WST†P DO MATEMATYKI WSPÓŠCZESNEJ Grzegorz Szkibiel

WST†P DO MATEMATYKI
WSPӊCZESNEJ
Grzegorz Szkibiel
Jesie« 2004/05
Spis tre±ci
1
2
Elementy rachunku funkcyjnego
4
1.1
Elementy rachunku zda« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Kwantykatory jako funktory zdaniotwórcze
. . . . . . . . . .
5
1.3
Prawa rachunku funkcyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Algebra zbiorów
15
2.1
Sko«czony rachunek zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Rodziny indeksowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3
Sumy i przekroje uogólnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4
Podstawowe wªasno±ci sum i przekrojów
uogólnionych
2.5
2.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Rodziny podwójnie indeksowane . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Sumy i przekroje uogólnione
a obrazy i przeciwobrazy zbiorów. . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
23
Produkty, relacje i funkcje
26
3.1
Produkty sko«czonej liczby zbiorów . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.2
Pewne wªasno±ci relacji dwuczªonowych . . . . . . . . . . . . .
28
3.3
Produkty uogólnione
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zbiory liczbowe
33
4.1
Aksjomatyka zbioru liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2
Dodawanie i mno»enie liczb naturalnych
. . . . . . . . . . . .
35
4.3
Zasada minimum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.4
Konstrukcja liczb caªkowitych. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.5
Konstrukcja liczb wymiernych. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
5
3
Teoria mocy
41
5.1
Równoliczno±¢ zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2
Zbiory przeliczalne
44
5.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Porównywanie liczb kardynalnych.
Twierdzenie Cantora-Bernsteina . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Zbiory uporz¡dkowane
46
50
6.1
Zbiory cz¦±ciowo uporz¡dkowane
6.2
Izomorzmy zbiorów cz¦±ciowo uporz¡dkowanych
6.3
Zbiory skierowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.4
Zbiory uporz¡dkowane liniowo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.5
Lemat Kuratowskiego-Zorna
a moce zbiorów
6.6
6.7
6.8
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
50
54
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Zbiory uporz¡dkowane liniowo g¦sto . . . . . . . . . . . . . . .
64
Zbiory uporz¡dkowane liniowo
w sposób ci¡gªy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Zbiory dobrze uporz¡dkowane
64
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdziaª 1
Elementy rachunku funkcyjnego
W rozdziale tym wykorzystamy nasze wiadomo±ci z dziedziny rachunku zda«.
Na pocz¡tku przypomnimy podstawowe poj¦cia, a pó¹niej je rozwiniemy i
uzupeªnimy.
1.1 Elementy rachunku zda«
Zdaniem w sensie logiki
nazywamy fraz¦, której mo»na przypisa¢ faªsz (0) lub
prawd¦ (1). Zdania tworzymy wykorzystuj¡c formy zdaniowe lub funktory
zdaniotwórcze.
X . Form¡ zdaniow¡ ϕ(x) okre±lon¡ na
a jest dowolnym
elementem zbioru X , to ϕ(a) jest zdaniem w sensie logiki. Zbiór X nazywamy wówczas dziedzin¡ formy zdaniowej ϕ(x). Mówimy te», »e forma zdaniowa ϕ(x) przebiega zbiór X , a x nazywamy zmienn¡ przebiegaj¡c¡ zbiór X .
Mo»e si¦ zdarzy¢, »e X jest produktem dwóch lub wi¦cej zbiorów, tj. X =
X1 ×X2 ×· · ·×Xn . Wówczas ka»dy element zbioru x ∈ X jest n-elementowym
ci¡giem (x1 , x2 , . . . , xn ) i form¦ zdaniow¡ ϕ(x) mo»emy rozwa»a¢ jako form¦
jednej zmiennej lub te» jako form¦ zdaniow¡ n zmiennych x1 , x2 , . . . , xn .
Funktorem zdaniotwórczym n zmiennych nazywamy sposób przeksztaªcania n zda« w jedno zdanie. Najcz¦±ciej u»ywanym funktorem jednej zmiennej
jest negacja, oznaczana symbolem v, która przeksztaªca zdanie p w zdanie
nieprawda, »e p. Je±li chodzi o dwie zmienne, to najcz¦±ciej u»ywamy funkNiech dany b¦dzie pewien zbiór
zbiorze X
nazywamy taki sposób tworzenia zdania, »e je±li
torów koniunkcji, alternatywy, implikacji i równowa»no±ci. Funktory zdaniotwórcze mo»na te» stosowa¢ do form zdaniowych. Wówczas przeksztaªcaj¡
4
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
one
n
5
form zdaniowych w jedn¡ form¦ zdaniow¡.
Utworzone za pomoc¡ funktorów zdaniotwórczych zdanie, które jest prawdziwe bez wzgl¦du na warto±ci logiczne przeksztaªcanych zda«, nazywamy
tautologi¡.
X
Przypu±¢my, »e mamy dany pewien zbiór
oraz form¦ zdaniow¡
okre±lon¡ na tym zbiorze. Wówczas dla pewnych elementów
nie
a zbioru X
ϕ(x)
zda-
ϕ(a) jest prawdziwe. Podzbiór zbioru X skªadaj¡cy si¦ z tych wszystkich
x, dla których zdanie ϕ(x) jest prawdziwe zapisujemy
elementów
{x ∈ X : ϕ(x)} .
Oczywi±cie, podzbiór ten mo»e by¢ pusty.
Je±li jednak tak nie jest, tzn.
{x ∈ X : ϕ(x)} =
6 ∅, to znajdziemy przynajmniej jeden _
element a ∈ X , taki
»e ϕ(a) jest zdaniem prawdziwym. fakt ten zapisujemy
ϕ(x). Symbol
x∈X
_
nazywamy kwantykatorem szczegóªowym, a x nazywamy zmienn¡ (zwi¡zan¡) kwantykatora. Je±li {x ∈ X : ϕ(x)} = X , to zdanie ϕ(x) jest prawdziwe bez wzgl¦du na to jaki element zbioru X we¹miemy. Tak¡ sytuacj¦
^
^
ϕ(x), symbol
nazywamy kwantykatorem ogólnym, a x
zapiszemy
x∈X
zmienn¡ (zwi¡zan¡) kwantykatora.
kwantykatorów:
∃
Cz¦sto stosowane s¡ inne oznaczenia
dla szczegóªowego oraz
∀
dla ogólnego.
1.2 Kwantykatory jako funktory zdaniotwórcze
^
∨, oraz
i ∧ nie jest przypadkowe. Aby to
wyja±ni¢, przypomnijmy, »e ∨ oznacza alternatyw¦, a ∧ koniunkcj¦.
Alternatyw¡ nazywamy funktor zdaniotwórczy zmiennych p1 , p2 , . . . , pn ,
który przeksztaªca te zdania w zdanie p1 , lub p2 , lub . . . , lub pn . Otrzymane
Podobie«stwo symboli
_
i
zdanie jest prawdziwe, je±li cho¢ jedno ze zda« skªadowych (przeksztaªcanych) jest prawdziwe.
Koniunkcj¡ nazywamy funktor zdaniotwórczy n-zmiennych p1 , p2 , . . . , pn ,
który przeksztaªca te zdania w zdanie
p1 i p2 i . . . i pn .
Otrzymane zdanie jest
prawdziwe, je±li wszystkie zdania skªadowe (przeksztaªcane) s¡ prawdziwe.
Uogólnimy teraz poj¦cie funktor zdaniotwórczy. Mianowicie,
zdaniotwórczym
funktorem
nazywamy sposób przeksztaªcania pewnej ilo±ci (tak»e nie-
sko«czonej lub nieprzeliczalnej) w jedno zdanie. W dalszym ci¡gu wykªadu
b¦dziemy stosowa¢ ju» tylko t¦ denicj¦ funktora zdaniotwórczego.
6
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
X = {x1 , x2 , x3 , x4 }, a varphi(x) jest pewn¡ form¡
zdaniow¡ okre±lon¡ na zbiorze X . Je±li cho¢ jedno ze zda« ϕ(x1 ), ϕ(x2 ),
ϕ(x3 ), ϕ(x4 ) jest prawdziwe, to prawdziwe jest te» zdanie ϕ(x1_
) ∨ ϕ(x2 ) ∨
ϕ(x3 ) ∨ ϕ(x4 ), czyli alternatywa tych zda«. Zatem mamy, »e
ϕ(x).
x∈X
Podobnie, je»eli wszystkie cztery zdania ϕ(x1 ), ϕ(x2 ), ϕ(x3 ), ϕ(x4 ) s¡ prawdziwe, to prawdziwa jest te» koniunkcja ϕ(x1 ) ∧ ϕ(x2 ) ∧ ϕ(x3 ) ∧ ϕ(x4 ). Zatem
^
ϕ(x).
x∈X
Zauwa»my, »e je±li X jest zbiorem sko«czonym, to kwantykator szczePrzypu±¢my teraz, »e
góªowy jest alternatyw¡, a kwantykator ogólny jest koniunkcj¡.
1.3 Prawa rachunku funkcyjnego
Prawem rachunku funkcyjnego
nazywamy tautologi¦ zda«, w których wyst¦-
puj¡ kwantykatory.
Podamy najpierw, jaki jest zwi¡zek mi¦dzy zdaniem z kwantykatorem
a zbiorem utworzonym przez form¦ zdaniow¡. Niech
niow¡ okre±lon¡ na zbiorze
Zdanie
^
ϕ(x)
b¦dzie form¡ zda-
X.
ϕ(x) jest
prawdziwe
⇐⇒ {x ∈ X : ϕ(x)} = X
(1.1)
ϕ(x) jest
faªszywe
⇐⇒ {x ∈ X : ϕ(x)} =
6 X
(1.2)
ϕ(x) jest
prawdziwe
⇐⇒ {x ∈ X : ϕ(x)} =
6 ∅
(1.3)
ϕ(x) jest
faªszywe
⇐⇒ {x ∈ X : ϕ(x)} = ∅
(1.4)
x∈X
Zdanie
^
x∈X
Zdanie
_
x∈X
Zdanie
_
x∈X
Przyjmijmy jeszcze jedn¡ konwencj¦. Poniewa» zapis
jest dosy¢ kªopotliwy, upraszczamy go pisz¡c
nej ograniczonej form¡ zdaniow¡ ψ(x).
W tym przypadku
ψ(x) : x 6= 0
oraz
^
ψ(x)
ϕ(x)
^
x∈{x∈X:ψ(x)}
i mówimy o
Na przykªad piszemy
ϕ(x) : x2 > 0.
^
x6=0
ϕ(x)
zmienx2 > 0.
Podobnie deniujemy
kwantykator szczegóªowy o zmiennej ograniczonej form¡ zdaniow¡.
Kwantykatory o zmiennej ograniczonej mo»na zamieni¢ na ,,zwykªe
kwantykatory.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
7
Dla dowolnych form zdaniowych ϕ(x) oraz ψ(x) okre±lonych na przestrzeni X zachodz¡ nast¦puj¡ce równowa»no±ci
1.1 Twierdzenie.
(i)
^
(ii)
_
ψ(x)
ψ(x)
ϕ(x) ⇐⇒
^
ϕ(x) ⇐⇒
_
x∈X
x∈X
(ψ(x) ⇒ ϕ(x)),
(ψ(x) ∧ ϕ(x)).
(i) nazywamy prawem kwantykatora ogólnego.
prawem zamiany kwantykatora szczegóªowego.
Wªasno±¢
Natomiast
(ii),
Zanim przyst¡pimy do dowodu, podamy nast¦puj¡cy lemat, który zostaª
udowodniony na wykªadzie z teorii zbiorów i kombinatoryki na I roku.
(O zwi¡zkach funktorów.) Niech ϕ(x) i ψ(x) b¦d¡ formami
zdaniowymi okre±lonymi na zbiorze X . Zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
1.2 Lemat.
(i) {x ∈ X :v ϕ(x)} = {x ∈ X : ϕ(x)}0 ,
(ii) {x ∈ X : ϕ(x) ∧ ψ(x)} = {x ∈ X : ϕ(x)} ∩ {x ∈ X : ψ(x)},
(iii) {x ∈ X : ϕ(x) ∨ ψ(x)} = {x ∈ X : ϕ(x)} ∪ {x ∈ X : ψ(x)},
(iv) {x ∈ X : ψ(x) ⇒ ϕ(x)} = {x ∈ X : ψ(x)}0 ∪ {x ∈ X : ϕ(x)},
(v) {x ∈ {x ∈ X : ψ(x)} : ϕ(x)} = {x ∈ X : ϕ(x)} ∩ {x ∈ X : ψ(x)}.
Mo»emy teraz przyst¡pi¢ do dowodu twierdzenia 1.1.
Dowód.
Aby udowodni¢ cz¦±¢
(i),
zauwa»my, »e zapis
^
ψ(x)
ϕ(x)
oznacza
zgodnie z 1.1
{x ∈ {x ∈ X : ψ(x)} : ϕ(x)} = {x ∈ X : ψ(x)} ,
(v), daje nam
co po uwzgl¦dnieniu lematu 1.2
Z drugiej
{x ∈ X : ϕ(x)} ∩ {x ∈ X : ψ(x)} = {x ∈ X : ψ(x)} .
^
strony, zapis
(ψ(x) ⇒ ϕ(x)) oznacza
(1.5)
x∈X
{x ∈ X : ψ(x) ⇒ ϕ(x)} = X.
Stosuj¡c tym razem punkt
(iv)
lematu 1.2, otrzymujemy
{x ∈ X : ψ(x)}0 ∪ {x ∈ X : ϕ(x)} = X
(1.6)
8
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Równowa»no±¢ równo±ci 1.5 oraz 1.6 wynika z równowa»no±ci A∩B
A0 ∪ B = X . Uwaga ta ko«czy dowód cz¦±ci
twierdzenia.
Dla dowodu cz¦±ci
(ii)
(i)
= A ⇐⇒
wystarczy zauwa»y¢, »e
{x ∈ {x ∈ X : ψ(x)} : ϕ(x)} = {x ∈ X : ψ(x) ∧ ϕ(x)} .
Poniewa» oba te zbiory s¡ niepuste, wi¦c na podstawie 1.3 mamy »¡dan¡
równowazno±¢.
Zmienne, które wyst¦puj¡ pod kwantykatorem nazywamy
zwi¡zanymi.
Je±li w formie zdaniowej za tym kwantykatorem s¡ jeszcze inne zmienne, to
nazywamy je
wolnymi.
Innymi sªowy, je±li wyra»enie z kwantykatorem jest
form¡ zdaniow¡, to zmienne tej formy zdaniowej nazywamy wolnymi. Forma
zdaniowe, w których wyst¦puj¡ tylko zmienne wolne mo»emy wyª¡cza¢ lub
wª¡cza¢ pod kwantykator. Dla przykªadu rozwa»my form¦ zdaniow¡
^
(x ≤ m ∧ m ∈ N).
x∈R
Forma
m ∈ N
nie zale»y od
x (m
jest zmienn¡ woln¡) i dlatego mo»emy
wyª¡czy¢ j¡ przed kwantykator. Nasza forma wygl¡da wówczas nast¦puj¡co:
m∈N∧
^
x ≤ m.
x∈R
1.3 Twierdzenie.
(Prawa wª¡czania i wyª¡czania.)
Dla form zdaniowych
ϕ(x) oraz ψ , przy czym ta ostatnia nie zale»y od zmiennej x, zachodz¡ na-
st¦puj¡ce wªasno±ci:
(i)
^
(ii)
_
(iii)
^
(iv)
_
(v)
^
(vi)
_
x∈X
x∈X
x∈X
x∈X
x∈X
x∈X
(ϕ(x) ∨ ψ) ⇐⇒ ψ ∨
^
(ϕ(x) ∨ ψ) ⇐⇒ ψ ∨
_
(ϕ(x) ∧ ψ) ⇐⇒ ψ ∧
^
(ϕ(x) ∧ ψ) ⇐⇒ ψ ∧
_
x∈X
x∈X
x∈X
x∈X
(ψ ⇒ ϕ(x)) ⇐⇒ ψ ⇒
^
(ψ ⇒ ϕ(x)) ⇐⇒ ψ ⇒
_
ϕ(x),
ϕ(x),
ϕ(x),
ϕ(x),
x∈X
x∈X
ϕ(x),
ϕ(x).
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
(vii)
^
(viii)
_
x∈X
x∈X
(ϕ(x) ⇒ ψ) ⇐⇒
^
(ϕ(x) ⇒ ψ) ⇐⇒
_
x∈X
x∈X
9
ϕ(x) ⇒ ψ ,
ϕ(x) ⇒ ψ .
Zauwa»my, »e w dowodzie tego twierdzenia nie mo»emy u»y¢ zbiorów,
gdy» zapis
{x ∈ X : ψ(y)}
nie ma sensu z uwagi na to, »e formie zdaniowej
nie mo»na przypisa¢ warto±ci logicznej.
Dowód.
Udowodnimy tu wªasno±ci
(i)
oraz
telnikowi do samodzielnego pokazania.
chodzi to wtedy i tylko wtedy, zdanie
(vi),
a reszt¦ pozostawimy Czy-
ϕ(x) ∨ ψ
^
(ϕ(x) ∨ ψ . Zax∈X
jest prawdziwe bez wzgl¦du
Zaªó»my, »e
na podstawione warto±ci zmiennych zarówno zwi¡zanych jak i wolnych. Je-
ϕ(a) jest prawdziwe dla ka»dej warto±ci a ∈ X , to zachodzi te»
ψ∨
ϕ(x). Zaªó»my wi¦c, »e zdanie ϕ(a) jest faªszywe dla przynajx∈X
mniej jednej warto±ci a ∈ X . Aby zatem zdanie ϕ(a) ∨ ψ byªo prawdziwe
bez wzgl¦du na warto±ci ewentualnych zmiennych wolnych, forma ψ musi
±li zdanie
^
by¢ zdaniem prawdziwym po podstawieniu za zmienne dowolnych warto±ci z
dziedziny. Ale wówczas ka»de zdanie w alternatywie z nim b¦dzie prawdziwe,
^
ϕ(x).
ψ∨
^ x∈X
Zaªó»my teraz, »e ψ ∨
ϕ(x), czyli »e jest to zdanie prawdziwe po
x∈X
podstawieniu za zmienne formy ψ dowolnych warto±ci z jej dziedziny. Zatem
^
ψ staje si¦ w ka»dym przypadku zdaniem prawdziwym, lub
ϕ(x) jest
x∈X
zdaniem prawdziwym, czyli ϕ(x) staje si¦ zdaniem prawdziwym w ka»dym
^
(ϕ(x) ∨ ψ).
przypadku. Oznacza to, »e
x∈X
_
(ψ ⇒ ϕ(x)). Zatem
W celu pokazania (vi) zaªó»my najpierw, »e
x∈X
zawsze si¦ znajdzie taki element a ∈ X , »e dla dowolnych warto±ci zmiennych
formy ψ zdanie ψ ⇒ ϕ(a) jest prawdziwe. Nie mo»e wi¦c si¦ zdarzy¢ sytuacja,
w której zdanie powstaªe z formy ψ jest prawdziwe i nie jeste±my w stanie
znale¹¢ takiego a ∈ X , »eby zdanie ϕ(a) byªo prawdziwe. Czyli je±li ψ staje
_
_
si¦ zdaniem prawdziwym, to
ϕ(x). St¡d ψ ⇒
ϕ(x).
x∈X
_ x∈X
W drug¡ stron¦, zaªó»my »e implikacja ψ ⇒
ϕ(x) jest prawdziwa
x∈X
dla dowolnych warto±ci zmiennych formy ψ . Nie mo»e wi¦c zdarzy¢ si¦ sytuacja, »e ψ staje si¦ zawsze zdaniem prawdziwym, a nie jest mo»liwe znalezienie a ∈ X , takiego »e ϕ(a) jest zdaniem prawdziwym. Zatem zachodzi
_
(ψ ⇒ ϕ(x)).
w szczególno±ci zdanie
x∈ X
10
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
ϕ(x) jest prawdziwa dla dowolnej warto±ci x ∈ X ,
to na pewno znajdziemy w X taki element y , »e zdanie ϕ(y) jest prawdziwe. Podobnie, je±li {x ∈ X : ϕ(x)} = X , to zbiór ten jest niepusty (wy_
kluczamy tu patologiczny przypadek X = ∅), zatem
ϕ(x). I wreszcie,
x∈X
je±li wiemy, »e φ(y) jest zdaniem prawdziwym, to znajdziemy w X taki element a, »e φ(a) jest zdaniem prawdziwym. Te trzy prawie oczywiste prawa
Je±li forma zdaniowa
sformuªujemy poni»ej.
1.4 Twierdzenie.
na X . Wtedy
(i)
^
(ii)
^
x∈X
x∈X
Zaªó»my, »e y ∈ X , a ϕ(x) jest form¡ zdaniow¡ okre±lon¡
ϕ(x) ⇒ ϕ(y)
_
ϕ(x) ⇒
(iii) ϕ(y) ⇒
x∈X
_
ϕ(x)
x∈X
(wyszczególnianie)
,
ϕ(x),
(wskazywanie)
.
Zauwa»my, »e je±li nie prawd¡ jest, »e dla dowolnego
to znaczy to, »e w
X
X
co± zachodzi,
mo»emy znale¹¢ element, dla którego zachodzi
jaka± wªasno±¢, to oznacza to, »e w
x∈X
x∈X
jest element, dla którego to co± nie zachodzi. Podobnie,
je±li nie jest prawd¡, »e w
dowolnego
X
takiego elementu nie ma, czyli dla
prawdziwe jest zaprzeczenie naszej wªasno±ci.
Je±li ϕ(x) jest form¡ zdaniow¡
okre±lon¡ na przestrzeni X , to zachodz¡ nast¦puj¡ce prawa
1.5 Twierdzenie.
(Prawa de Morgana.)
_
v φ(x),
ϕ(x) ⇐⇒
x∈X
x∈X
_
^
(ii) v
φ(x) ⇐⇒
v φ(x).
(i) v
^
x∈X
x∈X
Dowód.
Udowodnimy tylko
^
ϕ(x)
(i),
poniewa» dowód drugiego punktu jest po-
^
ϕ(x) jest
x∈X
x∈X
zdaniem faªszywym, czyli {x ∈ X : ϕ(x)} 6= X . Oznacza to tyle samo, co
{x ∈ X : ϕ(x)}0 6= ∅. Zgodnie z lematem 1.2 oraz z 1.3 otrzymujemy równodobny.
v
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
wa»no±¢ ostatniego zdania z
_
x∈X
ϕ(x).
Je±li pod kwantykatorem mamy dwie formy zdaniowe, które zale»¡ od
zmiennej zwi¡zanej, to czasami mo»na dla ka»dej formy tworzy¢ osobny
kwantykator. Je»eli spójniki zda« s¡ zgodne ze znakami kwantykatorów,
mo»emy to zawsze robi¢.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
11
Dla dowolnych form zdaniowych
ϕ(x) i ψ(x) okre±lonych na X zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci
1.6 Twierdzenie.
(i)
^
x∈X
(Prawa rozdzielno±ci.)
^
(ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇐⇒
x∈X
ϕ(x) ∧
^
x∈X
ψ(x)
(prawo rozdziel-
no±ci kwantykatora ogólnego wzgl¦dem koniunkcji),
(ii)
_
x∈X
_
(ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇐⇒
x∈X
ϕ(x) ∨
_
x∈X
ψ(x)
(prawo rozdziel-
no±ci kwantykatora szczegóªowego wzgl¦dem alternatywy).
Dowód.
Dla odmiany udowodnimy wªasno±¢
(ii),
a pierwsz¡ wlasno±¢ pozo-
stawimy Czytelnikowi. Mamy
_
(ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇐⇒ {x ∈ X : ϕ(x) ∨ ψ(x)} =
6 ∅
x∈X
⇐⇒ {x ∈ X : ϕ(x)} ∪ {x ∈ X : ψ(x)} =
6 ∅
⇐⇒ {x ∈ X : ϕ(x)} =
6 ∅ ∨ {x ∈ X : ψ(x)} =
6 ∅
_
_
ψ(x).
ϕ(x) ∨
⇐⇒
x∈X
x∈X
Je»eli symbole spójników nie s¡ zgodne ze znakami kwantykatorów,
mamy tylko implikacje.
1.7 Twierdzenie. Dla dowolnych form zdaniowych ϕ(x) i ψ(x) okre±lonych
na X zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
(i)
^
(ii)
_
x∈X
x∈X
ϕ(x) ∨
^
x∈X
ψ(x) ⇒
(ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇒
^
_
x∈X
x∈X
(ϕ(x) ∨ ψ(x)),
ϕ(x) ∧
_
x∈X
ψ(x).
Zauwa»my najpierw, »e implikacje przeciwne nie zawsze s¡ prawdziwe.
X = R, ϕ(x) oznacza x ≥ 0, a ψ(x) oznacza x < 0. Wtedy zdanie
ϕ(x)∨ψ(x) jest prawdziwe dla ka»dej warto±ci zmiennej x, poniewa» dowolna
Niech
liczba rzeczywista jest nieujemna b¡d¹ ujemna. Zatem zdanie
^
(ϕ(x) ∨ ψ(x))
x∈X
jest prawdziwe. Jednak»e zdania
^
x∈X
x≥0
oraz
^
x∈X
x<0
s¡ faªszywe,
12
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
wi¦c i ich alternatywa jest faªszywa. Niech teraz
X = Z, ϕ(x) oznacza 2 | x,
_
s¡ zdania
ϕ(x) oraz
a ψ(x) niech oznacza 2 - x. Wtedy prawdziwe
_
ψ(x). Zatem ich koniunkcja te» jest prawdziwa.
x∈X
jest faªszywe dla ka»dej warto±ci zmiennej
x∈Z
taki, »e
Dowód.
^
x∈X
ϕ(x)∧ψ(x)
x, wi¦c nie jest prawd¡, »e istnieje
φ(x) ∧ ψ(x).
Poka»emy teraz tylko wªasno±¢
ϕ(x) ∨
x∈X
Ale zdanie
^
ψ(x) ⇐⇒
(i).
Mamy
{x ∈ X : ϕ(x)} = X ∨ {x ∈ X : ψ(x)} = X
x∈X
⇒
⇐⇒
{x ∈ X : ϕ(x)} ∪ {x ∈ X : ψ(x)} = X
{x ∈ X : ϕ(x) ∨ ψ(x)} = X
^
(ϕ(x) ∨ ψ(x)) .
⇐⇒
x∈X
Skorzystali±my tu najpierw z 1.1, nast¦pnie z wªasno±ci
A ∪ B = X,
(iii)
potem z lematu 1.2
A=X ∨B =X ⇒
i na ko«cu ponownie z 1.1.
W analizie matematycznej kwantykatory wyst¦puj¡ cz¦sto seriami. Zdarza si¦, »e musimy zmienia¢ ich kolejno±¢. Nie zawsze jest to mo»liwe.
Dla dowolnej
formy zdaniowej ϕ(x, y) okre±lonej na X × Y nast¦puj¡ce wyra»enia s¡ prawami rachunku funkcyjnego
1.8 Twierdzenie.
(i)
_
(ii)
^
(iii)
_
_
x∈X
y∈Y
^
x∈X
y∈Y
^
x∈X
y∈Y
(Prawa przestawiania kwantykatorów.)
ϕ(x, y) ⇐⇒
_
ϕ(x, y) ⇐⇒
^
ϕ(x, y) ⇒
_
y∈Y
x∈X
^
y∈Y
^
x∈X
_
y∈Y
_
x∈X
ϕ(x, y),
ϕ(x, y),
ϕ(x, y).
^
ϕ(x, y), to oznacza to, »e najpierw
x∈X
y∈Y
znajdujemy ,,uniwersalny x, który ,,pasuje do ka»dego y . Natomiast, je±li
Zauwa»my, »e je»eli mamy
^
_
ϕ(x, y), to tym razem oznacza to, »e x mo»emy dobiera¢
y∈Y
x∈X
dla ka»dego y . W szczególno±ci ka»dy y mo»e mie¢ swój ,,indywidualny x.
mamy
ϕ(x, y) oznacza form¦ x + y = 0 okre±lon¡ na Q × Q.
dowolnego y mo»emy dobra¢ ±ci±le zale»ny od niego x (dokªadnie
Dla przykªadu, niech
Wtedy dla
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
równy
−y )
x + y = 0.
taki, »e
Nie mo»na jednak znale¹¢ ,,uniwersalnego
y,
czyli takiego, »e jaki by nie byª
Zapis
^
^
x∈X
y∈Y
(ii)
to
x,
x + y = 0.
^
cz¦sto upraszczamy pisz¡c
x∈X,y∈Y
, a je±li
X = Y,
^
to idziemy nawet dalej, pisz¡c
przez punkt
13
. Uproszczenie to jest uzasadnione
x,y∈X
ostatniego twierdzenia. Podobnie upraszczamy zapisy z
kwantykatorem szczegóªowym.
Dowód.
Aby udowodni¢
(i)
zauwa»my, »e
(
)
x∈X:
_
ϕ(x, y)
6= ∅.
ϕ(a, y).
St¡d mamy natychmiast, »e
y∈Y
Istnieje wi¦c
a ∈ X,
{y ∈ Y : ϕ(a, y)} =
6
takie »e
_
y∈Y
∅. Znajdziemy zatem
j¡c dwukrotnie z twierdzenia 1.4
(iii)
b ∈ Y,
ϕ(a, b).
takie »e
Korzysta-
otrzymujemy
_ _
ϕ(x, y).
y∈Y x∈X
Podobnie udowadniamy implikacj¦ w drug¡ stron¦.
Dla dowodu
(ii)
skorzystamy z pierwszej cz¦±ci dowodu i praw de Mor-
gana. Mamy
!
^ ^
ϕ(x, y) ⇐⇒ v v
x∈X y∈Y
^ ^
ϕ(x, y)
x∈X y∈Y
!!
⇐⇒ v
_
v
x∈X
^
ϕ(x, y)
y∈ Y
!
⇐⇒ v
_ _
v ϕ(x, y)
x∈X y∈Y
!
⇐⇒ v
_ _
v ϕ(x, y)
y∈Y x∈X
⇐⇒
^ ^
y∈Y x∈ X
ϕ(x, y).
14
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Udowodnimy teraz ostatni¡ cz¦±¢ twierdzenia. W tym celu rozwa»my wy-
ra»enie
Zatem
_
x∈X
^
y∈Y
ϕ(x, y).
Znajdziemy wi¦c
{y ∈ Y : ϕ(a, y)} = Y .
a ∈ X,
taki »e
^
Skorzystamy teraz ze wskazania
_
ϕ(a, y) ⇒
ϕ(x, y),
x∈X
z którego wynika inkluzja
(
Y = {y ∈ Y : ϕ(a, y)} ⊂
y∈Y :
)
_
ϕ(x, y) .
x∈X
Ale to oznacza, »e zbiór z prawej strony jest równy
^ _
y∈Y x∈X
ϕ(x, y).
Y,
czyli
y∈Y
ϕ(a, y).
Rozdziaª 2
Algebra zbiorów
Zajmiemy si¦ teraz gªównie dziaªaniami uogólnionymi, tj. sum¡, przekrojem i
produktem zbiorów. Na pocz¡tek przypomnimy podstawowe poj¦cia i prawa
rachunku zbiorów.
2.1 Sko«czony rachunek zbiorów
Poj¦ciami pierwotnymi teorii mnogo±ci s¡
nie ma elementów nazywamy
pustym
zbiór i element zbioru.
i oznaczamy go
∅.
Zbiór, który
Je»eli ka»dy element
B , to mówimy, »e A jest podzbiorem
B jest nadzbiorem zbioru A i piszemy A ⊂ B . W szczególno±ci
zbiór pusty jest podzbiorem ka»dego zbioru. Relacja ⊂ okre±lona na zbiorach
jest przechodnia i antysymetryczna, tzn. (1) je»eli A ⊂ B i B ⊂ C , to A ⊂ C
oraz (2) je±li A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B .
Przez sum¦ zbiorów A i B rozumiemy zbiór A ∪ B , który skªada si¦ ze
wszystkich elementów zbioru A oraz wszystkich elementów zbioru B . Suma
zbioru
A
zbioru B
jest te» elementem zbioru
lub
zbiorów jest dziaªaniem ª¡cznym, przemiennym oraz ma element neutralny,
którym jest
A ∪ A = A.
(i)
∅.
Dodatkowo jeszcze zachodzi wªasno±¢ idempotencji, czyli
B¦dziemy dalej korzysta¢ z nast¦puj¡cych wªasno±ci:
A ⊂ A ∪ B;
(ii) je±li
A ⊂ C i B ⊂ D,
to
A ∪ B ⊂ C ∪ D;
(iii) je±li
A ⊂ C i B ⊂ C,
to
A ∪ B ⊂ C;
(iv)
A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B .
15
16
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Przekrojem zbiorów A i B
nazywamy zbiór
A ∩ B,
wszystkich elementów nale»¡cych jednocze±nie do zbioru
krój zbiorów jest dziaªaniem ª¡cznym, przemiennym.
wªasno±¢ idempotencji, czyli
A∩A = A
oraz wªasno±¢
który skªada si¦ ze
A i zbioru B .
Prze-
Dodatkowo zachodzi
A ∩ ∅ = ∅.
B¦dziemy
dalej korzysta¢ z nast¦puj¡cych wªasno±ci:
(i)
A ∩ B ⊂ A;
(ii) je±li
C ⊂ A i D ⊂ B,
to
C ∩ D ⊂ A ∩ B;
(iii) je±li
C ⊂ A i C ⊂ B,
to
C ⊂ A ∩ B;
(iv)
A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A.
Zachodz¡ te» prawa rozdzielno±ci sumy wzgl¦dem przekroju oraz rozdzielno±ci przekroju wzgl¦dem sumy.
Zbiór zªo»ony z tych i tylko tych elementów zbioru
mentami zbioru
B,
ró»nic¡ zbiorów A i B
nazywamy
A,
które nie sa ele-
oraz oznaczamy
A \ B.
Podamy kilka wªasno±ci ró»nicy zbiorów, z których b¦dziemy pó¹niej korzysta¢.
(i)
A \ B ⊂ A;
(ii) je±li
C ⊂ D,
to
A \ D ⊂ A \ C;
(iii) je±li
A ⊂ B,
to
A \ C ⊂ B \ C;
(iv)
A ⊂ B ⇐⇒ A \ B = ∅.
dopeªnienie zbioru. Dokªadnie,
przestrzeni¡ oraz A ⊂ X , to dopeª-
Prac¦ z ró»nic¡ zbiorów uªatwia poj¦cie
je±li dany jest ustalony zbiór
X
zwany
nieniem zbioru A do przestrzeni X
nazywamy zbiór
X \A
i oznaczamy
A0 .
Wprost z denicji dopeªnienia oraz ró»nicy wynikaj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci.
(i)
(ii)
A \ B = A ∩ B0;
X 0 = ∅, ∅0 = X , (A0 )0 = A;
(iii)
A ⊂ B ⇐⇒ B 0 ⊂ A0 ;
(iv)
A = B ⇐⇒ A0 = B 0 ;
(v)
A ∪ A0 = X , A ∩ A0 = ∅;
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
(vi)
(vii)
17
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 , (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 ;
A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B 0 = ∅ ⇐⇒ A0 ∪ B = X .
Wªasno±¢ (vi) nazywamy
prawami de Morgana dla zbiorów.
2.2 Rodziny indeksowane
Ustalimy teraz, »e mamy dan¡ przestrze«
X
oznaczamy 2
i nazywamy
X.
Zbiór wszystkich podzbiorów X
X
Zatem, je±li A ⊂ 2 , to
zbiorem pot¦gowym.
elementami
A
s¡ zbiory.
Termin ,,zbiór zbiorów nie jest zbyt por¦czny i
rodzina zbiorów.
dlatego zast¦pujemy go terminem
W szczególno±ci, ∅ jest
X
pust¡ rodzin¡ zbiorów, a 2
jest rodzin¡ wszystkich zbiorów przestrzeni X .
Aby si¦ odnie±¢ do pewnego elementu rodziny
A,
musimy jako± nazwa¢
U»yjemy do tego jakiego± zbioru T , który
X
. Dowoln¡ funkcj¦ z T do 2
nazywamy
wszystkie elementy tej rodziny.
zbiorem indeksów
indeksowan¡ podzbiorów przestrzeni X .
nazwiemy
rodzin¡
Rodzin¦ indeksowan¡ zapisujemy
{At }t∈T , co oznacza »e indeksowi t przyporz¡dkowany jest zbiór At .
Rodzina
indeksowana nie musi by¢ funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡, tj. mo»e si¦ zdarzy¢, »e
dla
s, t ∈ T , s 6= t
mamy
At = As .
W zasadzie nie ma »adnych ogranicze«, co do wyboru zbioru indeksów.
Cz¦sto jednak wybór ten jest w jaki± sposób narzucony przez rodzin¦, któr¡
mamy indeksowa¢. Na przykªad, je±li mamy do czynienia z rodzin¡
{(0, 1), (0, 2), (0, 3), . . . } ,
to najlepszym zbiorem indeksów jest tu zbiór liczb naturalnych.
zapisa¢ nasz¡ rodzin¦ indeksowan¡
Mo»emy
{(0, n)}n∈N .
Czasami zbiór indeksów jest w pewien sposób ograniczany. Mianowicie,
{At }t∈Q , gdzie At = − 1t , 0 , to zbiór A0 nie jest okre±lony,
zatem zbiór indeksów jest ograniczony do Q \ {0}. Dla prostoty jednak
je±li mamy rodzin¦
piszemy
Q.
Zauwa»my jeszcze, »e dla indeksów ujemnych, liczba z lewej
strony przedziaªu jest wi¦ksza od tej z prawej strony przedziaªu. W tego
1 1
rodzaju przypadkach zapis − , 0 rozumiemy jako przedziaª 0, − .
t
t
18
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
2.3 Sumy i przekroje uogólnione
Niech
X
b¦dzie przestrzeni¡ i niech
A ⊂ 2X .
Zbiór wszystkich elementów,
A nazywamy sum¡
uogólnion¡ rodziny A i oznaczamy A lub A∈A A. Je±li {At }St∈T jest rodzin¡ indeksowan¡, to sum¦ uogólnion¡ tej rodziny oznaczamy
t∈T At . W
które nale»¡ do przynajmniej jednego ze zbiorów rodziny
S
S
zale»no±ci od zbioru indeksów mo»na nieco zmieni¢ oznaczenie, np. je±li
S
T = N, to zwykle piszemy ∞
n=1 An . Zauwa»my, »e suma uogólniona jest w
istocie uogólnieniem sumy dwóch zbiorów.
Uogólnieniem dziaªania przekroju dwóch zbiorów jest
rodziny A,
czyli zbiór tych elementów ze zbiorów rodziny
A,
które nale»¡
T
A,
A
,
je±li
mamy
do
czynienia
z
rodzin¡
indeksowan¡.
t
t∈T
Zaªó»my, »e {At }t∈T jest rodzin¡ indeksowan¡ podzbiorów przestrzeni X .
do wszystkich zbiorów tej rodziny.
T
przekrój uogólniony
A∈A A,
lub
Przekroje uogólnione oznaczamy
T
Reguªy przynalezno±ci do sumy lub przekroju uogólnionego tej rodziny wygladaj¡ nast¦puj¡co:
x∈
[
At ⇐⇒
\
x ∈ At ,
x∈
/
At ⇐⇒
^
x ∈ At ,
x∈
/
Dla przykªadu rozwa»my rodzin¦
x∈
∞
[
At ⇐⇒
\
An ⇐⇒
n=1
^
x∈
/ At ,
t∈T
At ⇐⇒
_
x∈
/ At .
t∈T
t∈T
t∈T
t∈T
[
t∈T
t∈T
t∈T
x∈
_
n
{An }n∈N , gdzie An = − n1 , n+1
_
. Mamy
x ∈ An
n∈N
⇐⇒
_
x∈
n∈N
⇐⇒
_
n∈N
−
1
n
− ,
n n+1
1
n
<x<
.
n
n+1
Z uwagi na kwantykator, interesuje nas najmniejsza warto±¢ wyra»enia z
lewej strony ostatniej nierówno±ci oraz najwi¦ksza warto±¢ wyra»enia z pra1
wej strony. Zauwa»my, »e − przyjmuje najmniejsz¡ warto±¢ −1 dla n = 1,
n
n
n
natomiast
nie przyjmuje najwi¦kszej warto±ci, ale
jest ci¡giem ron+1
n+1
S∞
sn¡cym i jego wyrazy d¡»¡ do 1, gdy n → ∞. Dlatego
n=1 An = (−1, 1).
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
19
W podobny sposób wyznaczamy przekrój uogólniony.
x∈
∞
\
An ⇐⇒
n=1
^
x ∈ An
n∈N
⇐⇒
^
x∈
n∈N
⇐⇒
^
n∈N
−
n
1
− ,
n n+1
n
1
<x<
.
n
n+1
1
Tym razem interesuje nas najwi¦ksza warto±¢ wyra»enia −
i najmniejsza
n
1
n
. S¡ to odpowiednio 0 oraz
, przy czym s¡ to elementy
wyra»enia
n+1
2
ka»dego zbioru z rodziny An , zatem nale»¡ one doprzekroju. W rezultacie,
1
T∞
n=1 = 0, 2 .
2.4 Podstawowe wªasno±ci sum i przekrojów
uogólnionych
Twierdzenia algebry zbiorów s¡ analogiczne do praw logiki matematycznej.
Podobnie, twierdzenia o wªasno±ciach sum i szeregów uogólnionych s¡ analogiczne do odpowiednich twierdze« rachunku funkcyjnego. Seri¦ twierdze«
zaczniemy od czterech wªasno±ci, które mówi¡ o dziaªaniach na dwóch zbiorach, z których jeden jest sum¡ lub przekrojem uogólnionym pewnej rodziny
zbiorów.
Dla dowolnej rodziny indeksowanej {At }t∈T podzbiorów
przestrzeni X oraz dowolnego zbioru B ⊂ X zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
2.1 Twierdzenie.
(i) B ∪
S
(ii) B ∪
T
(iii) B ∩
S
(iv) B ∩
T
t∈T
At =
S
t∈T (At
∪ B),
t∈T
At =
T
t∈T (At
∪ B),
t∈T
At =
S
t∈T (At
∩ B),
t∈T
At =
T
t∈T (At
∩ B).
20
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Dowód.
Poniewa» cztery dowody s¡ mocno do siebie podobne, ograniczymy
si¦ do podania jednego z nich.
x∈B∪
\
\
At ⇐⇒ x ∈ B ∨ x ∈
t∈T
At
t∈T
⇐⇒ x ∈ B ∨
^
x ∈ At
t∈T
⇐⇒
^
(x ∈ At ∨ x ∈ B)
t∈T
⇐⇒ x ∈
\
(At ∪ B).
t∈T
Skorzystali±my tutaj z praw wª¡czania i wyªaczania (twierdzenie 1.3).
Je±li zbiór
B
tak»e jes rodzin¡ indeksowan¡, równo±ci nie zawsze zacho-
dz¡.
Niech {At }t∈T oraz {Bt }t∈T b¦d¡ rodzinami indeksowanymi podzbiorów przestrzeni X . Prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
2.2 Twierdzenie.
(i)
S
t∈T (At ∪ Bt ) =
S
(ii)
T
t∈T (At
∩ Bt ) =
T
(iii)
S
t∈T (At
∩ Bt ) ⊂
S
(iv)
T
t∈T (At
∪ Bt ) ⊃
T
t∈T
Bt ,
t∈T
Bt ,
t∈T
At ∪
S
t∈T
At ∩
T
t∈T
At ∩
S
t∈T
At ∪
T
t∈T
Bt ,
t∈T
Bt ,
Poka»emy najpierw, »e inkluzje we wªasno±ciach
x = R, T = N, An = −∞;
An ∪ Bn = R oraz An ∩ Bn = ∅. Zatem
wªa±ciwe. Istotnie, niech
Wówczas
∞
[
n=1
An ∩
∞
[
(iii)
Bn = (−∞, 1) ∩ (0, ∞) = (0, 1)
n=1
6= ∅ =
∞
[
(An ∩ Bn ),
n=1
oraz
oraz
(iv)
mog¡ by¢
1
i niech Bn =
,∞ .
n
1
n
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
∞
\
∞
\
An ∪
n=1
21
Bn = (−∞, 0) ∩ [1, ∞) = ∅
n=1
6= R =
∞
\
(An ∪ Bn ).
n=1
Przyst¡pimy teraz do dowodu twierdzenia.
Dowód.
Poka»emy tylko
(i) i (iii), poniewa» dowody pozostaªych dwóch wªa-
sno±ci s¡ analogiczne. Mamy
x∈
[
(At ∪ Bt ) ⇐⇒
t∈T
_
x ∈ At ∪ Bt
t∈T
⇐⇒
_
x ∈ At ∨ x ∈ Bt
t∈T
⇐⇒
_
_
x ∈ At ∨
t∈T
x ∈ Bt
t∈T
[
⇐⇒ x ∈
[
At ∪
t∈T
Bt .
t∈T
Skorzystali±my tu z prawa rozdzielno±ci kwantykatora szczególnego wzgl¦dem alternatywy (twierdzenie 1.6). Dla dowodu
(iii),
skorzystamy z twier-
dzenia 1.7.
x∈
[
(At ∩ Bt ) ⇐⇒
t∈T
_
x ∈ At ∩ Bt
t∈T
⇐⇒
_
x ∈ At ∧ x ∈ Bt
t∈T
⇒
_
x ∈ At ∧
t∈T
⇐⇒ x ∈
_
x ∈ Bt
t∈T
[
At ∩
t∈T
[
Bt .
t∈T
Dowód nast¦pnego twierdzenia jest oczywisty.
Dla dowolnych dwóch rodzin indeksowanych
{At }t∈T oraz
S
S
{B
przestrzeni X zachodz¡ inkluzje t∈T At ⊂ t∈T Bt oraz
T t }t∈T podzbiorów
T
t∈T At ⊂
t∈T Bt o ile At ⊂ Bt dla ka»dego t ∈ T .
2.3 Twierdzenie.
22
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Na zako«czenie podamy jeszcze
uogólnionych.
prawa de Morgana
dla sum i przekrojów
Dowody tych praw oparte s¡ na prawach de Morgana dla
kwantykatorów.
Dla dowolnej rodziny indeksowanej {At }t∈T podzbiorów
0 T
0 S
S
T
przestrzeni X zachodzi t∈T At = t∈T A0t oraz t∈T At = t∈T A0t . 2.4 Twierdzenie.
2.5 Rodziny podwójnie indeksowane
Je»eli zbiór indeksów jest produktem dwóch zbiorów
dzina A(t,s)
padku pisa¢
(t,s)∈T ×S
{Ats } t∈T .
s∈S
jest podwójnie indeksowana.
T i S , to mówimy »e roŠatwiej jest w tym wy-
Podobnie mo»na zdeniowa¢ rodziny potrójnie, po-
czwórnie itd. indeksowane. Je±li
T = S = R,
to rodzina
{(t, s)} t∈R
s∈R
oznacza
zbiór wszystkich otwartych odcinków na prostej. Adoptujemy tu dodatkowe
oznaczenia:
(a, a) = ∅
2.5 Twierdzenie.
(i)
T
(ii)
S
(iii)
S
t∈T
t∈T
t∈T
Dowód
oraz
Je±li {Ats } t∈T jest rodzin¡ podwójnie indeksowan¡, to
s∈S
T
Ats =
T
S
Ats =
S
T
Ats ⊂
T
s∈S
s∈S
s∈S
(a, b) = (b, a).
s∈S
s∈S
s∈S
T
S
t∈T
Ats ,
t∈T
Ats ,
S
t∈T
Ats .
wynika bezpo±rednio z twierdzenia 1.8. Ograniczymy si¦ tutaj do
podania kontrprzykªadu na to, »e implikacja w
(iii) nie mo»e by¢ odwrócona.
W tym celu rozwa»my rodzin¦ podwójnie indeksowan¡
[\
(t, s] =
t∈T s∈S
[
∅=∅
t∈T
oraz
\[
s∈S t∈T
(t, s] =
\
s∈S
R = R.
{(t, s]} t∈R .
s∈R
Mamy:
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
23
2.6 Sumy i przekroje uogólnione
a obrazy i przeciwobrazy zbiorów.
W podrozdziale tym podamy uzupeªniaj¡ce wiadomo±ci odno±nie obrazów
i przeciwobrazów zbiorów wyznaczonych przez funkcj¦.
Obrazem zbioru A
pierw denicje.
nazywamy zbiór
których
x ∈ A.
f (A)
Przypomimy naj-
f :X →Y
warto±ci f (x), dla
wyznaczonym przez funkcj¦
skªadaj¡cy si¦ z tych wszystkich
Symbolicznie,
lub
f (A) = {f (x) : x ∈ A}
(
)
_
f (A) = y ∈ Y :
y = f (x) .
x∈A
Korzystaj¡c z wªasno±ci kwantykatorów mamy:
y ∈ f (A) ⇐⇒
_
y = f (x)
x∈A
⇐⇒
_
(x ∈ A ∧ y = f (x))
x∈X
oraz
y∈
/ f (A) ⇐⇒
^
y 6= f (x)
x∈A
⇐⇒
^
(x ∈
/ A ∨ y 6= f (x)) .
x∈X
f (A) = ∅. Przeciwobrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcj¦ f nazywamy zbiór f −1 (A)
skªadaj¡cy si¦ z tych wszystkich argumentów x ∈ X , których warto±ci nale»¡
do zbioru A. Mamy zatem
Zauwa»my, »e je±li zbiory
A
oraz
X
s¡ rozª¡czne, to
f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A}
x ∈ f −1 (A) ⇐⇒ f (x) ∈ A.
−1
dzin¡ funkcji f , to f
(A) = ∅.
oraz
Je±li zbiór
A
jest rozª¡czny z przeciwdzie-
2.6 Twierdzenie. Zaªó»my, »e f : X → Y , a {At }t∈T jest pewn¡ rodzin¡
indeksowan¡. Zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
(i) f
S
t∈T
S
At = t∈T f (At ),
24
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
S
At = t∈T f (At ),
T
T
(iii) f −1 t∈T At = t∈T f (At ),
T
T
(iv) f t∈T At ⊂ t∈T f (At ).
(ii) f −1
S
t∈T
(iv)
Zanim przyst¡pimy do dowodu, zauwa»ymy »e inkluzja w
mo»e by¢
T = {1, 2}, A1 = (−1, 0), A2 = (0, 1), f : R → R jest
f (x) = x2 , to f (A1 ∩ A2 ) = f (∅) = ∅, ale f (A1 ) ∩ f (A2 ) =
wªa±ciwa. Istotnie, je±li
okre±lona wzorem
(0, 1).
Dowód.
(i),
y ∈ f
S
t∈T At .
Skorzystamy tu z mo»liwo±ci przestawienia dwóch kwantykatorów szczegóW celu pokazania
we¹my dowolny element
ªowych. Mamy:
!
y∈f
[
At
!
⇐⇒
t∈T
_
x∈
x∈X
⇐⇒
[
At ∧ y = f (x)
t∈T
_ _
(x ∈ At ∧ y = f (x))
x∈X t∈T
⇐⇒
_ _
(x ∈ At ∧ y = f (x))
t∈T x∈X
⇐⇒
_
x ∈ f (At )
t∈T
⇐⇒ x ∈
[
f (At ).
t∈T
Poniewa» kwantykatora szczegóªowego i ogólnego nie mo»na dowolnie przestawia¢, wi¦c podobne rozumowanie zastosowane dla dowodu
(iv)
implikacj¦ (twierdzenie 1.8). Zatem mamy tylko inkluzj¦. Dowody
s¡ znacznie ªatwiejsze.
!
x ∈ f −1
[
At
⇐⇒ f (x) ∈
[
At
t∈T
t∈T
⇐⇒
_
f (x) ∈ At
t∈T
⇐⇒
_
x ∈ f −1 (At )
t∈T
⇐⇒ x ∈
[
t∈T
f −1 (At ),
daje tylko
(ii) i (iii)
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
st¡d
(ii).
Dowód
Inkluzja w
(iii)
(iv)
25
jest podobny.
staje si¦ równo±ci¡, je±li poczynimy odpowiednie zaªo»e-
nia.
Je±li funkcja f : XT→ Y jest Tró»nowarto±ciowa oraz
{At }t∈T jest rodzin¡ indeksowan¡, to f
t∈T At =
t∈T f (At ).
2.7 Twierdzenie.
Dowód.
Wobec poprzedniego twierdzenia, wystarczy pokaza¢, »e
!
f
\
t∈T
Niech zatem
y∈
T
t∈T
f (At ).
At
⊃
\
f (At ).
t∈T
Oznacza to, »e
^ _
x ∈ At ∧ f (x) = y.
t∈T x∈X
At znajdziemy element x odpowiadaj¡cy indeksowi t
i taki, »e f (x) = y . Ale poniewa» f jest ró»nowarto±ciowa, wi¦c warto±¢ y nie
Zatem w ka»dym zbiorze
mo»e by¢ przyjmowana dla wiecej ni» jednego argumentu. Zatem wybrany
x
t. Zatem
_ ^
x ∈ At ∧ f (x) = y,
jest taki sam dla ka»dego
x∈X t∈T
a to oznacza, »e
y∈f
T
t∈T
At
.
Rozdziaª 3
Produkty, relacje i funkcje
Rozdziaª ten zaczniemy od denicji produktu kartezja«skiego sko«czonej
liczby zbiorów, a zako«czymy denicj¡ produktu uogólnionego.
Po drodze
rozwa»ymy podzbiory produktów sko«czonych, czyli relacje oraz podamy denicje funkcji jednej i wielu zmiennych.
3.1 Produkty sko«czonej liczby zbiorów
Par¡ uporz¡dkowan¡ (a, b)
nazywamy zbiór
{{a} , {a, b}}.
Dokonuj¡c pro-
stego porównania zbiorów zauwa»amy, »e para uporz¡dkowana
równa parze
(b, a)
wtedy i tylko wtedy, gdy
(a, b) = (x, y)
⇐⇒
a = b,
(a, b)
jest
oraz
a = x ∧ b = y.
a pary uporz¡dkowanej (a, b) nazywamy poprzednikiem lub pierwszym elementem, natomiast b nazywamy nast¦pnikiem lub drugim elementem. Zbiór A × B wszystkich par uporz¡dkowanych (a, b), gdzie a ∈ A oraz
b ∈ B nazywamy produktem lub iloczynem kartezja«skim zbiorów A i B .
Element
Korzystaj¡c z zasady indukcji matematycznej zdeniujemy
kowan¡.
mentowy nazywamy
jedynk¡ uporz¡dkowan¡. Dwójk¡ uporz¡dkowan¡
zywamy par¦ uporz¡dkowan¡.
(n
> 1)
n-k¦ uporz¡d-
Dowolny zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór jednoele-
(a1 , a2 , . . . , an−1 ),
(a1 , a2 , . . . , an−1 , an ) nazywamy
uporz¡dkowan¡
rz¡dkowan¡
26
któr¡
zbiór
na-
(n − 1)-k¦
jest zbiór A. n-k¡ upoA ∪ {{a1 , a2 , . . . , an }}. Z
Zaªó»my, »e zdeniowali±my ju»
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
27
podanej denicji oraz z zasady indukcji matematycznej wynika, »e
(a1 , a2 , . . . , an ) = (x1 , x2 , . . . , xn )
⇐⇒
n
^
ai = x i .
i=1
a1 nazywamy pierwszym, a an ostatnim elementem n-ki uporz¡dkowanej (a1 , a2 , . . . , an ). Zbiór A1 ×A2 ×· · ·×An wszystkich n-ek uporz¡dkowanych (a1 , a2 , . . . , an ), gdzie ai ∈ Ai dla i ∈ {1, 2, . . . , n} nazywamy produktem
lub iloczynem kartezja«skim n zbiorów.
Zauwa»my, »e produktu trzech zbiorów A × B × C nie nale»y myli¢ z
produktem dwóch zbiorów A × (B × C). Zauwa»my te», »e produkt jednego
Element
zbioru mo»emy uto»samia¢ z tym»e zbiorem.
Dowolny podzbiór produktu
okre±lon¡ w tym produkcie.
n
zbiorów nazywamy
relacj¡ n-czªonow¡.
W szczególno±ci, dowolny podzbiór zbioru
A
nazywamy relacj¡ jednoczªonow¡. Je»eli A1 = A2 = · · · = An = A, to
n
piszemy A zamiast A × A × · · · × A. O relacji n-czªonowej okre±lonej w
{z
|
zbiorze
An
}
n razy
mówimy, »e jest ona okre±lona w
A.
Dziedzin¡ relacji n-czªonowej ρ (dla n > 1) okre±lonej w A1 ×A2 ×· · ·×An
nazywamy relacj¦
(n − 1)-czªonow¡ Dρ
okre±lon¡ w
A1 × A2 × · · · × An−1 ,
która speªnia warunek
^
_
(a1 ,a2 ,...,an−1 )∈Dρ
a∈An
Przeciwdziedzin¡
(a1 , a2 , . . . , an−1 , a) ∈ ρ.
n > 1) okre±lonej w zbiorze
A1 × A2 × · · · × An nazywamy relacj¦ jednoczªonow¡ Pρ okre±lon¡ w An (czyli
podzbiór An ), która speªnia warunek
^
_
(a1 , a2 , . . . , an−1 , a) ∈ ρ.
a∈An
Relacj¦
relacji
n-czªonowej ρ
(gdzie
(a1 ,a2 ,...,an−1 )∈Dρ
(n + 1)-czªonow¡ f
okre±lon¡ w
A1 × A2 × · · · × An × B
funkcj¡ n zmiennych, je»eli speªniony jest nast¦puj¡cy warunek:
(a1 , a2 , . . . , an , b), (a1 , a2 , . . . , an , b0 ) ∈ f
Mówimy wówczas, »e funkcja
to±ci w
B.
f
jest okre±lona w
b = b0 .
A1 × A2 × · · · × An
i ma war-
Dziedzin¦ i przeciwdziedzin¦ funkcji deniujemy jako dziedzin¦ i,
f . Piszemy
jest funkcj¡ z Df do B .
odpowiednio, przeciwdziedzin¦ relacji
»e funkcja
⇒
nazywamy
f dziaªa
lub
te»
f : Df → B
i mówimy,
28
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
3.2 Pewne wªasno±ci relacji dwuczªonowych
Najcz¦±ciej u»ywanymi relacjami s¡ wªa±nie relacje dwuczªonowe i dlatego
wªa±nie im po±wi¦cimy najwi¦cej miejsca.
nazywa¢ po prostu relacjami.
Dla uproszczenia b¦dziemy je
Tak»e dla uproszczenia, b¦dziemy stosowa¢
xρy zamiast (x, y) ∈ ρ. Niech ρ ⊂ X × Y .
x ∈ X , y ∈ Y , okre±lmy zbiory
zapis
Dla ustalonych elementów
ρ(x) = {y ∈ Y : xρy}
ρ (y) = {x ∈ X : xρy} .
−1
Zbiór
ρ(x)
nazywamy
zbiorem warto±ci
Za pomoc¡ zbiorów
ciwdziedzin¦ relacji
relacji
ρ
w punkcie
x.
−1
ρ(x) oraz ρ (y) mo»emy zdeniowa¢ dziedzin¦ i prze-
ρ:
Dρ = {x ∈ X : ρ(x) 6= ∅}
Pρ = y ∈ Y : ρ−1 (y) 6= ∅ .
Mo»emy te» zdeniwa¢ obraz i przeciwobraz zbioru wyznaczony przez re-
A ⊂ X , B ⊂ Y , ρ ⊂ X×YS. Obrazem zbioru A
ρ(A) = x∈A ρ(x). PrzeciwB wyznaczonym przez relacj¦ ρ nazywamy zbiór ρ−1 (B) =
lacj¦. W tym celu, zaªó»my, »e
wyznaczonym przez relacj¦
obrazem zbioru
S
y∈B ρ(y).
3.1 Przykªad.
ρ
nazywamy zbiór
Rozwa»my relacj¦
xρy
ρ
⇐⇒
okre±lon¡ w
R
wzorem
x2 y 2
+
= 1.
22 32
Z prostych rachunków wynika
(
ρ(x) =
ρ−1 (y) =
√
√
− 32 4 − x2 , 32 4 − x2
∅
o
(n p
p
− 23 9 − y 2 , 32 9 − y 2
∅
gdy
gdy
x ∈ [−2, 2]
x∈
/ [−2, 2]
gdy
x ∈ [−3, 3]
gdy
x∈
/ [−3, 3]
(a, b) ⊂ [0, 2]. Wówczas
3√
3√
3√
3√
2
2
2
2
4 − b ,−
4−a ∪
4−a ,
4−b
ρ((a, b)) = −
2
2
2
2
Niech teraz
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
29
Przypomnimy, »e funkcj¡ nazywamy tak¡ relacj¦
zbiór
ρ(x)
ρ, »e dla ka»dego x ∈ X
jest jednoelementowy. Zauwa»my, »e denicje obrazu i przeciw-
obrazu zbioru wyznaczonego przez relacj¦ s¡ zgodne z denicjami obrazu i
przeciwobrazu zbioru wyznaczonego przez funkcj¦.
Przypu±¢my, »e
±li
f −1 (y)
f
jest funkcj¡ z
X
do
Y. f
jest ró»nowarto±ciowa, je-
jest zbiorem pustym lub jednoelementowym dla dowolnego
y ∈Y.
Ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji pozwala nam zdeniowa¢ funkcj¦ odwrotn¡. Wymóg ten nie jest konieczny w przypadku relacji. Je±li
ρ−1 ⊂ Y × X okre±lon¡ wzorem
ρ ⊂ X ×Y,
to relacj¦
ρ−1 = {(y, x) ∈ Y × X : (x, y) ∈ ρ}
odwrotn¡
ρ. Zatem ka»da funkcja ma relacj¦ odwrotn¡.
Niech ρ ⊂ X × Y , σ ⊂ Y × Z . Zªo»eniem lub superpozycj¡ relacji ρ i σ
nazywamy relacj¦ σ ◦ ρ ⊂ X × Z okre±lon¡ wzorem
(
)
_
σ ◦ ρ = (x, z) ∈ X × Z :
(x, y) ∈ ρ ∧ (y, z) ∈ σ .
nazywamy
do
y∈Y
Je±li relacje
σiρ
s¡ funkcjami, to powy»sza denicja pokrywa si¦ z denicj¡
zªo»enia funkcji z jednym wyj¡tkiem: nie zastanawiamy si¦ tu, czy
Dσ ⊂ Pρ .
W ka»dym razie, zªo»enie dwóch relacji jest zbiorem pustym wtedy i tylko
wtedy, gdy
Dσ
oraz
Pρ
s¡ rozª¡czne. Zauwa»my, »e tak»e i przy skªadaniu
funkcji, najwa»niejsze jest, aby odpowiednie dziedzina i przeciwdziedzina nie
byªy zbiorami rozª¡cznymi.
Zajmiemy si¦ teraz relacjami w zbiorze
X.
Dziaªanie skªadania relacji
nie jest przemienne, ale jest ª¡czne i ma element neutralny. Poka»emy to w
nast¦puj¡cych twierdzeniach i przykªadach.
3.2 Przykªad.
Rozwa»my relacje
xρy ⇐⇒
ρ, σ
x2 y 2
+
=1
4
9
okre±lone w
R
wzorami
xσy ⇐⇒ x2 − y 2 = 1.
Wyznaczymy jeszcze dziedziny i przeciwdziedziny obu relacji. Mamy
[−2, 2], Pρ = [−3, 3], Dσ = (−∞, −1] ∪ [1, ∞), Pσ = R.
σ ◦ ρ, zapiszmy
yσz ⇐⇒ y 2 − z 2 = 1.
Dρ =
Aby znale¹¢ zªo»enie
30
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
y w równaniu
√ okre±laj¡cym relacj¦ ρ i podstawiamy go w miejsce
3
σ . Mamy y = ± 2 4 − x2 i po podstawieniu otrzymujemy relacj¦
Znajdujemy
y
w
xτ z ⇐⇒ x2
2
√
3
z2
2 + √ 2 = 1.
8
8
(3.1)
Musimy jeszcze wskaza¢ dziedzin¦ zªo»enia, czyli wyznaczy¢ zbiór
√ #
√
8
2
8
2
,
.
ρ−1 (Pρ ∩ Dσ ) = ρ−1 ([−3, −1] ∪ [1, 3]) = −
3
3
"
Poniewa» zbiór ten pokrywa si¦ z dziedzin¡ relacji
okre±lona w
R
τ,
wi¦c relacja
σ◦ρ
jest
wzorem 3.1.
Wyznaczymy teraz zªo»enie
xτ z ⇐⇒
ρ ◦ σ.
Post¦puj¡c podobnie mamy
z2
x2
√ 2 + √ 2 = 1.
3 8
5
(3.2)
2
Tym razem jednak dziedzina zªo»enia, czyli zbiór
si¦ z dziedzin¡ relacji z 3.2. Zatem
ρ ◦ σ jest
ρ−1 (Pρ ∩ Dσ ) nie pokrywa
okre±lona w
h √
i h √ i
− 5, −1 ∪ 1, 5 × R
wzorem 3.2.
Przypu±¢my, »e relacje ρ, σ , τ s¡ okre±lone w zbiorze X .
Wówczas ρ ◦ (σ ◦ τ ) = (ρ ◦ σ) ◦ τ .
3.3 Twierdzenie.
Dowód.
Zgodnie z denicj¡ zªo»enia oraz prawami przestawiania kwantyka-
torów i wª¡czania pod kwantykator, mamy
(x, y) ∈ ρ ◦ (σ ◦ τ ) ⇐⇒
_
z
(x(σ ◦ τ )z ∧ zρy)
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
⇐⇒
__
⇐⇒
__
z
31
(xτ t ∧ tσz ∧ zρy)
t
t
(xτ t ∧ tσz ∧ zρy)
z
!
⇐⇒
_
xτ t ∧
_
t
⇐⇒
(tσz ∧ zρy)
z
_
(xτ t ∧ tρ ◦ σy)
t
⇐⇒ (x, y) ∈ (ρ ◦ σ) ◦ τ.
Wobec dowolno±ci pary
(x, y)
dostajemy tez¦.
∆ = ∆X wzorem x∆y ⇐⇒ x = y . Relacj¦ t¦ nazywamy przek¡tn¡ zbioru X . Dla dowolnej relacji ρ okre±lonej w X zachodzi
ρ ◦ ∆ = ∆ ◦ ρ = ρ. Zatem ∆ jest elementem neutralnym dziaªania skªadania
−1
relacji. Zwró¢my jeszcze uwag¦ na to, »e ρ
nie jest zazwyczaj elementem odwrotnym do ρ wzgl¦dem dziaªania skªadania relacji. Istotnie, je±li
ρ = X × X , to ρ−1 = X × X oraz ρ ◦ ρ−1 = X × X 6= ∆.
Okre±lmy relacj¦
Na zako«czenie zdeniujemy jeszcze najcz¦±ciej u»ywane typy relacji za
pomoc¡ dziaªania skªadania relacji.
Relacja
ρ
jest
zwrotna
przeciwzwrotna
symetryczna
przeciwsymetryczna
antysymetryczna
przechodnia
spójna
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
∆ ⊂ ρ,
∆ ∩ ρ = ∅,
ρ = ρ−1 ,
ρ ∩ ρ−1 = ∅,
ρ ∩ ρ−1 ⊂ ∆,
ρ ◦ ρ ⊂ ρ,
ρ ∪ ρ−1 = X × X .
3.3 Produkty uogólnione
Produktem
lub
iloczynem kartezja«skim
S
zbiór wszystkich funkcji
f :T →
^
t∈T
t∈T
zbiorów rodziny
At ,
{At }t∈T
nazywamy
które speªniaja warunek
f (t) ∈ At .
32
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Q
Zbiór ten oznaczamy
Q t∈T At . Je±li At = A dla dowolnego t ∈ T , to piT
szemy A zamiast
t∈T A. Je»eli cho¢ jeden ze zbiorów At jest pusty, to
produkt te» jest zbiorem pustym. Je±li T jest zbiorem n-elementowym, to
dowoln¡ funkcj¦ okre±lon¡ na T mo»emy uto»samia¢ z
Qn
Zatem
t=1 At = A1 × A2 × · · · × An .
n-k¡
uporz¡dkowan¡.
Rozdziaª 4
Zbiory liczbowe
Liczby naturalne stanowi¡ podstaw¦ arytmetyki. Jest to najprostszy zbiór
liczbowy.
Podamy tu aksjomatyczne uj¦cie zbioru liczb naturalnych oraz
wprowadzimy na nim dziaªania dodawania i odejmowania. W oparciu o zasad¦ abstrakcji, skonstruujemy nast¦pnie zbiory liczb caªkowitych i wymiernych.
4.1 Aksjomatyka zbioru liczb naturalnych
Poj¦ciami pierwotnymi w teorii liczb naturalnych s¡
lub
jedynka
oraz
bycie nast¦pnikiem.
zbiór, liczba, liczba 1
O ile trzy pierwsze poj¦cia s¡ raczej
zrozumiaªe, o tyle zrozumienie ostatniego mo»e przysporzy¢ problemu. Intuicyjny sens sformuªowania ,,liczba
m jest liczb¡
po n. Oznacza
m
jest nast¦pnikiem liczby
n
jest taki,
»e liczba
naturaln¡, która nast¦puje (wyst¦puje, jest) bezpo-
±rednio
to wi¦c swego rodzaju relacj¦ okre±lon¡ na pewnym
zbiorze liczb.
Podamy teraz aksjomatyk¦ liczb naturalnych.
N1 Istnieje jedynka, która jest liczb¡.
N2 Jedynka nie jest nast¦pnikiem »adnej liczby.
N3 Dla ka»dej liczby n istnieje dokªadnie jedna liczba m, która jest nast¦p-
nikiem n.
N4 Je»eli m jest nast¦pnikiem liczby n oraz m jest nast¦pnikiem liczby k,
to n = k.
33
34
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
N5 Je»eli A jest zbiorem skªadaj¡cym si¦ z liczb, który speªnia aksjomaty
N1N4, takim »e
10 jedynka nale»y do A;
20 dla ka»dej liczby n, je±li n nale»y do A, a m jest nast¦pnikiem n,
to m równie» nale»y do A,
to ka»da liczba nale»y do A.
zasad¡ indukcji matematycznej. Ka»dy
zbiór, speªniaj¡cy wszystkie pi¦¢ aksjomatów, nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Oczywi±cie, dobrze nam znany zbiór {1, 2, 3, . . . } jest zbiorem
Ostatni z aksjomatów nazywamy
speªniaj¡cym N1N5, czyli jest zbiorem liczb naturalnych. Ale tak»e zbiory
{0, 1, 2, 3, . . . }
oraz
Aksjomat N1 jest
{0, 2, 4, 6, . . . } s¡ zbiorami liczb naturalnych.
aksjomatem istnienia, tj. mówi on, »e zbiór liczb
na-
turalnych nie jest pusty. Drugi aksjomat mówi, »e jedynka jest ,,pierwsz¡
liczb¡, tzn. od niej zaczyna si¦ zbiór. Pierwsze dwa aksjomaty nie wykluczaj¡
mo»liwo±ci, »e istniej¡ liczby ró»ne od jedynki, które nie s¡ nast¦pnikami. Aksjomat N3 wyklucza mo»liwo±¢ istnienia dwóch i wi¦cej nast¦pników tej samej
liczby oraz stwierdza, »e nast¦pnik istnieje dla ka»dej liczby. W nast¦pstwie
stwierdzamy, »e zbiór liczb naturalnych ma niesko«czenie wiele elementów.
Ten oraz nast¦pny aksjomat wykluczaj¡ mo»liwo±ci ,,rozgaª¦zie«.
Zatem
zbiór liczb naturalnych stanowi¡ liczby uªo»one w jednej linii. Istnienie innej
linii jest, z kolei wykluczone przez aksjomat N5, poniewa» ka»da taka linia
0
0
speªniaªaby aksjomaty N1N4 oraz punkty 1 i 2 sksjomatu N5. Ale nie
zawieraªaby ona caªego zbioru.
Aksjomat N5 wyra»a w j¦zyku matematycznym takie rozumowanie: je»eli
1 ∈ A,
to nast¦pnik 1, czyli 2 jest elementem
A.
St¡d dalej
3 ∈ A, 4 ∈ A
i tak dalej. Nie mo»emy jednat powtarza¢ tego rozumowania niesko«czenie
wiele razy. St¡d zasada indukcji.
Pomimo tego, »e wiele zbiorów speªnia aksjomaty N1N5, w dalszym
ci¡gu wykªadu, przez zbiór liczb naturalnych b¦dziemy rozumieli zbiór
{1, 2, 3, 4, 5, . . . } ,
oznaczaj¡c go
N.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
35
4.2 Dodawanie i mno»enie liczb naturalnych
W oparciu o aksjomatyk¦ liczb naturalnych, deniujemy dziaªania dodawa0
nia i mno»enia. I tak, je±li przez n oznaczymy nast¦pnik n, to sum¡ liczb
n i 1 nazywamy liczb¦ n + 1 = n0 . Aby zdeniowa¢ sum¦ liczb n oraz
m0 , przypu±¢my, »e suma n + m zostaªa ju» zdeniowana. Na podstawie
zasady indukcji matematycznej, dodawanie jest zdeniowane dla ka»dych
0
dwóch liczb naturalnych. Deniujemy n + m jako nast¦pnik n + m. Tak
0
0
0 0
wi¦c n + 2 = n + 1 = (n + 1) = (n ) .
Poka»emy, »e dodawanie jest ª¡czne i przemienne.
stamy z aksjomatu N5.
Niech wi¦c dla dowolnego
n
W tym celu skorzyoraz dowolnego
m,
C b¦dzie zbiorem tych liczb naturalnych k , które speªniaj¡ warunek
(n + m) + k = n + (m + k). Poka»emy, »e 1 ∈ C . Istotnie, z denicji dodawa0
0
nia otrzymujemy (n + m) + 1 = (n + m) = n + m = n + (m + 1). Zaªó»my
0
teraz, »e k ∈ C , czyli (n + m) + k = n + (m + k) i rozwa»ymy (n + m) + k .
zbiór
Mamy
(n + m) + k 0 = (n + m) + (k + 1)
= ((n + m) + k) + 1
= (n + (m + k)) + 1
= n + ((m + k) + 1)
= n + (m + (k + 1))
= n + (m + k 0 ).
z denicji dodawania
z pokazanego ju»
z zaªo»enia
z pokazanego ju»
z pokazanego ju»
z denicji dodawania
Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, »e
C
jest równy caªe-
mu zbiorowi liczb naturalnych, czyli dodawanie jest ª¡czne.
n jest dowoln¡
A jest takim zbiorem, »e dla dowolnej liczby m nale»¡cej
do A zachodzi przemienno±¢ dodawania, tj. n + m = m + n.
Aby pokaza¢, »e 1 + n = n + 1, czyli »e 1 ∈ A, ponownie skorzystamy z
zasady indukcji. Rozwa»my wi¦c zbiór B tych liczb naturalnych, dla których
1 + n = n + 1. Poniewa» 1 + 1 = 1 + 1, wi¦c przypu±¢my, »e 1 + n = n + 1 i
0
0
poka»emy, »e 1 + n = n + 1. Istotnie, z denicji dodawania oraz z zaªo»enia
0
0
0
0 0
mamy 1 + n = (1 + n) = (n + 1) = (n ) . Z drugiej strony, z denicji
0
0 0
0
0
dodawania mamy n + 1 = (n ) . Zatem 1 + n = n + 1. Zatem zbiór B jest
Aby pokaza¢ przemienno±¢ dodawania, przypu±¢my, »e
liczb¡ naturaln¡ oraz
równy caªemu zbiorowi liczb naturalnych.
36
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Zaªó»my teraz, »e
0
m + n.
m ∈ A,
n+m=m+n
czyli
i poka»emy, »e
n + m0 =
Istotnie,
n + m0 = n + (m + 1)
= (n + m) + 1
= (m + n) + 1
= m + (n + 1)
= m + (1 + n)
= (m + 1) + n
= m0 + n
z denicji dodawania
z ª¡czno±ci dodawania
z zaªo»enia
z ª¡czno±ci dodawania
z udowodnionego ju»
z ª¡czno±ci
z denicji dodawania.
Zatem na mocy aksjomatu N5, dodawanie jest przemienne w zbiorze liczb
naturalnych.
Zdeniujemy teraz
iloczyn
n·1=n
n · m0 = (n · m) + n
dwóch liczb naturalnych.
n∈N
liczb n, m ∈ N
dla dowolnej liczby
(4.1)
dla dowolnych
(4.2)
Jak zwykle, kropk¦ oznaczaj¡c¡ mno»enie b¦dziemy pomija¢ w sytuacjach,
które nie prowadz¡ do nieporozumie«.
(n +
m)k = nk + mk . Aby tego dokona¢, poka»emy »e (n + m) · 1 = n · 1 + m · 1
0
0
0
oraz »e z (n + m)k = nk + mk wynika (n + m)k = nk + mk . I tak,
Poka»emy, »e mno»enie jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania, czyli
(n + m) · 1 = n + m = n · 1 + m · 1.
Rozwa»my teraz
(n + m)k 0 = nk 0 + mk 0 .
(n + m)k 0 = (n + m)k + (n + m)
= (nk + mk) + (n + m)
= (nk + n) + (mk + m)
= nk 0 + mk 0 .
Mamy
z denicji mno»enia
z zaªo»enia
z przemienno±ci i ª¡czno±ci dodawania
z denicji mno»enia
Aby pokaza¢ przemienno±¢ mno»enia, poka»emy najpierw przez indukcj¦, »e mno»enie przez jeden jest przemienne.
aksjomatu N5 jest trywialny. Zaªó»my wi¦c, »e
faktycznie, pierwszy punkt
n · 1 = 1n.
Mamy
1n0 = 1n + 1 = n · 1 + 1 = n + 1 = n0 = n0 · 1.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
37
Aby zako«czy¢ dowód faktu, »e mno»enie jest przemienne, zaªó»my, »e
mn i poka»emy, »e m0 n = nm0 . Mamy
nm =
m0 n = (m + 1)n = mn + n = nm + n = nm0 .
Podobnie pokazuje si¦, »e dziaªanie mno»enia jest ª¡czne.
U»ywaj¡c dodawania, mo»emy zdeniowa¢
relacj¦ mniejszo±ci
w zbiorze
liczb naturalnych:
m < n ⇔ istnieje k ∈ N,
taka »e
m + k = n.
Za pomoc¡ dodawania, mno»enia i relacji mniejszo±ci mo»emy zdeniowa¢
dalsze poj¦cia, którymi operuje si¦ w arytmetyce liczb naturalnych.
4.3 Zasada minimum
Aksjomat N5 warto jest przeformuªowa¢, aby przyj¡ª bardziej funkcjonaln¡
form¦:
Zasada indukcji matematycznej (ZIM). Przypu±¢my, »e T (n) jest zda-
niem dotycz¡cym liczby naturalnej n. Je»eli
10 T (1) jest zdaniem prawdziwym,
20 z prawdziwo±ci zda« T (k), dla k < n wynika prawdziwo±¢ zdania T (n),
to zdanie T (n) jest prawdziwe dla ka»dej liczby naturalnej.
Powy»sza zasada jest równowa»na nast¦puj¡cej zasadzie, która jest równie
ch¦tnie stosowana.
Zasada minimum (ZM). W ka»dym niepustym podzbiorze liczb natural-
nych istnieje liczba najmniejsza.
ZIM⇒ZM: Zaªó»my, »e A jest
niepustym zbiorem liczb naturalnych, w
B jako zbiór tych wszystkich liczb naturalnych n, które nie nale»¡ do zbioru A. Zauwa»my, »e 1 ∈ B ,
bo w przeciwnym wypadku, 1 byªaby elementem zbioru A i najmniejsz¡ liczb¡
w tym zbiorze. Przypu±¢my wi¦c, »e dla k < n zachodzi k ∈ B . Gdyby n
nale»aªa do A, to byªaby najmniejsz¡ liczb¡ w tym zbiorze, zatem n ∈ B .
Zatem, na mocy ZIM, B = N.
ZM⇒ZIM: Zaªó»my, »e T (n) jest zdaniem dotycz¡cym liczby natural0
0
nej n. Przypu±¢my, »e dla T (n) speªnione s¡ warunki 1 i 2 zasady indukcji
którym nie ma liczby najmniejszej. Zdeniujemy
38
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
matematycznej. Przypu±¢my te», »e zbiór
rych
T (n)
tych liczb naturalnych, dla któ-
1 =
6 A. Na
m. Zatem
zdanie T (m) jest
nie jest prawdziwe jest ró»ny od pustego, chocia»
mocy zasady minimum mamy, »e w
dla
A
k < m,
zdanie
T (k)
A
istnieje liczba najmniejsza
jest prawdziwe, a st¡d wynika, »e
prawdziwe, co jest sprzeczne wobec przynale»no±ci
m
do
A.
4.4 Konstrukcja liczb caªkowitych.
Aby skonstruowa¢ zbiór liczb caªkowitych, wprowadzimy na zbiorze
N×N
nast¦puj¡c¡ relacj¦:
(n1 , n2 ) ≈ (m1 , m2 ) ⇐⇒ m1 + n2 = m2 + n1
(4.3)
Poka»emy, »e 4.3 jest relacj¡ równowa»no±ci. Jest to relacja zwrotna, ponie-
n1 +n2 = n2 +n1 . Poniewa» z m1 +n2 = m2 +n1 wynika n1 +m2 = n2 +m1 ,
≈ jest te» relacj¡ symetryczn¡. Przypu±¢my, »e (n1 , n2 ) ≈ (m1 , m2 ) oraz
(m1 , m2 ) ≈ (k1 , k2 ). Zatem
wa»
wi¦c
m1 + n2 = m2 + n1
k1 + m2 = k2 + m1 .
Dodaj¡c stronami otrzymujemy
k1 +n2 +(m1 +m2 ) = k2 +n1 +(m1 +m2 ).
St¡d
(n1 , n2 ) ≈ (k1 , k2 ), czyli relacja 4.3 jest relacj¡ równowa»no±ci.
N×N na klasy abstrakcji. Klasy te nazywamy liczbami
caªkowitymi. Wprowad¹my specjalne oznaczenia dla tych klas
abstrakcji.
Zauwa»my, »e je±li m > n oraz n + k = m, to do klasy (m, n) nale»¡ tylko
takie pary (x, y), dla których x = y + k . Istotnie,
wynika, »e
Relacja ta dzieli zbiór
(m, n) ≈ (x, y) ⇔ x + n = y + m
⇔x+n=y+n+k
⇔ x = y + k.
(m, n) , gdzie m = n+k oznaczymy k i uto»samimy
z liczb¡
k . Šatwo jest zauwa»y¢, »e wszystkie klasy (m, n) , dla których
Klas¦ abstrakcji
naturaln¡
m > n
stanowi¡ zbiór liczb naturalnych, tj.
(n, n) oznaczymy
n = m + k oznaczymy −k .
Klas¦ abstrakcji
0, a klasy
speªniaj¡ aksjomaty N1N5.
(m, n) ,
gdzie
n>m
oraz
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
39
Na tak zdeniowanym zbiorze liczb caªkowitych, zdeniujemy dziaªania
dodawania i mno»enia:
(m1 , n1 ) + (m2 , n2 ) = (m1 + m2 , n1 + n2 )
(m1 , n1 ) · (m2 , n2 ) = (m1 m2 + n1 n2 , m1 n2 + n1 m2 )
Poka»emy, »e zdeniowane dziaªania dodawania i mno»enia s¡ dobrze
okre±lone, tj.
wynik nie zale»y od wyboru reprezentanta klasy.
0
0
0
0
wi¦c, »e (m1 , n1 ) ≈ (m1 , n1 ) oraz (m2 , n2 ) ≈ (m2 , n2 ). Wówczas
(m1 , n1 ) + (m2 , n2 ) = (m1 + m2 , n1 + n2 )
(m01 , n01 ) + (m02 , n02 ) = (m01 + m02 , n01 + n02 )
Zaªó»my
oraz
Mamy
n1 + m01 = m1 + n01
m02 + n2 = n02 + m2 ,
co po dodaniu stronami daje
m01 + m02 + n1 + n2 = n01 + n02 + m1 + m2 .
Zatem
(m1 + m2 , n1 + n2 ) = (m01 + m02 , n01 + n02 ) .
Wykonuj¡c nieco bar-
dziej skomplikowane operacje, mo»na pokaza¢, »e mno»enie te» jest dobrze
okre±lone.
Mo»na pokaza¢, »e dziaªanie dodawania jest ª¡czne, przemienne, ma element neutralny 0, oraz ka»da liczba caªkowita ma liczb¦ przeciwn¡, co pozwala na zdeniowanie odejmowania.
Dziaªanie mno»enia natomiast, jest
ª¡czne, przemienne, rozdzielne wzgl¦dem dodawania oraz posiada element
neutralny 1.
4.5 Konstrukcja liczb wymiernych.
Z zbiór liczb caªkowitych i przyjmijmy Z∗ = Z \ {0}.
Z × Z∗ nast¦puj¡c¡ relacj¦:
Oznaczmy przez
±limy w zbiorze
(m1 , m2 ) ' (n1 , n2 ) ⇐⇒ m1 n2 = m2 n1
Okre-
(4.4)
40
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Poka»emy, »e jest to relacja równowa»no±ci. Zauwa»my, »e zwrotno±¢ i symetryczno±¢ jest oczywista.
(n1 , n2 ) ' (k1 , k2 ),
Zaªó»my wi¦c, »e
(m1 , m2 ) ' (n1 , n2 )
oraz
czyli
m1 n2 = m2 n1
n1 k2 = n2 k1 .
Mno»¡c te równania stronami otrzymujemy
m1 n1 n2 k2 = m2 n1 n2 k1
(4.5)
n2 6= 0, wi¦c m1 n1 k2 = m2 n1 k1 . Je±li n1 6= 0, to 4.5 przyjmuje
posta¢ m1 k2 = m2 k1 , czyli (m1 , m2 ) ' (k1 , k2 ). W przeciwnym wypadku,
tak»e k1 = m1 = 0. A to oznacza, »e 0 = m1 k2 = m2 k1 = 0, wi¦c (m1 , m2 ) '
(k1 , k2 ). Zatem relacja 4.4 jest relacj¡ równowa»no±ci.
relacji 4.4 nazywamy liczbami wymiernymi. Klas¦
Klasy
równowa»no±ci
m
(m, n) oznaczamy n .
Poniewa»
Na zbiorze liczb wymiernych deniujemy dziaªania dodawania i mno»enia
w nast¦puj¡cy sposób
(m1 , n1 ) + (m2 , n2 ) = (m1 n2 + m2 n1 , n1 n2 )
(m1 , n1 ) · (m2 , n2 ) = (m1 m2 , n1 n2 )
Dziaªania dodawania i mno»enia s¡ dobrze okre±lone, tzn. wyniki tych dziaªa« nie zale»¡ od wyboru reprezentantów klas abstrakcji. Mo»na pokaza¢, »e
dziaªanie dodawania jest ª¡czne, przemienne, ma element neutralny 0, oraz
ka»da liczba wymierna ma liczb¦ przeciwn¡, co pozwala na zdeniowanie
odejmowania. Dziaªanie mno»enia natomiast, jest ª¡czne, przemienne, rozdzielne wzgl¦dem dodawania, posiada element neutralny 1 oraz ka»da liczba
wymierna z wyj¡tkiem 0 ma liczb¦ odwrotn¡, co pozwala na zdeniowanie
dzielenia.
Rozdziaª 5
Teoria mocy
Dotychczas zajmowali±my si¦ tworzeniem nowych zbiorów z tych ju» utworzonych. Teraz wejdziemy w struktur¦ samych zbiorów. Podstawowymi poj¦ciami b¦d¡ tu równoliczno±¢ i moc.
poj¦cie
moc
W przypadku zbiorów sko«czonych,
sprowadza si¦ do liczby elementów.
Charakterystyka zbioru z
pomoc¡ liczby jego elementów jest na tyle dobra, »e warto to poj¦cie uogólni¢ na przypadek zbiorów niesko«czonych. Poj¦cie moc cz¦sto zast¦pujemy
poj¦ciem
liczba kardynalna
co pokazuje jego zwi¡zek z liczb¡ elementów. Po-
ka»emy, »e zbiory niesko«czone mog¡ mie¢ ró»ne moce, chocia» w ka»dym
zbiorze niesko«czonym mo»emy znale¹¢ podzbiór wªa±ciwy takiej samej mocy
co zbiór wyj±ciowy.
5.1 Równoliczno±¢ zbiorów
Mówimy, »e
zbiory A oraz B s¡ równoliczne, je±li istnieje bijekcja, czyli funk-
cja wzajemnie jednoznaczna
noliczne zapisujemy
bijekcj¡ z
to
B
na
A.
f : A → B.
A ∼ B.
Fakt, »e zbiory
A
oraz
B
s¡ rów-
f , jest
na
g : B −−→ C ,
Zauwa»my, »e funkcja odwrotna do
Zauwa»my te», »e je±li
na
g ◦ f : A −−→ C .
Zatem je±li zbiory
1−1
równoliczne s¡ te» zbiory A i C .
na
f : A −−→ B
AiB
1−1
oraz
B
i
C
oraz
1−1
s¡ równoliczne, to
Moc¡ lub liczb¡ kardynaln¡ zbioru A nazywamy wspóln¡ cech¦ wszystkich
zbiorów równolicznych z
A.
Moc zbioru oznaczamy
A, #A lub Card(A).
zbiorów sko«czonych, tak¡ cech¡ jest liczba ich elementów.
41
Dla
42
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Sko«czone zbiory A i B s¡ równoliczne wtedy i tylko
wtedy, gdy maj¡ one tyle samo elementów.
5.1 Twierdzenie.
Dowód.
f ze zbioru A na zbiór B oraz »e zbiór A
ma n elementów. Zapiszmy A = {a1 , a2 , . . . , an }. Poniewa» f jest suriekcj¡,
wi¦c f (A) = {f (a1 ), f (a2 ), . . . , f (an )} = B . Zatem zbiór B ma co najwy»ej
n elementów. Ale warto±ci f (a1 ), f (a2 ), . . . , f (an ) nie powtarzaj¡ si¦, bo
f jest iniekcj¡. Zatem zbiór B ma dokªadnie n elementów.
Przypu±¢my teraz, »e zbiory A i B maj¡ po n elementów. Zatem A =
{a1 , a2 , . . . , an } oraz B = {b1 , b2 , . . . , bn }. Funkcja f : A → B okre±lona
wzorem f (ai ) = bi dla i ∈ {1, 2, . . . n} jest bijekcj¡.
Zaªó»my, »e istnieje bijekcja
Twierdzenie 5.1 pozwala nam oznacza¢ moc zbiorów sko«czonych liczb¡
ich elementów, tj. je»eli zbiór
A
ma
n
elementów, to
A = n.
Poniewa» moce
zbiorów sko«czonych uto»samiamy z liczbami, wi¦c moce zbiorów niesko«czonych nazywamy
liczbami pozasko«czonymi.
Oczywi±cie, nie wszystkie zbiory
N = ℵ0 oraz R = c. Poka»emy pó¹niej, »e ℵ0 6= c. Teraz poka»emy, »e je±li zbiór A jest zbiorem niesko«czonym,
to istnieje podzbiór wªa±ciwy B zbioru A, który jest równoliczny z A.
niesko«czone s¡ równoliczne. Oznaczamy
5.2 Twierdzenie. Przypu±¢my, »e A jest zbiorem niesko«czonym. Istnieje
zbiór B ⊂ A, taki »e B 6= A oraz funkcja wzajemnie jednoznaczna z B na A.
Dowód.
Zauwa»my najpierw, »e je±li ze zbioru niesko«czonego zabierzemy
pewn¡ sko«czon¡ liczb¦ elementów, to otrzymamy zbiór niesko«czony. Niech
a
A. Zdeniujmy zbiór B = A \ {a}.
A ∼ B . W tym celu wybierzmy ci¡gi elementów {an }n∈N oraz
{Bn }n∈N zbioru A tak, »e a1 = a, B1 = B oraz an ∈ Bn−1 ,
b¦dzie dowolnym elementem zbioru
Poka»emy, »e
podzbiorów
Bn = Bn−1 \ {an−1 } = A \ {a1 , a2 , . . . , an−1 } .
Oznaczmy
C = {an : n ∈ N}.
Okre±limy teraz funkcj¦
(
x
f (x) =
an+1
je±li
je±li
wzorem
x ∈ A \ C,
x = an .
Tak okre±lona funkcja jest wzajemnie jednoznaczna z
Stosuj¡c powy»sze twierdzenie
f :A→B
A
na
B.
n razy otrzymujemy nast¦puj¡cy wniosek.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
5.3 Wniosek.
43
Je»eli a1 , a2 , . . . , an ∈ A, to A ∼ A \ {a1 , a2 , . . . , an }.
Wniosek ten mówi te», »e suma lub ró»nica zbioru niesko«czonego
sko«czonego nie zmienia mocy zbioru A.
A
Symbolem 2 oznaczamy rodzin¦ wszystkich podzbiorów zbioru
A oraz
A.
Sym-
bol ten ma swoj¡ motywacj¦ w nast¦puj¡cym twierdzeniu.
Je±li A jest zbiorem sko«czonym n-elementowym, to rodzina wszystkich podzbiorów zbioru A ma 2n elementów.
5.4 Twierdzenie.
Dowód.
B¦dziemy post¦powa¢ zgodnie z zasad¡ indukcji matematycznej. Je-
A = ∅, to A = 0 oraz 2∅ = {∅}, poniewa» ∅ jest jedynym podzbiorem
0
zbioru A. Zatem 2A = 1 = 2 . Przypu±¢my, »e zbiór A1 ma k elementów
a1 , a2 , . . . , ak oraz 2A1 = 2k . Rozwa»my zbiór A = A1 ∪ {ak+1 }. Wszystkie
pozbiory zbioru A, to podzbiory A1 , czyli te podzbiory, które nie zawieraj¡ ak+1 oraz te podzbiory, do których ak+1 nale»y. Te ostatnie mo»emy
otrzyma¢ doª¡czaj¡c do ka»dego podzbioru A1 element ak+1 . Zatem wszystk
k
k+1
kich podzbiorów zbioru A jest 2 + 2 = 2
. Na mocy zasady indukcji
±li
matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.
Poka»emy, »e mo»liwych mocy zbiorów niesko«czonych jest niesko«czenie
n 6= 2n .
wiele. Jest to proste uogólnienie faktu, »e
5.5 Twierdzenie.
Zbiór A nie jest równoliczny ze zbiorem 2A .
Dowód.
Zaªó»my, nie wprost, »e istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna
na
f : A −−→ 2A i rozwa»my zbiór B = {a ∈ A : a ∈
/ f (a)}. Skoro B jest
1−1
podzbiorem zbioru A, a f jest suriekcj¡, wi¦c istnieje element b ∈ A, taki »e
f (b) = B .
Zauwa»my, »e je±li
sprzeczno±¢.
b ∈ B,
Z drugiej strony, je»eli
A
sprzeczno±¢. Zatem A 6∼ 2 .
Poniewa»
n < 2n ,
b∈
/ f (b), czyli
b ∈ f (b), czyli znów
to oznacza to, »e
mamy
b ∈
/ B,
mamy
to
wi¦c wydaje si¦ naturalnym porównywanie liczb kar-
dynalnych. Mówimy, »e
zbiór A ma moc niewi¦ksz¡ od mocy zbioru B ,
je±li
B . Piszemy wówczas A ≤ B . Je±li
dodatkowo A 6∼ B , to mówimy, »e zbiór A ma moc (ostro) mniejsz¡ od mocy
zbioru B . Poniewa» odwzorowanie a 7→ {a} jest iniekcj¡ z A do 2A , wi¦c
wobec twierdzenia 5.5 mamy A < 2A .
istnieje iniekcja ze zbioru
A
do zbioru
44
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
5.2 Zbiory przeliczalne
W±ród wszystkich zbiorów niesko«czonych, najmniejsz¡ moc maj¡ zbiory
przeliczalne niesko«czone, czyli równoliczne z N. Ogólnie, zbiór nazywamy
przeliczalnym, je±li jest on sko«czony lub równoliczny z N. Zauwa»my najpierw, »e zbiór
N
ma rzeczywi±cie najmniejsz¡ moc ze wszystkich zbiorów
niesko«czonych. Istotnie, je±li zbiór
w nim ci¡g ró»nowarto±ciowy
A
jest niesko«czony, to mo»emy wybra¢
{an }n∈N
(podobnie jak w dowodzie twierdze-
nia 5.2). Poniewa» ci¡g ten jest iniekcj¡ z
N
do
A,
wi¦c
N ≤ A.
Przytoczymy kilka faktów dotycz¡cych zbiorów przeliczalnych.
1. Zbiór jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego elementy mo»na
ustawi¢ w ci¡g.
2. Suma dwóch (lub dowolnej sko«czonej liczby) zbiorów przeliczalnych
jest zbiorem przelliczalnym.
3. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
4. Produkt kartezja«ski dwóch (lub dowolnej sko«czonej liczby) zbiorów
przeliczalnych jest przeliczalny.
Uogólnimy teraz 2.
Niech {At }t∈T b¦dzie przeliczaln¡
S rodzin¡ (tj. zbiór T jest
przeliczalny) zbiorów przeliczalnych. Wówczas t∈T At jest zbiorem przeliczalnym.
5.6 Twierdzenie.
Dowód.
Zastosujemy tu charakteryzacj¦ ci¡gow¡ zbiorów przeliczalnych, czy-
li ka»dy ze zbiorów ustawimy w ci¡g.
Zaczniemy od zbioru indeksów, o
którym mozemy zaªo»y¢, »e jest niesko«czony i uto»sami¢ go z
teraz ka»dy ze zbiorów
A1 , A2 , . . .
N.
Ustawiaj¡c
w ci¡g, otrzymujemy nast¦puj¡c¡ tablic¦:
A1 = {a11 , a12 , a13 , . . . }
A2 = {a21 , a22 , a23 , . . . }
A3 = {a31 , a32 , a33 , . . . }
.
.
.
Aby ustawi¢ w ci¡g zbiór
S
t∈T
tablicy, tzn. ukªadamy ci¡g
At , idziemy po kolejnych skosach w powy»szej
(a11 , a12 , a21 , a31 , a22 , a13 , . . . ).
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
45
Na pierwszym roku pokazali±my, »e je±li A = {0, 1}, to produkt uogólQ
N
niony
n∈N A = A nie jest zbiorem przeliczalnym. Jest to zbiór wszystkich
ci¡gów zero-jedynkowych
C01 .
Wykorzystuj¡c fakt, »e ka»d¡ liczb¦ rzeczywi-
[0, 1] mo»na zapisa¢ jednoznacznie w postaci niesko«czonego
rozwini¦cia dwójkowego mo»emy zauwa»y¢, »e [0, 1] = C01 . Oznaczmy N = ℵ0
N
oraz 2N = ℵ1 . Zdeniujmy funkcj¦ f : 2 → C01 wzorem f (A) = (a1 , a2 , . . . ),
gdzie an = 0 je±li n ∈ A oraz an = 1, je±li n ∈
/ A. Tak okre±lona funkcja f
jest bijekcj¡. Zatem C01 = ℵ1 . Z drugiej strony, z wniosku 5.3 wynika, »e
st¡ z przedziaªu
[0, 1] = (0, 1] = (0, 1),
wi¦c dowolny odcinek ma moc
mo»na pokaza¢, »e
[0, 1] ∼ R,
ℵ1 .
czyli
Wykorzystuj¡c funkcje liniowe i tangens,
ℵ1 = c.
Pojawia si¦ tutaj pytanie, czy istnieje zbiór
odpowiedzi na to pytanie staªa si¦ tre±ci¡
A, taki »e ℵ0 < A < ℵ1 .
Próba
hipotezy continuum, która okazaªa
si¦ by¢ niezale»na od systemu aksjomatycznego teorii zbiorów. Mo»emy wi¦c
j¡ traktowa¢ jako dodatkowy aksjomat.
Hipoteza Continuum.
Nie istnieje zbiór A, taki »e ℵ0 < A < ℵ1 .
Na zako«czenie rozwa»a« o zbiorach przeliczalnych, podamy jeszcze twierdzenie, które uogólnia wniosek 5.3
Przypu±¢my, »e A jest zbiorem mocy wi¦kszej od ℵ0 oraz
B jest zbiorem przeliczalnym. Wówczas A \ B = A.
5.7 Twierdzenie.
Dowód.
B jest niesko«czony,
bn 6= bm dla n 6= m. Poniewa» zbiór A \ B
jest niesko«czony, wi¦c istnieje iniekcja g : N → A \ B . Oznaczmy C = g(N).
Zatem zbiór A jest sum¡ trzech rozª¡cznych zbiorów: A \ (B ∪ C), B i C .
Zdeniujmy f : A → A \ B wzorem


je±li a ∈ A \ (B ∪ C)
a,
f (a) = g(2n),
je»eli a = bn dla n ∈ N


g(2n − 1), je»eli a = g(n) dla n ∈ N
czyli
Wobec wniosku 5.3, mo»emy zaªo»y¢, »e zbiór
B = {bn : n ∈ N},
przy czym
f odwzorowuje
A \ B = A.
Tak zdeniowana funkcja
na zbiór
A \ B.
Zatem
wzajemnie jednoznacznie zbiór
A
Z powy»szego twierdzenia wynika, »e moc¡ zbioru liczb niewymiernych
jest
c.
46
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
5.3 Porównywanie liczb kardynalnych.
Twierdzenie Cantora-Bernsteina
n s¡ liczbami kardynalnymi. Oznacza to, »e istniej¡
zbiory A i B , takie »e A = m oraz B = n. Mówimy, »e liczba kardynalna m jest
niewi¦ksza od liczby kardynalnej n (m ≤ n) je»eli istnieje iniekcja ze zbioru A
do B . Przytoczymy twierdzenie o zbiorach sko«czonych, które postaramy si¦
Przypu±¢my, »e
m
oraz
zaraz uogólni¢.
5.8 Twierdzenie. Przypu±¢my, »e zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma
n elementów. Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
(i) m ≤ n,
(ii) istnieje iniekcja f : A −−→ B ,
1−1
na
(iii) istnieje suriekcja g : B −→ A.
Dowód. (i) ⇐⇒ (ii)
wynika wprost z denicji porównywania liczb kardy-
nalnych.
›eby udowodni¢ implikacj¦
f.
odwrotn¡ do
Poniewa»
f
(ii) ⇒ (iii),
rozwa»my funkcj¦
g : B → A
jest ró»nowarto±ciowa, wi¦c funkcja do niej
odwrotna istnieje. Przypomnimy, »e zgodnie z denicj¡ funkcji odwrotnej,
x ∈ A równanie g(f (x)) = x. Zatem, je»eli a jest
zbioru A, to funkcja g przeprowadza element b = f (a)
musi zachodzi¢ dla ka»dego
dowolnym elementem
na
a.
Zatem
g
jest suriekcj¡.
(iii) ⇒ (ii). Zapiszmy A = {a1 , a2 , . . . , am } oraz
B = {c1 , c2 , . . . , cn }. Poniewa» g jest suriekcj¡, wi¦c istnieje element ci , taki
»e g(ci ) = a1 . Niech i1 b¦dzie najmniejszym wska¹nikiem o tej wªasno±ci.
Poªó»my b1 = ci1 . Podobnie wybieramy b2 , b3 , . . . , bm . Zatem zbiór B
mo»emy zapisa¢ w postaci {b1 , b2 , . . . , bm , bm+1 , . . . , bn }, gdzie bm+1 , . . . , bn
s¡ pozostaªymi elementami zbioru B . Funkcja f : aj 7→ bj (j ∈ {1, 2, . . . , n})
Poka»emy teraz, »e
jest szukan¡ iniekcj¡.
Zauwa»my, »e je±li zaªo»ymy, »e zbiór
A jest przeliczalny, to dowód twierA jest dowolnym zbio-
dzenia niewiele si¦ zmieni. Je»eli jednak zaªo»ymy, »e
rem, to cz¦±¢
(iii) ⇒ (ii)
dowodu nale»y powa»nie zmodykowa¢.
staje si¦ przez to krótszy, ale skorzystamy w nim z pewnika wyboru.
Dowód
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
47
Przypu±¢my, »e {At }t∈T jest rodzin¡ niepustych zbiorów.
Istnieje zbiór A, taki »e dla dowolnego t ∈ T , zbiór At ∩ A jest jednoelementowy.
Pewnik wyboru.
Pewnik wyboru, podobnie jak hipoteza continuum, jest niezale»ny od aksjomatyki teorii mnogo±ci. Z uwagi jednak na kilka paradoksów wynikaj¡cych
z jego zastosowa«, staramy si¦ go unika¢.
Napiszemy teraz uogólnienie naszego twierdzenia.
Przypu±¢my, »e A = m oraz B = n. Wówczas nast¦puj¡ce
warunki s¡ równowa»ne:
5.9 Twierdzenie.
(i) m ≤ n,
(ii) istnieje iniekcja f : A −−→ B ,
1−1
na
(iii) istnieje suriekcja g : B −→ A.
Dowód.
Jak ju» zauwa»yli±my, wystarczy udowodni¢ (iii) ⇒ (ii). Aby tego
−1
dokona¢, rozwa»my rodzin¦ zbiorów {g
(a)}a∈A . Jest to rodzina niepustych
zbiorów, poniewa»
g
jest suriekcj¡. Z pewnika wyboru, istnieje zbiór
B1 ,
na
który po jednym elemencie skªadaj¡ si¦ zbiory naszej rodziny. Poniewa» dla
a1 6= a2 mamy g −1 (a1 ) ∩ g −1 (a2 ), wi¦c zbiór B1 jest równoliczny z A. Istnieje
wi¦c odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne z
iniekcja z
A
do
A
na
B1 ,
a co za tym idzie,
B.
Je±li mamy do czynienia z liczbami naturalnymi, to oczywiste s¡ takie
dwa fakty:
1.
2.
je»eli m ≤ n oraz n ≤ m, to m = n,
je±li A ⊂ B ⊂ C oraz zbiory A i C maj¡ po n elementów, to tak»e
zbiór B ma n elementów.
Uogólnienie pierwszego z tych faktów stanowi tre±¢ twierdzenia CantoraBernsteina.
5.10 Twierdzenie
(Cantora-Bernsteina).
m, n, je±li m ≤ n oraz n ≤ m, to m = n.
Dla dowolnych liczb kardynalnych
48
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Dowód.
A = m oraz B = n. Skoro B ≤ A, wi¦c istnieje
podzbiór A1 ⊂ A, taki »e A1 = B . Z drugiej strony, A ≤ B = A1 , wi¦c
istnieje funkcja ró»nowarto±ciowa f ze zbioru A do A1 . Tak wi¦c
Przyjmijmy, »e
f (A) ⊂ A1 ⊂ A.
na
g : A −−→ A1 .
Skonstruujemy funkcj¦
A1 \ f (A).
W tym celu przyjmijmy
1−1
f (C) ⊂ f (A1 ) ⊂ A. Zdeniujemy teraz rekurencyjnie rodzin¦ zbiorów {Cn }n∈N nast¦puj¡co: C1 =
f (C), Cn+1 = f (Cn ). Zauwa»my, »e C1 ⊂ A oraz, »e je±li Cn ⊂ A, to
Cn+1 = f (Cn ) ⊂ f (A) ⊂ A. St¡d, na podstawie zasady indukcji matematycznej, otrzymujemy, »e Cn ⊂ A dla dowolnego n ∈ N. W konsekwencji
Zatem
C ⊂ A1 ⊂ A,
C =
a co za tym idzie,
dostajemy
∞
[
Cn ⊂ A
C∪
oraz
n=1
Niech
D=C∪
S∞
n=1
∞
[
Cn ⊂ A.
n=1
Cn .
Wówczas
∞
[
C∪
f (D) = f
!
= f (C) ∪ f
Cn
n=1
= C1 ∪
∞
[
!
Cn
n=1
Cn+1
=
n=1
Zatem
∞
[
∞
[
Cn .
n=1
D = C ∪ f (D).
Okre±lamy funckj¦
g : A → A1 w
(
a
g(a) =
f (a)
Aby pokaza¢, »e funkcja
g
nast¦puj¡cy sposób.
dla
dla
a ∈ D,
a ∈ A \ D.
jest suriekcj¡, rozwa»my zbiór
g(A) = g(D ∪ (A \ D))
= D ∪ f (A \ D)
= C ∪ f (D ∪ (A \ D))
= (A1 \ f (A)) ∪ f (A)
g(A).
= g(D) ∪ g(A \ D)
= C ∪ f (D) ∪ f (A \ D)
= C ∪ f (A)
= A1 .
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Pozostaªo jeszcze pokaza¢, »e funkcja
g
49
jest ró»nowarto±ciowa. Zauwa»my, »e
jest ona ró»nowarto±ciowa na ka»dym ze zbiorów
D
oraz
A \ D.
Wystarczy
wi¦c zauwa»y¢, »e obrazy tych zbiorów s¡ rozª¡czne. Mamy
g(D) ∩ g(A \ D) = D ∩ f (A \ D)
= (C ∪ f (D)) ∩ (f (A) \ f (D))
(poniewa» f
= (C ∩ (f (A) \ f (D)) ∪ (f (D) ∩ (f (A) \ f (D))
= (A1 \ f (A)) ∩ (f (A) \ f (D))
= ∅.
Skoro funkcja
5.11 Wniosek.
Dowód.
oraz
1 − 1)
g jest bijekcj¡ z A na A1 , wi¦c A = A1 = B , czyli m = n.
Je±li A ⊂ B ⊂ C oraz A = C , to A = B = C .
Zapiszmy
n ≤ m.
jest
A = C = m
oraz
B = n.
m ≤ n
m = n, czyli
Z zaªo»enia mamy
Z twierdzenia Cantora-Bernsteina dostajemy, »e
tez¦.
Na zako«czenie tego podrozdziaªu przytoczymy jeszcze jeden fakt dotycz¡cy zbiorów sko«czonych i poka»emy, »e zaªo»enia o sko«czono±ci zbiorów
nie mo»na pomin¡¢.
Zaªó»my, »e zbiory A oraz B s¡ sko«czone oraz dana
jest funkcja f : A → B . Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne.
5.12 Twierdzenie.
1. f jest iniekcj¡,
2. f jest suriekcj¡,
3. f jest bijekcj¡.
Rozwa»my teraz zbiór liczb naturalnych oraz funkcj¦
f : N → N okre±lon¡
f (n) = 2n. Funkcja ta jest iniekcj¡, ale nie jest suriekcj¡. Z kolei
funkcja g : N → N okre±lona wzorem g(n) = |n − 3| + 1 jest suriekcj¡, ale nie
wzorem
jest iniekcj¡.
Rozdziaª 6
Zbiory uporz¡dkowane
W dalszym ci¡gu zajmujemy si¦ struktur¡ wewn¦trzn¡ zbiorów. Tym razem
interesuje nas ukªad (porz¡dek) elementów oraz mo»liwo±ci odpowiedniego
poustawiania.
Podzbiory liczb rzeczywistych maj¡ ,,naturalny porz¡dek,
tj. maj¡c dwie liczby rzeczywiste, bez trudu stwierdzamy, która z nich jest
mniejsza a która wi¦ksza.
Jednak nawet ten naturalny porz¡dek jest inny
dla zbioru liczb caªkowitych i dla zbioru liczb wymiernych. Mianowicie, po-
a < b istnieje niesko«czenie wiele liczb
b, oraz wi¦ksze od a. Nie jest to mo»liwe
mi¦dzy dwiema liczbami wymiernymi
wymiernych, które s¡ mniejsze od
w przypadku liczb caªkowitych.
6.1 Zbiory cz¦±ciowo uporz¡dkowane
Niech dany b¦dzie zbiór
porz¡dkuj¡c¡,
X.
Relacj¦
dla dowolnych trzech elementów
a a,
Zbiór
X
a, b , c ∈ X ,
a b ∧ b c ⇒ a c,
z relacj¡ porz¡dkuj¡c¡
cz¦±ciowo uporz¡dkowanym.
X
nazywamy
zachodzi
a b ∧ b a ⇒ a = b.
oznaczamy
(X, )
zwi¡zana jest druga
a ≺ b ⇐⇒ a b ∧ a 6= b. Relacja
Z relacj¡ porz¡dkuj¡c¡
st¦puj¡co:
okre±lon¡ na zbiorze
je»eli jest ona zwrotna, przechodnia i antysymetryczna czyli,
i nazywamy
relacja
⊂
zbiorem
okre±lona na-
ta jest przeciwzwrotna,
przeciwsymetryczna, przechodnia i antysymetryczna. B¦dziemy j¡ nayzwa¢
relacj¡ siln¡ lub ostr¡ w przeciwie«stwie do pierwszej, o której mówimy sªaba.
50
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
51
B¦dziemy te» stosowa¢ ró»ne oznaczenia. Zamiast
wa¢
≤,
a zamiast
≺
b¦dziemy te» u»y-
<.
Podamy kilka przykªadów zbiorów uporz¡dkowanych.
Ka»dy podzbiór
liczb rzeczywistych jest cz¦±ciowo uporz¡dkowany przez relacj¦
zbiorów rezerwujemy te» oznaczenia
≤
oraz
≤.
Dla tych
<.
6.1 Przykªad.
Dla dowolnego zbioru S , rodzina jego wszystkich podzbio2S jest zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym przez relacj¦ sªabej inklu⊆. Zauwa»my, »e ∅ ⊆ A ⊆ S dla dowolnego zbioru A ∈ 2S . Zauwa»my
rów
zji
te», »e nie ka»de dwa zbiory da si¦ porówna¢, tzn. mo»e si¦ zdarzy¢, »e nie
zajdzie »adna z dwóch zale»no±ci
A⊆B
oraz
B ⊆ A.
Innymi sªowy relacja
⊆
nie jest spójna. W dalszym ci¡gu wykªadu, nie b¦dziemy rozró»nia¢ sªabej
i ostrej inkluzji, tylko tak jak dotychczas u»ywa¢ symbolu
⊂
dopuszczaj¡c
równo±¢.
6.2 Przykªad.
Wówczas
1a
6.3 Przykªad.
Zdeniujmy
Rozwa»my zbiór liczb naturalnych z relacj¡
dla dowolnej liczby naturalnej
a b ⇐⇒ a | b.
a.
Nie ma naturalnego porz¡dku w zbiorze liczb zespolonych.
a + bi c + di ⇐⇒ a ≤ c ∧ b = d.
Wówczas
(C, )
jest zbio-
rem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym. Mo»emy jednak porównywa¢ tylko liczby
zespolone o identycznych cz¦±ciach urojonych.
6.4 Przykªad.
S b¦dzie dowolnym zbiorem sko«czonym o n elementach i niech f : S → {1, 2, . . . , n} b¦dzie bijekcj¡. Okre±lmy na S relacj¦
a b ⇐⇒ f (a) ≤ f (b). Wówczas (S, ) jest zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym i mówimy, »e porz¡dek na zbiorze S jest generowany przez funkcj¦ f .
Zauwa»my, »e tak zdeniowana relacja ma wszystkie cechy relacji ≤. PrzyNiech
kªad mo»na bez trudu uogólni¢ na zbiory przeliczalne niesko«czone.
Koncepcj¦ z przykªadu 6.4 mo»na uogólni¢ jeszcze bardziej. Mianowicie,
X jest dowolnym zbiorem, (Y, ) zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym,
f : X → Y bijekcj¡, to relacj¦ zdeniowan¡ nast¦puj¡co
je±li
a
a 1 b ⇐⇒ f (a) f (b)
nazywamy
cja
1
relacj¡ generowan¡ przez funkcj¦ f .
generowana przez funkcj¦
Niech
(X, )
f
Šatwo zauwa»y¢, »e rela-
jest relacj¡ porz¡dkuj¡c¡.
b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym.
porz¡dek odwrotny wzorem
a b ⇐⇒ a b.
Deniujemy
52
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Wówczas
(X, )
jest te» zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym.
W zbiorze cz¦±ciowo uporz¡dkowanym
(X, )
wyró»nimy pewne elemen-
ty.
•
Element
x∈X
nazywamy
minimalnym, je»eli
•
Element
x∈X
nazywamy
maksymalnym, je»eli
^
•
Element
x∈X
nazywamy
najmniejszym, je»eli
^
•
Element
x∈X
nazywamy
najwi¦kszym, je»eli
^
y∈X
y x ⇒ y = x.
x y ⇒ y = x.
y∈X
y∈X
^
y∈X
x y.
y x.
Zauwa»my, »e elementów minimalnych lub maksymalnych mo»e by¢ do-
(R, ≤) nie ma elementu maksymalnego ani minimalprzykªadu 6.1 elementem minimalnym jest ∅, a maksy-
wolnie wiele. W zbiorze
nego. W zbiorze z
malnym
S.
S¡ to tak»e elementy, odpowiednio, najmniejszy i najwi¦kszy.
6.5 Przykªad.
Rozwa»my zbiór
{z ∈ C : −1 ≤ Re(z) ≤ 1}
z relacj¡ okre-
±lon¡ w przykªadzie 6.3. Wówczas mamy niesko«czenie wiele elementów mi-
b jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywi−1+bi jest minimalny, a ka»dy element postaci
nimalnych i maksymalnych. Dokªadnie, je±li
st¡, to ka»dy element postaci
1 + bi
jest maksymalny. W zbiorze tym nie ma elementu najmniejszego ani
najwi¦kszego.
6.6 Przykªad.
Niech
X = N \ {1}
b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dko-
wanym przez relacj¦ okre±lon¡ w przykªadzie 6.2.
pierwsza jest elementem minimalnym.
Wówczas ka»da liczba
Nie ma w tym zbiorze elementów
maksymalnego, najwi¦kszego i najmniejszego.
Dla zbioru z przykªadu 6.4 elementem minimalnym i jednocze±nie najmniejszym jest ten element
a,
dla którego
f (a) = 1.
Natomiast elemen-
tem maksymalnym i najwi¦kszym zarazem jest ten element
b,
dla którego
f (b) = n.
Zauwa»my, »e element najwi¦kszy (najmniejszy) jest te» elementem maksymalnym (minimalnym). W przeciwie«stwie do elementu maksymalnego
(minimalnego), element najwi¦kszy (najmniejszy) mo»e by¢ co najwy»ej jeden. Istotnie, je±li
y∈X
(X, )
jest zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym, oraz
s¡ elementami najwi¦kszymi, to mamy
tryczno±¢ relacji
implikuje
x = y.
xy
oraz
y x.
x,
Antysyme-
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
53
Mo»na teraz zada¢ pytanie, czy je±li element maksymalny (minimalny)
jest tylko jeden, to czy jest on elementem najwi¦kszym (najmniejszym).
Je±li zbiór cz¦±ciowo uporz¡dkowany (X, ) ma dwa lub
wi¦cej elementów maksymalnych (minimalnych), to nie istnieje element najwi¦kszy (najmniejszy) w tym zbiorze.
6.7 Twierdzenie.
Dowód.
Zaªó»my, »e element najwi¦kszy
mentem maksymalnym. Zatem
denicji wynika, »e
6.8 Przykªad.
x = y,
x y.
y
istnieje i niech
Ale skoro
x
x 6= y
b¦dzie ele-
jest maksymalny, wi¦c z
co daje sprzeczno±¢.
z przykªadu 6.3 okre±lon¡
na zbiorze X = {a + bi : b = 0 ∨ (b = 1 ∧ −1 ≤ a}. Wówczas −1 + i jest
jedynym elementem minimalnym w X , ale elementu najmniejszego nie ma.
Rozwa»my relacj¦ porz¡dkuj¡c¡
X ⊂ Y oraz X i Y
, to mo»emy mówi¢ o
Je±li
relacj¦
•
Element
rze
•
Y,
je±li
nazywamy
x∈X
X
w zbiorze
ograniczeniem górnym
zbioru
Y.
X
w zbio-
x y.
^ y ∈ Y nazywamy ograniczeniem dolnym
y x.
zbioru
X
w zbiorze
Y,
x∈X
Element
zywamy
•
ograniczeniach zbioru
Element
je±li
•
y ^
∈ Y
s¡ cz¦±ciowo uporz¡dkowane przez t¦ sam¡
Element
y∈Y
y ∈ Y
nazywamy
X nasup X .
najmniejszy w zbiorze ogranicze« górnych zbioru
kra«cem górnym
lub
supremum
zbioru
X
i oznaczamy
X
inf X .
najwi¦kszy w zbiorze ogranicze« dolnych zbioru
kra«cem dolnym
lub
inmum
zbioru
X
i oznaczamy
Šatwo zauwa»y¢, »e element najmniejszy (najwi¦kszy) w zbiorze
X
jest
te» ograniczeniem dolnym (górnym) oraz inmum (supremum) tego zbioru.
6.9 Przykªad.
Rozwa»my na C relacj¦ a+bi c+di ⇐⇒ a ≤ b∧c ≤ d oraz
A = {−3 + 4i, −2 − i, −4 − 2i, −2 − 4i, 3 + 5i, 5 + 4i, 2 + 2i}. Wówczas mamy dwa elementy maksymalne: 3 + 5i oraz 5 + 4i i dwa minimalne:
−2 − 4i oraz −4 − 2i. Elementu najwi¦kszego i najmniejszego nie ma. Natomiast mamy sup A = 5 + 5i oraz inf A = −4 − 4i.
zbiór
54
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
6.2 Izomorzmy zbiorów cz¦±ciowo uporz¡dkowanych
Niech
(X, 1 )
oraz
(Y, 2 )
b¦d¡ zbiorami cz¦±ciowo uporz¡dkowanymi. Od-
wzorowanie wzajemnie jednoznaczne
f :X →Y
nazywamy
izomorzmem
zbiorów cz¦±ciowo uporz¡dkowanych, je»eli dla dowolnych elementów
X
x1 , x2 ∈
zachodzi
x1 1 x2 ⇒ f (x1 ) 2 f (x2 ).
(6.1)
(X, 1 ), (Y, 2 ) nazywamy izomorcznymi lub podobnymi, je»eli istf : X → Y . Fakt, »e zbiory (X, 1 ) oraz (Y, 2 ) s¡ podobne
zapisujemy (X, 1 ) ' (Y, 2 ) lub X ' Y je±li nie mamy w¡tpliwo±ci jakie
relacje porz¡dkuj¡ zbiory X i Y .
Zauwa»my, »e je»eli (Y, ) jest zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym, a relacja porz¡dkuj¡ca zbiór X jest generowana przez funkcj¦ f : X → Y , to
X ' Y i f jest izomorzmem.
Zbiory
nieje izomorzm
Je±li f : X → Y jest izomorzmem zbiorów cz¦±ciowo
uporz¡dkowanych (X, 1 ), (Y, 2 ), to zachodz¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
6.10 Twierdzenie.
(i) x1 1 x2 ⇐⇒ f (x1 ) 2 f (x2 ),
(ii) x1 ≺1 x2 ⇐⇒ f (x1 ) ≺2 f (x2 ),
(iii) f −1 : Y → X jest izomorzmem,
(iv) x jest elementem minimalnym w X wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) jest
elementem minimalnym w Y ,
(v) x jest elementem maksymalnym w X wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) jest
elementem maksymalnym w Y ,
(vi) x jest elementem najmniejszym w X wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) jest
elementem najmniejszym w Y ,
(vii) x jest elementem najwi¦kszym w X wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) jest
elementem najwi¦kszym w Y ,
(viii) X = Y .
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Dowód.
Wobec 6.1, aby udowodni¢
Zaªó»my wi¦c, »e
x2 1 x1 i x2 6= x1 .
f (x1 ) 2 f (x2 )
(i),
55
wystarczy pokaza¢ implikacj¦
⇐.
x2 ≺1 x1 . Zatem
f (x2 ) 2 f (x1 ), a z drugiego i z
f (x2 ) =
6 f (x1 ). Zatem f (x2 ) ≺2 f (x1 ), co
oraz, nie wprost, »e
Z pierwszego wynika, »e
ró»nowarto±ciowo±ci
f
wynika, »e
przeczy zaªo»eniu.
(ii) wynika z ró»nowarto±ciowo±ci f i z (i).
−1
dowodu (iii) zauwa»my, »e f
jest wzajemnie
Wªasno±¢
Dla
y1 2 y2 , to wobec suriektywno±ci f ,
f (x1 ) = y1 oraz f (x2 ) = y2 . St¡d
je±li
»e
w zbiorze
X
jednoznaczna oraz
istniej¡
x1 , x2 ,
takie
y1 2 y2 ⇒ f (x1 ) 2 f (x2 ) ⇐⇒ x1 1 x2 ⇒ f −1 (y1 ) 2 f −1 (y2 ).
Zaªó»my, »e
y ∈Y
x1 ∈ X ,
x
X oraz »e dla pewnego
y 2 f (x). Poniewa» f jest suriekcj¡, wi¦c istnieje
»e f (x1 ) = y . Korzystaj¡c z (i) oraz denicji elementu
jest elementem minimalnym w
elementu
mamy
element
taki
minimalnego, dostajemy
f (x1 ) 2 f (x) ⇐⇒ x1 1 x ⇒ x1 = x ⇒ f (x1 ) = f (x) ⇒ y = f (x).
(v) jest podobny.
Dowód (vi) jest podobny do dowodu (vii), który poka»emy zaraz.
Dowód
x jest elementem najwi¦kszym w X , oraz y ∈ Y . Istnieje
wi¦c element x1 ∈ X , taki »e f (x1 ) = y . Mamy x1 1 x, a co za tym idzie,
y = f (x1 ) 2 f (x), czyli f (x) jest najwi¦kszy w Y .
Wªasno±¢ (viii) wynika bezpo±rednio z bijektywno±ci f .
Zaªó»my, »e
(X, 1 ), (Y, 2 ) oraz (Z, 3 ) s¡ zbiorami cz¦±ciowo
X ' X , 2) je»eli X ' Y , to Y ' X i 3) je±li X ' Y i
Y ' Z , to X ' Z . Wspóln¡ cech¦ wszystkich zbiorów izomorcznych z (X, ) nazywamy typem porz¡dkowym zbioru (X, ). Wobec twierdzenia 6.10
wida¢, »e typ porz¡dkowy (N, ≤) jest inny ni» (Z, ≤).
Zauwa»my »e je±li
uporz¡dkowanymi, to 1)
Poka»emy teraz, »e tak»e ograniczenia oraz kra«ce s¡ niezmiennikami
izomorzmu.
Zaªó»my, »e f : X → Y jest izomorzmem zbiorów
cz¦±ciowo uporz¡dkowanych (X, 1 ), (Y, 2 ) oraz A ⊂ X . Wówczas
6.11 Twierdzenie.
(i) je±li x jest ograniczeniem dolnym zbioru A w X , to f (x) jest ograniczeniem dolnym zbioru f (A) w Y ,
56
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
(ii) je±li x jest ograniczeniem górnym zbioru A w X , to f (x) jest ograniczeniem górnym zbioru f (A) w Y ,
(iii) je±li x = inf A w X , to f (x) = inf f (A) w Y ,
(iv) je±li x = sup A w X , to f (x) = sup f (A) w Y .
Dowód.
Zaªó»my, »e x jest ograniczeniem dolnym zbioru A w X i niech y ∈
f (A). Istnieje element x1 ∈ A, taki »e f (x1 ) = y . Skoro x 1 x1 , wi¦c
f (x) 1 y . Wobec dowolno±ci elementu y , (i) jest udowodnione.
Dowód
(ii)
jest podobny.
Dla dowodów pozostaªych wªasno±ci, wystarczy zauwa»y¢, »e
wuje zbiór ogranicze« dolnych (górnych) zbioru
nych (górnych) zbioru
A
f
odwzoro-
na zbiór ogranicze« dol-
f (A) oraz skorzysta¢ z twierdzenia 6.10(vii) (6.10(vi) ).
6.3 Zbiory skierowane
Niech
(X, )
jest zbiorem
x2 ∈ X
b¦dzie zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym.
Mówimy, »e
X
skierowanym do doªu, je±li dla dowolnych dwóch elementów x1 ,
y ∈ X,
y x1
y x2 .
X
jest zbiorem skierowanym do góry, je»eli dla dowolnych dwóch elementów x1 ,
x2 ∈ X istnieje element y ∈ X , taki »e x1 y oraz x2 y .
istnieje element
taki »e
oraz
Podobnie,
6.12 Przykªad.
Typowym przykªadem zbioru skierowanego zarówno do
S
S
góry jak i do doªu jest zbiór 2 z przykªadu 6.1. Istotnie, je±li A, B ∈ 2 , to
A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B oraz A ∩ B ⊂ A ⊂ A S
∪ B . Zauwa»my, T
»e je±li A
S
dowoln¡ podrodzin¡ 2 , to istnieje sup A =
A oraz inf A = A.
6.13 Przykªad.
Rozwa»my zbiór
N
jest
z relacj¡ okre±lon¡ w przykªadzie 6.2.
1 a dla dowolnej liczby
a. Je»eli jednak rozwa»ymy podzbiór A = N \ {1}, to nie jest to ju» zbiór
skierowany do doªu, poniewa» nie istnieje element a ∈ A, taki »e a | 2 oraz
a | 3. Zbiór A (N zreszt¡ te») jest zbiorem skierowanym do góry, poniewa» dla
dowolnych elementów a, b mamy a | NWW(a, b), b | NWW(a, b). Podobnie jak
w przykªadzie 6.12, dowolny podzbiór N ma inmum i supremum w zbiorze
Wówczas jest to zbiór skierowany do doªu, poniewa»
liczb naturalnych.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
57
W uzupeªnieniu przykªadów, zauwa»my »e wszystkie zbiory liczbowe uporz¡dkowane przez relacj¦
≤
s¡ skierowane do doªu i do góry. Zauwa»my, »e
je±li na zbiorze skierowanym do doªu wprowadzimy porz¡dek odwrotny, to
staje si¦ on skierowany do góry i vice versa.
Postawmy teraz nast¦puj¡ce pytanie:
zbiorem zbioru
X
A jest dowolnym podinf A istnieje w zbiorze X ?
Czy je±li
skierowanego do doªu, to czy
Odpowied¹, wbrew wcze±niejszym przykªadom, jest negatywna.
6.14 Przykªad.
Niech
X = {a, b, c, d, e}, A = {a, b}
i niech
= {(c, a), (d, a), (c, b), (d, b), (e, a), (e, b), (e, c), (e, d)}
∪ {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)} .
Wówczas
X
jest zbiorem skierowanym, elementy
c, d i e
ograniczaj¡ zbiór
A
z doªu, ale w zbiorze ogranicze« dolnych nie ma elementu najwi¦kszego (s¡
dwa elementy maksymalne). Zatem inmum zbioru
A
nie istnieje.
Prawdziwe jest natomiast nast¦puj¡ce twierdzenie.
Przypu±¢my, »e (X, ) jest zbiorem skierowanym do
doªu (do góry) oraz x ∈ X jest elementem minimalnym (maksymalnym)
w X . Wówczas w X istnieje element najmniejszy (najwi¦kszy).
6.15 Twierdzenie.
Dowód. Poka»emy, »e x jest elementem najmniejszym w X . Istotnie, je±li
y ∈ X , to z denicji zbioru skierowanego do doªu wynika istnienie elementu
z ∈ X , takiego »e z x oraz z y . Skoro x jest elementem minimalnym,
wi¦c z = x. St¡d x y . Wobec dowolno±ci y mamy, »e x jest elementem
najmniejszym.
Nasze rozwa»ania na temat zbiorów skierowanych zako«czymy dowodem
faktu, »e skierowano±¢ jest niezmiennikiem izomorzmu.
Je±li f : X → Y jest izomorzmem zbiorów cz¦±ciowo
uporz¡dkowanych (X, 1 ), (Y, 2 ) oraz X jest zbiorem skierowanym do doªu
(do góry), to Y te» jest zbiorem skierowanym do doªu (do góry).
6.16 Twierdzenie.
Dowód.
Zaªó»my, »e
X
jest skierowany do doªu oraz
y1 , y2 ∈ Y .
Istniej¡ ele-
x1 , x2 ∈ X , których obrazami przy funkcji f s¡, odpowiednio, y1 i y2 .
Poniewa» X jest zbiorem skierowanym do doªu, wi¦c istnieje element x ∈ X ,
taki »e x 1 x1 oraz x 1 x2 . Z denicji izomorzmu dostajemy f (x) 2 y1
oraz f (x) 2 y2 . Zatem Y jest zbiorem skierowanym do doªu.
menty
58
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
6.4 Zbiory uporz¡dkowane liniowo
Je±li relacja porz¡dkuj¡ca okre±lonana na zbiorze
»e zbiór
X jest uporz¡dkowany liniowo
lub
X
jest spójna, to mówimy,
jest ªa«cuchem.
Šatwo jest zauwa-
»y¢, »e ªa«cuch jest zbiorem skierowanym zarówno do doªu jak i do góry. Je±li
w zbiorze uporz¡dkowwanym liniowo jest element minimalny (maksymalny),
to jest on najmniejszy (najwi¦kszy). Element najmniejszy w ªa«cuchu nazywamy
pierwszym, a najwi¦kszy ostatnim.
Zbiory liczbowe uporz¡dkowane przez relacj¦
≤ s¡ ªa«cuchami.
W dowol-
nym zbiorze cz¦±ciowo uporz¡dkowanym mo»emy wyró»ni¢ podzbiory uporz¡dkowane liniowo (podªa«cuchy). Liniowo±¢ uporz¡dkowania jest niezmiennikiem izomorzmu.
Je±li zbiór (X, 1 ) jest ªa«cuchem, oraz (Y, 2 ) jest
zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym i f : X → Y jest izomorzmem, to
zbiór Y jest liniowo uporz¡dkowany.
6.17 Twierdzenie.
Dowód.
x2 ∈ X .
Przypu±¢my, »e
Poniewa»
X
y1 , y2 ∈ Y
s¡ obrazami pewnych elementów
jest ªa«cuchem, mamy
nicji izomorzmu dostajemy
y1 2 y2
lub
x1 1 x2
y2 2 y1 ,
lub
x1 ,
x2 1 x1 . Z de2 jest
wi¦c relacja
spójna.
Je±li zbiór liniowo uporz¡dkowany jest niesko«czony, to nie musi on posiada¢ elementu pierwszego, czy ostatniego. Przykªadem jest tu zbiór liczb
rzeczywistych lub nawet przedziaª otwarty
(0, 1).
Je±li (X, ) jest niepustym ªa«cuchem sko«czonym, to
posiada on element pierwszy i ostatni.
6.18 Twierdzenie.
Dowód.
W dowodzie b¦dziemy post¦powa¢ zgodnie z zasad¡ indukcji mate-
matycznej. Przypu±¢my, »e
czas
x
X = {x} jest zbiorem jednoelementowym.
Wów-
jest elementem pierwszym i ostatnim jednocze±nie. Zaªó»my teraz, »e
n-elementowy posiada element pierwszy i ostatni. Niech X
b¦dzie ªa«cuchem n + 1-elementowym. Rozwa»my zbiór Y = X \ {x0 },
gdzie x0 jest pewnym elementem zbioru X . Poniewa» Y jest ªa«cuchem nelementowym, wi¦¢ posiada element pierwszy y1 i ostatni y2 . Je±li y1 x0 , to
y1 jest elementem pierwszym w zbiorze X . W przeciwnym wypadku, x0 jest
elementem pierwszym w zbiorze X . Podobnie, y2 lub x0 jest elementem
ostatnim w zbiorze X . Na podstawie indukcji matematycznej wnioskujemy,
ka»dy ªa«cuch
»e ka»dym ªa«cuchu sko«czonym istnieje element pierwszy i ostatni.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
59
Na zako«czenie naszych rozwa»a« o zbiorach uporz¡dkowanych liniowo,
zauwa»ymy, »e dowolne dwa ªa«cuchy sko«czone o tej samej liczbie elementów, maj¡ ten sam typ porz¡dkowy.
Zaªó»my, »e (X, 1 ) oraz (Y, 2 ) s¡ ªa«cuchami sko«czonymi. Je»eli X = Y , to X ' Y .
6.19 Twierdzenie.
Dowód.
{a},
Tak»e tym razem przeprowadzimy dowód indukcyjny.
to tak»e
wiedzmy,
b.
Y
Je±li
X =
jest zbiorem jednoelementowym zawieraj¡cym element, po-
Wówczas funkcja
f : a 7→ b
jest izomorzmem.
Przypu±¢my teraz, »e twierdzenie jest prawdziwe dla zbiorów
n-elemento-
X = Y = n + 1. Zarówno X jak i Y maj¡ element
Oznaczmy przez x1 i y1 elementy pierwsze, odpowiednio w X i w Y .
X \ x1 ' Y \ y1 . Niech g b¦dzie izomorzmem tych zbiorów.
funkcja f : X → Y okre±lona wzorem
(
b1 ,
je»eli x = a1
f (x) =
g(x), je»eli x 6= a1
wych. Niech
jest izmorzmem ªa«cuchów
X iY.
pierwszy.
Wówczas
Wówczas
Na mocy zasady indukcji matematycznej,
twierdzenie jest prawdziwe.
Zauwa»my, »e zbiory
N
oraz
typu porz¡dkowego, poniewa»
Z s¡ równoliczne, ale nie maj¡ tego samego
w N istnieje element pierwszy 1, a w Z nie.
6.5 Lemat Kuratowskiego-Zorna
a moce zbiorów
Zastosujemy teraz elementy teorii zbiorów uporz¡dkowanych w dowodach
niektórych twierdze« z teorii mocy. U»yjemy tu pewnika wyboru, z którego
wynika Lemat Kuratowskiego-Zorna.
Lemat ten speªnia kluczow¡ rol¦ w
poni»szych dowodach.
Zaªó»my, »e (X, ) jest zbiorem cz¦±ciowo uporz¡dkowanym. Je»eli ka»dy podªa«cuch zbioru X ma ograniczenie
górne, to w zbiorze X istnieje element maksymalny.
6.20 Lemat
(Kuratowskiego-Zorna).
60
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
Dowód lematu przedstawimy pó¹niej.
Zdeniowali±my ju», co to znaczy, »e liczba kardynalna
(niewi¦ksza) od liczby kardynalnej
n.
m
jest mniejsza
Denicji tej u»ywali±my wielokrotnie,
ale nigdy dot¡d nie zdarzyªa si¦ sytuacja, kiedy chcieli±my porówna¢ dwie
narzucone z góry liczby kardynalne. Potrzebne nam jest do tego nast¦puj¡ce
twierdzenie.
6.21 Twierdzenie.
m ≤ n lub n ≤ m.
Dowód.
Dla dowolnych liczb kardynalnych m oraz n zachodzi
m i n s¡ ró»ne od zera.
zbiory A i B , takie »e A = m oraz B = n. Rozwa»my
S = (X, fX ) : X ⊂ A, fX : X −−→ B .
Zaªó»my »e obie liczby kardynalne
wi¦c niepuste
Istniej¡
zbiór
1−1
Zdeniujemy w zbiorze
S
relacj¦
(X, fX ) (Y, fY )
nast¦puj¡co
⇐⇒
X⊂Y
oraz
fY | X = fX .
fX | X = fX .
Poka»emy, »e jest relacj¡ przechodni¡. W tym celu zaªó»my, »e (X, fX ) (Y, fY ) oraz (Y, fY ) (Z, fZ ). Mamy wi¦c, »e X ⊂ Y ⊂ Z , fZ | Y = fY
oraz fY | X = fX . St¡d X ⊂ Z oraz fZ | X = (fZ | Y ) | X = fY | X = fX ,
czyli (X, fX ) (Z, fZ ). Zauwa»my jeszcze, »e je±li X ⊂ Y oraz Y ⊂ X ,
to X = Y , a co za tym idzie, fX | Y = fX oraz fY | X = fY . Zatem je»eli
(X, fX ) (Y, fY ) i (Y, fY ) (X, fX ), to (X, fX ) = (Y, fY ), czyli relacja jest te» antysymetryczna. Ostatecznie otrzymujemy, »e (S, ) jest zbiorem
Zauwa»my, »e jest to relacja zwrotna, poniewa»
X ⊂X
oraz
cz¦±ciowo uporz¡dkowanym.
Przypu±¢my, »e
T
jest podªa«cuchem
X =
S.
[
Rozwa»my zbiór
X
(X,fX )∈T
F : X → B zdeniowan¡ nast¦puj¡co: je±li x ∈ X , to istnieje
element (X, fX ) ∈ T , taki »e x ∈ X , wówczas kªadziemy F(x) = fX (x).
Zauwa»my najpierw, »e X ⊂ A, poniewa» ka»dy ze zbiorów rodziny
{X}(x,fX )∈T jest podzbiorem zbioru A. Sprawd¹my teraz, czy F jest w ogóle
funkcj¡ z X do B , a nast¦pnie, czy jest ona ró»nowarto±ciowa. Przypu±¢my
wi¦c, »e x ∈ X oraz x ∈ X i x ∈ Y . Poniewa» (X, fX ) i (Y, fY ) s¡ elementami ªa«cucha T , wi¦c mamy (X, fX ) (Y, fY ) lub (Y, fY ) (X, fX ). Dla
oraz funkcj¦
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
61
ustalenia uwagi zaªó»my, »e zachodzi pierwsza relacja. Zatem
x∈X
i
fY (x) = (fY | X)(x) = fX (x).
F jest
x, y ∈ X i
St¡d
pokaza¢ ró»nowarto±ciowo±¢ zaªó»my, »e
X ⊂ Y,
czyli
dobrze okre±lona. ›eby
F(x) = F(y).
(6.2)
x ∈ X , y ∈ Y oraz X ⊂ Y . St¡d x ∈ Y , wi¦c równanie 6.2 sprowadza si¦ do fY (x) = fY (y), co wobec ró»nowarto±ciowo±ci fY
daje x = y . Zatem F jest iniekcj¡.
Element (X , F) jest ograniczeniem górnym ªa«cucha T . Wobec dowolno±ci T dostajemy, »e ka»dy podªa«cuch zbioru S ma ograniczenie górne. Z
lematu Kurotowskiego-Zorna mamy, »e w zbiorze S istnieje element maksymalny (Z, fZ ), przy czym Z ⊂ A oraz fZ : Z −
−→ B .
Mo»emy zaªo»y¢, »e
1−1
Poka»emy, »e
Z = A
lub
fZ (Z) = B .
Przypu±¢my, »e »adna z tych
a ∈ A \ Z oraz b ∈ B \ fZ (Z).
Okre±lmy zbiór Z = Z ∪ {a} oraz funkcj¦ F kªad¡c F(z) = fZ (z) dla z ∈ Z
oraz Z(a) = b. Wówczas (Z, F) ∈ S oraz (Z, fZ ) (Z, F), ale (Z, fZ ) 6=
(Z, F), co przeczy maksymalno±ci elementu (Z, fZ ).
Tak wi¦c mamy Z = A lub fZ (Z) = B . Pierwsza równo±¢, wobec iniektywno±ci fZ , daje nam nierówno±¢ A ≤ B . Natomiast druga równo±¢
oznacza suriektywno±¢ funkcji fZ z podzbioru A na B , a co za tym idzie,
B ≤ A. Ostatecznie mamy m ≤ n lub n ≤ m.
równo±ci nie zachodzi. Istniej¡ wi¦c elementy
Technik¦ poprzedniego dowodu wykorzystuje si¦ do±¢ cz¦sto. My j¡ wykorzystamy jeszcze do pokazania, »e
A×A ∼ A, je»eli zbiór A jest niesko«czony.
Rezultat ten nie jest prawdziwy dla zbiorów sko«czonych. W pierwszym semestrze pokazali±my, »e
N × N ∼ N.
Fakt ten wykorzystamy w nast¦pnym
twierdzeniu, ale zapiszemy go w nieco zmienionej formie w postaci lematu.
6.22 Lemat.
Je±li zbiory A oraz B s¡ przeliczalne, to A × B ∼ A.
Luki w dowodzie nast¦puj¡cego twierdzenie pozostawiamy Czytelnikowi
do samodzielnego uzupeªnienia.
6.23 Twierdzenie.
A × N ∼ A.
Dowód.
Przypu±¢my, »e A jest zbiorem niesko«czonym. Wtedy
Rozwa»my zbiór
na
S = (X, fX ) : X ⊂ A, fX : X × N −−→ X .
1−1
62
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
A zawiera zbiór przeliczalny B , a z lematu 6.22 wynika istnienie bijekcji z B ×N na B . Na zbiorze S wprowadzamy
relacj¦ nast¦puj¡co:
Zbiór
S
nie jest pusty, poniewa» zbiór
(X, fX ) (Y, fY )
⇐⇒
X⊂Y
oraz
fY | X × N = fX .
Relacja ta jest relacj¡ porz¡dkuj¡c¡ cz¦±ciowo zbiór
Niech
T
b¦dzie dowolnym podªa«cuchem
S.
S.
Zdeniujemy najpierw zbiór
S
X = (X,fX )∈T X , a nast¦pnie funkcj¦ F . Dla dowolnego elementu (x, n) ∈
X × N, istnieje (X, fX ) ∈ T , taki, »e x ∈ X . Kªadziemy F(x) = fX (x). Element (X , F) jest dobrze okre±lonym elementem zbioru S oraz ograniczeniem
górnym zbioru T .
Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, »e w zbiorze S istnieje element
maksymalny (Z, fZ ). Poka»emy, »e Z ∼ A. Istotnie, zaªó»my, »e Z 6∼ A.
Wynika st¡d, »e A\Z jest zbiorem niesko«czonym, czyli zawiera pewien zbiór
przeliczalny B . Z Lematu 6.22 wynika, »e B × N ∼ B . Zatem
(Z ∪ B) × N = (Z × N) ∪ (B × N) ∼ Z ∪ B.
Z ⊂ Z ∪B , mamy sprzeczno±¢ z maksymalno±ci¡ elementu (Z, fZ ).
Z ∼ A oraz A × N ∼ Z × N ∼ Z ∼ A.
Poniewa»
Zatem
Z powy»szego twierdzenia wynika nast¦puj¡cy wniosek.
Zaªó»my, »e ka»dy zbiór rodziny {An }n∈N jest niesko«czony
S
i ma moc niewi¦ksz¡ od m. Wówczas n∈N An ≤ m. Nierówno±¢ ta jest
równo±ci¡ wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden ze zbiorów rodziny
{An }n∈N ma moc równ¡ m.
6.24 Wniosek.
Dowód.
Skoro
Funkcja
f
m jest liczb¡ kardynaln¡, wi¦c istnieje zbiór B taki, »e B = m.
Zatem dla ka»dej liczby naturalnej n istnieje podzbiór Bn ⊂ B równoliczny
z An . Z twierdzenia 6.23 wynika, »e B × N ∼ B , wi¦c B × N = m. Niech fn
S
b¦dzie bijekcj¡ z Bn na An i niech a b¦dzie dowolnym elementem
n∈N An .
S
Okre±lmy funkcj¦ f : B × N →
A
wzorem
n∈N n
(
fn (b), je±li b ∈ Bn
f (b, n) =
a,
je»eli b ∈
/ Bn .
jest suriekcj¡, wi¦c
S
n∈N
An ≤ B = m.
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
An0 ⊂
S
n∈N An , wi¦c z
twierdzenia Cantora-Bernsteina wynika, »e suma uogólniona ma moc m. OdJe»eli pewien zbiór
An0
63
ma moc
m,
to poniewa»
{An }n∈N ma moc mniejsz¡
od m, to istnieje liczba kardynalna n < m, taka »e dla ka»dego n ∈ N, mamy
An ≤ n. Ale to implikuje, »e moc sumy jest co najwy»ej n, co jest sprzeczne
wrotnie, nie wprost, je±li ka»dy ze zbiorów rodziny
z zaªo»eniem.
Nast¦pne twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia 5.7.
6.25 Twierdzenie.
Dowód.
Je±li A ⊂ B , A < B , to B \ A = B .
Rozwa»my rodzin¦
B \ A = A2 = A3 = · · · .
{An }n∈N zdeniowan¡
nast¦puj¡co: A = A1 ,
S
Wówczas
n∈N An = A ∪ (B \ A) = B , wi¦c
przynajmniej jeden ze zbiorów rodziny
jest to
A
wi¦c musi to by¢
{An }n∈N
ma moc
B.
Poniewa» nie
B \ A.
Niniejszy rozdziaª zako«czymy nast¦puj¡cym twierdzeniem oraz wnioskiem z niego.
6.26 Twierdzenie.
Dowód.
Je±li A jest zbiorem niesko«czonym, to A × A ∼ A.
Pierwsza cz¦±¢ dowodu pokrywa si¦ z pocz¡tkiem dowodu twierdze-
nia 6.23. Rozwa»amy zbiór
na
S = (X, fX ) : X ⊂ A, fX : X × X −−→ X .
1−1
A zawiera zbiór przeliczalny B , a z lematu 6.22 wynika istnienie bijekcji z B×B na B . Na zbiorze S wprowadzamy
relacj¦ nast¦puj¡co:
Zbiór
S
nie jest pusty, poniewa» zbiór
(X, fX ) (Y, fY )
⇐⇒
X⊂Y
oraz
fY | X × X = fX .
Relacja ta jest relacj¡ porz¡dkuj¡c¡ cz¦±ciowo zbiór
dowolny podªa«cuch zbioru
S
S.
Dodatkowo mamy, »e
ma ograniczenie górne.
Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, »e w zbiorze
maksymalny
Z 6∼ A.
(Z, fZ ).
Trzeba pokaza¢, »e
Wynika st¡d, »e
zawiera pewien podzbiór
A \ Z ma tak¡
B równoliczny
Z ∼ A.
S
istnieje element
Istotnie, zaªó»my, »e
sam¡ moc, co zbiór
z
Z.
A,
czyli
A\Z
Z poprzedniej cz¦±ci dowodu
64
Wst¦p do matematyki wspóªczesnej wykªad
wynika, »e
B ×B ∼ B , B ×Z ∼ B ×B ∼ B ∼ B ×{1} oraz Z ×B ∼ B ×{2}.
Mamy
(B ∪ Z) × (B ∪ Z) = (B × B) ∪ (B × Z) ∪ (Z × B) ∪ (Z × Z)
∼ B ∪ (B × {1}) ∪ (B × {2}) ∪ Z
∼ B ∪ Z.
B × B na B , a gZB i gBZ b¦d¡ bijekcjami, odpowiednio, z Z × B na B × {1} oraz z B × Z na B × {2}. Niech jeszcze h
b¦dzie funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡ z B ∪ (B × {1}) ∪ (B × {2}) na B .
Zdeniujmy fB∪Z wzorem:

fZ (x, y),
je»eli (x, y) ∈ Z × Z ,



h(f (x, y)), je»eli (x, y) ∈ B × B ,
B
fB∪Z (x, y) =

h(gZB (x, y)), je»eli (x, y) ∈ B × B ,



h(gBZ (x, y)), je»eli (x, y) ∈ B × B .
Niech
fB
Poniewa»
b¦dzie bijekcj¡ z
(Z, fZ ) (B ∪ Z, fB∪Z )
oraz
jest maksymalny i mamy sprzeczno±¢.
Z 6= B ∪ Z , wi¦c element (Z, fZ )
Zatem A × A ∼ Z × Z ∼ Z ∼ A.
nie
Przypu±¢my, »e T ≤ m oraz »e dla ka»dego t ∈ T mamy
S
At ≤ m. Wówczas t∈T At ≤ m.
6.27 Wniosek.
Pozostawiamy Czytelnikowi dyskusj¦ nad problemem, kiedy nierówno±¢
z poprzedniego wniosku jest równo±ci¡.
6.6 Zbiory uporz¡dkowane liniowo g¦sto
6.7 Zbiory uporz¡dkowane liniowo
w sposób ci¡gªy
6.8 Zbiory dobrze uporz¡dkowane