Wprowadzenie do teorii gier

Wprowadzenie do teorii gier
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Wykład 1
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
1
Klasyfikacja gier
2
Gry macierzowe, macierz wypłat, strategie czyste i mieszane
3
Twierdzenie o minmaksie, drzewa gry
4
Punkty równowagi w grach o sumie zerowej
5
Gry dwuosobowe o sumie niezerowej
6
Równowagi Nasha
7
Gry dwuosobowe negocjacyjne
8
Gry wielosobowe
9
Gry z naturą
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Teoria gier zajmuje sie badaniem optymalnego zachowania w przypadku
przeciwstawnych interesów i okreslana jest jako matematyczna teoria
konfliktu.
minimum dwóch uczestników gry;
zbiór zasad, według których postępują uczestnicy gry;
wynik gry, który określony jest przez kombinacje sposobów
postępowania uczestników gry;
uczestnicy są racjonalni i dążą do maksymalizacji zysków.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Podstawy teorii gier:
E. Borel, Sur les jeux ou interviennent le hasard et l’habilit´e des
joueurs, the English translation [Elements of the Theory of
Probability. Prentice-Hall, 1924.
J. von Neumann, Zur theorie der gesellschaftsspiele. Mathematische
Annalen - Contributions to the Theory of Games, Vol. 4:13–42, 1928.
O. Mergenstern, J. von Neumann. Theory of Games and Economic
Behavior. Princeton University Press, 1944.
J. Nash, Non-Cooperative Games, The Annals of Mathematics
Second Series, Vol. 54, No. 2 (Sep., 1951), pp. 286-295.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Zastosowanie teorii gier:
ekonomia, J. Aubin. Mathematical Methods of Game and Economic
Theory. North-Holland Publ. CO., 1979.
nauki społeczne, P. Ordeshook. Game theory and political theory.
Cambridge University Press, 1986.
biologia, Selten R. Hammerstein, P. Handbook of game theory.
University of Bonn, 1994.
sztuczna inteligencja, M. Tennenholtz. Game Theory and Artificial
Intelligence. Springer Berlin/Heidelberg, 2002.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
handel elektroniczny, Games at Work-Agent-Mediated E-Commerce
Simulation, 2000.
sieci komputerowe, Mackenzie A. Menon R. Dasilva L. Hicks J. Reed
J. Gilles R. Neel, J. Using game theory to analyze wireless ad hoc
networks. IEEE Communications Surveys and Tutorials, Vol.
7:46–56, 2005.
sieci transportowe, David Easley and Jon Kleinberg. Reasoning
about a Highly Connected World. Cambridge University Press, 2010.
i wiele więcej..
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Podział gier
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Jeden z możliwych podziałów gier:
kolejność podejmowania decyzji: gry w postaci strategicznej i
ekstensywnej;
posiadana wiedza: gry z pełną informacją oraz gry z niepełną
informacją;
liczba graczy: gry 2-osobowe, gry n-osobowe (n ­ 3);
zbiór dostępnych akcji: gry nieskończone (kontinuum akcji), gry ze
skończonym zbiorem strategii;
możliwość tworzenia koalicji: gry kooperacyjne, gry niekooperacyjne;
powtarzalność: gry iterowane oraz gry jednoetapowe.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Czas podejmowania decyzji
Gry w postaci strategicznej (normalnej)
sytuacje, w których gracze podejmują decyzje jednocześnie;
zysk graczy obliczany jest na podstawie macierzy wypłat;
wielkość macierzy wypłat zależy bezpośrednio od liczby graczy oraz
od liczby strategii czystych dostępnych dla graczy;
Gry w postaci ekstensywnej (drzewiastej)
decyzje graczy podejmowane są sekwencyjnie;
wypłaty graczy ustalane na podstawie drzewa gry;
każdy z graczy w danej chwili zna wszystkie możliwe ruchy.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Formalnie gra w postaci normalnej:
Γ = hN, {Ai }, Mi, i = 1, 2, ..., n
gdzie:
N = {1, 2, ..., n} jest zbiorem graczy;
{Ai } jest skończonym zbiorem strategii dla gracza i o m strategiach;
M = {µ1 , µ2 , ..., µn } to zbiór funkcji wypłat dla graczy.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Przykład prostej gry dwuosobowej
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Wielosobowa gra w postaci strategicznej w programie GAMBIT
4 graczy;
każdy z graczy po 2 strategie;
każda komórka macierzy to wypłata gracza przy okreśonych
strategiach pozostałych graczy;
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Przez a = (~a1 , ...,~an ) oznaczmy profil strategii mieszanych wszystkich
graczy, określany dalej jako układ strategii.
a−i = (~a1 , ...,~ai−1 ,~ai+1 , ...,~an ),
będzie układem strategii z wyłączeniem gracza i. Mieszana strategia
gracza i określana jest jako:
~ai = (P(ai1 ), P(ai2 ), ..., P(aim )),
gdzie P(ai1 ) prawdopodobieństwo wyboru strategii 1 przez gracza i,
natomiast ~ai oznacza tutaj dyskretny rozkład prawdopodobieństwa nad
zbiorem strategii.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Równowaga Nasha w grze n-osobowej jest układem strategii, w którym
żaden z graczy znając strategię przeciwników nie zyskuje odstępując od
wybranej strategii.
∀i , ∀j µi (a) ­ µi (aij , a−i ),
gdzie:
i - oznacza i-tego gracza;
j - jest numerem strategii danego gracza;
µi (a) - wypłata i-tego gracza dla profilu strategii a;
µi (aij , a−i ) - wypłata i gracza stosującego strategię j przeciwko a−i .
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
strategie
A1
A2
B1
B2
1,4 0,6
4 , 1 -1 , -1
Tablica: Prosta gra 2-osobowa
Równowaga Nasha w grze
n-osobowej jest układem
strategii, w którym żaden z
graczy znając strategię
przeciwników nie zyskuje
odstępując od wybranej
strategii.
Rysunek: Graficzna reprezentacja równowagi
Nasha
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Równowaga Nasha a złożoność problemu
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Przykłady gier w postaci normalnej dla różnej liczby graczy. a) gra
2-osobowa; b) gra 3-osobowa; c) gra 4-osobowa
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Gra w postaci ekstensywnej formalnie:
N = {1, 2, ..., n} - zbiór graczy;
G = (W , E ) - drzewo gry (graf skierowany bez cykli)
W - wierzchołki (sytuacje w grze);
E - łuki (przejścia między sytuacjami w grze);
często wyróżnia się też zbiór wierzchołków końcowych (liści).
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Dowolną grę dla dwóch (i więcej) graczy taką jak szachy, kółko i krzyżyk,
go, warcaby można zapisać w postaci ekstensywnej.
algorytm min-max: pomaga znaleźć najlepszy ruch, pracując od
końca gry. Na każdym kroku zakłada, że gracz A próbuje
zmaksymalizować szanse na wygraną gracza A, podczas gdy w
następnym ruchu gracz B stara się zminimalizować szanse na
wygraną gracza A;
algorytm alfa-beta - algorytm stosowany do redukcji liczby węzłów,
które muszą zostać sprawdzone w algorytmie min-max.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Algorytm min-max
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Algorytm alfa-beta
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Gry z pełną informacją:
każdy z graczy zna w pełni zasady gry, funkcje wypłat oraz zbiory
mozliwych strategii wszystkich pozostałych graczy;
założenie o racjonalności graczy, gdzie każdy z uczestników dąży do
maksymalizacji zysku;
gracze w każdej chwili posiadają pełną informację o poprzednich
decyzjach innych graczy;
grę ekstensywną można przekształcić w grę w postaci normalnej (i
na odwrót);
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Wielosobowa gra w postaci ekstensywnej
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Inne typy równowag w teorii gier:
równowaga Nasha;
równowaga Nasha - zwana także równowagą;
równowaga skorelowana - bardziej ogólna niż Nash;
równowaga Pareto - równowaga Nasha z najwyższą wypłatą dla
graczy;
Trembling hand equilibrium - równowaga „drżącej ręki” - założenie,
że gracz może przez nieuwagę zagrać strategię z zerowym
prawdopodobieństwem wyboru;
idealna równowaga w podgrach - w grach w postaci ekstensywnej;
-Well supported Nash - równowaga, w której każda strategia ma
niezerowe prawdopodobieństwo wyboru.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Gry z niepełną informacją:
określane także jako gry bayesowskie;
dla gier strategicznych w przypadku informacji niepełnej definiowana
jest jawnie dodatkowa funkcja prawdopodobieństwa, która w
zależności od wartości określa końcową wypłatę graczy;
często przyjmuje się, że gry strategiczne z niepełną informacją
posiadają więcej niż jedną macierz wypłat;
dla gier w postaci ekstensywnej brak pełnej informacji zaznaczony
jest jako zbiory informacyjne.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Gra w postaci ekstensywnej z niepełną informacją
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Możliwość tworzenia koalicji graczy:
gry koalicyjne
akcje przypisywane sa grupom (koalicjom) graczy;
ze zbioru graczy możliwe jest wyszczególnienie podzbiorów graczy
współpracujących ze sobą;
wartość Shapleya - wartość zysku pojedynczego gracza w koalicji;
gry niekooperacyjne
interesy graczy w grach niekooperacyjnych nie muszą być
przeciwstawne (gry o sumie niezerowej);
założenie o racjonalności graczy (w przypadku gracza nieracjonalnego
każda strategia ma takie samo prawdopodobieństwo wyboru);
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Rysunek: Gra z elementami kooperacji dwóch graczy
Dwóch graczy: każdy ma do wyboru jedną z trzech strategii.
nieustępliwa: gracz jedzie drogą główną i żąda przejazdu;
elastyczna: gracz jedzie drogą główną w przypadku pierwszeństwa
przejazdu. W przeciwnym razie przepuszcza gracza B;
wycofanie się: gracz jedzie dłuższą drogą.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Gry z kontinuum graczy
stosowane do przedstawiania sytuacji wolnorynkowych;
zbiór graczy reprezentowany przed odcink [0, 1];
koncepcja strategii stabilnej ewolucyjnie;
Rysunek: Przykład gry ze strategią stabilną ewolucyjnie. Popularny
”Jastrząb-gołąb”
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Gry o nieskończonym zbiorze strategii są uogólnieniem gier skończonych:
jeden z najpopularniejszych przykładów tego typu gier to duopol
Cournota;
gry na kwadracie, gdzie każdy z graczy posiada kontinuum strategii
czystych;
strategia mieszana dla gier na kwadracie to dystrybuanta funkcji;
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier
Dziękuję za uwagę.
prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka
Wprowadzenie do teorii gier