Lista I. Elementy rachunku p

Katedra Matematyki
MATEMATYKA 2
Lista I. Elementy rachunku p-stwa i statystyki
1.1. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
xi -5 -2
0
1 3 8
pi 0,1 0,2 0,1 0,2 c 0,1
Wyznaczyć:
a)stałą c;
b) wykres funkcji prawdopodobieństwa;
c) dystrybuantę i jej wykres;
d) prawdopodobieństwa: d1) P (X = 1), d2) P (X = 2), d3) P (X < 3), d4) P (X < 2),
d5) P (X ­ 0), d6) P (−2 ¬ X < 3) dwoma sposobami, korzystając: 1) z danej funkcji
prawdopodobieństwa, 2) wyznaczonej dystrybuanty.
1.2. Urna zawiera losy o wartości odpowiednio 0, 0.5, 1, 2, 10, 100 w stosunkach ilościowych
odpowiednio jak 1000 : 500 : 100 : 50 : 10 : 1. Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartości tych losów. Podać funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę oraz obliczyć
wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
1.3. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe iloczynowi wyrzuconych oczek. Podać funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę oraz obliczyć
wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
1.4. Na drodze ruchu pojazdów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z
których każdy (wobec znacznej odległości działa niezależnie od innych) zezwala na przejazd
z prawdopodobieństwem p = 0, 8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na
przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźć:
a) funkcję prawdopodobieństwa zmienne losowej X,
b) dystrybuantę zmiennej losowej X,
c) prawdopodobieństwo P (X ­ 2).
1.5. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona następującą tabelką:
x
(−∞, −2 > (−2, 3 > (3, 5 > (5, ∞)
F (x)
0,0
0,4
0,5
1,0
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.
1.6. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:




x
dla
0¬x<1
f (x) = 2 − x
dla
1¬x¬2



0
poza tym
1
Katedra Matematyki
MATEMATYKA 2
a) Naszkicować wykres gęstości.
b) Wyznaczyć i naszkicować dystrybuantę tego rozkładu.
1.7. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem:
f (x) =







0
1
x
4
0
dla −∞ < x < 1
dla 1 ¬ x ¬ 3
dla 3 < x < ∞
Wyznaczyć dystrybuantę oraz obliczyć P (1, 4 < X < 2) . Wykonać wykresy gęstości i dystrybuanty. Zaznaczyć wartości obliczonego prawdopodobieństwa na wykresach. Obliczyć
wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
1.8. Autobus pewnej linii odjeżdża regularnie co 20 minut. Pasażer przychodzi na przystanek w
przypadkowym momencie. Niech zmienną losową X będzie czas oczekiwania (w min.) pasażera na autobus. Określić postać funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X wiedząc, że ma ona postać (c =?):




0 dla
x<0
f (x) = c dla 0 ¬ x ¬ 20



0 dla
x > 20
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pasażer będzie czekał co najmniej 4 minuty. Obliczyć dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć wartość przeciętną i wariancję czasu
oczekiwania na autobus.
1.9. Zorganizowanno następującą grę hazardową: partnerzy rzucają kością do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek podzielna przez trzy, grający wygrywa 100 zł, w przypadku przeciwnym grający przegrywa 100 zł. Oznaczmy przez X wielkość wygranej w zorganizowanych
zawodach. Wykonać wykresy gęstości i dystrybuanty. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.
1.10. Czas oczekiwania na wydrukowanie książki w PWN jest zmienną losową o rozkładzie
jednostajnym w przedziale [6 miesięcy, 18 miesięcy]. Określić funkcję gęstości prawdopodobieństwa f (x) i dystrybuantę F (x) oraz obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej. Obliczyć: P (X < 8), P (3 < X < 9), P (X ­ 10).
1.11. Wyprowadzić wzór na wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe w rozkładzie jednostajnym.
1.12. Wiadomo, że waga dorosłego człowieka ma rozkład N (70 kg, 3 kg). Samolot zabiera 80
pasażerów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 5550kg.
2
Katedra Matematyki
MATEMATYKA 2
1.13. X N (m; 0, 01). Wyznaczyć m, które spełnia równanie P (X < 10) = 0, 7.
1.14. X N (10; σ). Wyznaczyć σ, które spełnia równanie P (X > 12) = 0, 9.
1.15. Waga mężczyzn (w kg w pewnej populacji ma rozkład N (70; 6). Obliczyć udział w populacji mężczyzn o wadze:
a) do 60 kg;
b) w przedziale 70-75 kg;
c) wyższej od 85 kg.
1.16. Wydajność pracy w pewnym zakładzie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
z wartością oczekiwaną równą 12 ton/godz i odchyleniem standardowym 2 tony/godz.
Wyznaczyć i zilustrować na wykresie prawdopodobieństwo, że:
a) wydajność jest mniejsza od 15 ton/godz,
b) wydajność jest mniejsza od 7 ton/godz,
c) wydajność jest zawarta w przedziale (8 ton/godz, 13 ton/godz),
d) wydajność jest zawarta w przedziale (8 ton/godz, 16 ton/godz),
e) wydajność przekroczy 19 ton/godz.
1.17. Stwierdzono, że koszty jednostkowe produkcji pewnego wyrobu przemysłowego w firmach
polonijnych mają rozkład normalny N (300; 50) ( w tys. zł). Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że wylosowane przedsiębiorstwo polonijne (produkujące wybrany wyrób) będzie miało koszt jednostkowy produkcji w granicach od 350 tys. zł do 400 tys. zł.
1.18. Załóżmy, że czas przepisywania jednej strony pracy dyplomowej przez pewną maszynistkę
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną m = 15 minut i odchyleniem standardowym
σ = 3 minuty. Jeśli praca zawiera 100 stron, to ile czasu zajmie jej przepisanie? Jaki
procent stron będzie przepisywany dłużej niż 20 minut?
1.19. Z badań wynika, że żywotność opony radialnej ma rozkład N (90000 km; 10000 km).
a) Znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo kupiona opona będzie miała żywotność 95000
km lub więcej.
b) Zakupiono 5 opon. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich łączna żywotność wyniesie
400000 km lub więcej?
1.20. Podziałka skali woltomierza jest wycechowana co 0,5 V. Wskazania woltomierza zaokrągla się do najbliższego punktu podziału. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że przy
odczycie zostanie popełniony błąd przekraczający 0,1 V.
1.21. Pewien automat produkuje rezystory, których oporność jest zmienną losową o rozkładzie
N (2; 0, 2) (w kΩ). Wyznaczyć prawdopodobieństwo otrzymania braku, jeśli dopuszczalne
oporności powinny zawierać się w przedziale (1,7; 2,3).
3