Główne cechy ruchu orbitalnego SSZ

RUCH ORBITALNY
SZTUCZNEGO SATELITY ZIEMI
Rola głównych perturbacji.
Ruch nieperturbowany
keplerowski
Ruch nieperturbowany
Ruch keplerowski
Ruch perturbowany
Ruch perturbowany
Ruch perturbowany
Rozwiązanie równania perturbowanego nie jest zagadnieniem trywialnym.
Dokonuje się tego dwoma sposobami:
- całkowaniem numerycznym
- rozwiązaniem analitycznym.
Całkowanie numeryczne charakteryzuje się dużą dokładnością, lecz zabiera
dużo czasu i pamięci komputera.
Analityczne rozwiązania są bardzo skomplikowane i nie są znane dla każdej
orbity (np. dla orbit w silnym rezonansie z ruchem obrotowym Ziemi),
pomagają jednak zrozumieć sposób oddziaływania danej siły.
Ruch perturbowany
Rodzaje równań ruchu
Równania ruchu perturbowanego
Równania Lagrange’a
Równania Lagrange’a w odróżnieniu od równań ruchu we współrzędnych prostokątnych są
równaniami pierwszego rzędu. Ze względu na to, że zawierają mimośród i sinus
nachylenia w mianowniku nie nadają się do wyliczania perturbacji dla orbit o nachyleniu i
mimośrodzie bliskim zera – trzeba wówczas stosować elementy nieosobliwe.
Równania ruchu perturbowanego
Rozwiązanie równań Lagrange’a



Całkowanie analityczne tych równań wymaga uzależnienia funkcji
perturbującej Rw od odpowiedniego typu elementów orbitalnych.
Następnie w prawe strony równań wstawia się oskulacyjne elementy
orbitalne na daną epokę i całkuje się kolejno równanie po równaniu
otrzymując tzw. perturbacje pierwszego rzędu, które składają się z w
wyrazów wiekowych – bezpośrednio zależących od czasu i wyrazów
krótko i długookresowych – zawierających funkcje sin lub cos
argumentów kątowych
lub ich odpowiedników.
Ogólnie:
Równania ruchu perturbowanego
Równania Gaussa
Równania Gaussa są bardzo wygodne, gdy siłę perturbującą ruch satelity można
rozłożyć na trzy składowe:



składową radialną S, o zwrocie zgodnym z kierunkiem promienia wodzącego,
składową transwersalną T, leżącą w płaszczyźnie orbity, prostopadłą do
promienia wodzącego, o zwrocie dodatnim w kierunku narastania długości
składową normalną N, prostopadłą do płaszczyzny orbity, zwrot dodatni w
kierunku północnym.
Równania ruchu perturbowanego
Równania Gaussa
Równania ruchu perturbowanego
Równania Gaussa
Z równań Gaussa wprost widać, że ruch węzłów
orbity i zmiana jej nachylenia do równika
wywoływane są jedynie składową normalną siły
działającej.
Np. siła oporu atmosfery (działająca w płaszczyźnie
orbity nigdy nie spowoduje zmian
i
Równania ruchu perturbowanego
Równania Hamiltona
Siły perturbacyjne
Geopotencjał
Potencjał grawitacyjny Ziemi
Perturbacje od pola grawitacyjnego Ziemi są największym czynnikiem
perturbującym ruch satelity.
Potencjał pola grawitacyjnego Ziemi najczęściej zapisuje się w postaci szeregu
funkcji harmonicznych:
gdzie
są odpowiednio długością promienia wodzącego satelity, jego
szerokością i długością geograficzną, jest promieniem równikowym
Ziemi, i
współczynnikami rozwinięcia, a
– funkcjami
kulistymi Legendre’a.
Potencjał grawitacyjny Ziemi

Geoida powstaje w wyniku uwzględniania wielu harmonik
zonalnych i tesseralnych geopotencjału
Potencjał grawitacyjny Ziemi
Wielomiany Legendre’a
Funkcje kuliste Legendre’a
Harmoniki zonalne (m=0)
Harmoniki sektorialne (l=m)
Harmoniki tesseralne
Harmoniki geopotencjału
Geopotencjał w elementach keplerowskich
Geopotencjał w elementach keplerowskich
Geopotencjał w elementach keplerowskich
Klasyfikacja perturbacji

Wyróżniamy cztery grupy perturbacji
– wiekowe, tzn. takie dla których nie ma zmian okresowych i kąt
– długookresowe, które powodują zmiany w elementach orbitalnych z okresem
dłuższym niż okres orbitalny satelity, tzn. takie, dla których l-2p+q=0 i kąt
– krótkookresowe, powodujące zmiany w elementach orbitalnych z okresem krótszym
niż okres orbitalny satelity, dla których
– rezonansowe, dla których
Rozwiązanie dla J2
Rozwiązanie wiekowe dla J2
Rozwiązanie dla J2
5 cos2 i
4
1
3
2
1
50
1
100
150
i
Rozwiązanie dla J2
Z równań wynika, że zarówno kierunek linii węzłów jak i linii absyd zmieniają
się, a anomalia średnia ulega pod działaniem harmoniki J2 przyspieszeniu
lub opóźnieniu, natomiast elementy charakteryzujące rozmiary orbity (a, e)
oraz jej nachylenie do równika pozostają stałe.
Rozwiązanie dla J2

Rotacja linii apsyd
Rotacja ta zanika dla tzw. krytycznego nachylenia i=63.4 lub i=116.6 stopnia.
Prędkość rotacji zależy od nachylenia, dla orbit poniżej krytycznego nachylenia jest
dodatnia, a powyżej – ujemna.
Orbity rosyjskich satelitów Mołnia mają nachylenie krytyczne i duży (e=0.74)
mimośród. Przechodząc więc szybko przez perigeum dalej poruszają się wolno,
przez co widoczne są przez długo czas nad określonym miejscem (krytyczne
nachylenie zapewnia że perigeum jest ciągle w tym samym miejscu).
Rozwiązanie dla J2

Regresja węzłów
y
8
6
4
2
0
20
40
60
80
100
120
-2
140
160
180
b
-4
-6
-8
-8.943429435*cos(1/180*PI*b)
-7.650968916*cos(1/180*PI*b)
-0.9785231641*cos(1/180*PI*b)
Regresja węzłów jest proporcjonalna do cos i. Zatem nie ulegają jej orbity biegunowe.
Natomiast dla orbit, po których ciało porusza się ruchem prostym linia węzłów będzie
przemieszczała się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (
).
Dla orbit wstecznych
.
Rozwiązanie dla J2

Zmiana ruchu średniego satelity
3 cos2 i
2.0
1
1.5
1.0
0.5
50
100
150
i
0.5
1.0
Zmiana ruchu średniego spowodowane harmoniką J2 jest proporcjonalna do
Dla orbit o nachyleniu niższym niż 54.7 stopnia i wyższym niż 125.3 stopnia satelita
będzie poruszał się szybciej niż ze średnim ruchem n.
Dla orbit o nachyleniach pomiędzy podanymi wartościami, satelita będzie się poruszał
wolniej niż ze średnim ruchem n.
Siły perturbacyjne
Oddziaływanie trzeciego ciała
Potencjał w zagadnieniu trzech ciał
Oddziaływanie trzeciego ciała
Przyspieszenie satelity spowodowane oddziaływaniem grawitacyjnym
Księżyca lub Słońca
Przyspieszenie to wywoływane jest działaniem siły, którą jest pochodną
potencjału. Potencjał oddziaływania grawitacyjnego trzeciego ciała można
przedstawić w postaci:
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=27
tylko J2
J2 +K
a
a
42 100.0
42 099.9
42 102.0
42 099.8
42 101.5
42 099.7
42 101.0
42 099.6
42 100.5
42 099.5
42 100.0
42 099.4
20
40
60
42 099.5
t
80
100
20
J2+K+S
a
42 102
42 101
42 100
42 099
20
40
60
80
t
100
40
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=27
Mimośród
J2
J2+K
e
e
0.01000
0.00999
0.0110
0.00998
0.0105
0.00997
0.0100
0.00996
0.00995
0.0095
20
40
60
t
80
100
20
J2+K+S
e
0.0115
0.0110
0.0105
0.0100
0.0095
0.0090
20
40
60
80
t
100
40
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=27
Nachylenie
J2
J2+K
i
i
27.0000
28
26.9998
26
24
26.9996
22
26.9994
20
20
40
60
18
t
80
100
J2+K+S
0
i
26
24
22
20
18
16
14
20
40
60
80
t
100
20
40
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=58
Półoś wielka
J2
J2+K
a
a
42 100.0
42 102
42 099.5
42 101
42 099.0
42 100
42 098.5
42 099
20
40
60
80
42 098
t
100
J2+K+S
20
a
42 102
42 101
42 100
42 099
42 098
42 097
20
40
60
80
t
100
40
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=58
Mimośród
J2
e
J2+K
e
0.01000
0.15
0.00999
0.00998
0.10
0.00997
20
40
60
80
t
100
J2+K+S
20
e
0.25
0.20
0.15
0.10
20
40
60
80
t
100
40
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=58
Nachylenie
J2
J2+K
i
i
58.0000
58
57.9998
56
57.9996
54
57.9994
52
57.9992
0
20
40
60 i
50
J2+K+S
t
80
100
20
55
50
20
40
60
80
t
100
40
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=73
Półoś wielka
J2
J2+K
a
a
42 100.0
42 150
42 099.5
42 099.0
42 100
42 098.5
42 098.0
42 050
42 097.5
20
40
60
80
t
100
20
40
J2+K+S
a
42 300
42 200
42 100
42 000
41 900
20
40
60
80
t
100
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=73
Mimośród
J2
J2+K
e
e
0.8
0.01002
0.01000
0.6
0.00998
0.4
0.00996
0.2
20
40
60
t
80
100
20
J2+K+S
e
0.8
0.6
0.4
0.2
20
40
60
80
t
100
40
60
80
t
100
Satelita wysoki a=42100, e=0.01, i=73
Nachylenie
J2
J2+K
i
i
73.0000
72.9999
70
72.9998
72.9997
65
72.9996
72.9995
20
40
60
t
80
20
100
40
J2+K+S
i
70
65
60
20
40
60
80
t
100
60
80
t
100
Wpływ perturbacji lunisolarnych
1. Rola perturbacji lunisolarnych zależy od wysokości danej orbity nad
powierzchnią Ziemi i jej nachylenia do równika:
o
o
ich wpływ na orbity LEO o wysokości poniżej 10000 km jest mniejszy niż
perturbacji od harmonik zonalnych J3, J4, J5
wpływ na orbity powyżej 50000 km jest większy niż oddziaływanie harmoniki J2
geopotencjału.
2. Dla większości orbit perturbacje wywołane oddziaływaniem Księżyca są
dwukrotnie większe od spowodowanych działaniem Słońca.
3. Perturbacje lunisolarne nie powodują ani wiekowych ani długookresowych zmian
półosi dużej orbity satelity.
Wpływ perturbacji lunisolarnych
4. Wywołują natomiast regresję węzłów
Moon
i rotację linii apsyd
3.4 10
3
cos i
n
5 cos 2 i 1
1.7 10
n
Sun
Sun
3
cos i
n
5 cos 2 i 1
0.8 10
n
3
3
Moon
1.5 10
5. Charakterystyczne są długookresowe zmiany w położeniu węzła i nachyleniu
orbity
Wpływ perturbacji lunisolarnych
6. Powodują wiele rezonansów, szczególnie dla orbit o nachyleniach i>40
stopni
Około 26 różnych rezonansów (czasem wielokrotne) występujących dla
różnych nachyleń orbitalnych. Dla niskich satelitów położenie rezonansów
jest następujące:
Siły perturbacyjne
Ciśnienie promieniowania słonecznego
Siła ciśnienia promieniowania
Przyspieszenie satelity wywołane działaniem ciśnienia promieniowania słonecznego jest
wprost proporcjonalne do kwadratu odległości satelity od Słońca a wprost
proporcjonalne do ilości promieniowania padającego na powierzchnię satelity:
Pr jest stałą słoneczną (ilość promieniowania słonecznego w odległości 1AU podzielona
przez prędkość światła)
Cr jest zdolnością powierzchni do odbijania światła i zawiera się w granicach od 1 do
2, przy czym 1 świadczy o tym, że powierzchna pochłania wszystkie promienie, a 2,
że wszystko odbija.
S/m jest stosunkiem oświetlonej powierzchni satelity do jego masy
jest funkcją cienia (=0 gdy satelita przebywa w cieniu, =1 gdy jest oświetlony)
Wpływ ciśnienia promieniowania Słońca
1.Ciśnienie promieniowania powoduje zmiany okresowe we wszystkich
elementach orbitalnych, dla orbit wyższych niż 800 km nad powierzchnią
Ziemi, zmiany te przewyższają wpływ oporu atmosfery.
2. Jedną z najistotniejszych zmian jest pompowanie mimośrodu orbity.
3. Okres perturbacji wynosi 1 rok ze względu na ruch orbitalny Słońca.
4. Perturbacje nie zależą od odległości satelity od Ziemi.
5. Ich wpływ na orbity satelitarne jest zazwyczaj mały, z wyjątkiem tych
obiektów, które mają małą masę a dużą powierzchnię.
Siły perturbacyjne
Opór atmosfery
Opór atmosfery
Opór atmosfery
Gęstość atmosfery zależy od wielu czynników. Po pierwsze maleje szybko z
wysokością (na wysokości 100 km nad powierzchnią Ziemi gęstość gazów
wynosi około 500 g/km^3, podczas gdy na wysokości 1000 km spada już do
około 0.001 g/km^3.
Gęstość zmienia się w zależności od położenia geograficznego, pory roku i pory
dnia, aktywności słonecznej i warunków geomagnetycznych.
W górnych partiach atmosfery aktywność słoneczna może powodować zmianę
gęstości aż o czynnik 10.
Oscylacje atmosfery wywołane sztormami geomagnetycznymi są znaczące ale
krótkotrwałe (jeden lub dwa dni).
Opór atmosfery
Stworzone zostały specjalne modele atmosfery zarówno na podstawie
sondowań balonowych, ale przede wszystkim na podstawie perturbacji w
ruchu orbitalnym satelitów.
Głównym autorem modeli atmosfery wyznaczanych na podstawie orbitalnych
danych satelitarnych był L.G. Jacchia i dlatego nazwane są jego
nazwiskiem.
Obecnie najczęściej korzysta się z modeli CIRA (Cospar International
Reference Atmosphere), najnowszym z tej serii jest model CIRA-86.
Modele te podają średnie temperatury, szybkość wiatrów i ciśnienie w różnych
warstwach atmosfery (aż do 120 km nad powierzchnią Ziemi) dla różnych
miesięcy w roku i dla różnych szerokości geograficznych.
Wpływ oporu atmosfery
Najważniejszym efektem wynikającym z oddziaływania atmosfery na ruch
satelity jest zjawisko obniżania perygeum w przypadku wysokich orbit
eliptycznych i ukołowiania orbity w przypadku orbit niskich.
Opór atmosfery powoduje, że satelita zwiększa swoją prędkość na orbicie
(paradoks oporu atmosfery).
Opór atmosfery
Ponadto opór atmosfery ma największy wpływ na anomalię średnią, czyli
położenie satelity na orbicie. Jest to zrozumiałe, gdyż siła oporu
przyłożona jest przeciwnie do kierunku ruchu satelity.
Opór atmosfery wywołuje wiekowe zmiany a, e, i.
Dla satelitów systemu TRANSIT, krążących na wysokości około 1000 km nad
Ziemią efekt oporu atmosfery jest znaczący, na satelity systemu GPS,
znajdujące się na znacznie wyższych orbitach ok. 20000km, atmosfera nie
ma wpływu.
Siły perturbacyjne
Pływy oceaniczne i pływy skorupy ziemskiej
Pływy
Pływy
Największy wpływ perturbacyjny na ruch satelity mają pływy skorupy ziemskiej i mas
wewnętrznych.
Dla satelitów wysokich (np. GPS) przyspieszenia są małe, rzędu 10^(-9) m/s^2, ale dla
satelitów typowo geodezyjnych, niskich – jak np. Starlette mają znaczący wpływ.
Oddziaływanie pływów oceanicznych jest trudne do modelowania ze względu na
nieregularne linie brzegowe.
Przyspieszenie satelity spowodowane pływami oceanicznymi jest bardzo małe.
Najbardziej odczuwalne jest w nachyleniu orbity oraz w długości węzła. Perturbacje
te mają charakter periodyczny, okresy zmienności zawarte są w przedziale od 10 do
około 100 dni.
Jeżeli orbita niskiego satelity ma być wyznaczona z dużą dokładnością należy
uwzględniać również pływy atmosfery.
Siły perturbacyjne
Efekty relatywistyczne
Efekty relatywistyczne
W większości zastosowań dla celów geodezji satelitarnej efekty
relatywistyczne są mniejsze niż dokładność obserwacji.
Powodują one wiekowe perturbacje w elementach orbity satelity – około:
10”/rok dla odległości perigeum
0.2”/rok w długości węzła
10”/rok w anomalii średniej.
Niskie satelity ’odczuwają’ większe perturbacje ze strony efektów
relatywistycznych wywołanych grawitacją Ziemi niż planety bliskie Słońca.
Siły perturbacyjne
Inne efekty
Inne efekty
Satelita niski – główne przyspieszenia perturbacyjne
P.W.Fortescue, J.Stark, G.Swinerd, “Spacecraft System Ingeneering”.)
Typy orbit satelitarnych
Orbity LEO, MEO, GEO, GTO, HEO
Podział na niskie, średnie i wysokie orbity
Typy orbit satelitarnych
Szczególne orbity satelitarne
GEO – satelita geostacjonarny
Satelita geostacjonarny
Równik ziemski nie jest kołem lecz można go
uważać za elipsę. Jedynie na przedłużeniach
głównych osi elipsy, czyli w punktach S i U można
spodziewać się że prędkość satelity będzie równa
prędkości kołowej, poza nimi istnieć będzie
wypadkowa siła F działająca na satelitę.
Punkty te są więc punktami równowagi.
Ruch w układzie obracającym się będzie więc
odbywał się w 3 obszarach:
Obszar I – prędkość nieco mniejsza od prędkości
obrotu Ziemi
Obszar II – obie prędkości równe sobie
Obszar III – prędkość satelity nieco większa od
prędkości obrotowej Ziemi
Satelita geostacjonarny
Obserwowane nachylenie (kontrolowanych i niekontrolowanych) satelitów
geostacjonarnych w funkcji długości węzła.
Satelita geostacjonarny perturbowany
ciśnieniem promieniowania słonecznego
80
Orbity słoneczno-synchroniczne
Orbity o stałej orientacji względem Słońca
Orbita niesynchroniczna
Orbita zsynchronizowana
zachowująca stały kąt
między swoją płaszczyzną
a kierunkiem na Słońce
Satelita słoneczno-synchroniczny
Są to orbity, na których satelita zachowuje stałą orientację względem Słońca.
Prędkość zmiany położenia węzła takiej orbity jest równa prędkości obiegu
Ziemi wokół Słońca.
Orbity słoneczno-synchroniczne
1.
Orbity słoneczno-synchroniczne są zawsze wsteczne,
2.
Istnieją dla niskich wysokości nad Ziemią
3.
i
Do wysokości około 1000 km nad Ziemią dość silnie oddziałuje opór
atmosfery, z tego powodu orbity biegunowe i bliskie biegunowym są
pomijane.
i
102
180
170
101
160
150
100
140
99
130
120
98
110
97
300
100
400
500
600
700
800
900
1000 1100 1200 1300 1400 1500
h
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
h
Orbity słoneczno-synchroniczne
Tor podsatelitarny dla orbity słoneczno-synchronicznej jest zakreślany w
zakresie szerokości geograficznych
i . Interesuje nas zawsze jak
największe pokrycie Ziemi torem satelitarnym, z tego powodu nachylenia tych
orbit nie przekraczają zwykle 100 stopni.
4.
Tor podsatelitarny satelity 700 km nad Ziemią, o nachyleniu nieco ponad 98 stopni.
Orbity zamrożone
Takie, dla których elementy keplerowskie a,e,i, mają wyłącznie
zmiany krótkookresowe okresowe (nie mają zmian wiekowych ani
długookresowych)
Są to więc orbity, dla których odległość pericentrum rp=a(1-e) jest
stała
Orbity zamrożone
Orbity zamrożone wokół Ziemi
Zależność między mimośrodem a nachyleniem dla
e
e
0.016
0.10
0.014
0.08
0.012
0.010
0.06
0.008
0.04
0.006
0.004
0.02
0.002
0.00
0
20
40
60
80
100
h=100 km
120
140
160
180
0.000
i
0
20
40
60
80
100
120
h=36000 km
140
160
180
i
Orbity zamrożone –cecha charakterystyczna
Orbity o powtarzającym się torze podsatelitarnym
To takie orbity, które po określonym czasie zakreślają
dokładnie ten sam tor podsatelitarny
Orbity o powtarzającym się torze podsatelitarnym

Semi-major axis 7714.4278 km

Eccentricity 0.000095

Argument of perigee 270.8268°

Inclination 66.039°

Nodal period 6,745.72 sec =1h52m

Repeat cycle 9.9156 days

Number of passes per cycle 254

Ground track separation at Equator 315 km
Orbity o powtarzającym się torze podsatelitarnym
Literatura




Seeber, G. 1993, Satellite Geodesy
Curtis, H.D., 2005, Orbital mechanics for Engineering
Students
Montenbruck, O., Eberhard, G., 2005, Satellite Orbits
Typy orbit http://www.amacad.org/publications/Section_5.pdf