bez indukcji

BEZ INDUKCJI (wersja wstępna, jesień 2003)
Anna Gołębiowska, Andrzej Lenarcik1.
W artykule chcemy zaproponować nauczycielom sposób rozbudzania zainteresowań
matematycznych za pomocą specjalnie przygotowanych klocków, które były prezentowane w
ramach III Kieleckiego Festiwalu Nauki w Kielcach2.
Klocki posłużyły do obliczania sumy kolejnych liczb naturalnych, a także sześcianów
i kwadratów. Inspiracją pokazu była wzmianka historyczna o Gaussie w pięknej książce
S. Jeleńskiego, Lilavatii. Łącznie w 38 pokazach, które dotychczas się odbyły od września
2002 do czerwca 2003, wzięło udział ponad tysiąc uczniów. W przedostatnim paragrafie
zamieszczamy wyniki analizy ankiet, w których młodzież określała stopień zrozumienia
kolejnych zagadnień. Wyniki te wskazują na możliwość prezentowania klocków nawet
w ostatnich klasach szkoły podstawowej.
Mamy dużo małych Gaussów
Przed rozdaniem klocków zawsze trzeba było zadać pytanie, czy ktoś już wie, ile wynosi
suma :
A. 1 + 2 + 3 + ... + 100 ?
Jest godne podkreślenia, że prawie na każdym pokazie można było usłyszeć poprawny
wynik wraz z rozumowaniem, które do niego prowadziło. Łącząc liczby w pary: pierwszą
i ostatnią, drugą i przedostatnią itd. otrzymujemy sumę 101, która wystąpi 50 razy. Stąd
wynik 101  50 = 5050.
Wynik ten można uzyskać nieco inną metodą za pomocą klocków. Klocki są
jednokolorowe i reprezentują kolejne liczby naturalne. W zestawie jest ich osiem. Na
początek każdy uczeń otrzymuje polecenie ułożenie z nich „schodków”.
Później należy zachęcić młodzież do wyobrażenia sobie, że mamy sto klocków (największy
miałby 2,5m). Jeśli uczeń uwierzy, że największy klocek reprezentuje „100”, to potem idzie
już szybko.
Kolejnym zadaniem jest ułożenie w parach, z dwóch schodków jednego prostokąta.
Serdeczne podziękowania dla Pana Antoniego Garstki za pomoc w zgłoszeniu wzoru przemyslowego
oraz dla Pani Agnieszki Matyjas za wprowadzenie danych statystycznych.
2
A. Lenarcik, Czy klocki służą tylko do zabawy? Uogólnienia pomysłu małego Gaussa, III Kielecki Festiwal
Nauki, Prezentacje Festiwalowe, Kielce 2003, str. 100–106 (http://www.tu.kielce.pl/kolo/matematyczne/SJKM).
1
Prostokąt ten reprezentuje podwojoną sumę liczb od 1 do 100 (posługujemy się jednostką,
którą jest grubość klocka). Wystarczy zatem obliczyć jego pole i podzielić przez dwa.
Wysokość prostokąta jest równa sumie największego i najmniejszego klocka, czyli 101
jednostek. Wzdłuż podstawy mamy wszystkie sto klocków, czyli 100 jednostek. Pole
prostokąta wynosi 100  101 jednostek kwadratowych. Stąd
100  101
1 + 2 + 3 + ... + 100 =
= 5050 .
2
Dla dowolnej liczby klocków n (mylona bywa czasem przez młodzież z nieskończonością),
uzyskamy prostokąt o wymiarach n na (n + 1). Reprezentuje on podwojoną sumę liczb od 1
do n. Zatem połowa jego pola wyraża sumę n kolejnych liczb. Stąd wzór:
n(n  1)
B. 1 + 2 + 3 + ... + n =
.
2
Układamy wielki płaski kwadrat !
Po zebraniu klocków zapisujemy na tablicy kolejną sumę do obliczenia:
C. 13 + 23 + 33 + ... + 1003 = ?
Wyznaczamy ją korzystając z drugiego zestawu, w którym klocki są „kwadratami”
(prostopadłościanami o podstawie kwadratu i wysokości jednostkowej; boki kwadratów są
kolejnymi liczbami naturalnymi). Każdy uczestnik musi najpierw zbudować poniższy układ
brył reprezentujący szukaną sumę.
Oczywiście, tak jak poprzednio, wyobrażamy sobie, że mamy więcej klocków (aż do stu).
Kolejnym etapem jest praca w zespołach czteroosobowych z następującym układem brył.
Uczniowie budują z nich nowy, wielki kwadrat. Najczęściej pojawia się poniższe
rozwiązanie:
Gdy zespół ułoży kwadrat, zastanawia się nad jego rozmiarem. Jeżeli znamy bok kwadratu,
łatwo obliczymy szukaną sumę C. Wystarczy tę liczbę podnieść do kwadratu i podzielić przez
cztery. Obliczanie boku sprawia istotną trudność uczniom. Omówimy teraz dwa sposoby
ustalenia boku.
Sposób 1. Duży kwadrat można w wyobraźni rozłożyć na „pierścienie” (strefy) zbudowane
z kwadratów jednakowego rodzaju. W środku mamy strefę kwadratów jednostkowych. Strefa
ta jest otoczona pierścieniem kwadratów o boku 2, następnie występują strefy kwadratów
o boku 3 i 4. W wyobraźni widzimy kolejne strefy aż do 100. Dostrzegamy, że połowa boku
dużego kwadratu jest sumą szerokości wszystkich stref, czyli jest równa :
1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5050. Zatem cały bok ma 2  5050 = 10.100 (jednostek).
Sposób II. Obserwujemy, jak zmienia się rozmiar układanego kwadratu, gdy uwzględniamy
coraz większe klocki. Najpierw krawędź była określona przez dwa kwadraty o boku 1,
później przez trzy kwadraty o boku 2, cztery kwadraty o boku 3 i pięć kwadratów o boku 4.
Dostrzegamy, że liczba kwadratów na brzegu jest o jeden większa od boku kwadratu.
Gdybyśmy więc rzeczywiście dysponowali klockami aż do rozmiaru 100, to na ostatnim
pierścieniu mielibyśmy 101 kwadratów o boku 100, czyli bok dużego kwadratu wynosiłby
100  101 = 10.100. Sposób ten był często samodzielnie znajdowany przez młodzież.
W obu przypadkach dostajemy rozwiązanie, które zapisujemy na tablicy :
(10.100) 2
13 + 23 + 33 + ... + 1003 =
= 25.502.500.
4
Osoby, które zrozumiały, mogą obliczać kolejną sumę
D. 1 3 + 23 + 33 + ... + n3 .
Zazwyczaj młodzież, uogólniając rozumowanie, dyktuje nam poprawne rozwiązanie :
13 + 23 + 33 + ... + n3 =
1
[n(n  1)] 2
= n2(n+1)2.
4
4
Sprzątanie klocków też może być pouczające
Przechodzimy do obliczania sumy kolejnych kwadratów :
E. 12 + 22 + 32 + ... + 1002 .
Suma ta może być reprezentowana przez piramidę. Znowu wyobrażamy sobie, że w istocie
piramida jest większa i ostatni kwadrat u podstawy piramidy reprezentuje 1002.
W każdym pudełku mieści się dokładnie sześć piramid, które każdy uczestnik pokazu ma
teraz włożyć na swoje miejsce.
Łączna objętość piramid oznacza szukaną sumę kwadratów wziętą sześciokrotnie (istotne jest,
że klocki mają grubość jednostkową). Klocki szczelnie wypełniają prostopadłościan.
Jeżeli uda nam się określić jego wymiary, to obliczając jego objętość i dzieląc przez sześć,
otrzymamy szukaną sumę. Rozumowanie przeprowadzamy wspólnie z całą salą. W tym celu
posługujemy się pudełkiem, w którym ułożone jest 6 największych klocków. Manipulujemy
pudełkiem prosząc zebranych o określanie wymiarów. Wysokość wynosi 100, szerokość
podstawy – 101 oraz jej długość – 201 (jednostek). Otrzymujemy:
12 + 22 + 32 + ... + 1002 =
100  101  201
= 338.350 .
6
Analogicznie radzimy sobie z ostatnim przykładem, gdy największy kwadrat ma bok n:
n(n  1)( 2n  1)
F. 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
6
Trochę refleksji.
Istotnym elementem, podnoszącym poziom spotkań, było wprowadzenie dwuczęściowych
ankiet. Pierwsza część zawierała wszystkie wzory, młodzież uzupełniała je swoimi
obliczeniami. W drugiej części, anonimowej, znajdowała się tabelka, w której
odnotowywano, co było zrozumiałe, a co nie. Wyniki opracowane na podstawie 1054
zebranych ankiet uwidocznione są w Tabeli 1.
Tabela 1
TYP ODPOWIEDZI
ZAGADNIENIA
C
D
A
B
E
F
Rozumiem
931
780
611
498
575
468
Zrozumiem, ale
muszę się skupić
106
189
342
302
242
237
Nie rozumiem
9
34
63
99
66
81
Brak odpowiedzi
8
51
38
155
171
268
Procent młodzieży, która deklaruje rozumienie kolejnych zagadnień waha się od 88%, przy
pierwszym zadaniu, do 44% – przy ostatnim (Rys. 1). Zwróćmy uwagę (Tabela 1) na
stosunkowo liczną grupę uczniów wskazujących odpowiedź: „zrozumiem, ale muszę się
skupić”. Są to osoby chętne do współpracy, tylko trzeba im poświęcić więcej uwagi.
Rys. 1.
Przyjrzyjmy się jeszcze jaki jest procent młodzieży deklarującej zrozumienie zagadnień, w
rozbiciu na poszczególne klasy (Tabela 2). Ze względu na niewielką reprezentację
połączyliśmy klasy: VI i pierwszą gimnazjum oraz dwie ostatnie klasy szkoły średniej.
Procent uczniów deklarujących rozumienie
poszczególnych zagadnień
Procent
100
88
74
80
58
60
47
55
44
Procent uczniów
40
20
Zagadnienia
0
A
B
C
D
E
F
Tabela 2.
ZAGADNIENIA
C
D
KLASA
LICZBA
UCZNIÓW
A
B
6 P, 1 G
191
90
65
54
2G
298
88
66
3G
285
84
1S
133
3 S, 4 S
Wspólnie
E
F
41
56
42
48
37
48
41
76
63
50
55
46
89
80
68
69
62
56
147
95
90
64
56
58
40
1054
88
74
58
47
55
44
To, co szczególnie rzuca się w oczy, to nieduże różnice pomiędzy klasami (zwłaszcza
w zagadnieniach trudniejszych).
Prezentowane wyniki mogą być w wielu miejscach obciążone, niemniej wskazują one na
istnienie dużego potencjału jaki tkwi w naszej młodzieży. Częstym zjawiskiem podczas
pokazów było aktywizowanie się uczniów dotychczas uznawanych za słabych z matematyki.
Wielu uczestników pokazów przeżywało zachwyt i radość, że obliczenia, które wcześniej
wydawały się niemożliwe do przeprowadzenia, zostały stosunkowo łatwo zrealizowane.
Trzeba eksperymentować
Opisana w artykule metoda obliczania sumy kolejnych liczb naturalnych oraz ich sześcianów
może podlegać uproszczeniu. W punktach A,B,C,D, drewniane klocki można zastąpić
płaskimi kartonikami. Chociaż pokaz będzie może mniej efektowny i atrakcyjny dla
młodzieży, to należy oczekiwać, że poziom zrozumienia utrzyma się na tym samym
poziomie.
Drugi zestaw klocków został zgłoszony do ochrony w Urzędzie Patentowym, jako
wzór przemysłowy. W niczym nie ogranicza to możliwości wykonywania zestawów
jednorazowo na potrzeby szkoły i eksperymentowania z nimi. Autor klocków (A. Lenarcik)
byłby szczęśliwy, gdyby ktoś podjął się ich produkcji na szerszą skalę i gdyby środki
pozyskane w ten sposób mogły wspierać młodzież rozwijającą swoje zainteresowania
matematyczne.
Adres do korespondencji :
Anna Gołębiowska
ul. Niska 8 B
27-400 Ostrowiec Św.
Tel. : (0-41) 265 35 40
Andrzej Lenarcik
ul. Wiśniowa 9 m. 6
25-552 Kielce
Tel.: (0-41) 33 242 33