VI. Półprzewodniki w zewnętrznych polach

VI.
PӊPRZEWODNIKI
W ZEWN†TRZNYCH POLACH
Janusz Adamowski
1
1
Elektron pasmowy w statycznym jednorodnym
polu elektrycznym
Zbadamy wpªyw staªego jednorodnego pola elektrostatycznego na stany jednoelektronowe w póªprzewodniku. W opisie posªu»ymy si¦ metod¡ masy efektywnej. Przyjmujemy, »e pole elektryczne F wyznacza kierunek osi x, czyli
F = (F, 0, 0).
Potencjaª tego pola wyra»ony jest wzorem
ϕ(x) = −F x .
(1)
Przypomnienie:
obliczanie pola elektrycznego na podstawie potencjaªu skalarnego ϕ(x)
F = −∇ϕ = −
dϕ
= F ≡ Fx .
dx
Elektron o ªadunku qe = −e uzyskuje w polu elektrycznym dodatkow¡ energi¦ potencjaln¡
∆U = qe ϕ(x) = −eϕ(x) ,
(2)
czyli
∆U = eF x .
(3)
Je»eli pole elektryczne nie jest zbyt silne, to w obr¦bie komórki elementarnej
o rozmiarach rz¦du staªej sieci a energia ∆U przyjmuje niewielk¡ warto±¢, a
ponadto zmienia si¦ nieznacznie, poniewa» x ' a jest znacznie mniejsze od
rozmiarów krysztaªu.
Zatem ∆U mo»emy traktowa¢ jako maª¡ wolnozmienn¡ poprawk¦ do energii
pola periodycznego. Oznacza to, »e speªnione s¡ warunki stosowalno±ci przybli»enia masy efektywnej.
Zgodnie z metod¡ masy efektywnej dla krysztaªu pod dziaªaniem zewn¦trznego pola elektrycznego hamiltonian elektronu pasmowego o masie efektywnej
me przyjmuje posta¢
~2 2
∇ + ∆U .
(4)
H=−
2me
Je»eli zaburzenie pola krysztaªu przez zewn¦trzne pole elektryczne jest maªe,
to mo»emy zastosowa¢ rachunek zaburze« 1. rz¦du, który prowadzi do nast¦puj¡cej poprawki do energii pasmowej elektronu:
∆E = h∆U i = eF hxi ,
(5)
przy czym warto±¢ oczekiwan¡ liczymy przy u»yciu funkcji Blocha odpowiedniego pasma.
Poprawk¦ (5) dodajemy do energii pasmowej elektronu, co prowadzi do formuªy na energi¦
En (k, F ) = En0 (k) + eF hxi ,
(6)
gdzie En0 (k) jest energi¡ elektronu w pasmie n bez pola elektrycznego.
Rysunek 1: Efekt Zenera.
Wniosek
Jednorodne zewn¦trzne pole elektrostatyczne prowadzi do pojawienia si¦ nachylenia pasm energetycznych w funkcji poªo»enia elektronu w krysztale.
Nachylenie pasm energetycznych mo»e powodowa¢ tunelowanie elektronu z
pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa.
Dla odpowiednio silnego pola elektrycznego elektron mo»e z niezerowym
prawdopodobie«stwem przej±¢ z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa.
Jest to tzw. efekt Zenera, który jest jedn¡ z przyczyn przebicia diody
póªprzewodnikowej.
2
Elektron pasmowy w jednorodnym polu magnetycznym i parabolicznym potencjale uwi¦zienia bocznego
Rozwa»amy wpªyw jednorodnego statycznego pola magnetycznego oraz parabolicznego uwi¦zienia bocznego na stany jednoelektronowe w przybli»eniu masy
efektywnej.
Jest to tzw. problem Focka-Darwina, który znajduje obecnie zastosowanie do opisu stanów elektronów uwi¦zionych w kropkach kwantowych.
Na pocz¡tek separujemy zmienn¡ spinow¡ elektronu, czyli rozwa»amy problem bezspinowy.
Przyjmujemy, »e elektron o ªadunku qe = −e i pasmowej masie efektywnej m? = me znajduje si¦ w kropce kwantowej, scharakteryzowanej przez pole
uwi¦zienia bocznego o energii potencjalnej
Uconf (x, y) =
me ω02 2
(x + y 2 ) ,
2
gdzie ~ω0 jest energi¡ uwi¦zienia bocznego.
2
(7)
Ponadto na elektron dziaªa jednorodne pole magnetyczne B = (0, 0, B).
Hamiltonian elektronu w przybli»eniu masy efektywnej ma posta¢
H=
1
me ω02 2
(−i~∇ + eA)2 +
(x + y 2 ) ,
2me
2
(8)
gdzie A jest potencjaªem wektorowym.
Pole magnetyczne obliczamy za pomoc¡ potencjaªu wektorowego nast¦puj¡co:
B=∇×A.
(9)
Na tym wykªadzie przyjmuj¦ cechowanie symetryczne, czyli
A=
1
B×r.
2
(10)
Oznacza to, »e polu magnetycznemu B = (0, 0, B) odpowiada potencjaª wektorowy
B
A = (−y, x, 0) .
(11)
2
Obliczamy kwadrat operatora
(−i~∇ + eA)2 = −~2 ∇2 + e2 A2 − i~e(∇ · A + A · ∇) .
(12)
W dalszym ci¡gu korzystamy ze wzorów
A2 =
B2 2
(x + y 2 )
4
oraz
(∇ · A + A · ∇)f (r) = (∇ · A)f (r) + 2A · ∇f (r) .
(13)
(14)
Przyjmujemy ponadto cechowania Coulomba, czyli
∇·A=0.
Posta¢ hamiltonianu po przeksztaªceniach
2 2
~2 2
e B
me ω02
e
∇ +
+
(x2 + y 2 ) − i~
A·∇.
H=−
2me
8me
2
me
(15)
(16)
Ostatni wyraz hamiltonianu (16) mo»na dalej przeksztaªci¢ nast¦puj¡co:
−i~A · ∇ = A · p =
B
B
(xpy − ypx ) = lz ,
2
2
(17)
gdzie lz = xpy − ypx jest operatorem z -owej skªadowej momentu p¦du.
Ostatecznie hamiltonian elektronu w polu magnetycznym i parabolicznym
potencjale uwi¦zienia przyjmuje posta¢
2 2
~2 2
e B
me ω02
eB
H=−
∇ +
+
(x2 + y 2 ) +
lz .
(18)
2me
8me
2
2me
3
Wygodnie jest wyrazi¢ hamiltonian (18) w pewnych naturalnych jednostkach
tak, aby nowe zmienne byªy bezwymiarowe. Wprowadzimy tutaj jednostki
donorowe, w których jednostk¡ dªugo±ci jest donorowy promie« Bohra aD =
~2 εs /(κme e2 ), jednostk¡ energii jest rydberg donorowy RD = me κ2 e4 /(2~2 ε2s ),
a jednostk¡ momentu p¦du jest ~.
Deniujemy cz¦sto±¢ efektywn¡ za pomoc¡ zwi¡zku
Ω2 = ω02 +
gdzie
ωc =
ωc2
,
4
eB
me
(19)
(20)
jest cz¦sto±ci¡ cyklotronow¡.
Zamiast cz¦sto±ci cyklotronowej mo»na te» wprowadzi¢ cz¦sto±¢ Larmora
ωc
eB
.
=
2me
2
ωL =
Wtedy
2
Ω2 = ω02 + ωL
.
(21)
(22)
Ponadto deniujemy bezwymiarowe parametry
~ωc
2RD
(23)
~(ω02 + ωc2 /4)1/2
.
RD
(24)
γ=
i
Γ=
Inaczej
2
Γ =
~ω0
RD
2
+
γ2
.
4
(25)
W jednostkach donorowych hamiltonian (18) przyjmuje posta¢
1
H = −∇2 + Γ2 (x2 + y 2 ) + γlz .
4
(26)
Parametr γ jest miar¡ wzgl¦dnego nat¦»enia pola magnetycznego.
γ=
~eB
2me RD
Sªabe pole magnetyczne odpowiada zakresowi
γ<1,
natomiast dla
γ≥1
4
(27)
mamy do czynienia z silnym polem magnetycznym.
W pró»ni me = me0 , RD = Ry , co oznacza, »e warto±ci γ = 1 odpowiada
pole magnetyczne B = 4.7 × 105 T. W przyrodzie tak silne pole magnetyczne
wyst¦puje we wn¦trzach gwiazd.
Natomiast w póªprzewodniku, np. w GaAs, dla którego RD = 6 meV i
me = 0.067me0 , warto±ci γ = 1 odpowiada pole magnetyczne B = 14 T, które
jest realizowalne w laboratorium.
Oznacza to, »e w póªprzewodnikach mo»emy obserwowa¢ w warunkach laboratoryjnych zjawiska wyst¦puj¡ce w silnych polach magnetycznych.
Hamiltonian (26) wyra»ony we wspóªrz¦dnych cylindrycznych (r, z, φ) przyjmuje posta¢
H=−
1 ∂
Γ2 2
1 ∂2
∂2
∂
∂2
−
+
r
−
−
− iγ
.
2
2
2
2
∂r
r ∂r
4
r ∂φ
∂z
∂φ
(28)
Operator z -owej skªadowej momentu p¦du lz we wspóªrz¦dnych cylindrycznych ma posta¢
∂
lz = −i
.
(29)
∂φ
Hamiltonianem (28) komutuje z operatorem lz
[H, lz ] = 0 .
(30)
Ponadto hamiltonian (28) komutuje z operatorem z -owej skªadowej p¦du, czyli
operatorem pz = −i~∂/∂z ,
[H, pz ] = 0 .
(31)
Wynika st¡d, »e funkcje wªasne hamiltonianu (28) s¡ równocze±nie funkcjami
wªasnymi operatorów lz i pz .
Równanie wªasne dla operatora lz ma posta¢
przy czym
lz Φ(φ) = mΦ(φ) ,
(32)
Φ(φ) = C1 eimφ
(33)
s¡ funkcjami wªasnymi operatora lz , a
m = 0, ±1, ±2, . . .
(34)
s¡ warto±ciami wªasnymi tego operatora.
Nale»y zauwa»y¢, »e w tym przypadku magnetyczna liczba kwantowa m
nie jest ograniczona ani od góry ani od doªu.
Równanie wªasne operatora pz ma posta¢
dla funkcji wªasnych
pz π(z) = ~kz π(z)
(35)
π(z) = C2 eikz z .
(36)
5
Równanie wªasne hamiltonianu (28) mo»na zapisa¢ we wspóªrz¦dnych cylindrycznych jako
HΨ(r, z, φ) = EΨ(r, z, φ)
(37)
i dokona¢ separacji zmiennych
Ψ(r, z, φ) = ψ(r)π(z)Φ(φ) .
(38)
Korzystaj¡c z równa« (37), (32) i (35) otrzymujemy radialne równanie wªasne
1 d
d2
Γ2 2 m2
(39)
− 2−
+
r + 2 + γm + kz2 ψ(r) = Eψ(r) ,
dr
r dr
4
r
które posiada dokªadne rozwi¡zania analityczne.
S¡ to tzw. rozwi¡zania Focka-Darwina.
Rozwa»my najpierw zachowanie asymptotyczne rozwi¡za« równania radialnego (39).
(1) Przypadek du»ych odlegªo±ci: r 1
Dla du»ych r równanie wªasne (39) przyjmuje posta¢
d2
Γ2 2
− 2+
r ψ(r) = Eψ(r) .
dr
4
(40)
Otrzymujemy wi¦c równanie wªasne jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o cz¦sto±ci Γ. Energie wªasne tego oscylatora wyra»one w jednostkach RD
dane s¡ wzorami
1
EN = N +
Γ,
(41)
2
gdzie oscylatorowa liczba kwantowa N = 0, 1, 2, . . ..
Funkcja falowa stanu podstawowego ma posta¢ asymptotyczn¡
ψ0 (r) ∼ e−Γr
2
/4
.
(42)
(2) Przypadek maªych odlegªo±ci: r 1
Dla maªych r mo»na przyj¡¢, »e prawa strona w równaniu wªasnym (39) jest
równa zero, co prowadzi do asymptotycznej postaci równania wªasnego
d2
1 d
m2
− 2−
+ 2 ψ(r) = 0 .
(43)
dr
r dr
r
Szukamy rozwi¡za« tego równania w postaci
ψ(r) = Crα ,
α>0.
(44)
Z warunku rozwi¡zalno±ci wynika, »e α = |m|, czyli
ψ(r) ∼ r|m| .
6
(45)
W caªym zakresie zmienno±ci r rozwi¡zanie analityczne równania (39) ma
posta¢
2 −γr 2 /4
ψmn (r) = Cmn r|m| L|m|
,
(46)
n (Γr )e
|m|
gdzie Ln (x) jest stowarzyszonym wielomianem Laguerre'a stopnia s = n−|m|.
Warto±ciami wªasnymi równania radialnego (39) s¡
Emnkz = (2n + |m| + 1)Γ + mγ + kz2 ,
(47)
gdzie n = 0, 1, 2, . . . jest radialn¡ liczb¡ kwantow¡, a m = 0, ±1, ±2, . . . jest
magnetyczn¡ liczb¡ kwantow¡.
Dla kz = 0 otrzymujemy dyskretne poziomy energetyczne Focka-Darwina
Emn = (2n + |m| + 1)Γ + mγ .
(48)
W jednostkach SI poziomy Focka-Darwina przyjmuj¡ posta¢
Emn = (2n + |m| + 1)~Ω + m~ωc .
(49)
Dla ω0 = 0 otrzymujemy z warto±ci wªasnych Focka-Darwina (48) poziomy
Landaua.
W tym celu deniujemy liczb¦ kwantow¡ Landaua jako
def
N = n+
m + |m|
,
2
(50)
przy czym N = 0, 1, 2, . . . i nie jest ograniczona od góry.
Dla kz = 0 poziomy Landaua maj¡ posta¢
EN = (2N + 1)γ ,
a w jednostkach SI
EN
1
~ωc .
= N+
2
(51)
(52)
Mo»na zauwa»y¢, »e poziomy Landaua odpowiadaj¡ poziomom energetycznym
jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o energii wzbudzenia ~ωc (2γ w
jednostkach donorowych).
Ka»dy poziom Landaua EN jest niesko«czenie-krotnie zdegenerowany ze wzgl¦du na magnetyczn¡ liczb¦ kwantow¡ m.
7
Rysunek 2: Poziomy Landaua dla kz = 0.
Konsekwencj¡ niesko«czenie-krotnej degeneracji poziomu Landaua jest kwan-
towy efekt Halla.
8
Rysunek 3: Energie stanów Landaua w funkcji N i kz .
3
Spinowy efekt Zeemana
Spin elektronu mo»e by¢ uwzgl¦dniony za pomoc¡ równania Pauli'ego
1
(−i~∇ + eA)2 − µs · B Ψ = Eψ ,
2me
gdzie
µs = −
e~
σ
2me
(53)
(54)
jest operatorem spinowego dipolowego momentu magnetycznego, a
σ = (σx , σy , σz )
(55)
jest operatorem wektorowym zdeniowanym za pomoc¡ trzech macierzy Pauli'ego
(σx , σy , σz ).
Ostatni wyraz w hamiltonianie w równaniu Pauli'ego (53) jest operatorem
dodatkowej energii potencjalnej elektronu o spinie s = (~/2)σ w polu magnetycznym B. Jest to energia oddziaªywania spinowego magnetycznego momentu
dipolowego µs z polem magnetycznym B. W jawnej postaci
Dla pola B = (0, 0, B)
∆Us = −µs · B .
(56)
∆Us = −µzs B ,
(57)
µzs = −µB σz
(58)
gdzie
jest z -ow¡ skªadow¡ wektora µs .
9
W równaniu (58) µB jest magnetonem Bohra
µB =
e~
,
2me0
(59)
przy czym me0 jest mas¡ spoczynkow¡ elektronu.
Czynnik Landego
W ogólnym przypadku zachodzi nast¦puj¡cy zwi¡zek pomi¦dzy magnetycznym momentem dipolowym µ a momentem p¦du J dla elektronu o masie me i
ªadunku qe = −e
e
J,
(60)
µ = −g
2me
gdzie g jest czynnikiem Landego, który dla elektronu w pró»ni przyjmuje
nast¦puj¡ce warto±ci:
2 dla J = Jspin ≡ s
g=
1 dla J = Jorb ≡ L
gdzie s jest spinowym momentem p¦du, a L jest orbitalnym momentem p¦du.
Dla elektronu pasmowego w póªprzewodniku mo»na wprowadzi¢ efektywny
czynnik Landego g ? , który mo»e przyjmowa¢ zarówno dodatnie jak i ujemne
warto±ci (na ogóª ró»ne od 1 i 2).
Np. dla elektronu w pasmie przewodnictwa GaAs: g ? = −0.44, natomiast
dla elektronu w póªprzewodniku magnetycznym CdMnTe
g ? ' 200 .
=⇒ gigantyczny spinowy efekt Zeemana
Spinowy magnetyczny moment dipolowy elektronu pasmowego mo»na wyrazi¢ za pomoc¡ czynnika Landego nast¦puj¡co:
1
µs = − g ? µB σ .
2
(61)
Operator oddziaªywania spinu z polem magnetycznym przyjmuje posta¢
∆Us =
1 ?
g µB σ · B .
2
(62)
Równanie Pauli'ego (53) mo»na rozwi¡za¢ stosuj¡c separacj¦ zmiennych przestrzennych r = (x, y, z) i zmiennej spinowej σ , czyli
Ψ = Ψ(r, σ) = ψ(r)χ(σ) ,
gdzie χ(σ) jest spinorem.
Dla σ = +1
χ(+1) = |αi =
10
1
0
,
(63)
(64)
Rysunek 4: Rozszczepienie spinowe poziomu Landaua EN .
natomiast dla σ = −1
χ(−1) = |βi =
0
1
.
(65)
Obliczaj¡c warto±ci oczekiwane operatora ∆Us za pomoc¡ spinorów χ(±1)
otrzymujemy równanie wªasne dla przestrzennej cz¦±ci funkcji falowej
1
2
(−i~∇ + eA) + ∆Es ψ(r) = Eψ(r) ,
(66)
2me
gdzie ∆Es jest przyczynkiem spinowym do energii elektronu
∆Es = h∆Us i =
1
1 ?
g µB Bhσz i == ± g ? µB B .
2
2
(67)
W równaniu (67) znak + (−) odpowiada elektronowi o spinie +~/2 (−~/2 ),
czyli spinowemu dipolowemu momentowi magnetycznemu o zwrocie przeciwnym
(zgodnym) z polem magnetycznym B.
Dodatkow¡ energi¦ elektronu w polu magnetycznym mo»na wyrazi¢ w postaci
1
∆Es = ± g ? µB B .
(68)
2
Uwzgl¦dnienie spinu elektronu prowadzi do tzw. spinowego efektu Zeemana, który polega na tym, »e ka»dy poziom Landaua ulega rozszczepieniu
na dwa podpoziomy odpowiadaj¡ce warto±ciom wªasnym skªadowej z -owej spinu
±~/2.
Dla kz = 0 caªkowita energia elektronu w polu magnetycznym zale»y od
liczb kwantowych (m, n, s), czyli
Emns = Emn + ∆Es ,
(69)
przy czym Emn dane jest wzorem (48).
Zastosowania spinowego efektu Zeemanna w póªprzewodnikach
11
Uwaga: Dla g ? ≥ 100 mamy do czynienia z tzw. gigantycznym spinowym rozszczepieniem Zeemana, które jest obecnie wykorzystywane w
spintronice.
Problemy spintroniki:
• polaryzacja spinowa pr¡du =⇒ dioda spinowa
• sterowanie pr¡dem spolaryzowanym spinowo =⇒ tranzystor spinowy
Ponadto stany spinowe elektronu s¡ kubitami spinowymi, które mog¡ by¢
wykorzystane do zapisu informacji kwantowej i kontrolowanych operacji na
nim, czyli realizacji kwantowych operacji logicznych.
12