Bez tytu*u slajdu - Katedra Telekomunikacji AGH

TRANSMISJA PAKIETÓW
WSKAŹNIKI QoS pojedynczy kanał
Zdzisław PAPIR
Katedra Telekomunikacji
© Zdzisław Papir
RUTER/PRZEŁĄCZNIK – SIEĆ PAKIETOWA
Wejściowe porty/bufory
(kolejki) do przetwarzania
Wyjściowe porty/bufory
(kolejki) do transmisji
Przetwarzanie
i przekazywanie
pakietów
© Zdzisław Papir
SYMBOLIKA KENDALLA A/S/K/N
A
bufor
kanał
K 3
S
jN
• A - przybycia (Arrival), S - transmisja (Service)
• K - # kanałów, N - pojemność systemu
A/S - M (Markov, Memoryless), D (Deterministic), G (General),
E (Erlang), H (Hiperexponential), C (Cox),
SS (Self-Similar) = LRD (Longe Range Dependent)
Algorytm szeregowania – FCFS (FIFO), IS, PS, LCFS, priorytety,
Round Robin, Fair Queueing
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1
bufor
kanał


j

 j t   Pr j; t  ?
j  0,1,2
•j
- # pakietów (łącznie z transmitowanym)
•  - natężenie strumienia wejściowego
• 1/ - średni czas transmisji pakietu
a    exp   
fgp odstępów czasu między pakietami
s    exp   
fgp czasu transmisji pakietów
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – ewolucja w czasie
i stan stacjonarny (ustalony)
bufor
kanał



j
Ewolucja w czasie
Stan stacjonarny t∞
 j t   Pr j; t  ?
d j t  dt  0
j  0,1,2
 j  Pr j  ?
j  0,1,2 
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – ewolucja w czasie
i stan stacjonarny (ustalony)
Ewolucja w czasie (proces Markowa)
d j t  dt      j t    j 1 t    j 1 t ,
j  1,2,
d 0 t  dt   0 t    1 t 
Stan stacjonarny t∞ (GBE – Global Balance Equations)
    j   j 1   j 1 ,
j  1,2,
 0   1
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 - STAN STACJONARNY
(Global Balance Equations)
 j 1   j 1   j    
λ
0
λ
1
μ
λ
j
j-1
μ
λ
μ
j+1
μ
 1   0 
Σ strumienie_wej = Σ strumienie_wyj
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 - STAN STACJONARNY
(Global Balance Equations)
SPOSOBY ROZWIĄZYWANIA:
• rekurencja (podejście bezpośrednie)
• Local Balance Equations (tylko systemy markowowskie)
• funkcja tworząca (transformata Z, dowolne systemy)
© Zdzisław Papir
FUNKCJA TWORZĄCA
Rozkład prawdopodobieństwa (dyskretny)
 0 ,  1 ,  2 , ,  j , 
Funkcja tworząca
P z    j  0  j z , z C , z  1

j
© Zdzisław Papir
FUNKCJA TWORZĄCA - WŁAŚCIWOŚCI
P z    j  0  j z , z C , z  1

j
Warunek normalizacyjny


j 0
 j 1
P z  1  1
Wartość średnia
L   j  0 j j

dP z 
L
dz z 1
© Zdzisław Papir
FUNKCJA TWORZĄCA - WŁAŚCIWOŚCI
P z    j  0  j z , z C , z  1

j
Prawdopodobieństwa
 0  Pz  z 0
1
 1  dPz  dz z 0
1!
1 2
2
 2  d Pz  dz
2!
1 j
j
 j  d Pz  dz
j!
z 0
z 0
© Zdzisław Papir
FUNKCJA TWORZĄCA – KOLEJKA M/M/1
 1   0 
 j 1   j 1   j    , j  1, 2,
P z    j  0  j z , z C , z  1

j
 0
0
Pz  

,   
  z 1 - z
1 

Pz  
 1    j 0  j z j , z  1
1 - z
 j  (1   )  ,
j
j  1, 2,;   1
© Zdzisław Papir
M/M/1 KOLEJKA
ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA
 j  1    j , j  0, 1, 2,
 1   
0.5
j
0.45
0.4
 = .2
.8000
.1600
.0320
.0064
.0013
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
 = .8
.2000
.1600
.1280
.1024
.0819
0.1
j
0.05
1
2
3
4
5
Rozkład geometryczny
6
7
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – średnia zajętość
 
L   j 1 j j  (1   ) j 1 j 

1  1  


j

20
18
L
16
14
12
10
8
6
4

2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – średnia długość kolejki,
średnia zajętość kanału (serwera)
bufor

kanał

Q
S

Q   j 1  j  1 j  ?

L
L = ρ /(1-ρ) - średnia zajętość
Q
- średnia długość kolejki = ?
S
- średnia zajętość kanału = ?
aktualna przepustowość kanału = ?
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – parametry zależne od stanu
bufor
j
kanał
j
j
•j
- # pakietów (łącznie z pakietem w transmisji)
• j - natężenie strumienia wejściowego w stanie j
• 1/j - średni czas transmisji w stanie j
a j     j exp   j 
s j     j exp   j 
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – parametry zależne od stanu
λ0
0
λ1
1
μ1
λj-1
λj
j
j-1
μ2
μj
bufor
j+1
μj+1
kanał
j
j
j
Kolejka M/M/1
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – parametry zależne od stanu
(Global Balance Equations)
 j 1 j 1   j 1 j 1   j  j   j 
λ0
0
λ1
1
μ1
λj-1
j
j-1
μ2
λj
μj
j+1
μj+1
 11   00
Σ strumienie_wej = Σ strumienie_wyj
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – parametry zależne od stanu
(rekurencja)
 11   00
1   0  0 1
 00   2 2   1 1  1 
 2   0  0 1  1 2
 j 1 j 1   j 1 j 1   j  j   j 
01   j 1
 j  0
,
1 2   j
j  1, 2,
© Zdzisław Papir
GLOBAL BALANCE EQUATIONS
 j 1 j 1   j 1 j 1   j  j   j 
λj-1
λj
Σ strumienie_wej (przybycie & transmisja) =
= Σ strumienie_wyj (przybycie & transmisja)
j
j+1
μj
μj+1
LOCAL BALANCE EQUATIONS
 j 1 j 1   j  j
 j 1 j 1   j  j
λj-1
λj
j
strumień_wej (przybycie) =
= strumień_wyj (transmisja)
μj
j+1
μj+1
© Zdzisław Papir
LOCAL BALANCE EQUATIONS (cd)
strumień_wej (przybycie) =
= strumień_wyj (transmisja)
Oddzielnie dla
każdej kolejki
Oddzielnie dla
każdego strumienia

Multipleksacja ruchu
GBE?, LBE?
bufor
m, n

Tandem kanałów
GBE?, LBE?
bufor kanał

m
kanał
1

bufor kanał
n
2
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – parametry zależne od stanu
(Local Balance Equations)
 j 1 j 1   j 1 j 1   j  j   j 
 j 1 j 1   j  j  j  j   j 1 j 1
j : j  1
rekurencja
 j  j   j 1 j 1 ,
j  1, 2
01   j 1
 j  0
,
1 2   j
j  1, 2,
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – parametry zależne od stanu
Zniechęcanie
 j    j  1, j  0,1,2
Infinite Server (IS)
 j    const
 j    const
 j  j , j  1,2,
Kilka serwerów (s>1)
Grupa użytkowników
 j    const
 j  j , j  1,2,  s
 j  s , j  s
 j  N  j  , j  0,1,2  N
 j  0, j  N
 j    const
Bufor o skończonej pojemności
 j   , j  0,1, 2,, N
 j   , j  1, 2,, N
© Zdzisław Papir
GLOBAL BALANCE EQUATIONS - przykłady
Σ strumienie_wej (przybycie & transmisja) =
= Σ strumienie_wyj (przybycie & transmisja)
1. Kolejka M/M/1 z parametrami λ oraz µ. Serwer podejmuje pracę,
gdy pojawi się kolejka dwóch zgłoszeń. Graf stanów oraz GBE?
2. Kolejka M/M/1 zasilana przez dwa strumienie pakietów
o natężeniu λ oraz γ (multipleksacja ruchu w buforze). Średni
czas transmisji jest jednakowy dla obydwóch strumieni 1/µ.
Graf stanów i GBE?
bufor
kanał
m, n


 

© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – średnie opóźnienie
tranzytowe
TWIERDZENIE LITTLE’a

Strumień
wejściowy
W 

Strumień
wyjściowy
L
Twierdzenie Little’a
L
  
Średnia zajętość
W
Średnie opóźnienie tranzytowe
© Zdzisław Papir
TWIERDZENIE LITTLE’A – szkic dowodu


L
A(t)
W
D(t)
A(t)
L(t)
D(t)
A(t) - # arrivals (0, t)
D(t) - # departures (0, t)
L(t) – zajętość systemu w chwili t
t
© Zdzisław Papir
TWIERDZENIE LITTLE’A – szkic dowodu
W t    A   D d
t
0
A(t)
Łączne opóźnienie tranzytowe
dla przedziału czasu (0,t)
D(t)
L(t)
t
t  At  t
średnia liczba zgłoszeń w czasie (0, t)
Wt  W t  At  średnie opóźnienie tranzytowe
Lt  W t  t
średnia zajętość w przedziale (0, t)
© Zdzisław Papir
TWIERDZENIE LITTLE’A – szkic dowodu
A(t)
Wt  W t  At 
t  At  t
L(t)
D(t)
t
W t  At 
Lt  W t  t 

 Wt t
At 
t
Stan stacjonarny
t 
L  W  W  L 
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – średnie opóźnienie
tranzytowe

 

L


1  1     
L
1
1
1
W 
 
     1 
20
18

W
16
14
  
1
W 
1 
12
10
8
6
4

2
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
  

   1

© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – optymalny punkt pracy
POWER COEFFICIENT Q
  



Q  
Q 
W  
W
max Q   ?

dQ

d
d  0
W
d
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – optymalny punkt pracy
POWER COEFFICIENT Q
dQ

d
d  0
W
d
dQ
W 
0

d
W

W optymalnym punkcie pracy (max Q) względne zmiany opóźnienia
tranzytowego ∆W/W równoważą względne zmiany przepustowości ∆λ+/λ+.
Zmiana punktu pracy nie jest korzystna – wzrost przepustowości
∆λ+/λ+ zostanie zrealizowany przez wzrost opóźnienia ∆W/W (i na odwrót).
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1 – optymalny punkt pracy
Q

W
  
W
1
 
0.25
0.2
0.15
0.1
L
Q      

1 
L  1 2  1
0.05
 2
()

0
Właściwość () obowiązuje dla wszystkich systemów M/G/1;
nie jest ważna dla systemów G/M/1.
© Zdzisław Papir
JAKA MULTIPLEKSACJA RUCHU ?
1. STATISTICAL TIME DIVISION MULTIPLEXING (STDM)
N 
KANAŁ TRANSMISYJNY
C [pakiet/s]
WSTDM
N 
1
1
1

 
C  N N C N  
2. FREQUENCY/TIME DIVISION MULTIPLEX
N 
PODKANAŁY
C/N [pakiet/s]
WTDM
N 
1

 N  WSTDM
C N 
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1/N –
bufor o skończonej pojemności
    
j<N
j?

bufor
kanał


j=N
 j   , j  0,1, 2,, N
 j   , j  1, 2,, N
jN
1 
j
j 

N 1
1 
j  0,1, 2,  , N
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1/N –
bufor o skończonej pojemności
    
j<N
j?
bufor

kanał


j=N
jN
1 
N
PB   N 

1   N 1
1 1  N  1  N
1 
   1  PB   
W 
N 1
N
1 

1   1   
N
N

N 1

© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1/N –
bufor o skończonej pojemności
1

0.9

0.8
1  N
   1  PB   
1   N 1
0.7
0.6
0.5
N=
N=11
N=7
N=3

0.4
0.3
0.2

0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1/N –
bufor o skończonej pojemności
1  N  1 N  N N 1
W
1   N 1   


Bufory o skończonej pojemności są przyczyną strat ruchu,
ale też – kosztem strat – powodują stabilizację opóźnienia.
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/M/1/N –
bufor o skończonej pojemności
0.45
Q   W
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
N
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
© Zdzisław Papir
ZARZĄDZANIE PAMIĘCIĄ BUFOROWĄ
Pamięć
buforowa
Kanał
transmisyjny
Zarządzanie pamięcią buforową:
1. Podział pamięci pomiędzy strumienie
2. Zasady usuwania pakietów z pamięci
© Zdzisław Papir
Algorytm Tail drop
bufor
• pakiety są usuwane, gdy bufor
jest zapełniony
• prosta implementacja
• monopolizacja pamięci
• potencjalna eliminacja zgęstek pakietów
• tail drop to algorytm reaktywny – reaguje na przepełnienie,
a nie przeciwdziała mu (algorytm proaktywny)
© Zdzisław
© ZdzisławPapir
Papir
Algorytm RED - Random Early Discard
Bufor RED
Akceptacja
0
Akceptacja
probabilistyczna
BMIN
Odrzucenie
BMAX
B
Średnia długość kolejki
P
1
Pmax
B
0
BMIN
BMAX
© Zdzisław Papir
SZEREGOWANIE PAKIETÓW

bufor


k
kanał
Algorytm szeregowania FCFS
Opóźnienie kolejkowania Q
1/ λ
1/ µ
1/ λ [s/pakiet] – średni odstęp czasu między pakietami
1/ µ [s/pakiet] – średni czas transmisji pakietu
pk   1      
k
1
1

Q
 
        
© Zdzisław Papir
SZEREGOWANIE PAKIETÓW (FCFS, FIFO)

bufor

kanał
m, n




m

   


pn   m pm, n   1 
        
n


pm   n pm, n   1 
  
 

   
 
    
pk   1   
    
k
Multipleksacja strumieni powoduje
zmniejszenie dostępnej przepustowości.
© Zdzisław Papir
SZEREGOWANIE PAKIETÓW (FCFS, FIFO)
pk   1      
k
1
1

Q
 
        


bufor
m
bufor
n
kanał


p m   1 
  
 




   


p n   1 
        

 
kanał
 

   

Q 
m
n

        

Q 
        
© Zdzisław Papir
SZEREGOWANIE PAKIETÓW (FCFS, FIFO)
bufor

m

bufor
n
kanał

Q 

        
Q 

        
 
kanał

 
   0 .4
   0 .4
   0 .7
   0 .1
q 1
q  1,1
Q    1    
q

Q    1    
© Zdzisław Papir
SZEREGOWANIE PAKIETÓW
Round Robin (RR)
Q


Q
1  
q  
Q 1   

Q
   0 .4
   0 .4
   0.7
   0.1
q 1
q3
Algorytm karuzelowy (Round Robin – RR) zapewnia bardziej
sprawiedliwy dostęp do kanału w porównaniu do algorytmu
szeregowania FCFS (FIFO).
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/G/1
bufor
Dowolna fgp czasu transmisji
d  ;  1  , 2 , cs    
kanał

j , P z    j  j z
j
M/G/1 – FUNKCJA TWORZĄCA

z  1D  z 
P z   1   
z  D  z 

Ds    d   exp s d
0
M/M/1 – FUNKCJA TWORZĄCA
1 
Pz  
1 - z
© Zdzisław Papir
KOLEJKA M/G/1
Dowolna fgp czasu transmisji
d  ;  1  , 2 , cs    
bufor
kanał

 1 
W
opóźnienie
tranzytowe
opóźnienie
czas
kolejkowania transmisji
Wzór Pollaczka-Chinczyna:
 1  c 
W    
,   
21   
2
s
kolejkowanie
© Zdzisław Papir
WZÓR POLLACZKA-CHINCZYNA
Kolejka M/G/1
 1  cs2 
W    
,   
21   
• opóźnienie tranzytowe zależy od dwóch pierwszych momentów fgp czasu
transmisji
• opóźnienie tranzytowe nie zależy od kształtu fgp czasu transmisji
• opóźnienie tranzytowe rośnie ze wzrostem rozproszenia czas transmisji
• najkrótsze opóźnienie tranzytowe zapewnia system M/D/1 (stały czas transmisji)
Kolejka M/D/1
Kolejka M/M/1
  1  , 2  1  2 , cs  0

1
W    

1  2
  1  , 2  2  2 , cs  1

W    
1 
© Zdzisław Papir
WZÓR POLLACZKA-CHINCZYNA
(interpretacja)
2
 1  cs2 

c

s
W    
   
 
,   
21   
21   
21   
czas transmisji
opóźnienie kolejkowania
M/D/1
dodatkowe opóźnienie kolejkowania wynikające ze zmienności
czasów transmisji
© Zdzisław Papir
WZÓR POLLACZKA-CHINCZYNA
(interpretacja)
Kolejka M/G/1
c    , c  
2
s
2
2
2
a
2
v

v 1
2
1 c
W    

1 
2
bufor
v 1  ,c 1
2
a
2
s
kanał
 , c ,   
2
s
© Zdzisław Papir
KOLEJKA G/G/1
Kolejka M/G/1
c    , c  
2
s
2
2
2
a
2
v
v 1
2

1 c
W    

1 
2
2
s
Kolejka G/G/1
c    , c  
2
s
2
2
2
a

2
v
v
2
c c
W    

1 
2
2
a
2
s
Wzrost zmienności (rozproszenie) strumienia pakietów oraz czasów
ich transmisji powoduje nadmierny wzrost opóźnienia tranzytowego.
© Zdzisław Papir
SAMOPODOBIEŃSTWO GEOMETRYCZNE
Obiekt samopodobny (geometrycznie) to obiekt, którego kształt jest
taki sam jak kształt jego części.
Samopodobieństwo jest charakterystyczną cechą fraktali.
Fraktal to figura geometryczna, którą cechuje powtarzający
się w nieskończoność wzorzec.
Wacław Sierpiński - 1882...1969
Polski matematyk
700 artykułów i książek
Dywan Sierpińskiego – przykład fraktala
„How Long Is the Coast of Britain?
Statistical Self-Similarity and Fractional
Dimension” (przeczytaj artykuł)
© Zdzisław Papir
Krok 0
© Zdzisław Papir
Krok 1
© Zdzisław Papir
Krok 2
© Zdzisław Papir
Krok 3
© Zdzisław Papir
SAMOPODOBIEŃSTWO STATYSTYCZNE
Parametr Hursta H samopodobieństwa statystycznego dotyczy
samopodobieństwa procesów losowych na różnych skalach czasu.
Parametr Hursta nie opisuje samopodobieństwa fraktali na
różnych ich skalach.
Harold Edwin Hurst (1880 – 1978) – brytyjski hydrolog.
Hurst zajmował się badaniem zdolności retencyjnych
zbiorników wodnych i wykrył hydrologiczne zjawisko
dalekosiężnej korelacji (w szczególności dla fluktuacji
poziomu wody w rzece Nil).
Hurst opracował miarę zmienności szeregów czasowych dla
różnych skal czasu (rescaled range methodology) pozwalającą
wykrywać korelację dalekosiężną. Parametr (wykładnik)
Hursta jest używany w teorii ruchu teleinformatycznego,
finansach i kardiologii.
© Zdzisław Papir
RUCH SAMOPODOBNY (Kapitol , L. Janowski)
© Zdzisław Papir
RUCH SAMOPODOBNY – KOLEJKA SS/M/1
bufor
ruch samopodobny
(selfsimilar)
kanał
 , 0,5  H  1
 ,   
Q
opóźnienie
kolejkowania
Kolejka SS/M/1 (0.5<H<1)
Q 

1 2 (1 H )
1   
H (1 H )
Kolejka M/M/1 (H = 0.5)
Q 

1 
© Zdzisław Papir
Kolejka SS/M/1 QUEUE
opóźnienie kolejkowania
H=0,9
M/M/1
Q
H=0,5
H=0,75

M/D/1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
© Zdzisław Papir
Parametr Hursta
samopodobieństwo ruchu
Y(t) - proces zliczeniowy (niestacjonarny) jednostek ruchu
(bitów, bajtów, pakietów) do (dyskretnego) czasu t = 1, 2,…
fgp  2
at :1
Y t   a  H Y at   Y t   t H Y 1
Statystyczne samopodobieństwo ruchu zliczanego – ruch zliczony
do czasu at jest taki sam jak zliczony do czasu t – przy
założeniu przeskalowania wolumenu ruchu przez współczynnik a-H.
X t   Y t   Y t  1, t  1,2 ,
Przyrosty (zmiana) ruchu X(t) – proces stacjonarny:
E(X) = const, Var(X)=2.
© Zdzisław Papir
Parametr Hursta
samopodobieństwo ruchu
Proces zliczania ruchu
na różnych skalach czasu s.
1 si
X i  
X t 

s t  s i 11
s 
X t 
s; X  s  1
s; X  s  2 
s; X  s  3
Przyrosty (zmiana) ruchu X(t) – proces stacjonarny:
E(X) = const, Var(X)=2:
X
s 
1 s
  X t 
s t 1
© Zdzisław Papir
Parametr Hursta
samopodobieństwa ruchu
Przyrosty (zmiany) ruchu X(t), t = 1, 2,… są procesem odnowy –
ciągiem identycznych i niezależnych zmiennych losowych.
1 s
X  t 1 X t 
s
sVar  X  1
2


Var X  s  

s
Var
X


s
2
s
s 


Jeżeli przyrosty (zmiany) ruchu X(t), t = 1, 2,… są niezależne, to
ze wzrostem skali obserwacji ruchu s będziemy obserwować
zanikające fluktuacje wolumenu ruchu.
© Zdzisław Papir
Parametr Hursta
samopodobieństwo ruchu
Ruch samopodobny – ruch zliczany skaluje się: Y(t) = a-HY(at).
1 s
1
1 H
H 1






X
t

s
Y
s

s
s
Y
1

s
X

t 1
s
Var X  s   s 2 H 1Var  X    2 s 21 H 
X s  


Fluktuacje ruchu samopodobnego (½<H<1) zanikają wolniej
aniżeli ruchu, w którym obserwowane przyrosty są od siebie
niezależne (H = ½) .
Projektowanie regulatorów ruchu (traffic controls) dla ruchu
samopodobnego (½<H<1) jest utrudnione z uwagi
na utrzymujące się fluktuacje ruchu.
© Zdzisław Papir
5
1 10
Uśrednianie ruchu
na różnych skalach czasu
s =1
4
5 10
4
5 10
s =1
0
0
7
1 10
7
1 10
si
1
X i  
X t 

s t  s i 11
s 
6
5 10
s =100
0
7
1 10
6
5 10
s =100
0
7
1 10
6
5 10
6
5 10
s =200
s =200
0
0
7
1 10
7
1 10
6
5 10
6
5 10
s =500
s =500
0
0
7
1 10
7
1 10
Proces odnowy
Film DVD
6
5 10
6
5 10
s =1.000
s =1.000
0
0
0
50
100
0
50
100
© Zdzisław Papir
PODSUMOWANIE
• Markowowski proces narodzin-śmierci o współczynnikach
zależnych od stanu jest modelem różnych systemów
kolejkowych istniejących w sieciach pakietowych.
• Znamy kilka metod rozwiązywania globalnych równań
równowagi dla stanu stacjonarnego
(równania lokalne, funkcja tworząca, rekurencja).
• Uniwersalne twierdzenie Little’a wiąże średnie wartości
przepustowości, liczby zgłoszeń w systemie oraz opóźnienia
tranzytowego.
• Power coefficient - kryterium QoS dla systemów
kolejkowych integrujące przepustowość oraz opóźnienie.
• Im większa jest zmienność ruchu, tym większe są opóźnienia
kolejkowania.
© Zdzisław Papir