1 Lista 4 1. Dane jest wyrażenie ∃y(x + y = z)

1
logika pragmatyczna kurs powtórkowy sem. letni 2013, lista 4
Lista 4
1. Dane jest wyrażenie ∃y (x + y = z) gdzie x, y, z należą do zbioru liczb naturalnych. Co jest
predykatem w tym wyrażeniu? Które zmienne w tym wyrażeniu są wolne a które związane?
Dla jakich wartości zmiennych wolnych otrzymamy zdanie prawdziwe a dla jakich fałszywe?
2. Niech x i z należą do zbioru liczb naturalnych. Odczytać wyrażenie ∃x ∀z (x ≤ z). Jaką
własność liczb naturalnych ono wyraża? Czy w tym wyrażeniu występują zmienne wolne?
Jaka jest wartość logiczna tego wyrażenia? Czy wartość logiczna tego wyrażenia ulegnie
zmianie gdy x i z należą do zbioru liczb całkowitych?
3. Niech n i m będą zmiennymi należącymi do zbioru liczb naturalnych bez liczby 0 a predykat
P (m, n) oznacza, że m dzieli n. Odczytać następujące zdania i podać ich wartość logiczną:
(a) ∃n ∀m P (m, n)
(e) ∀n ∀m P (m, n)
(b) ∃m ∀n P (m, n)
(f) ∃n ∃m P (m, n)
(c) ∀n ∃m P (m, n)
(d) ∀m ∃n P (m, n)
4. Zapisz w rachunku predykatów następujące zdania:
(a) Każdy wieloryb jest ssakiem.
(b) Żaden ssak nie jest rybą.
(c) Niektórzy poeci są malarzami.
(d) Istnieje dokładnie jeden klucz pasujący do drzwi od mojego mieszkania.
(e) Istnieją co najmniej dwa klucze pasujące do drzwi od mojego mieszkania.
5. Niech x, y należą do zbioru wszystkich ludzi. Niech predykat P (x, y) oznacza że x jest ojcem
y. Używając tego predykatu, = i kwantyfikatorów zapisz następujące zdania:
(a) Każdy człowiek ma ojca.
(b) Nie każdy człowiek jest ojcem.
(c) Istnieje mężczyzna, który ma dwoje dzieci.
(d) Nie istnieje człowiek który ma dwóch ojców.
6. Pokaż, że poniższe implikacje logiczne nie są tautologiami rachunku predykatów, wskazując
interpretacje dla których one nie zachodzą:
(a) (∃x P (x) ∧ ∃x Q(x)) → ∃x (P (x) ∧ Q(x))
(c) ∀x (P (x) ∨ Q(x)) → (∀x P (x) ∨ ∀x Q(x))
(b) ∃x ∀y P (x, y) → ∀x ∃y P (x, y)
(d) ∀y ∃x P (x, y) → ∃x ∀y P (x, y)
7. Zaneguj poniższe formuły i przekształć je do postaci nie zawierającej implikacji.
(a) ∀x P (x) → ∃y Q(y) (b) ∀x [P (x) → ∀y Q(y)] (c) ∀x [P (x) → Q(x)] ∧ ∃x [S(x)∧ ∼ R(x)]
8. Napisz zaprzeczenie wyrażenia P = ∀x ∀y [(x < y) → ∃z (x < z < y)] bez użycia spójnika ∼.
Wyznacz wartość logiczną zdania P i podaj jego interpretację jeżeli dziedziną x, y, z jest (a)
zbiór liczb rzeczywistych; (b) zbiór liczb naturalnych.
9. Sprawdź metodą tabelkową czy następujące formuły są prawami rachunku predykatów:
(a) ∀x P (x) → ∃x P (x)
(c) ∃x [P (x) ∨ Q(x)] ≡ [∃x P (x) ∨ ∃x Q(x)]
(b) ∀x [P (x) ∧ Q(x)] → [∀x P (x) ∧ ∀x Q(x)]
(d) ∃x [P (x) → Q(x)] → [∀x P (x) → ∃x Q(x)]
logika pragmatyczna kurs powtórkowy sem. letni 2013, lista 4
2
10. Posługując się metodą założeniową sprawdź, które wnioskowania są logicznie poprawne. Dla
wnioskowań niepoprawnych podaj kontrprzykład1 :
• Każdy uczony jest racjonalistą. Niektórzy filozofowie nie są racjonalistami. Zatem niektórzy filozofowie nie są uczonymi.
• Niektórzy filozofowie są materialistami. Niektórzy filozofowie są racjonalistami. Zatem
niektórzy materialiści są racjonalistami.
• Niektórzy ludzie lubią każdego, kto jest o nich dobrego zdania. Jan jest dobrego zdania
o każdym człowieku. Zatem niektórzy ludzie lubią Jana.
• Jan jest dobrego zdania o sobie samym. Zatem nieprawda, że nikt, o kim Jan jest dobrego
zdania, nie jest dobrego zdania o Janie.
• Jeżeli Jan ceni Piotra, to jest dobrego zdania o każdym, kogo Piotr ceni. Jan nie jest
dobrego zdania o sobie samym, a Piotr ceni Jana. Zatem Jan nie ceni Piotra.
1 Zadania
pochodzą z B. Stanosz. Ćwiczenia z logiki, PWN, Warszawa 2007