Stepwise Selection for AIDS10
advertisement
1 1. OPIS ZAGADNIENIA Przedmiotem projektu jest analiza liczby zachorowań na Aids w latach 1990-1996 w Polsce. Pierwsze przypadki AIDS rozpoznano w Stanach Zjednoczonych w 1980 roku. Obecnie AIDS ma charakter pandemii, która obejmuje swym zasięgiem wszystkie kontynenty świata. Jeżeli utrzyma się obecne tempo rozwoju epidemii, to do końca 2000 roku liczba osób żyjących z HIV sięgnie 40 mln.osób. W Polsce w porównaniu z innymi krajami stwierdzenie pierwszych przypadków zachorowania na AIDS nastąpiło z kilkuletnim opóżnieniem. Pierwsze zachorowania zarejestrowano w 1986 roku. - Drogi szerzenia się zakażenia HIV HIV należy do wirusów pierwotnie przenoszonych drogą seksualną (w nomenklaturze międzynarodowej są to choroby określane skrótem STD: sexually transmitted diseases). Zakażenie może nastąpić także przez krew i sprzęt nią skażony (niedostateczna sterylizacja), a także od matki na płód (wewnątrzmacicznie, okołoporodowo i prawdopodobnie w związku z karmieniem piersią). Zakażenie w zależności od żródła: MĘŻCZYZNI 36% ponad 8% narkomani KOBIETY 53,9% kontakty heteroseksualne 34,3% homo- i biseksualiści -- ok. 46 % Poniżej zamieszczam tabelę z danymi dotyczącymi zakażeń HIV obywateli polskich, zgłoszonych do Zakładu Epidemiologii Państwowego Zakładu Higieny w latach 1985-1994. Grupa badanych Zakażeni w związku z używaniem środków odurzających Homo i biseksualiści Dawcy krwi Zakażeni drogą kontaktów heteroseksualnych Liczba zakażeń 2270 224 173 70 Odsetek ogółu zakażeń 69,1 % 6,8% 5,3% 2,1% 2 Chorzy na hemofilię Osoby trudniące się prostytucją 16 14 0,5% 0,4% Jak powszechnie wiadomo pojawienie się choroby powoduje obecność wirusa HIV w organizmie. Im więcej nosicieli tegoż wirusa tym więcej zachorowań na AIDS . Liczba zachorowań na AIDS jest ściśle zależna od ilości zakażeń wirusem HIV, czym uzasadniam właśnie wybór czynników objaśniających: - liczba zakażonych wirusem HIV homo- i biseksualistów (na 500 przebadanych) liczba zakażonych wirusem HIV narkomanów (na 500 przebadanych) odsetek zarażonych wirusem HIV drogą kontaktów heteroseksualnych (na 500 przebadanych) liczba leczonych w ośrodkach rehabilitacyjnych dla narkomanów. Narkomani, homo- i biseksualiści oraz heteroseksualiści często zmieniający partnerów to grupy ”największego ryzyka”. Osoby należące do tych grup są niewątpliwie najbardziej narażone na niebezpieczeństwo zakażenia. Również czynnik - liczba leczonych w ośrodkach rehabilitacyjnych dla narkomanów uważam, istotnie objaśnia badane zjawisko. Tendencja rosnąca tej zmiennej nasuwa następujące przypuszczenia : wzrastająca liczba leczonych jest skutkiem zwiększającej się ilości narkomanów, a co za tym idzie, zwiększa się liczba potencjalnych nosicieli wirusa HIV, który to wirus, jak już wcześniej wspomniałam, jest czynnikiem chorobotwórczym w przypadku AIDS. Wartości czynników objaśniających (liczba zakażonych wirusem HIV homo- i biseksualistów, liczba zakażonych wirusem HIV narkomanów, odsetek zarażonych wirusem HIV drogą kontaktów heteroseksualnych ) zostały przeliczone dla 500 -osobowej grupy przebadanych w celu zapewnienia porównywalności wyników we wszystkich grupach.. Do grupy czynników objaśniających planowałam również włączyć dane o liczbie zakażeń HIV wśród dawców krwi, osób trudniących się prostytucją i chorych na hemofilię. Niestety wartości odnośnie danych ( chorzy na hemofilię, osoby trudniące się prostytucją) po przeliczeniu dla 500 – osobowej grupy były zbyt małe; ich wpływ byłby znikomy dla takiej grupy. Dane o dawcach krwi z kolei, były niekompletne we wszystkich latach co uniemożliwiłoby prawidłowe wnioskowanie. W związku z tym danych tych nie mogłam wykorzystać. 1.1 DANE STATYSTYCZNE: Zmienna objaśniana Y w moim modelu to liczba zachorowań na Aids w Polsce w latach 1990-1996. Zmienne objaśniające: - X 1 liczba zakażonych wirusem HIV homo- i biseksualistów (na 500 przebadanych) - X 2 liczba zakażonych wirusem HIV narkomanów (na 500 przebadanych) 3 - Lata X 3 odsetek zarażonych wirusem HIV drogą kontaktów heteroseksualnych (na 500 przebadanych) X 4 liczba leczonych w ośrodkach rehabilitacyjnych dla narkomanów. (Y) Zachorowania Na Aids ( X1 ) Zakażeni wirusem HIV homo- i biseksualiści /500 przebadanych ( X2 ) Zakażeni wirusem HIV narkomani /500 przebadanych ( X3) Odsetek zarażonych HIV drogą kontaktów heteroseksualnych /500 przebadanych 1990 21 28 27 0,00029 1991 35 26 25 0,00052 1992 50 22 20 0,00046 1993 68 21 15 0,0009 1994 102 33 18 0,0012 1995 114 25 24 0,0014 1996 136 41 25 0,0012 1997 167 50 48 0,0013 *dane zaczerpnięte z kwartalników ‘Przegląd epidemiologiczny’ *dane zaczerpnięte z roczników statystycznych z lat 1990-1997. ( X4 ) Liczba leczonych w ośrodkach rehabilitacyjnych dla narkomanów 1088 1270 2142 1965 2027 2274 3110 3870 W tabeli umieszczam również dane z roku 1997, jednak nie wykorzystuję ich do budowy modelu, gdyż będą mi one potrzebne do przeprowadzenia prognozy. 2. SELEKCJA CZYNNIKÓW OBJAŚNIAJĄCYCH: Dla poszczególnych czynników objaśniających obliczam współczynniki zmienności. W przypadku gdy wartość współczynnika danej zmiennej jest poniżej 0.1(10%), wówczas ją odrzucam. Korzystam z następujących wzorów: V S / X * 100% (współczynnik zmienności) przy czym: X 1 n1 x n (średnia arytmetyczna) 2 S= 1 n1 x x (odchylenie standardowe) n 4 Otrzymałam następujące wartości współczynników zmienności dla poszczegółnych czynników objaśniających: X 1 : 25% X 2 : 20% X 3 : 51% X 4 : 35% Wszystkie współczynniki mają wartość powyżej 10%, tak więc nie odrzucam żadnego czynnika. 3. BUDOWA MODELU EKONOMETRYCZNEGO: Budowę modelu rozpoczynam od doboru zmiennych. Do tego posłużę się procedurą StepWise-Regression pakietu STATGRAPH. Odbywa się to metodą forward lub backward (ze stałą lub bez). Metoda forward polega na wyborze zmiennych poprzez dołączanie ich kolejno do optymalnie wybranego zbioru. Metodą Backward natomiast, wybór zmiennych odbywa się poprzez stopniową eliminację zmiennych z modelu. Do badania istotności parametrów otrzymanego modelu przyjmuję współczynnik istotności = 0.05. METODA FORWARD: Stepwise Selection for AIDS11.zachorow -------------------------------------------------------------------------------Selection: Forward Maximum steps: 500 F-to-enter: 4.00 Control: Manual Step: 3 F-to-remove: 4.00 R-squared: .99884 Adjusted: .99768 MSE: 4.31174 d.f.: 3 Variables in Model Coeff. F-Remove Variables Not in Model P.Corr. F-Enter -------------------------------------------------------------------------------1. AIDS11.leczeni 0.02381 150.2229 4. AIDS11.narkoma .6846 1.7643 2. AIDS11.shetero 60421.4 464.5258 3. AIDS11.shomo 1.03227 52.4635 Do modelu wchodzą trzy zmienne. Model fitting results for: AIDS11.zachorow -------------------------------------------------------------------------------Independent variable coefficient std. error t-value sig.level -------------------------------------------------------------------------------CONSTANT -52.485753 3.609775 -14.5399 0.0007 AIDS11.leczeni 0.023808 0.001942 12.2565 0.0012 AIDS11.shetero 60421.368599 2803.403786 21.5529 0.0002 AIDS11.shomo 1.032266 0.142516 7.2432 0.0054 -------------------------------------------------------------------------------R-SQ. (ADJ.) = 0.9977 SE= 2.076472 MAE= 1.169095 DurbWat= 2.672 5 Previously: 0.9977 2.076472 1.169095 2.672 7 observations fitted, forecast(s) computed for 1 missing val. of dep. var. Nie zdecydowałam się jednak na wybór tego modelu, gdyż: -pakiet STATGRAPH wykazał aż trzy punkty wpływowe, co jest zjawiskiem niekorzystnym, tym bardziej w moim przypadku gdy liczba lat obserwacji jest niewielka ( 7 lat ). Flagged Observations for AIDS11.zachorow ------------------------------------------------------------------Obs. Number Stnd. Residual Leverage Mahalanobis Dist. DFITS 3 0.90257 0.74073 13.4517 1.52559 4 -2.09694 0.37682 2.19001 -1.63059 6 2.36839 0.60136 6.70921 2.90889 ------------------------------------------------------------------Number of flagged observations (residual, leverage or DFITS) = 3 -macierz korelacji obrazująca stopień skorelowania między zmiennymi była również niesatysfakcjonująca (stopień skorelowania między zmiennymi niezależnymi był dosyć wysoki). Sample Correlations -------------------------------------------------------------------------------zachorow leczeni shetero shomo zachorow 1.0000 .8901 .9380 .6038 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) .0000 .0072 .0018 .1511 leczeni .8901 1.0000 .7147 .5206 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) .0072 .0000 .0711 .2309 shetero .9380 .7147 1.0000 .4029 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) .0018 .0711 .0000 .3702 shomo ( .6038 .5206 .4029 1.0000 7) ( 7) ( 7) ( 7) .1511 .2309 .3702 .0000 -------------------------------------------------------------------------------W celu polepszenia budowanego przeze mnie modelu wartości czynnika- odsetek zarażonych wirusem HIV drogą kontaktów heteroseksualnych na 500 osób podnoszę do kwadratu, natomiast wartości czynnika- liczba zakażonych homo- i biseksualistów logarytmuję. 6 METODA FORWARD: Stepwise Selection for AIDS10.zachorow -------------------------------------------------------------------------------Selection: Forward Maximum steps: 500 F-to-enter: 4.00 Control: Manual Step: 3 F-to-remove: 4.00 R-squared: .99737 Adjusted: .99473 MSE: 9.80065 d.f.: 3 Variables in Model Coeff. F-Remove Variables Not in Model P.Corr. F-Enter -------------------------------------------------------------------------------1. AIDS10.hetero 3.05419E7 194.1027 4. AIDS10.nar .1000 .0202 2. AIDS10.leczeni 0.03150 150.7455 3. AIDS10.homo 21.4053 11.7284 Do modelu weszły trzy zmienne. Model fitting results for: AIDS10.zachorow -------------------------------------------------------------------------------Independent variable coefficient std. error t-value sig.level -------------------------------------------------------------------------------CONSTANT -84.309434 19.434287 -4.3382 0.0226 AIDS10.hetero 3.054193E7 2.192203E6 13.9321 0.0008 AIDS10.leczeni 0.031503 0.002566 12.2778 0.0012 AIDS10.homo 21.405307 6.250304 3.4247 0.0417 -------------------------------------------------------------------------------R-SQ. (ADJ.) = 0.9947 SE= 3.130600 MAE= 1.740210 DurbWat= 2.081 Previously: 0.9947 3.130600 1.740210 2.081 7 observations fitted, forecast(s) computed for 0 missing val. of dep. var. METODA BACKWARD: Stepwise Selection for AIDS10.zachorow -------------------------------------------------------------------------------Selection: Backward Maximum steps: 500 F-to-enter: 4.00 Control: Manual Step: 1 F-to-remove: 4.00 R-squared: .99737 Adjusted: .99473 MSE: 9.80065 d.f.: 3 Variables in Model Coeff. F-Remove Variables Not in Model P.Corr. F-Enter -------------------------------------------------------------------------------2. AIDS10.leczeni 0.03150 150.7455 1. AIDS10.narkoma .7385 2.3999 3. AIDS10.hetero 3.05419E7 194.1027 4. AIDS10.homo 21.4053 11.7284 7 Model fitting results for: AIDS10.zachorow -------------------------------------------------------------------------------Independent variable coefficient std. error t-value sig.level -------------------------------------------------------------------------------CONSTANT -84.309434 19.434287 -4.3382 0.0226 AIDS10.leczeni 0.031503 0.002566 12.2778 0.0012 AIDS10.hetero 3.054193E7 2.192203E6 13.9321 0.0008 AIDS10.homo 21.405307 6.250304 3.4247 0.0417 -------------------------------------------------------------------------------R-SQ. (ADJ.) = 0.9947 SE= 3.130600 MAE= 1.740210 DurbWat= 2.081 Previously: 0.0000 0.000000 0.000000 0.000 7 observations fitted, forecast(s) computed for 0 missing val. of dep. var. Zarówno za pomocą metody FORWARD jak i BACKWARD otrzymuję taki sam wynik. Decyduję się na ten model. Postać modelu: Liczba zachor na Aids= -84.309434 + 0.031503*leczeni + 3.054193E7*hetero + 21.40530-7*homo Y= -84.309434 + 0.031503*X4 + 3.054193E7*X3 + 21.405307*X1 Jak widać powyższy model objaśnia w 99% kształtowanie się zmiennej objaśnianej, świadczy o tym wartość adjustowanego współczynnika determinacji R-SQ.(ADJ)=0.9947. Różni się on nieznacznie od współczynnika determinacji R-squared, którego wartość wynosi :0.99737, z czego wynika, że wielkość próbki nie ma wielkiego wpływu na współczynnik determinacji. Ponadto na poziomie istotności α= 0.05 współczynniki przy zmiennych X 4 , X 3 i X 1 a także wyraz wolny są istotne gdyż sig.level<0.05. -współczynnik zbieżności, korelacji wielorakiej, zmienności losowej: Współczynnik zbieżności 2 =1-R 2 2 =1-0.9947=0.0053 Oznacza to, że około 1% zmienności zmiennej objaśnianej nie zostało wyjaśnione przez model (jest to wynikiem działania czynników przypadkowych, które nie zostały uwzględnione w modelu). Miarą siły związku liniowego zmiennej objaśnianej Y ze zmienną objaśniającą modelu ekonometrycznego jest pierwiastek kwadratowy z R 2 określany mianem współczynnika korelacji wielorakiej R. 8 W moim przypadku R=0.9973, co można uznać za satysfakcjonujące. Współczynnik zmienności losowej We informuje jaki % średniej arytmetycznej zmiennej objaśnianej Y modelu stanowi odchylenie standardowe reszt S e . Im mniejszy współczynnik tym lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych. S We e Y W moim przypadku: S e =2.213667 Y =75.14286 stąd: We =2.9% Jeżeli dla założonej z góry krytycznej wartości współczynnika zmienności losowej W * =20% zachodzi We W * to model można uznać za dostatecznie dopasowany do danych empirycznych. Obliczony współczynnik zmienności losowej wynosi 2.9%, nierówność We W * zachodzi, tak więc badany model uznaję za dostatecznie dopasowany do danych empirycznych. 4.ANALIZA OBSERWACJI: Analizę obserwacji przeprowadzę za pomocą opcji Influence measures. Dostarcza ona informacji o liczbie obserwacji oznaczonych (flagged) jako izolowane lub wywierające duży wpływ na wyniki estymacji. W jej wyniku uzyskujemy następujące informacje o oznaczonych obserwacjach: numer obserwacji (Obs. Number), studentyzowana reszta (Stnd. Residual), miara wpływu h i (Leverage), odległość Mahalanobisa (Mahalanobis Dist.) oraz miara wpływu DFITS (i ) (DFITS). Flagged Observations for AIDS10.zachorow ------------------------------------------------------------------Obs. Number Stnd. Residual Leverage Mahalanobis Dist. DFITS 5 2.20638 0.36847 2.08399 1.68534 ------------------------------------------------------------------Number of flagged observations (residual, leverage or DFITS) = 1 Został wykazany jeden punkt wpływowy: obserwacja o numerze 5. Właściwie powinno się rozważyć jego usunięcie z modelu, ja jednak postanowiłam pozostawić wymieniony punkt do dalszej obserwacji. 5. MACIERZ KORELACJI: 9 Poniżej przedstawiam macierz współczynników korelacji , którą skopiowałam z programu STATGRAPH: Sample Correlations ------------------------------------------------------------------------------zachorow leczeni hetero homo zachorow 1.0000 .8901 .9076 .5675 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) . 0000 .0072 .0047 .1839 leczeni .8901 1.0000 .6378 .4511 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) .0072 .0000 .1233 .3096 hetero .9076 .6378 1.0000 .4223 ( 7) ( 7) ( 7) ( 7) .0047 .1233 .0000 .3453 homo .5675 .4511 .4223 ( 7) ( 7) ( 7) ( .1839 .3096 .3453 1.0000 7) .0000 Powyższa macierz pozwala nam określić powiązania pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi a także samymi zmiennymi objaśniającymi. Korelacje pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a zmienną objaśnianą są wysokie natomiast pomiędzy zmiennymi objaśniającymi stosunkowo niskie. Jest to zjawisko korzystne. 5.1 ZASADA KOINCYDENCJI: Model ekonometryczny posiada własność koincydencji, jeśli dla każdej zmiennej objaśniającej znak współczynnika stojącego przy zmiennej w modelu jest równy współczynnikowi korelacji ze zmienną objaśnianą. Oznacza to, że dla każdego i=1,...m gdzie m-liczba zmiennych w modelu, spełniony jest warunek: sgn bi = sgn ri dla badanego modelu: sgn b x 4 = sgn rx4 sgn b x 3 = sgn rx 3 sgn bx1 = sgn rx1 zatem posiada on własność koincydencji. 10 6. ANALIZA WARIANCJI : 6.1 TESTOWANIE UKŁADU WSPÓŁCZYNNIKÓW REGRESJI: Analiza wariancji dostarcza danych dotyczących m.in. podziału całkowitej sumy kwadratów zmiennej zależnej na część wyjaśnioną i niewyjaśnioną regresją, wartości odpowiednich średnich kwadratów odchyleń i wartość statystyki F, która służy do weryfikacji hipotezy o braku wpływu uwzględnionych w modelu zmiennych niezależnych na zmienną zależną. Wartość przedstawionej analizy wygląda następująco: . Analysis of Variance for the Full Regression -------------------------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares DF Mean Square F-Ratio P-value -------------------------------------------------------------------------------------------Model 11131.5 3 3710.49 378.596 .0002 Error 29.4020 3 9.80065 -------------------------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 11160.9 6 R-squared = 0.997366 R-squared (Adj. for d.f.) = 0.994731 Stnd. error of est. = 3.1306 Durbin-Watson statistic = 2.08135 Z powyższych danych wynika następujący podział całkowitej sumy kwadratów odchyleń zmiennej zależnej od średniej, która wynosi 11160.9: -Suma kwadratów wyjaśniona za pomocą modelu: 11131.5 -Resztowa suma kwadratów: 29.4020 Odpowiednie dla obu sum kwadratów liczby stopni swobody wynoszą 3 i 3. Średni kwadrat odchyleń resztowych (MSE), który jest oceną wariancji składnika losowego 2 , wynosi 9.80065. A teraz zbadam istotność wpływu wszystkich zmiennych objaśniających łącznie na zmienną objaśnianą, czyli istotności całego wektora parametrów strukturalnych. Stawiam następująca hipotezę zerową: H0: a 0 wobec hipotezy alternatywnej: H1 : a 0 gdzie a – oznacza współczynniki przy zmiennych objaśniających modelu Sprawdzianem hipotezy H 0 jest statystyka F- Fishera-Snedecora: F R2 n k 1 R2 k 1 Wartość krytyczna powyższej statystyki, odczytana z tablic dla przy = 0.05 i dla odpowiednich stopni swobody równych 3 i 3 wynosi : F*= 9.28. 11 Wartość statystyki testowej dla naszego modelu wynosi F(F-ratio)= 378.596. Ponieważ zachodzi nierówność F F * hipotezę H 0 : a 0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H1 : a 0 . Oznacza to, że wektor ocen parametrów strukturalnych ( jako całości ) jest istotnie różny od zera. Zatem trzy zmienne objaśniające łącznie wywierają istotny wpływ na zmienną objaśnianą. 6.2 TESTOWANIE POSZCZEGÓLNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW REGRESJI: Zbadam teraz, czy zmienne objaśniające modelu wpływają w istotny sposób na zmienną objaśnianą, tzn. czy parametry strukturalne istotnie różnią się od zera. W tym celu stawiam następujące hipotezę: H 0 : i =0 wobec hipotezy alternatywnej: H1 : i 0 Przy testowaniu skorzystam ze statystyki: tai ai gdzie a i - ocena i-tego parametru Dai Dai - błąd średni szacunku parametru Powyższa statystyka ma rozkład t-Studenta o n-k stopniach swobody (n- liczba obserwacji, k-liczba zmiennych). Wartość t odczytana z tablic dla 7-3 =4 stopni swobody i przy współczynniku istotności α=0.05 wynosi: t =2,132 Jeżeli spełniona jest nierówność t ai > t to hipotezę H 0 odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej H1 (czyli dany parametr jest statystycznie istotny). Natomiast w przypadku gdy t ai t , nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o nieistotności parametru. W moim przypadku: dla stałej: ta0 = 84.309434 19.434287 = 4.3381799 dla zmiennych objaśniających: t a1 = 0.031503 0.002566 = 12.277084 12 3.054193E 7 =13.93207 2.192203E 6 21405307 . = = 3.4246825 6.250304 t a2 = ta3 Ponieważ dla wszystkich parametrów spełniona jest zależność t ai > t to hipotezę zerową H 0 należy odrzucić na korzyść alternatywnej H1 , tak więc wszystkie parametry strukturalne modelu są statystycznie istotne. 7. ANALIZA WYBRANYCH WŁASNOŚCI SKŁADNIKA LOSOWEGO: Ważną rolę w procesie weryfikacji modelu odgrywa analiza jego składnika losowego, który jest zmienną losową o określonym rozkładzie. Badanie własności rozkładu składnika losowego oraz wybranych parametrów tego rozkładu dostarcza ważnych informacji, będących podstawą oceny „dobroci” weryfikowanego modelu oraz podejmowania decyzji o konieczności jego modyfikacji. Wartości składnika losowego nie są bezpośrednio obserwowalne. Można jednak otrzymać oceny wartości składnika losowego za pomocą reszt. W związku z tym, wnioski uzyskane z badania reszt są przenoszone na wnioski o własnościach rozkładu składnika losowego lub wybranych parametrach tego rozkładu. Poniżej zamieszczam wyniki dotyczące reszt : Regression results for AIDS --------------------------------------------------------------------------------------Observation Observed Fitted Residuals Standardized Number Values Values Residuals 1 21.0000 23.8616 -2.86159 -1.89148 2 35.0000 33.6990 1.30096 0.44121 3 50.0000 49.3355 0.66452 0.33847 4 68.0000 67.5026 0.49743 0.17001 5 102.000 98.3722 3.62782 2.20638 6 114.000 116.093 -2.09256 -1.39962 7 136.000 137.137 -1.13658 -1.10154 --------------------------------------------------------------------------------------0 residuals beyond 3 sigma. Residual Summary -----------------------------------------------------------------------------Number of observations = 7 (0 missing values excluded) Residual average = -5.68434E-14 Residual variance = 9.80065 Residual standard error = 3.1306 Coeff. of skewness = 0.350624 standardized value = 0.378717 Coeff. of kurtosis = -0.264967 standardized value = -0.143098 13 Durbin-Watson statistic = 2.08135 7.1 BADANIE LOSOWOŚCI: Dla modelu z trzema zmiennymi oraz przy siedmiu latach obserwacji zbadanie losowości reszt za pomocą testu serii jest niemożliwe. W tablicy dla tego testu dla =0.05 przy n 1 =4 oraz k emp =3 gdzie n 1 -liczba reszt dodatnich, k emp -liczba serii, wartość krytyczna k nie jest podana. 7.2 BADANIE SYMETRII: Obserwacje odchylające się in minus(in plus) od wartości modelowych powinny stanowić połowę ( w sensie probabilistycznym) wszystkich obserwacji. Formułujemy zatem hipotezę, że składnik resztowy ma rozkład symetryczny: 1 H 0 : p 2 wobec hipotezy alternatywnej, że rozkład składnika nie jest symetryczny: 1 H1 : p 2 m gdzie p , przy czym m jest liczbą reszt odchylających się in plus, a n liczbą wszystkich n obserwacji. Do weryfikacji hipotezy zerowej służy statystyka: m 1 n 2 t emp = = 0.353 m m 1 n n n 1 W przypadku gdy n 30, powyższa statystyka ma przy założeniu prawdziwości H 0 rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody. Dla n = 7 i m = 4 oraz α = 0.05 i 7-1= 6 stopniach swobody odczytujemy z tablic wartość t = 1.943. Ponieważ t emp =0.353< t =1.943, tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o symetrii składnika losowego. 7.3 BADANIE AUTOKORELACJI: W celu zbadania czy występuje zjawisko autokorelacji reszt, posłużę się testem von Neumanna. 14 ( nie mogłam użyć w tym celu testu Durbina-Watsona ze względu na brak odpowiednich wartości krytycznych w tablicach kiedy n =7 i k =3, gdzie n- liczba lat obserwacji, k- liczba zmiennych w modelu) Stawiam następujące hipotezy: H 0 :ξ =0 ( brak autokorelacji) H 1 : ξ >0 Na podstawie reszt u t oblicza się wartość statystyki Q: nt 2 ut ut 1 n Q= 2 n 1t 1 ut 2 n Obliczoną wartość Q porównujemy z krytyczną wartością Q , taką że zachodzi P Q Q . Jeżeli spełniona jest nierówność Q Q to hipotezę H 0 odrzucamy, tzn. występuje autokorelacja reszt w modelu regresji. W przeciwnym wypadku ( Q > Q ) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. W moim przypadku dla n =7 i =0.05: - wartość krytyczna z tablic: Q =1.09 - obliczona wartość: Q =2.42 Ponieważ Q = 2.42> Q =1.09, tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o braku autokorelacji. 7.4 BADANIE ŚREDNIEJ WARTOŚCI : W celu zbadania średniej wartości reszt posłużę się testem w pakiecie STATGRAPH: One-Sample Analysis Results -------------------------------------------------------------------------------WORKAREA.RESIDS Sample Statistics: Number of Obs. 8 Average 2.27374E-11 Variance 6.70756E6 Std. Deviation 2589.9 Median -1158.17 Confidence Interval for Mean: 95 Percent Sample 1 -2165.83 2165.83 7 D.F. 15 Confidence Interval for Variance: Sample 1 0 Percent Hypothesis Test for H0: Mean = 0 Computed t statistic = 2.48315E-14 vs Alt: NE Sig. Level = 1 at Alpha = 0.05 so do not reject H0. W tabeli umieszczone zostały podstawowe statystyki dla reszt. Obliczona średnia, która wyniosła 2.48315E-14, jest bardzo bliska zeru. Wobec powyższego nie podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że średnia reszt równa jest zero. 7.5 BADANIE NORMALNOŚCI ROZKŁADU : Wykorzystam do tego test pustych cel Davida- Hellwiga. Stawiam hipotezę H0, że rozkład odchyleń od funkcji trendu jest rozkładem normalnym, N (0,2.213). Gdy zostanie spełniona jedna z nierówności: P(K=k 1 ) < α P(K=k 2 ) > 1- α, gdzie α - współczynnik istotności k 1 , k 2 -wartości krytyczne odczytane z tablic RESZTY RESZTY UPORZĄDKOWANE STANDARYZOWANE NIEMALEJĄCO ut -2,86159 -1,29269 -2,09256 -0,94529 -1,13658 -0,51344 0,49743 0,224709 0,66452 0,30019 1,30096 0,587695 3,62782 1,638829 ut 0,0985 0,1711 0,3050 0,5871 0,6179 0,9441 0,9495 CELE 0-0,1429 0,1429-0,2858 0,2858-0,4287 0,4287-0,5716 0,5716-0,7145 0,7145-0,8574 0,8574-1 gdzie ut - wartość dystrybuanty rozkładu normalnego Odchylenie standardowe reszt = 2.213667 W celu zweryfikowania hipotezy zerowej: -uporządkowałam reszty rosnąco -dokonałam standaryzacji reszt według wzoru: reszta 0 odchylenie. s tan dardowe. reszt LICZNOŚ Ć CEL * * * ** ** 16 -odczytałam z tablic wartości dystrybuanty rozkładu normalnego ut -podzieliłam odcinek 0,1 na n = 7 równych części tzw. cel -wyznaczyłam liczbę K=2 cel pustych tj. cel, do których nie trafiła żadna z wartości odczytanych dystrybuant -dla n = 7 i = 0,05 odczytałam z tablic wartości krytyczne k1 =0 i k 2 =4 Ponieważ zachodzi nierówność: k1 <K< k 2 ( k1 = 0< K = 2< k 2 = 4), tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o normalności rozkładu reszt. 7.6 BADANIE STAŁOŚCI WARIANCJI W CZASIE: Do badania stałości wariancji odchyleń losowych w czasie, może być wykorzystany test istotności współczynnika korelacji t , t między modułami odchyleń losowych a zmienną czasową t. W tym przypadku weryfikuje się hipotezę zerową : H 0 : t 0 przeciwko: H1 : t 0 Sprawdzianem H 0 jest statystyka : I rt n 2 = 0.151 1 rt2 gdzie rt - współczynnik korelacji między modułami reszt a zmienną czasową t rt n t 1 n t 1 e t e t e t t e t t 2 n = 0.067 2 t 1 e i t - średnie arytmetyczne et i t. Z tablic t - studenta odczytuję wartość I * = 2.571 przy =0.05 oraz dla n-2 =7-2 = 5 stopni swobody. Jeżeli zachodzi I I * to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 , tzn. wariancje są stałe w czasie. W przeciwnym wypadku gdy I I * odrzucamy H 0 na korzyść hipotezy alternatywnej H1 . W moim przypadku I 0.0151 I * 2.571 tak więc możemy uznać stałość wariancji w czasie. 8. PROGNOZA: Do przeprowadzenia prognozy wykorzystuję dane z roku 1997. 17 Rok Y X1 X2 1997 167 50 48 X3 X4 0,0013 3870 Wynik uzyskany za pomocą STATGRAPGA: Regression results for AIDS10.zachorow --------------------------------------------------------------------------Observation Observed Fitted Lower 95% CL Upper 95% CL Number Values Values for forecasts for forecasts 1 21.0000 23.8616 2 35.0000 33.6990 3 50.0000 49.3355 4 68.0000 67.5026 5 102.000 98.3722 6 114.000 116.093 7 136.000 137.137 8 170.214 152.517 187.911 --------------------------------------------------------------------------Powyższa tabela przedstawia , że dla zadanych wartości zmiennych objaśniających (liczba zakażonych wirusem HIV homo- i biseksualistów, odsetek zarażonych wirusem HIV drogą kontaktów heteroseksualnych, liczba leczonych w ośrodkach rehabilitacyjnych dla narkomanów) prognozowana liczba zachorowań na AIDS w 1997 roku w Polsce wynosi 170.214. Przedział ufności dla prognozowanej wielkości , przy poziomie istotności 0.95-(152.517 , 187.911 ). Rzeczywista liczba zachorowań na AIDS w 1997 roku to 167, tak więc prognozowana liczba zachorowań nieznacznie różni się od rzeczywistej, bo o 3.214, oraz mieści się w wyznaczonym przedziale ufności. Błąd prognozy obliczam w następujący sposób: I p I p* Ip 100% I p - prognozowana liczba zachorowań na AIDS w 1997 roku I p* - rzeczywista liczba zachorowań na AIDS w 1997 roku I p = 170.214 I p* = 167 otrzymuję: 170.214 167 100% 19% . 167 18 9. WNIOSKI: Model, który otrzymałam nie pokrywa się całkowicie z moimi przypuszczeniami odnośnie jego wyglądu, które miałam zanim jeszcze przystąpiłam do pracy nad projektem. Zbudowany przeze mnie model opiera się na trzech zmiennych objaśniających tzn.: liczba zakażonych wirusem HIV homo- i biseksualistów, odsetek zarażonych wirusem HIV drogą kontaktów heteroseksualnych oraz liczba leczonych w ośrodkach rehabilitacyjnych dla narkomanów. Wpływ tych wielkości na liczbę zachorowań na AIDS nie ulega wątpliwości. Jeżeli wzrośnie ilość zakażeń wśród homo- i biseksualistów a także heteroseksualistów często zmieniających swych partnerów, wówczas zwiększy się zachorowalność na AIDS. Również na podstawie zmiennej -leczeni w ośrodkach rehabilitacyjnych narkomanów można wywnioskować, że skoro leczonych przybywa to z pewnością będzie to miało wpływ na liczbę chorych na AIDS. Otrzymany model nie uwzględnia natomiast liczby zakażeń stwierdzonych wśród narkomanów, który to czynnik wydawał mi się najbardziej obrazujący wpływ na badane zjawisko, gdyż jest to najliczniejsza z grup badanych. Żałuję, że nie mogłam wykorzystać danych o dawcach krwi a także o osobach trudniących się prostytucją i chorych na hemofilię, wtedy bowiem wnioski wypływające z analizy mogłyby więcej wyjaśnić i zobrazować badany przeze mnie problem. Ważne jest także zwrócenie uwagi na wielkość próbki. Dane wykorzystane w modelu obejmowały jedynie 7 lat, była to zbyt mała próbka, co ogranicza stosowalność modelu. Ponadto w związku z małą liczbą lat obserwacji nie mogłam zweryfikować hipotezy odnośnie losowości reszt, co jest bardzo istotnym elementem weryfikacji modelu. Również z tego powodu w celu zbadania zjawiska autokorelacji reszt musiałam posłużyć się testem von Neumanna, który pod względem ” przydatności ” jest drugi po teście Durbina –Watsona.
