Ciśnienie. Prawo Pascala

Ciśnienie. Prawo Pascala
Prawo Pascala
Płynem nazywamy substancję nie wykazującą sprężystości kształtu. Zarówno ciecze jak
i gazy przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują. Stąd też wspólna nazwa cieczy
i gazów to płyny.
Gęstość – stosunek masy płynu do zajmowanej objętości.
m ⎛ kg ⎞
ρ = ⎜ 3⎟
V ⎝m ⎠
Gęstość względna – stosunek gęstości danej substancji do gęstości wody w temperaturze 0˚.
Płyny w polu grawitacyjnym wywierają ciśnienie
na powierzchnię ciał, z którymi się stykają.
Ciśnieniem nazywamy stosunek wartości siły
nacisku do pola powierzni, na którą ta siła działa:
F
p = nacisku
S
Jednostką ciśnienia jest paskal (1 Pa)
N
1Pa = 1 2
m
Siłę nacisku, którą ciecz (płyn) działa na dno
i ścianki naczynia oraz powierzchnie ciał w niej
zanużonych nazywamy siłą parcia (hydrostatycznego) [jest ona zawsze prostopadła do
powierzchni, na którą działa], a ciśnienie cieczy – ciśnieniem hydrostatycznym.
Parcie hydrostatyczne P , jakie wywiera płyn na powierzchnię S możemy zatem obliczyć ze
wzoru:
P = p⋅S
gdzie p – ciśnienie, S – pole powierzchni.
Ciężar ciała o masie m i objętości V w polu grawitacyjnym Ziemi:
Q = m ⋅ g gdzie g – wartość przyspieszenia grawitacyjnego (9,81 m/s2)
Gęstość czasami nazywa się masą właściwą, wówczas ciężar właściwy γ definujemy:
Q
γ =
V
Q m
γ = = ⋅g = ρ⋅g
V V
Widzimy więc, że ciężar właściwy to iloczyn gęstości (masy właściwej) i przyspieszenia
ziemskiego (analogicznie jak związek miedzy ciężarem ciała a jego masą).
Wyznaczmy ciśnienie hydrostatyczne wywierane przez słup cieczy
o wysokości h na dno naczynia (bez uwzględnienia ciśnienia
atmosferycznego) przedstawionego na rysunku:
P mg ρ ⋅ g ⋅ S ⋅ h
p= =
=
= ρ ⋅g ⋅h
S
S
S
Wartość siły parcia na dno naczynia o dowolnym kształcie możemy
obliczyć z powyższego wzoru:
P = p⋅S = ρ ⋅ g ⋅h⋅S
Zatem parcie zależy od wysokości słupa cieczy, pola powierzni na którą
działa i od gęstości cieczy. Wniosek ten jest podstawą tzw. paradoksu hydrostatycznego.
P=ρghS
Q=P
P=ρghS
Q>P
P=ρghS
Q<P
Skąd ta różnica?
Przedstawmy odpowiedź dla środkowego naczynia (dla pozostałych rozwiązanie będzie
podobne).
Z rysunku widzimy, że tym razem ścianki boczne działają na ciecz siłami F1’ oraz F2’ których
suma Fścianek jest przeciwnie skierowana do siły ciężkości Q cieczy. Dlatego parcie cieczy na
dno naczynia będące różnicą Q oraz Fścianek jest mniejsze od ciężaru cieczy.
Wniosek:
Parcia słupów cieczy o takiej samej wysokości h wywierane w naczyniach na ich dna o
takiej samej powierzchni są jednakowe (bez względu na masę wody w naczyniu).
Stąd już blisko do doświadczenia Pascala, który niewielką ilością wody rozsadził beczkę.
Rysunek, przedstawiający doświadczenie Pascala, tłumaczy w jaki sposób można
w beczce wytworzyć duże ciśnienie. Zgodnie z prawem Pascala:
Wzrost ciśnienia spowodowany wywieraniem na ciecz nacisku o dowolnym
kierunku jest w każdym miejscu cieczy jednakowy.
Lub: W zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest
przenoszona bez zmiany wartości do każdego miejsca w płynie i do ścianek
zbiornika.
Innymi słowy, słup cieczy o wysokości h wywiera na ciecz w beczce jednakowy
nacisk w każdym jej punkcie (strumienie cieczy wypływającej z otworów w
beczce z różnych jej miejsc są tym większe, im wyższy jest słup cieczy
zewnętrznej). Z prawa Pascala korzystamy, budując prasy hydrauliczne,
podnośniki, hamulce.
Prawo Pascala i prasa hydrauliczna
Rys. Prasa hydrauliczna, czyli urządzenie służące do działania na
przedmiot siłą większą od przyłożonej do układu. Praca, jaką
wykonuje każda z tych sił — wejściowa i wyjściowa — jest taka
sama
Prasa hydrauliczna umożliwia działanie mniejszą siłą na
dłuższej drodze zamiast działania większą siłą na krótszej
drodze.
Iloczyn siły i przemieszczenia jest przy tym stały, tak, że
wykonywana jest jednakowa praca.
Na rysunku pokazano, jak prawo Pascala można wykorzystać do budowy podnośnika
hydraulicznego. Wyobraź sobie, że na tłok zamykający lewy cylinder (możemy go nazwać
wejściowym) działamy pionowo w dół siłą zewnętrzną o wartości Fwej, a pole powierzchni
tłoka wynosi Swej. Dzięki temu, że ciecz jest nieściśliwa, na tłok zamykający prawy cylinder
(wyjściowy), o polu powierzchni równym Swyj, działa wtedy pionowo w górę siła o wartości Fwyj.
Aby układ pozostawał w równowadze, na ten tłok musi również działać skierowana pionowo
w dół siła o takiej samej wartości Fwyj. Siła ta pochodzi od ciężaru podnoszonego przedmiotu
(którego nie pokazano na rysunku). Siłę zewnętrzną Fwej, działającą w dół na lewy tłok, i siłę
Fwyj, działającą w górę na podnoszony przedmiot, możemy powiązać ze sobą, zapisując
zmianę ciśnienia cieczy Δp równą
Δp =
Fwej
S wej
=
Fwyj = Fwej ⋅
Fwyj
S wyj
S wyj
S wej
Jeśli przesuniemy tłok wejściowy w dół o odcinek dwej, to tłok wyjściowy przesunie się w
górę o odcinek dwyj, który możemy wyznaczyć, wiedząc, że ciecz jest nieściśliwa, a zatem
przy obu tłokach przemieszczą się takie same jej objętości V. Wobec tego
V = S wej ⋅ d wej = S wyj ⋅ d wyj
Co możemy zapisać w postaci
d wyj = d wej
S wej
S wyj
Na podstawie powyższych równań możemy zapisać pracę wykonaną przez siłę wyjściową
jako:
⎛
S wyj ⎞⎛
S ⎞
⎟⎜ d wej wej ⎟ = Fwej ⋅ d wej
W = Fwyj ⋅ d wyj = ⎜ Fwej
⎜
S wej ⎟⎠⎜⎝
S wyj ⎟⎠
⎝
Co potwierdza zasadę zachowania energii.
Naczynia połączone
Dwa lub więcej naczyń połączonych ze sobą tak, że ciecz poprzez łączące je kanały może się
przelewać z jednego naczynia do drugiego, nazywamy naczyniami połączonymi.
Ważne jest, że górne wyloty naczyń są otwarte, więc nad powierzchnią cieczy w naczyniach
jest jednakowe ciśnienie.
Tzw U-rurkę, jako przykład naczynia połączonego możemy wykorzystać do pomiaru gęstości
cieczy nie mieszających się. Przedstawia to poniższy przykład.
Przykład
Rurka w kształcie litery U, przedstawiona na rysunku 15.4, zawiera dwie ciecze w3 równowadze
statycznej. W prawym ramieniu rurki znajduje się woda o gęstości ρw (= 998 kg/m ), a w lewym
— olej o nieznanej gęstości ρx. Pomiar wykazał, że l = 135 mm, a d = 12,3 mm. Ile wynosi
gęstość oleju?
ROZWIĄZANIE:
Zauważmy, że ciśnienie ppg, działające na powierzchnię rozgraniczającą ciecze w lewym ramieniu
rurki, zależy od gęstości ρx i wysokości słupa oleju nad tą powierzchnią. Zauważmy ponadto, że
woda w prawym ramieniu rurki musi mieć na tym samym poziomie takie samo ciśnienie ppg.
Jest tak dlatego, że skoro woda znajduje się w równowadze statycznej, to ciśnienie w punktach
znajdujących się na takim samym poziomie musi być jednakowe nawet wtedy, gdy punkty te
znajdują się w różnych (ale połączonych ze sobą) ramionach rurki.
W prawym ramieniu powierzchnia wody znajduje się na wysokości l nad poziomem
powierzchni granicznej cieczy. Z równania (15.8) otrzymujemy zatem:
ppg = po + ρwgl
(prawe ramię).
W lewym ramieniu powierzchnia oleju znajduje się na wysokości l + d nad powierzchnią
graniczną cieczy. Z równania
p=po+ρgh otrzymujemy więc teraz:
ppg = po + ρxg(l + d)
(lewe ramię).
Rys. do przykładu. Olej w lewym ramieniu rurki wznosi się na
większą wysokość niż woda w prawym ramieniu, ponieważ gęstość
oleju jest mniejsza niż gęstość wody. Słupy obu cieczy wywierają
takie samo ciśnienie ppg na poziomie powierzchni granicznej cieczy
Przyrównując do siebie prawe strony tych wyrażeń i rozwiązując
otrzymane równanie względem nieznanej gęstości, otrzymujemy:
ρx = ρw
l
kg
135mm
kg
= 998 3
= 915 3
l+d
m 135mm + 12,3mm
m
Zauważ, że odpowiedź nie zależy od ciśnienia atmosferycznego po ani od przyspieszenia
ziemskiego g.
Ciśnienie hydrostatyczne. [„Fizyka wokół nas” – P. G. Hewitt]
Jeśli płyniesz pod wodą, czujesz, jak ciśnie ona na bębenki twoich uszu. Im głębiej się
znajdujesz, tym większy jest ucisk. Co jest tego przyczyną? To po prostu ciężar wody (lub
powietrza) znajdującej się nad tobą. Gdy zanurzysz się dwa razy głębiej, również dwa razy
większy jest ciężar wody znajdującej się nad tobą i wywierane przez nią ciśnienie. Do tego
dochodzi ciśnienie powietrza atmosferycznego, które przenoszone jest przez wodę i dodaje
się do ciśnienia wody. Ciśnienie atmosferyczne przy powierzchni Ziemi jest prawie stałe,
dlatego też jego wartość nie zależy od głębokości zanurzenia. Od głębokości zależy jedynie
ciśnienie wody. I tylko nim będziemy dalej się zajmować.
Ciśnienie hydrostatyczne zależy nie tylko od głębokości, lecz również od gęstości
cieczy. Ciało zanurzone w cieczy o większej gęstości odczuwa większe ciśnienie. Ciśnienie
hydrostatyczne jest równe iloczynowi ciężaru właściwego cieczy i głębokości (wysokości):
ciśnienie hydrostatyczne = ciężar właściwy x głębokość .
Mówiąc prościej, ciśnienie (hydrostatyczne) wywierane przez ciecz na dno naczynia
zależy tylko od ciężaru właściwego i wysokości słupa cieczy. Ciecz dwa razy głębsza
wywiera dwa razy większe ciśnienie; trzy razy głębsza wywiera trzy razy większe ciśnienie
itd. Podobna proporcjonalna zależność jest między ciśnieniem i gęstością cieczy. Ciecze
są praktycznie nieściśliwe, ich objętości nie można zmienić przez zwiększanie ciśnienia. Na
każdej głębokości ciecz ma więc taką samą gęstość; niewielkie odchylenia związane są
jedynie z różnicami temperatur.
Należy podkreślić, że ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od ilości cieczy. Po
zanurzeniu głowy na głębokość 1 metra w basenie odczujesz takie samo ciśnienie, jak i po
zanurzeniu jej na tą samą głębokość w jeziorze. To samo dotyczy ryb. Ilustruje to rysunek
12.3 przedstawiający szereg naczyń połączonych. Złota rybka przytrzymana na
głębokości kilku centymetrów odczuwa takie samo ciśnienie w każdym naczyniu. Gdy
ją uwolnimy i gdy zanurzy się nieco głębiej, wtedy odczuje większe ciśnienie, ale również
takie samo we wszystkich naczyniach. Największe ciśnienie odczuje na dnie naczynia.
Wszystkie naczynia napełnione są do takiej samej wysokości i dlatego ciśnienie panujące
na ich dnach jest jednakowe, niezależne od ich kształtu. Gdyby na dnie któregoś z naczyń
ciśnienie było większe niż na dnach sąsiednich naczyń, to woda zostałaby z niego
wypchnięta na boki i w końcu ciśnienia zrównałyby się. Ale tego się nie obserwuje.
Ciśnienie zależy tylko od głębokości cieczy, a nie od jej objętości. Dlatego właśnie woda
zawsze dąży do wyrównania poziomów.
Wyrównywanie
poziomów
można
zaobserwować na przykładzie ogrodowego
węża gumowego, który wypełniamy wodą,
trzymając oba jego końce na tej samej
wysokości. Poziom wody w obu końcach jest
taki sam. Jeśli podniesiemy jeden koniec, to na
drugim część wody wyleje się nawet wtedy,
gdy musi płynąć ku górze. Fakt ten nie był
doceniany przez starożytnych Rzymian, którzy
wznosili przemyślne akwedukty z wysokimi
łukami i okrężnymi trasami, a wszystko po to,
by zapewnić ciągły spadek między zbiornikiem
i miastem. Gdyby rury leżały na ziemi, biegnąc wzdłuż naturalnych powierzchni, w niektórych miejscach woda płynęłaby w górę,
czego Rzymianie nie mogli pojąć. Dociekliwe eksperymentowanie nie było wówczas w
modzie i dlatego przy budowie tych wodociągów wykonano wiele niepotrzebnej pracy
niewolniczej.
Inną ciekawą własnością ciśnienia w cieczach jest to, że rozchodzi się ono we
wszystkich kierunkach. Jeśli zanurzysz się w wodzie, to na uszy działa taki sam ucisk,
niezależnie od ustawienia głowy. Dzięki temu, że woda może płynąć, jej ciśnienie nie musi
być skierowane w dół. Można się o tym przekonać, obserwując wodę tryskającą z otworu na
bocznej ściance pionowej konewki. Ciśnienie może także działać w górę; przejawia się to
na przykład wtedy, gdy chcemy całkowicie zanurzyć w wodzie piłkę plażową. Na dno
łódki również działa ciśnienie skierowane w górę. W każdym punkcie cieczy ciśnienie
rozchodzi się równomiernie we wszystkie strony.
Wypadkowe
ciśnienie
cieczy
na
daną
powierzchnię jest prostopadłe do niej (rys po
lewej). Jeśli w ściance naczynia pojawi się otwór,
to ciecz wypływa z niego pod kątem prostym, a
potem zakrzywia w dół pod wpływem siły
grawitacji (rys. po prawej). Na większej
głębokości ciśnienie jest większe i dlatego wypływająca tam ciecz
ma większą prędkość.
Dla żyrafy zależność
ciśnienia od wysokości nie
jest problemem. Ma ona
bowiem duże serce oraz
złożony system zastawek
oraz elastycznych i
pojemnych naczyń
krwionośnych w mózgu.
Bez nich żyrafa mogłaby
zemdleć przy nagłym
podniesieniu głowy albo
doznać wylewu krwi do
mózgu przy schylaniu się.
Ciśnienie atmosferyczne. Pomiar ciśnienia [„Fizyka wokół nas” – P.
G. Hewitt]
Gazy, podobnie jak ciecze, mogą płynąć i dlatego
zaliczamy je do płynów na równi z cieczami.
Podstawowa różnica między nimi związana jest z
odległościami między cząsteczkami. Cząsteczki gazu
są daleko od siebie i nie wykazują sił spójności, które
mają decydujący wpływ na ruch cząsteczek w cieczach
i ciałach stałych. Ruch cząsteczek gazu nie podlega
takim ograniczeniom. Gaz może się rozprzestrzeniać
bez ograniczeń i zwykle wypełnia całą dostępną mu
przestrzeń. Jedynie wtedy, gdy ilość gazu jest bardzo
duża, jak np. w atmosferze ziemskiej lub w jakiejś
gwieździe, siły grawitacyjne mogą ograniczać objętość
gazu i wpływać na jego kształt.
Grubość naszej atmosfery określają dwa
przeciwstawne czynniki: energia kinetyczna cząsteczek, sprzyjająca rozprzestrzenianiu
się gazu, oraz grawitacja, przyciągająca gaz jak najbliżej Ziemi. Gdyby w jakiś sposób
grawitacja ziemska została wyłączona, cząsteczki powietrza rozproszyłyby się i zniknęły w
przestworzach. Można sobie wyobrazić sytuację odwrotną: grawitacja istnieje, ale prędkość
cząsteczek jest zbyt mała, by mogły one tworzyć gaz (tak może się zdarzyć na odległych,
zimnych planetach). Wtedy nasza atmosfera zamieniłaby się w ciecz albo nawet w zestaloną
warstwę ciała stałego, pokrywającą ziemię. Nie byłoby czym oddychać; również w tym
przypadku nie byłoby atmosfery w ogóle.
Na szczęście nasza atmosfera powstała w wyniku swoistego kompromisu między skłonnymi
do ucieczki szybkimi cząsteczkami a grawitacją ściągającą je w przeciwną stronę. Gdyby nie
ciepło docierające ze Słońca, cząsteczki powietrza leżałyby na powierzchni Ziemi niczym
ziarna kukurydzy na dnie maszynki do prażenia. Jeśli ziarna zostaną podgrzane, to zaczną
poruszać się ku górze; podobnie dzieje się z podgrzanym powietrzem. Ziarna kukurydzy
uzyskują w maszynce prędkości rzędu kilku kilometrów na godzinę i dolatują na wysokość od
jednego do dwóch metrów. Cząsteczki powietrza poruszają się z prędkościami rzędu 1600
kilometrów na godzinę i wznoszą się na wysokość wielu kilometrów. Dzięki Słońcu
cząsteczki powietrza otrzymują energię, a dzięki grawitacji utrzymywane są w pewnym
obszarze i ten sposób mamy atmosferę.
Grubość atmosfery nie daje się ściśle określić. W miarę oddalania się od ziemi powietrze staje
się coraz rzadsze. W końcu pojawia się próżnia a wraz z nią przestrzeń międzyplanetarna. Ale
nawet w tej przestrzeni próżnia nie jest doskonała: na jeden centymetr sześcienny przypada
średnio jedna cząsteczka. Jest to przeważnie cząsteczka wodoru, pierwiastka najbardziej
rozpowszechnionego we wszechświecie. Około 50 procent atmosfery zawarte jest w warstwie
o grubości 5,6 kilometra. 75 procent atmosfery znajduje się poniżej wysokości 11 km; 90
procent — poniżej 18 km; a 99 procent — poniżej 30 km. Więcej szczegółów o atmosferze
można znaleźć w encyklopedii.
Żyjemy na dnie oceanu powietrznego.
Podobnie jak woda w jeziorze,
powietrze wywiera na nas pewne
ciśnienie. Ciśnienie to zostało
wykazane w niezwykle poglądowy
sposób w 1654 roku przez Ottona von
Guerickego, ówczesnego burmistrza
Magdeburga i wynalazcy pompy
próżniowej. Zetknął on dwie półkule
miedziane o średnicy ok. 0,5 metra
tak, że utworzyły kulę, jak pokazane
jest na rysunku. By zapobiec
przedostaniu się powietrza do wnętrza
kuli, użył on naoliwionej uszczelki
skórzanej. Po wypompowaniu powietrza kula trzymała się tak mocno, że dwa zaprzęgi po
osiem koni nie były w stanie jej rozerwać.
Jeśli zmniejszymy ciśnienie w cylindrze pokazanym na rys. poniżej, to na tłok zacznie działać
siła skierowana ku górze. Siła ta jest na tyle duża, że może unieść spory ciężar. Gdy średnica
tłoka jest równa 10 cm lub więcej, może on unieść dorosłego człowieka. Co wynika z
doświadczeń przedstawionych na rysunkach ? Czy dowodzą one istnienia ciśnienia
atmosferycznego, czy też jakiejś siły „ssania"? Mówiąc o sile ssania, zakładamy, że próżnia
może wytwarzać siły. Lecz co to jest próżnia? Jest to brak materii, stan
nicości. Nie sposób wyobrazić sobie, by to „nic" mogło być źródłem siły.
Półkule nie przysysają się, również tłok nie jest wsysany do góry. Zarówno
półkule, jak i tłok są naciskane przez ciężar powietrza atmosferycznego.
Podobnie jak ciśnienie hydrostatyczne jest wynikiem ciężaru wody, tak i
ciśnienie atmosferyczne spowodowane jest ciężarem powietrza. Tak
przyzwyczailiśmy się do niewidocznego powietrza, że czasami
zapominamy, iż ma ono ciężar. Być może również ryba w podobny
sposób „zapomina", że woda ma ciężar. Przyczyną tego braku
odczuwania miażdżącego ciężaru powietrza jest to, że panujące w
naszych organizmach ciśnienie ma taką samą wartość jak ciśnienie
otaczającego nas powietrza.
Na poziomie morza metr sześcienny powietrza ma masę ok. 1,25 kilograma. Tak więc
powietrze znajdujące się w pokoju dziecinnym waży tyle samo co dziecko!
Gaz
Gęstość (w kg/m3)
Suche powietrze
0°C
IO°C
20°C
30°C
Wodór
Hel
Azot
Tlen
1,29
1,25
1,21
1,16
0,090
0,178
1,25
1,43
Gęstość niektórych gazów.
Gęstość powietrza maleje z wysokością. Na przykład na wysokości 10 kilometrów metr
sześcienny powietrza ma masę 0,4 kilograma. Aby wyrównać tę różnicę, w samolotach
sztucznie uzupełnia się powietrze. W odrzutowcu Jumbo Jet 747 ta dodatkowa ilość
powietrza wynosi prawie 1000 kg. Powietrze w dużych ilościach jest ciężkie. Jeśli twoja
mała siostra nie wierzy, że powietrze ma ciężar, zrób następujące doświadczenie. Najpierw
daj jej plastikowy woreczek z wodą. Siostra stwierdzi oczywiście, że woda ma ciężar.
Potem daj jej ten sam woreczek z wodą, gdy będzie nurkować w basenie. Wtedy nie
poczuje żadnego ciężaru. Jest tak dlatego, że zarówno ona, jak i woreczek są otoczeni
przez wodę. Podobnie otacza nas powietrze.
Rozważmy pewną ilość powietrza na szczycie długiej tyczki bambusowej o
przekroju poprzecznym 1 centymetr kwadratowy, sięgającej wysokości 30 kilometrów.
Gęstość powietrza wewnątrz tyczki jest równa gęstości powietrza na zewnątrz. Masa
zawartego w niej powietrza wynosi więc ok. 1 kilogram.
Odpowiada jej ciężar równy 10 niutonom. Zatem ciśnienie u
podstawy tyczki równe jest 10 niutonów na centymetr
kwadratowy (10 N/cm2). Oczywiście, taka sama wartość ciśnienia byłaby bez tyczki. Jeden metr kwadratowy zawiera 10 000
centymetrów kwadratowych, wobec czego pionowy słup
powietrza o przekroju 1 metr kwadratowy ma masę 10 000
kilogramów. Jego ciężar wynosi ok. 100 000 niutonów (105 N).
Odpowiada mu ciśnienie równe 100 000 niutonów na metr
kwadratowy, czyli 100 000 paskali lub 100 kilopaskali. Mówiąc
dokładniej, średnie ciśnienie atmosferyczne na poziomie morza
wynosi 101,3 kilopaskali (101,3 kPa).*
Ciśnienie atmosferyczne nie jest jednolite. Zmienia się nie
tylko z wysokością, ale w każdym miejscu występują zmiany związane z ruchem powietrza
przy przesuwaniu się frontów i podczas sztormów. Pomiary ciśnienia i jego zmian są bardzo
ważne dla meteorologów opracowujących prognozy pogody.
Barometry
Przyrządy służące do pomiaru ciśnienia atmosferycznego nazywają
się barometrami. Najprostszy jest barometr rtęciowy pokazany na
rysunku. Pionowa rurka szklana o długości co najmniej 76
centymetrów (760 milimetrów) zatopiona jest na górnym końcu i
wypełniona rtęcią. Otwartym końcem zanurzona jest w naczyniu
wypełnionym rtęcią. Rtęć może wypływać z rurki przez jej dolny
koniec aż do momentu, gdy jej poziom osiągnie wysokość 76
centymetrów względem poziomu rtęci w naczyniu. Pozostała część
rurki jest pusta, z wyjątkiem niewielkiej ilości pary rtęci. Wysokość
słupka rtęci pozostaje stała, nawet wtedy, gdy rurkę pochylimy,
chyba że jej wierzchołek znajdzie się na poziomie niższym niż 76
centymetrów — wówczas rtęć wypełni całą jej długość.
Dlaczego rtęć zachowuje się w taki sposób? Wyjaśnienie jest
podobne, jak w przypadku huśtawki (dźwigniowej), która jest w
równowadze wtedy, gdy ciężary osób siedzących na jej końcach są
jednakowe. Barometr jest w równowadze wtedy, gdy ciśnienie wytworzone przez ciężar
rtęci w rurce jest takie samo jak zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne. Niezależnie od
średnicy rurki słup rtęci o wysokości 76 centymetrów waży tyle samo, ile waży słup
powietrza o takiej samej średnicy, lecz o wysokości 30 kilometrów. Gdy ciśnienie
powietrza wzrasta, rtęć w rurce jest wypychana na większą wysokość. To wypychanie rtęci
przez ciężar powietrza atmosferycznego odbywa się dosłownie bezpośrednio.
Czy barometr mógłby być wypełniony wodą? Tak, ale wtedy rurka musiałaby mieć
znacznie większą wysokość — dokładnie 13,6 razy większą. Liczba ta wynika z porównania
gęstości rtęci i wody. Słup wody powinien mieć 13,6 razy większą objętość — ciężar takiej
ilości wody jest taki sam jak ciężar rtęci w rurce. Oznacza to, że wysokość słupka wody
winna być 13,6 razy większa, tzn. winna wynosić 13,6 • 0,76 metra = 10,3 metra.
Zupełnie niepraktyczna wartość!
Z identycznym mechanizmem mamy do czynienia podczas picia przez słomkę.
Wysysając powietrze, zmniejszamy ciśnienie wewnątrz słomki. Powietrze atmosferyczne
wywiera ciśnienie na napój, wypychając go w obszar obniżonego ciśnienia. Mówiąc ściśle,
napój nie jest wsysany — to powietrze go wpycha do słomki. Gdyby powietrze to nie miało
dostępu do napoju, to wciągnięcie go przez samo ssanie byłoby niemożliwe; sytuacja taka
występuje wtedy, gdy chcemy napić się z butelki szczelnie zakorkowanej, ze słomką
przebitą przez korek.
Barometr aneroidowy
Na rysunku pokazany jest mały przenośny barometr zwany
aneroidem. Jego głównym elementem jest puszka metalowa
zawierająca częściowo wypompowane powietrze o zmniejszonej
gęstości. Zawiera ona elastyczną membranę, która może wyginać
się do środka lub na zewnątrz, odpowiednio do zmian ciśnienia atmosferycznego. Do membrany przymocowana jest wskazówka
poruszająca się razem z nią dzięki odpowiedniemu układowi
dźwigni i sprężyn. Ponieważ ciśnienie atmosferyczne zależy od
wysokości, aneroid jest często stosowany — po odpowiednim
przeskalowaniu —jako wysokościomierz. Niektóre modele są tak
czułe, że reagują na zmiany wysokości mniejsze niż 1 metr.
Ciśnienie wewnątrz próżniowej lampy kineskopowej w telewizorze
wynosi ok. jednej dziesięciotysięcznej paskala (~10-4 Pa). Z kolei na
wysokości 500 kilometrów, na jakiej krążą sztuczne satelity Ziemi, ciśnienie jest dziesięć
tysięcy razy mniejsze od poprzedniej wartości (~10-8 Pa). Jest to wartość odpowiadająca
ziemskim standardom próżni. Jeszcze większa próżnia (rzędu 10-13 Pa) istnieje w śladach
po satelitach krążących na tych wysokościach. Jest to tzw. wysoka próżnia.
Z Wikipedii:
Wykres zależności ciśnienia powietrza od wysokości n.p.m
Ciśnienie powietrza zmienia się w przybliżeniu wykładniczo wraz z wysokością n.p.m.
Powietrze staje się coraz rzadsze i chłodniejsze. Jego ciśnienie może być przedstawione w
postaci następującego przybliżonego wzoru:
gdzie:
p – ciśnienie atmosferyczne w Pa
h – wysokość n.p.m. w km
Ciśnienie na wysokości 0 n.p.m., p(0), wynosi ok. 105 Pa (101 325 Pa), stąd dla wysokości h
otrzymamy:
Przykładowo, ciśnienie na wierzchołku Mount Everest (8 848 m n.p.m.) wynosi ok. 280 hPa,
czyli jest w przybliżeniu 3,5 raza mniejsze niż na poziomie morza. Natomiast połowa
ciśnienia z poziomu morza, czyli 500 hPa, występuje na wysokości ok. 4800 m n.p.m.
Ciśnienie rzeczywiste przeliczone do wysokości poziomu morza nazywa się ciśnieniem
znormalizowanym.
Poniższa tabela podaje orientacyjne ciśnienie atmosferyczne w funkcji wysokości nad
poziomem morza.
Wysokość [m] Ciśnienie [hPa]
Przykład
0
1013,25
Gdańsk
500
954,61
Rabka-Zdrój
1000
898,76
Kuźnice (Zakopane)
1500
845,58
Pilsko, schronisko "Murowaniec"
2000
794,98
Kasprowy Wierch
2500
746,86
Rysy
3000
701,12
Zugspitze
3500
657,68
Lhasa
4000
616,45
Piz Bernina
4500
577,33
Matterhorn
5000
540,25
Ararat
6000
471,87
Kilimandżaro
7000
410,66
Aconcagua
8000
356,06
Sziszapangma
9000
307,48
Mount Everest
10000
264,42
samoloty (FL 330)
11000
226,37
samoloty (FL 360)
Moduł ściśliwości
W dotychczasowych rozważaniach na temat płynów przyjmowaliśmy, że są one nieściśliwe.
Obecnie spróbujemy zastanowić się, jak dokładne czy też niedokładne jest to założenie.
Sztabka ciała stałego ściśnięta przez przyłożone na jej końcach siły wykazuje względną
zmianę długości proporcjonalną do siły działającej na jednostkę powierzchni. Podobnie,
jeżeli poddamy materiał działaniu skierowanych do jego wnętrza jednolitych sił, to jego
objętość zmaleje. Oporność materiału na odkształcenia tego typu charakteryzuje moduł
ściśliwości K. Jak się wkrótce przekonamy, zmiany objętości, a co za tym idzie gęstości
cieczy są w większości przypadków bardzo małe i na ogół mogą
być pominięte.
Rys. Sposób przykładania sił zewnętrznych działających na całą
powierzchnię ciała stałego
Znaki występujące w tym równaniu
obrazują fakt, że wzrost ciśnienia
powoduje wzrost gęstości, ale
zmniejszenie objętości. Moduł ściśliwości K ma zawsze wartość
dodatnią. W tab. poniżej podano wartości współczynnika K dla
pewnych ciał stałych i cieczy. Poniższy, przejaskrawiony przykład,
obrazuje, jak niewielkie są zmiany objętości i gęstości spowodowane
ściskaniem dla ciał stałych i cieczy.
Moduły ściśliwości niektórych
ciał stałych i cieczy
Materiał
Moduł
ściśliwości K
[Pa]
Ciecze
Alkohol etylowy 0.09*1010
Rtęć
2.5*1010
Woda
0.22*1010
Ciała stałe
Glin
7.0*1010
Miedź
14*1010
Szkło
3.7*1010
Stal
16*1010
Przykład
Ciśnienie wody oceanicznej 2 km pod powierzchnią jest 200 razy większe niż ciśnienie
atmosferyczne. Oblicz, jaka będzie zmiana objętości jednego metra sześciennego wody na tej
głębokości.
Rozwiązanie:
Wg tabeli moduł ściśliwości wody wynosi 0,22*1010 Pa. Przyrost ciśnienia wynosi
ΔP=200-1=199 atm, gdzie 1atm=1,01*105 Pa. Rozwiązując równanie ΔP=-K* ΔV/V
otrzymamy:
V ⋅ ΔP 1m 3 ⋅ 199 ⋅ 1,01 ⋅ 10 5 Pa
ΔV =
=
= −9,13 ⋅ 10 −3 m 3
10
K
0,22 ⋅ 10 Pa
W tym raczej krańcowym przykładzie zmiana objętości wody wynosiła około 1%,
zatem gęstość wody wzrosła analogicznie. Stąd wniosek, że w przypadku cieczy zmiany
objętości związane z umiarkowanymi zmianami ciśnienia są rzeczywiście niewielkie. To
samo dotyczy ciał stałych. Natomiast w przypadku gazów współczynnik ściśliwości jest
znacznie mniejszy, a zatem zmiany objętości mogą być znaczne. Zatem w stosunku do gazów
możemy wykorzystać wnioski otrzymane dla nieściśliwych płynów tylko w przypadkach, gdy
występujące zmiany gęstości i objętości są nieznaczne.