Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej
advertisement
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech [email protected] Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie Zmienna losowa Niech (Ω, p) bedzie ˛ ziarnista˛ przestrzenia˛ probabilistyczna. ˛ Każda˛ funkcje˛ X : Ω −→ R nazywamy zmienna˛ losowa˛ w tej przestrzeni. Zmienna losowa Niech (Ω, p) bedzie ˛ ziarnista˛ przestrzenia˛ probabilistyczna. ˛ Każda˛ funkcje˛ X : Ω −→ R nazywamy zmienna˛ losowa˛ w tej przestrzeni. Jeżeli przestrzeń probabilistyczna (Ω, p) jest modelem doświadczenia δ, to zmienna losowa X w tej przestrzeni jest funkcja, ˛ która każdemu wynikowi doświadczenia δ przypisuje liczbe˛ rzeczywista. ˛ Przykłady zmiennych losowych Zmienna˛ losowa˛ jest: Przykłady zmiennych losowych Zmienna˛ losowa˛ jest: ˛ — liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta, Przykłady zmiennych losowych Zmienna˛ losowa˛ jest: — liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta, ˛ — suma liczb oczek wyrzuconych w dwukrotnym rzucie kostka, ˛ Przykłady zmiennych losowych Zmienna˛ losowa˛ jest: — liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta, ˛ — suma liczb oczek wyrzuconych w dwukrotnym rzucie kostka, ˛ — liczba rzutów moneta˛ wykonanych aż do uzyskania po raz pierwszy reszki, Przykłady zmiennych losowych Zmienna˛ losowa˛ jest: — liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta, ˛ — suma liczb oczek wyrzuconych w dwukrotnym rzucie kostka, ˛ — liczba rzutów moneta˛ wykonanych aż do uzyskania po raz pierwszy reszki, pod warunkiem, że o tych liczbach mówimy zanim rozpocznie sie˛ doświadczenie. Rozkład zmiennej losowej Niech ΩX oznacza zbiór wartości zmiennej losowej X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Rozkład zmiennej losowej Niech ΩX oznacza zbiór wartości zmiennej losowej X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Ten zbiór jest co najwyżej przeliczalny. Załóżmy, że ΩX = {x1, x2, x3, . . . , xt} lub ΩX = {x1, x2, x3, . . .}. Rozkład zmiennej losowej Jeżeli xj ∈ ΩX , to symbolem {X = xj } oznaczamy zbiór {ω ∈ Ω : X(ω) = xj }. Rozkład zmiennej losowej Jeżeli xj ∈ ΩX , to symbolem {X = xj } oznaczamy zbiór {ω ∈ Ω : X(ω) = xj }. Ten zbiór jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Rozkład zmiennej losowej Jeżeli xj ∈ ΩX , to symbolem {X = xj } oznaczamy zbiór {ω ∈ Ω : X(ω) = xj }. Ten zbiór jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Niech P (X = xj ) oznacza jego prawdopodobieństwo. Rozkład zmiennej losowej Jeżeli xj ∈ ΩX , to symbolem {X = xj } oznaczamy zbiór {ω ∈ Ω : X(ω) = xj }. Ten zbiór jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Niech P (X = xj ) oznacza jego prawdopodobieństwo. Nazywamy je prawdopodobieństwem, z jakim zmienna losowa X przyjmuje wartość xj . Rozkład zmiennej losowej Określmy na zbiorze ΩX funkcje˛ pX nastepuj ˛ aco: ˛ pX (xj ) = P (X = xj ) dla xj ∈ ΩX . Rozkład zmiennej losowej Określmy na zbiorze ΩX funkcje˛ pX nastepuj ˛ aco: ˛ pX (xj ) = P (X = xj ) dla x j ∈ ΩX . Zbiór {{X = xj } : xj ∈ ΩX } jest układem zupełnym zdarzeń w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Rozkład zmiennej losowej Określmy na zbiorze ΩX funkcje˛ pX nastepuj ˛ aco: ˛ pX (xj ) = P (X = xj ) dla x j ∈ ΩX . Zbiór {{X = xj } : xj ∈ ΩX } jest układem zupełnym zdarzeń w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Funkcja pX jest zatem rozkładem prawdopodobieństwa na ˛ para (ΩX , pX ) jest nowa˛ przestrzenia˛ zbiorze ΩX , a wiec probabilistyczna. ˛ Rozkład zmiennej losowej Definicja. Jeśli X jest zmienna˛ losowa˛ w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), ΩX jest zbiorem jej wartości, a pX jest funkcja˛ określona˛ wzorem pX (xj ) = P (X = xj ) dla xj ∈ ΩX , to pare˛ (ΩX , pX ) nazywamy przestrzenia˛ probabilistyczna˛ generowana˛ na prostej przez zmienna˛ losowa˛ X, a funkcje˛ pX – rozkładem zmiennej losowej X. Uwagi Rozkład zmiennej losowej X jest wiec ˛ funkcja, ˛ która każdej wartości zmiennej losowej X przypisuje prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa X przyjmuje (może przyjać) ˛ te˛ wartość. Uwagi Rozkład zmiennej losowej X jest wiec ˛ funkcja, ˛ która każdej wartości zmiennej losowej X przypisuje prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa X przyjmuje (może przyjać) ˛ te˛ wartość. Każda zmienna losowa X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p) przeprowadza ja˛ w nowa˛ przestrzeń probabilistyczna˛ (ΩX , pX ). Przykład. Rozważmy doświadczenie δ: rzut dwiema monetami. Niech X bedzie ˛ liczba˛ wyrzuconych orłów. Przykład. Rozważmy doświadczenie δ: rzut dwiema monetami. Niech X bedzie ˛ liczba˛ wyrzuconych orłów. Przyjmijmy oznaczenie: ωk − doświadczenie δ zakończy sie˛ wyrzuceniem k orłów. Przykład. Rozważmy doświadczenie δ: rzut dwiema monetami. Niech X bedzie ˛ liczba˛ wyrzuconych orłów. Przyjmijmy oznaczenie: ωk − doświadczenie δ zakończy sie˛ wyrzuceniem k orłów. Wówczas Ω = {ω0 , ω1 , ω2 } oraz 1 p(ω0 ) = p(ω2 ) = 4 1 oraz p(ω1 ) = . 2 Mamy tutaj ΩX = {0, 1, 2} Mamy tutaj ΩX = {0, 1, 2} oraz {X = 0} = {ω0 }, {X = 1} = {ω1 }, {X = 2} = {ω2 }, Mamy tutaj ΩX = {0, 1, 2} oraz {X = 0} = {ω0 }, {X = 1} = {ω1 }, {X = 2} = {ω2 }, skad ˛ pX (0) = P (X = 0) = p(ω0 ) = 14 , pX (1) = P (X = 1) = p(ω1 ) = 12 , pX (2) = P (X = 2) = p(ω2 ) = 14 . Dystrybuanta zmiennej losowej Niech X bedzie ˛ zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), ΩX zbiorem jej wartości, pX zaś jej rozkładem. Niech {X < x} = {ω ∈ Ω : X(ω) < x}, gdzie x ∈ R. Zbiór {X < x} jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Niech P (X < x) oznacza jego prawdopodobieństwo. Dystrybuanta zmiennej losowej Definicja. Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), to funkcje˛ FX : R −→ R określona˛ wzorem FX (x) = P (X < x), dla x ∈ R, nazywamy dystrybuanta˛ zmiennej losowej X. Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna˛ losowa˛ w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że ΩX jest zbiorem jej wartości, a funkcja pX jest jej rozkładem. Niech xj ∈ ΩX . Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna˛ losowa˛ w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że ΩX jest zbiorem jej wartości, a funkcja pX jest jej rozkładem. Niech xj ∈ ΩX . Interpretujmy liczbe˛ pX (xj ), tj. prawdopodobieństwo P (X = xj ), jako mase˛ skupiona˛ na osi liczbowej w punkcie xj . Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna˛ losowa˛ w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że ΩX jest zbiorem jej wartości, a funkcja pX jest jej rozkładem. Niech xj ∈ ΩX . Interpretujmy liczbe˛ pX (xj ), tj. prawdopodobieństwo P (X = xj ), jako mase˛ skupiona˛ na osi liczbowej w punkcie xj . Funkcja pX staje sie˛ w tej fizycznej interpretacji rozkładem jednostkowej masy w izolowanych punktach na prostej. Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna˛ losowa˛ w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że ΩX jest zbiorem jej wartości, a funkcja pX jest jej rozkładem. Niech xj ∈ ΩX . Interpretujmy liczbe˛ pX (xj ), tj. prawdopodobieństwo P (X = xj ), jako mase˛ skupiona˛ na osi liczbowej w punkcie xj . Funkcja pX staje sie˛ w tej fizycznej interpretacji rozkładem jednostkowej masy w izolowanych punktach na prostej. Ta interpretacja rozkładu zmiennej losowej tłumaczy jego nazwe˛ ROZKŁAD ZIARNISTY. . 0 1 2 . 0 1 0 14 FX (x) = 3 4 2 dla x ∈ (−∞, 0], dla x ∈ (0, 1], dla x ∈ (1, 2], 1 dla x ∈ (2, ∞). . 0 1 0 14 FX (x) = 3 4 2 dla x ∈ (−∞, 0], dla x ∈ (0, 1], dla x ∈ (1, 2], 1 dla x ∈ (2, ∞). . 0 1 0 14 FX (x) = 3 4 2 dla x ∈ (−∞, 0], dla x ∈ (0, 1], dla x ∈ (1, 2], 1 dla x ∈ (2, ∞). . 0 1 0 14 FX (x) = 3 4 2 dla x ∈ (−∞, 0], dla x ∈ (0, 1], dla x ∈ (1, 2], 1 dla x ∈ (2, ∞). . FX 1 3 4 1 4 0 1 2 X Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja FX jest jej dystrybuanta, ˛ to: 1) ∀x ∈ R : [0 6 FX (x) 6 1]; Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja FX jest jej dystrybuanta, ˛ to: 1) ∀x ∈ R : [0 6 FX (x) 6 1]; 2) ∀a, b ∈ R : [a < b =⇒ FX (a) 6 FX (b)]; Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja FX jest jej dystrybuanta, ˛ to: 1) ∀x ∈ R : [0 6 FX (x) 6 1]; 2) ∀a, b ∈ R : [a < b =⇒ FX (a) 6 FX (b)]; 3) ∀a ∈ R : lim FX (x) = FX (a) ; x→a− Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja FX jest jej dystrybuanta, ˛ to: 1) ∀x ∈ R : [0 6 FX (x) 6 1]; 2) ∀a, b ∈ R : [a < b =⇒ FX (a) 6 FX (b)]; 3) ∀a ∈ R : 4) lim FX (x) = FX (a) ; x→a− lim FX (x) = 0 oraz x→−∞ lim FX (x) = 1. x→∞ Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja FX jest jej dystrybuanta, ˛ to: 1) ∀x ∈ R : [0 6 FX (x) 6 1]; 2) ∀a, b ∈ R : [a < b =⇒ FX (a) 6 FX (b)]; 3) ∀a ∈ R : 4) lim FX (x) = FX (a) ; x→a− lim FX (x) = 0 oraz x→−∞ lim FX (x) = 1. x→∞ Wartość oczekiwana zmiennej losowej Niech X bedzie ˛ zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), ΩX zbiorem jej wartości, pX zaś jej ˛ albo wartościa˛ średnia˛ rozkładem. Wartościa˛ oczekiwana, zmiennej losowej X, nazywamy liczbe˛ E(X), gdzie: 1o E(X) = c, gdy ΩX = {c}; Wartość oczekiwana zmiennej losowej Niech X bedzie ˛ zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), ΩX zbiorem jej wartości, pX zaś jej ˛ albo wartościa˛ średnia˛ rozkładem. Wartościa˛ oczekiwana, zmiennej losowej X, nazywamy liczbe˛ E(X), gdzie: 1o E(X) = c, gdy ΩX = {c}; 2o E(X) = x1 · pX (x1 ) + x2 · pX (x2 ) + . . . + xt · pX (xt ), gdy ΩX = {x1 , x2 , . . . , xt }; Wartość oczekiwana zmiennej losowej Niech X bedzie ˛ zmienna˛ losowa˛ w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), ΩX zbiorem jej wartości, pX zaś jej ˛ albo wartościa˛ średnia˛ rozkładem. Wartościa˛ oczekiwana, zmiennej losowej X, nazywamy liczbe˛ E(X), gdzie: 1o E(X) = c, gdy ΩX = {c}; 2o E(X) = x1 · pX (x1 ) + x2 · pX (x2 ) + . . . + xt · pX (xt ), gdy ΩX = {x1 , x2 , . . . , xt }; 3o E(X) = ∞ X xj · pX (xj ), gdy ΩX = {x1 , x2 , x3 , . . .}, j=1 pod warunkiem, że ten szereg jest zbieżny i to bezwzglednie. ˛ Wartość oczekiwana zmiennej losowej W interpretacji fizycznej rozkładu pX liczba E(X) jest środkiem cieżkości ˛ tego układu mas. Z tego faktu wynikaja˛ pewne własności wartości oczekiwanej. Własności wartości oczekiwanej Twierdzenie. Jeśli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana˛ E(X), b zaś jest dowolna˛ ustalona˛ liczba˛ rzeczywista, ˛ to zmienna losowa Y = X +b także posiada wartość oczekiwana˛ i E(Y ) = E(X +b) = E(X) + b. Własności wartości oczekiwanej Twierdzenie. Jeśli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana˛ E(X), b zaś jest dowolna˛ ustalona˛ liczba˛ rzeczywista, ˛ to zmienna losowa Y = X +b także posiada wartość oczekiwana˛ i E(Y ) = E(X +b) = E(X) + b. Twierdzenie. Jeżeli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana˛ E(X) i a jest dowolna˛ ustalona˛ liczba˛ rzeczywista˛ różna˛ od 0, to zmienna losowa Y = a · X także posiada wartość oczekiwana˛ i E(Y ) = E(a · X) = a · E(X). Własności wartości oczekiwanej Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xs sa˛ określone w tej samej przestrzeni probabilistycznej i każda posiada wartość oczekiwana, ˛ to posiada ja˛ również ich suma i E(X1 + X2 + · · · + Xs ) = E(X1 ) + E(X2 ) + · · · + E(Xs ). Wariancja zmiennej losowej Definicja. Jeżeli zmienna losowa X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p) posiada wartość oczekiwana˛ E(X), to wariancja˛ zmiennej losowej X nazywamy liczbe˛ D2 (X) = E[X − E(X)]2 . Wariancja zmiennej losowej Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ posiadajac ˛ a˛ wartość oczekiwana, ˛ to Y = [X − E(X)]2 jest nowa˛ zmienna˛ losowa˛ w tej przestrzeni. Wariancja zmiennej losowej Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ posiadajac ˛ a˛ wartość oczekiwana, ˛ to Y = [X − E(X)]2 jest nowa˛ zmienna˛ losowa˛ w tej przestrzeni. Zmienna losowa Y jest kwadratem odchylenia wartości zmiennej losowej X od liczby E(X). Wariancja zmiennej losowej Jeżeli X jest zmienna˛ losowa˛ posiadajac ˛ a˛ wartość oczekiwana, ˛ to Y = [X − E(X)]2 jest nowa˛ zmienna˛ losowa˛ w tej przestrzeni. Zmienna losowa Y jest kwadratem odchylenia wartości zmiennej losowej X od liczby E(X). Wariancja zmiennej losowej X jest wiec ˛ wartościa˛ oczekiwana˛ kwadratu odchyleń wartości tej zmiennej losowej od liczby E(X). Wariancja zmiennej losowej Z definicji wynika, że wariancja zmiennej losowej wyraża sie˛ wzorem: 2 D (X) = X xj ∈ΩX [xj − E(X)]2 pX (xj ). Wariancja zmiennej losowej Z definicji wynika, że wariancja zmiennej losowej wyraża sie˛ wzorem: 2 D (X) = X [xj − E(X)]2 pX (xj ). xj ∈ΩX Z własności wartości oczekiwanej wynika nastepuj ˛ ace ˛ Twierdzenie. Jeżeli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana˛ i posiada wariancje, ˛ to D2 (X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 . Własności wariancji Jeżeli zmienna losowa X ma wariancje, ˛ c zaś jest ustalona˛ liczba˛ rzeczywista, ˛ to: 1o D2 (c · X) = c2 D2 (X); Własności wariancji Jeżeli zmienna losowa X ma wariancje, ˛ c zaś jest ustalona˛ liczba˛ rzeczywista, ˛ to: 1o D2 (c · X) = c2 D2 (X); 2o D2 (X + c) = D 2 (X); Odchylenie standardowe Definicja. Pierwiastek kwadratowy z wariancji D 2 (X) nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X i oznaczamy σX . Co wynika z faktu, że wariancja 2 D (X) = X xj ∈ΩX jest mała? [xj − E(X)]2 pX (xj ).
