejętności):
a) wskazuję i obliczam kąty między ścianami, między ścianami i odcinkami oraz między odcinkami takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości.
b) wyznaczam związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii.
1. Zaznacz w prostopadłościanie wskazane kąty:
a) a – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do krawędzi bocznej;
b)  – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do krawędzi podstawy;
c)  – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy;
d)  – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do przekątnej ściany bocznej.
2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym zaznacz następujące kąty:
a)  – kąt między ścianą boczną a krawędzią podstawy.
b)  – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
c)  – kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy
d)  – kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi.
9
3. Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy, gdy jego wysokość h  6 3 a
długość krawędzi podstawy a  3 2 .
4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna nachylona jest do podstawy pod kątem 450. Wyznacz wysokość ostrosłupa wiedząc, że
krawędź podstawy ma długość 2.
5. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 600. Wyznacz długość wysokości ściany bocznej
wiedząc, że wysokość ostrosłupa jest równa 12.
6. Odcinek o długości 8 cm jest nachylony do płaszczyzny pod kątem 60°. Długość rzutu prostokątnego tego odcinka na płaszczyznę jest równa:
A. 4 cm
D. 16 cm
B.
cm
C.
cm
7. W prostopadłościanie przekątne podstawy mają długość d=8cm i tworzą kąt o mierze
płaszczyzny podstawy pod kątem  =30º. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
 =60º. Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do
8. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ma długość d= 0,8dm i tworzy z przekątną podstawy kąt o mierze
pole powierzchni tego graniastosłupa.
 =60º. Oblicz objętość i
9. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6,
a wysokość tego graniastosłupa ma długość 10. Oblicz miarę kąta, jaki tworzy przekątna graniastosłupa z krawędzią podstawy, mającą z tą przekątną
punkt wspólny.
10. Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka znając długość promienia r = 4cm i tworzącej l = 0,8dm.
11. Objętość walca o promieniu podstawy r= 5cm i wysokości h= 0,8dm wynosi
A. 600cm3
B. 200  cm3
C. 20  dm3
D. 40  cm3
12. Pole powierzchni bocznej walca jest równe 48 , a jego objętość wynosi 96 .
Wyznacz długość promienia podstawy i wysokość walca.
13. Stożek „zwinięto” z wycinka koła o promieniu 12 i kącie środkowym a = 2700.
Oblicz promień podstawy oraz wysokość tego stożka.
10
14. Objętość kuli wynosi V 
4 2
 . Oblicz długość promienia tej kuli oraz pole jej powierzchni całkowitej.
3
15. Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o przekątnej
A. pole powierzchni bocznej tego walca jest równe 18
C. pole podstawy walca wynosi 9π
. Zatem:
B. wysokość tego walca jest równa 3
D. promień podstawy wynosi 3
16. Sześcian umieszczony w kuli wypełnia nie mniej niż
A. 60%
B. 50%
C. 40%
D. 30%
jej objętości.
17. Kolumna w kształcie walca ma wysokość 5 m i średnicę 5 dm. Ile puszek farby należy zakupić, aby pomalować 5 kolumn, jeżeli litr farby wystarcza
na pomalowanie 8 m2 powierzchni, a pojemność puszki wynosi 2l?
18. Piłkę w kształcie kuli o średnicy 30 cm należy obszyć skórą. Ile należy kupić pełnych m2 skóry na obszycie 40 piłek pamiętając o tym, że na szwy
należy doliczyć 20% skóry?
19. Emalią z puszki o pojemności 0,8 litra pomalowano 20 m2 powierzchni. Oblicz, ile milimetrów miała otrzymana warstwa emalii.
20. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do jego pola podstawy jest równy 2. Wówczas miara kąta rozwarcia stożka jest równa
A.
30°
B. 60°
C. 45°
D. 90°
21. W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół przeciwprostokątnej otrzymamy
A. walec
B. stożek
C. sumę dwóch stożków o wspólnej podstawie
D. kulę
22. Przekątna sześcianu ma długość o 1 cm większą od jego krawędzi. Długość krawędzi sześcianu
A. jest liczbą wymierną
D. wynosi 1,37 cm
B. wynosi
cm C. wynosi
cm
23. W sześcianie o krawędzi a kąt między przekątnymi ścian wychodzącymi z jednego wierzchołka jest:
A. prosty
B. równy 60°
C. równy 45°
D. rozwarty
24. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a i jest trzy razy krótsza od krawędzi bocznej. Objętość tego ostrosłupa
wynosi:
11
A.
B.
C.
D.
25. Aby dwa prostopadłościany były przystające wystarczy, by miały równe
A. objętości
B. pola powierzchni całkowitej
C. długości odpowiednich
krawędzi
D. pola podstaw
26. Pole powierzchni walca jest równe 48π, a jego objętość 96π. Długość promienia podstawy wynosi
A.
4
B. 2
D. 6
C. 6π
27. Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 20, a cosinus kąta między tworzącą stożka a podstawą jest równy . Tworząca stożka ma długość
A.
4
B.
6
C. 10
D.
8
28. W kulę wpisano walec o promieniu podstawy 2,5 cm i wysokości 12 cm. Promień kuli wynosi
A. 6,5 cm
B. 3,5 cm
C.
8,5 cm
D. 42,25 cm
29. Puchar w kształcie „odwróconego” stożka napełniono do połowy jego wysokości. Jaką część pucharu napełniono?
A.
B.
C.
D.
30. Producent napojów owocowych ma do wyboru dwa rodzaje pojemników, do których chciałby wlewać po 0,5 litra napoju. Jeden z pojemników jest w
kształcie czworościanu foremnego o krawędzi 1,6 dm a drugi w kształcie sześcianu o krawędzi 0,8 dm. Oceń, do którego pojemnika powinna wytwórnia
wlewać napój.
31. Klepsydra ma kształt dwóch złączonych stożków o wymiarach podanych na rysunku. Piasek przesypuje się z szybkością 2 cm3/min. Czy czas, który
odmierza klepsydra jest równy czasowi trwania lekcji w szkole? (Przyjmij, że π=3,14).
12
11 cm
8 cm
32. Do częściowo wypełnionego wodą zbiornika w kształcie walca o średnicy 1m wpuszczono kroplę oliwy, która równomiernie rozlała się na
powierzchni wody. Zakładając, że wpuszczona kropla miała kształt kuli o średnicy 0,3 cm, oblicz grubość utworzonej warstwy oliwy.
33.Kufer prababci składa się z prostopadłościanu o szerokości 20 cm, długości 40 cm i wysokości 20 cm oraz z wieka o półkolistym przekroju, w którym
średnica jest równa szerokości kufra. Wyznacz pojemność kufra.
34. W celu oszacowania ilości przepływającej wody w rzece, zbadano kształt jej koryta. Przyjęto, że przekrój koryta rzeki ma kształt trapezu
równoramiennego, w którym ramię ma długość 4m. Głębokość rzeki jest równa 2,4 m a jej szerokość - 20 m. Zmierzono również, że prędkość
przepływającej wody wynosi 20 m/s. Oblicz, ile metrów sześciennych wody przepływa przez powierzchnię przekroju koryta w ciągu jednej minuty.
35. Do pojemnika w kształcie walca o promieniu podstawy 8 cm wlano wodę do wysokości 7 cm. Następnie wrzucono do niego metalową kulkę o
promieniu 3 cm. O ile centymetrów podniósł się poziom wody?
36. Grubość podkładki stalowej o kształcie podanym na rysunku równa jest 0,2 cm. Oblicz masę tej podkładki przyjmując, że gęstość stali jest równa 7,9
g/cm3 oraz π=3,14. Wynik podaj z dokładnością do jednego grama.
13
37. W konkursie filmowym przyznawane są cztery nagrody w postaci statuetek wykonanych ze złota i miedzi. Miedzianą kulę o promieniu
cm
przetopiono na jednakowe prostopadłościenne płytki stanowiące podstawy tych statuetek. Podaj wymiary płytki, jeśli wiadomo, że stosunek jej krawędzi
wynosi 2 : 4 : 9
38. Na poczcie stały obok siebie dwie paczki, każda w kształcie sześcianu. Większa paczka miała krawędź dłuższą o 2 dm niż krawędź mniejszej paczki,
a objętość o 98 litrów niż objętość mniejszej paczki. Oblicz, jaki procentem powierzchni całkowitej większej paczki była powierzchnia całkowita
mniejszej paczki.
14