Elementy obwodów prądu stałego

41
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 3
Elementy obwodów prądu stałego
Na początku objaśniono konwencje strzałkowania prądu i napięcia w elementach obwodu oraz
przypomniano prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych.
Podstawowymi elementami obwodów prądu stałego są idealne źródła napięciowe i prądowe oraz
rezystory liniowe i rożnego rodzaju rezystory nieliniowe. Cechy elementów są wyrażane analitycznie – wzorami, albo graficznie – poprzez charakterystyki statyczne prądowo-napięciowe lub napięciowo-prądowe. Dla rezystorów nieliniowych definiuje się pojęcia rezystancji statycznej i dynamicznej.
Gałęzie obwodu pełnią role generatorów („wydajników”) bądź odbiorników mocy elektrycznej,
zależnie od zwrotów prądu i napięcia względem zacisków. Trzeba to mieć na uwadze przy sporządzaniu bilansu mocy obwodu.
Istotnych informacji dostarcza analiza prostych układów, utworzonych z idealnych elementów, a
mianowicie: rzeczywistego źródła napięciowego i rzeczywistego źródła prądowego (charakterystyki, sprawność, dopasowanie), źródeł powstałych z połączenia kilku źródeł (parametry źródeł zastępczych), linii zasilającej odbiornik (spadek napięcia, strata mocy), dzielnika napięcia i dzielnika prądu (reguły podziału).
Możliwe są zamiany rzeczywistych źródeł – napięciowego na prądowe albo prądowego na napięciowe, przy czym jest to zabiegi czysto obliczeniowe, dotyczące równoważności wielkości zaciskowych (napięć oraz prądów na zaciskach).
42
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 3
C
e
E
G
Gw
i
igen
iodb
I
Igen
Iodb
Iz
Iźr
∆I
l
L
p
pgen
podb
P
Pgen
Podb
∆P
∆p%
R
Rdyn
RL
Rs
Rw
S
t
u
ugen
uodb
U
Ugen
Uodb
U0
∆U
∆u%
x
γ
η
pojemność elektryczna
napięcie źródłowe
stałe napięcie źródłowe
konduktancja (przewodność elektryczna)
konduktancja wewnętrzna źródła prądowego
prąd
prąd „generatorowy”
prąd „odbiornikowy”
prąd stały
stały prąd „generatorowy”
stały prąd „odbiornikowy”
prąd zwarcia gałęzi aktywnej (źródła)
prąd źródłowy
zmiana (przyrost) prądu
długość przewodu
indukcyjność
moc
moc „generatorowa”
moc „odbiornikowa”
stała moc
stała moc „generatorowa”
stała moc „odbiornikowa”
strata mocy w źródle lub linii prądu stałego
procentowa strata mocy w linii prądu stałego
rezystancja (opór elektryczny)
rezystancja dynamiczna (różniczkowa)
rezystancja linii
rezystancja statyczna
rezystancja wewnętrzna źródła napięciowego
pole przekroju przewodu linii
czas
napięcie
napięcie „generatorowe”
napięcie „odbiornikowe”
napięcie stałe
stałe napięcie „generatorowe”
stałe napięcie „odbiornikowe”
napięcie stanu jałowego
zmiana (przyrost) napięcia; spadek napięcia w linii prądu stałego
procentowy spadek napięcia w linii prądu stałego
odległość (od początku linii)
przewodność właściwa (konduktywność) przewodu
sprawność
Literatura do rozdziału 3
[1], [2], [4], [6]
43
3. Elementy obwodów prądu stałego
Wykład V. ELEMENTY UKŁADÓW I OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Podstawowe elementy funkcjonalne i schemat obwodu elektrycznego
Obwód elektryczny jest zbiorem elementów, połączonych ze sobą przewodami w taki sposób, że
możliwy jest przepływ prądu elektrycznego. Obwody elektryczne można przedstawiać na dwa sposoby – w tzw. ujęciach: zaciskowym i sieciowym.
Elementami obwodu w ujęciu zaciskowym są struktury o określonej liczbie zacisków: dwójniki,
trójniki, czwórniki, wielobiegunniki, wielowrotniki. Właściwości elementów obwodu są opisywane
przez zależności między ich wielkościami zaciskowymi, tj. prądami i napięciami wybranych par zacisków. Struktury wewnętrzne elementów obwodu mają znaczenie drugorzędne, mówiąc poglądowo: stanowią „czarne skrzynki”.
Elementami obwodu w ujęciu sieciowym są struktury tworzone w określony sposób z elementów
podstawowych, którymi są: idealne źródła napięciowe, idealne źródła prądowe, rezystancje, pojemności i indukcyjności. Źródła to główny czynnik motoryczny w obwodzie (wymuszający ruch ładunków elektrycznych). Rezystancje to elementy rozpraszające energię. Pojemności i indukcyjności to
elementy magazynujące energię (w polu elektrycznym kondensatorów oraz w polu magnetycznym
cewek indukcyjnych). Terminy: dwójniki i trójniki, występują również w ujęciu sieciowym jako nazwy układów o 2 i 3 zaciskach. Wymienione elementy podstawowe to najprostsze dwójniki.
Równania wiążące napięcie i prąd elementów podstawowych: rezystancji R, pojemności C i indukcyjności L (definicja indukcyjności będzie podana później), są następujące:
iR
iC
R
uR
u R = R ⋅ iR
C
uC
iL
iC = C ⋅
L
du C
dt
uL = L ⋅
uL
di L
dt
Stałe wartości parametrów R, C i L znamionują elementy liniowe. Obiekty zbudowane z elementów
skupionych, liniowych i stacjonarnych tworzą klasę układów SLS, których badaniu poświęcona jest
zasadnicza część teorii obwodów.
Odwzorowaniem struktury połączeń elementów występujących
w obwodzie elektrycznym jest schemat elektryczny (rys. obok).
Elementy przedstawia się używając ustalonych normami symboli graficznych i literowych . Linie między elementami traktuje się jako połączenia bezoporowe – o ile nie symbolizują
umownie jakichś elementów, opisanych symbolami literowymi
lub danymi liczbowymi (uproszczenie wyższego stopnia).
R
L
C
e(t)
Obwód z połączonymi szeregowo:
źródłem napięciowym e(t)
i elementami pasywnymi R, L, C
Elementy aktywne i pasywne. Strzałkowanie generatorowe i odbiornikowe
Elementy obwodu dzielą się na aktywne i pasywne. Ogólnie, przez aktywność bądź pasywność elementu rozumie się jego zdolność bądź niezdolność do wydania energii elektrycznej większej od
pobranej w przeszłości. Chodzi o bilans energii elementu względem reszty obwodu w długim przedziale czasu. Podział elementów obwodu elektrycznego na aktywne i pasywne nie przesądza więc o
tym, czy – w pewnej chwili – dany element wydaje energię elektryczną do obwodu, czy też ją z niego pobiera. W określonej sytuacji, element aktywny może z obwodu energię pobierać, a element
pasywny (nie każdy, co prawda, i tylko w ograniczonym czasie) może zwracać do obwodu energię
wcześniej z niego pobraną. Elementy magazynujące nie mogą jednak dostarczyć do obwodu energii
większej od tej, jaką wcześniej z niego przejęły, więc zalicza się je do elementów pasywnych.
Źródła wytwarzają energię elektryczną poprzez zamianę na nią różnego rodzaju nieelektrycznych
nośników energii ewentualnie energii elektrycznej o innych parametrach. Źródła czerpią energię z
otoczenia i oddają do obwodu, ale w określonych konfiguracjach mogą też energię z obwodu elektrycznego pobierać a oddawać do otoczenia (procesy przemian energii przebiegają wtedy w prze-
44
Wykład V
ciwnym kierunku, ale nie muszą być zwierciadlanym odbiciem cyklu wytwarzania energii elektrycznej). Jeśli ta „odwrotna” sytuacja jest normalnym stanem pracy elementu aktywnego, to wtedy
nazywa się go odbiornikiem aktywnym.
Przejmowanie energii ruchu ładunków zachodzi w rezystancjach, gdzie jest ona w całości rozpraszana po zamianie na ciepło (wyłączając z rozważań procesy elektrochemiczne, w których zasadnicza część pobranej energii powiększa energię chemiczną elementu), oraz w pojemnościach, gdzie
pobrana energia gromadzi się w polu elektrycznym, i w indukcyjnościach, gdzie gromadzi się w
polu magnetycznym. Energia zmagazynowana w pojemności lub indukcyjności uczestniczy czynnie
w dalszych przemianach, stosownie do zmian zachodzących w obwodzie.
Rola generatora („wydajnika”) bądź odbiornika moa)
b)
cy elektrycznej, przypisana elementowi lub układoGenerator
Odbiornik
wi, znajduje wyraz w odpowiednim strzałkowaniu
mocy
mocy
prądu i napięcia na zaciskach. Jeśli poprzez zaciski
moc jest wydawana do obwodu, to stosuje się strzałpgen
podb
kowanie generatorowe (rys. a), jeśli natomiast moc
igen
iodb
jest poprzez zaciski pobierana, to stosuje się strzaługen
uodb
kowanie odbiornikowe (rys. b).
Formalnie, każdy element obwodu może być odbiornikiem lub generatorem energii (mocy) elektrycznej. Zależy to jedynie od konwencji strzałkowania prądu i napięcia: generatorowego – o zgodnych zwrotach tych wielkości, albo odbiornikowego – o zwrotach przeciwnych. Jeśli zastosowane
strzałkowanie nie odpowiada rzeczywistej sytuacji, to iloczyn wielkości zaciskowych ma ujemną
wartość, a więc moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna.
Elementy struktury obwodów elektrycznych. Prawa Kirchhoffa
Strukturę geometryczną obwodów elektrycznych opisuje się (w ujęciu sieciowym) za pomocą takich
terminów, jak: gałąź, węzeł, rodzaj połączenia, oczko. Ponieważ są to pojęcia znane z fizyki, wystarczy krótkie przypomnienie.
Gałąź jest elementem dwukońcówkowym (dwuzaciskowym). W „środku” jej może się znajdować
dowolna liczba różnych elementów podstawowych. Gałąź jest dwójnikiem. Najprostszymi gałęziami
są rezystancje, pojemności i indukcyjności oraz idealne źródło napięciowe. Idealne źródło prądowe nie
tworzy samo gałęzi (bo przy prądzie źródłowym równym zero stanowi przerwę w obwodzie).
Węzeł jest elektrycznym połączeniem końcówek więcej niż dwóch gałęzi. Prądy tych gałęzi spełniają
I (prądowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna prądów zbiegających się w dowolnym węźle obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:
n
∑ ik = 0 ,
i1
(3.1)
k =1
i5
gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a odpływające ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się
i2
w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n).
i4
i3
Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco: i 1 −i 2 + i3 − i4 + i5 = 0 .
Szeregowe połączenie gałęzi cechuje się tym, że w każdej z gałęzi płynie ten sam prąd, a napięcia
występujące na poszczególnych gałęziach dodają się.
Równoległe połączenie gałęzi cechuje się tym, że każda z gałęzi jest pod tym samym napięciem, a
prądy płynące w poszczególnych gałęziach dodają się.
Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych określa się jako mieszane połączenia gałęzi.
Oczko jest utworzoną przez gałęzie, zamkniętą drogą dla prądu, przy czym usunięcie którejkolwiek
z gałęzi powoduje przerwanie tej drogi. Napięcia występujące na elementach gałęzi tworzących
45
3. Elementy obwodów prądu stałego
oczko spełniają II (napięciowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna napięć źródłowych i odbiornikowych w dowolnym oczku obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem
dla wartości chwilowych:
i5
R1
L5
u5
i4
R2
u4
u2
R4
L2
u3
e2
i3
R3
e4
L3
k =1
k =1
(3.2)
gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo,
a elementów pasywnych – odbiornikowo (względem
założonych zwrotów prądów); sumowanie napięć
jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.
napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu
oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone przeciwnie do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”;
indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k – nr
gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).
Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco:
− e2 + e4 + u1 + u 2 + u 3 − u 4 − u 5 = 0 .
C5
i2
n
∑ ek + ∑ u k = 0 ,
i1
u1
n
C3
Obwód elektryczny musi zawierać co najmniej jedno oczko. Obwód zawierający jedno oczko nazywa się obwodem nierozgałęzionym, a zawierający więcej niż jedno oczko – obwodem rozgałęzionym lub siecią elektryczną.
Bilans mocy obwodu elektrycznego (zasada Tellegena)
Ze spełnienia w obwodzie obu praw Kirchhoffa wynika zasada Tellegena. Mówi ona, że moce oddawane i moce pobierane przez wszystkie elementy obwodu muszą się bilansować. Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:
n
n
k =1
k =1
∑ u k .gen ⋅ ik .gen = ∑ u k .odb ⋅ ik .odb ,
(3.3a)
gdzie elementy, stosownie do ich charakteru, strzałkuje się generatorowo bądź odbiornikowo, a
wielkości ich dotyczące umieszcza, odpowiednio, po lewej lub prawej stronie równania (konwencja
mieszana); indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu
(k = 1, ... , n).
Dla ujednolicenia procedury sporządzania bilansu mocy przyjmuje się często tę samą konwencję
strzałkowania prądu i napięcia każdego elementu, co powoduje, że moce elementów o różnym charakterze mają różne znaki, ale bilans mocy wyraża się prościej. Jeśli wszystkie elementy obwodu są
traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa), to bilans mocy zapisuje się następująco:
n
∑ u k.odb ⋅ ik .odb = 0
.
(3.3b)
k =1
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako aktywne (konwencja generatorowa), to bilans
mocy przyjmuje postać:
n
∑ u k .gen ⋅ ik .gen = 0 .
(3.3c)
k =1
Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.
Pojęcie obwodu prądu stałego
Obwód elektryczny, w którym wartości prądu wszystkich elementów i wartości napięcia na wszystkich elementach są niezmienne w czasie, a przy tym nie są wszystkie równe zeru, nazywa się obwodem prądu stałego. Jest to ścisła definicja tego pojęcia i w tym rozumieniu będzie ono tu używane.
46
Wykład V
Warto zaznaczyć, że nieformalnie używa się pojęcia obwodu prądu stałego także w szerszym znaczeniu, obejmującym dodatkowo, oprócz stanów ustalonych, stany przejściowe układów zawierających pojemności i indukcyjności, przy wymuszeniach stałoprądowych. Określenie „stan przejściowy obwodu prądu stałego” zawiera jednak sprzeczność terminologiczną, ponieważ obwód prądu
stałego znajduje się zawsze w stanie ustalonym (poprawnie sformułowanym określeniem jest w tym
wypadku „stan przejściowy obwodu ze źródłami stałoprądowymi”).
Prądy i napięcia elementów obwodu prądu stałego są zatem stałe, tj. niezmienne w czasie, co zaznacza się pisząc symbole wielkimi literami: U, I. Wszystkie elementy obwodu prądu stałego znajdują
się w stanie stacjonarnym.
Pojemności i indukcyjności, odwzorowujące określone właściwości struktury przestrzennej badanego obiektu, nie mają wpływu na stan pracy obwodu prądu stałego. Energia zakumulowana w elementach układu jest wynikiem procesów przejściowych, poprzedzających osiągnięcie stanu ustalonego – przedmiotu aktualnych rozważań.
a) i = 0 C
W stanie ustalonym nie płyną prądy ładowania pojem(rozwarcie)
C
ności (rys. a) i nie występują napięcia na indukcyjnościach (rys. b). Nie ma więc potrzeby umieszczania tych
b)
elementów na schematach obwodów prądu stałego (poL
(zwarcie)
jemność stanowi tu przerwę, a indukcyjność – zwarcie
końców). Jedynymi elementami pasywnymi, występująuL = 0
cymi na schematach tych obwodów, są rezystancje.
≡
≡
Podstawowe elementy gałęzi obwodów prądu stałego
Omawiane obwody prądu stałego będą się składać z gałęzi, zbudowanych z rezystancji (konduktancji) oraz idealnych źródeł prądu stałego – napięciowych (o stałej wartości napięcia) i prądowych (o
stałej wartości prądu). Znane będą przy tym relacje, jakie zachodzą między wartościami napięcia U i
prądu I tych elementów.
Zależność U od I nazywa się charakterystyką statyczną prądowo-napięciową U(I) elementu, a zależność I od U – jego charakterystyką statyczną napięciowo-prądową I(U). Przydomek „statyczna”
oznacza, że chodzi o wielkości stałe w czasie. Analogiczne zależności dla wielkości zmiennych w
czasie (u, i – pisane małymi literami): u(i) lub i(u), dotyczące tych samych obiektów fizycznych,
mogą się znacznie różnić od charakterystyk statycznych.
Obok przedstawiono symbole oraz chaa)
rakterystyki statyczne prądowo-napięU
ciowe idealnych źródeł: napięciowego
I
U
(rys. a) i prądowego (rys. b), oraz rezyE
E
I
storów: liniowego (rys. c) i nieliniowego
0
(rys. d). Napięcie i prąd są tu strzałkowane w normalny sposób: przy źródłach
c)
– zgodnie (generatorowo), przy rezystoU
I
rach – przeciwnie (odbiornikowo). ŹróI
U
dła: napięciowe przy I < 0 i prądowe
R
0
przy U < 0, stają się odbiornikami aktywnymi.
Charakterystyka U(I) rezystora liniowego jest funkcją liniową U = R ⋅ I
Pokazana wyżej charakterystyka rezystora nieU
liniowego (jednoznaczna niesymetryczna) jest
I
funkcją nieliniową. Charakterystyki elemen0
tów nieliniowych nie zawsze są funkcjami
(przykładowe wykresy – na rysunku obok).
b)
I
I
U
Iźr
Iźr
U
0
d)
U
I
U
I
0
, gdzie R – rezystancja.
U
U
I
I
0
0
47
3. Elementy obwodów prądu stałego
Rezystancja statyczna i dynamiczna. Obwód nieliniowy prądu stałego
Poszczególnym punktom (I, U) nieliniowych, nie zawierających
pętli histerezy, charakterystyk statycznych rezystorów (rys.
(Rdyn2<0)
obok) można przyporządkować wartości rezystancji statycznej
(Rs2)
Rs i rezystancji dynamicznej (różniczkowej) Rdyn :
2
(Rs1)
U
dU
Rs =
Rdyn =
,
.
(3.4a, b)
1
I
dI
W przypadku rezystorów liniowych – rezystancja statyczna i re(Rdyn1>0)
I
zystancja dynamiczna, określone jw., znaczą to samo i mają tę
0
samą wartość R (rezystancji) w każdym punkcie charakterystyki.
Rezystancja statyczna rezystorów (fizycznych, rzeczywistych) ma wartości dodatnie, natomiast rezystancja dynamiczna może przyjmować również wartości ujemne. Mówi się w związku z tym o
dodatnim – dla Rdyn > 0, i ujemnym – dla Rdyn < 0, nachyleniu charakterystyki w określonych przedziałach wartości prądu i napięcia.
Dla ustalonych (quasi-ustalonych) zmian napięcia ∆U i prądu ∆I,
U
zachodzących w otoczeniu ustalonych wartości Uo i Io (rys.
∆U
obok) i mieszczących się w zakresie ujemnego nachylenia cha∆I
rakterystyki U (I), można podać przybliżoną zależność liniową
U0
U
∆U = − R ⋅ ∆I ,
0
I
gdzie R  jest rezystancją ujemnego oporu elementu w ograniczonym zakresie zmian ∆U i ∆I.
I0
0
(3.5)
Obwód prądu stałego zawierający przynajmniej jeden rezystor nieliniowy nazywa się obwodem nieliniowym prądu stałego. Obwód prądu stałego nie zawierający rezystorów nieliniowych jest obwodem liniowym prądu stałego.
Zasadnicza część teorii obwodów elektrycznych dotyczy układów zbudowanych z elementów
skupionych, liniowych i stacjonarnych. Jeżeli nie zaznacza się wyraźnie, że któryś z warunków SLS
nie jest spełniony, oznacza to na ogół, że rozważany element lub układ jest klasy SLS. Przy prądzie
stałym warunek stacjonarności (niezmienności parametrów) jest spełniony w sposób oczywisty.
Prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego
Podane wcześniej prawa dla wartości chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym obowiązują w obwodzie prądu stałego dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.
I (prądowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorem:
n
∑ Ik
I1
I5
(3.6)
gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a odpływające ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się
w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n).
I2
I3
=0 ,
k =1
I4
Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco: I 1− I 2 + I 3 − I 4 + I 5 = 0 .
II (napięciowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorami:
n
n
∑ Ek + ∑U k = 0
k =1
k =1
lub
n
n
k =1
k =1
∑ Rk ⋅ I k = ∑ E k
(3.7a, b)
gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo, a na rezystorach – odbiornikowo (względem
zwrotu prądów gałęzi); sumowanie napięć jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.:
48
Wykład V
a) napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu
oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone przeciwnie do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”;
b) wyrażenia Rk Ik są pisane po przeciwnej niż Ek
stronie równania ze znakiem „+”, gdy prądy w obieganych gałęziach są zwrócone zgodnie ze zwrotem
obiegu, a ze znakiem „–”, gdy są zwrócone przeciwnie; indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k –
nr gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).
Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco:
− E 2 + E 4 + U 1 + U 2 + U 3 − U 4 − U 5 = 0 lub
I5
R1
R5
I1
U1
U5
I2
R2
I4
U2
U4
U3
E2
− R1 ⋅ I1 − R2 ⋅ I 2 − R3 ⋅ I 3 + R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 = − E 2 + E 4 .
I3
R4
E4
R3
Moce wydawane i pobierane przez gałęzie w obwodzie prądu stałego
Od konwencji strzałkowania prądu i napięcia elementów bądź gałęzi zależy tylko formalnie, czy są
one odbiornikami, czy generatorami mocy elektrycznej. Jeśli przyjęte strzałkowanie nie odpowiada
rzeczywistej sytuacji, to moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna, co wskazuje na
przeciwny kierunek jej przepływu. Zostanie to pokazane na przykładzie gałęzi aktywnych dwuelementowych E, R oraz Iźr , G :
a’) zgodne zwroty E i I
I
R
Pgen = U gen ⋅ I = ( E − U R ) ⋅ I = ( E − R ⋅ I ) ⋅ I = E ⋅ I − R ⋅ I 2 ;
E
UR
Uodb
Ugen
Ugen
(-I)
E
I
Iz
0
Podb = U odb ⋅ I = (U R − E ) ⋅ I = ( R ⋅ I − E ) ⋅ I = R ⋅ I 2 − E ⋅ I
E
– gałąź jest generatorem, gdy E − R ⋅ I > 0 czyli I < = I z ,
R
E
a odbiornikiem, gdy R ⋅ I − E > 0 czyli I > = I z ,
R
gdzie Iz – prąd zwarcia gałęzi.
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A.
Prąd zwarcia gałęzi ma wartość Iz = E / R = 1,5 A ⇒ I > Iz ; gałąź jest
Uodb
odbiornikiem;
Uodb = R I – E = 2 V,
Podb = Uodb I = 4 W
albo
Podb = R ⋅ I − E ⋅ I = 16 − 12 = 4 W.
2
a”) przeciwne zwroty E i I
I
R
Podb = U odb ⋅ I = ( E + U R ) ⋅ I = ( E + R ⋅ I ) ⋅ I = E ⋅ I + R ⋅ I 2 > 0 ;
E
Pgen = U gen ⋅ I = (− E − U R ) ⋅ I = −( E + R ⋅ I ) ⋅ I = − E ⋅ I − R ⋅ I 2 < 0
UR
Uodb
Ugen
– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie I nie jest
−E
możliwe spełnienie warunku E + R ⋅ I < 0 czyli I <
= − I z , gdzie
R
Iz – prąd zwarcia gałęzi).
Uodb
E
(-I)
(-Iz)
I
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A.
0
Gałąź jest odbiornikiem; Uodb = E + R I = 14 V, Podb = Uodb I = 28 W
Ugen
albo Podb = E ⋅ I + R ⋅ I 2 = 12 + 16 = 28 W.
49
3. Elementy obwodów prądu stałego
b’) zgodne zwroty Iźr i U
Iźr
IG
G
Pgen = U ⋅ I gen = U ⋅ ( I źr − I G ) = U ⋅ ( I źr − G ⋅ U ) = U ⋅ I źr − G ⋅ U 2 ;
Igen
Podb = U ⋅ I odb = U ⋅ ( I G − I źr ) = U ⋅ (G ⋅ U − I źr ) = G ⋅ U 2 − U ⋅ I źr
Iodb
– gałąź jest generatorem, gdy I źr − G ⋅ U > 0 czyli U <
U
a odbiornikiem, gdy G ⋅ U − I źr > 0 czyli U >
Igen
(-U)
I źr
= U0 ,
G
gdzie U0 – napięcie stanu jałowego gałęzi.
Iźr
U
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, Iźr = 3 A, U = 2 V.
U0
0
I źr
= U0 ,
G
Napięcie stanu jałowego gałęzi ma wartość U0 = Iźr / G = 3 V
U < U0 ; gałąź jest generatorem; Igen = Iźr – G U = 1 A,
Iodb
⇒
Pgen = U Igen = 2 W albo Pgen = U ⋅ I źr − G ⋅ U 2 = 6 − 4 = 2 W.
b”) przeciwne zwroty Iźr i U
Iźr
G
IG
Igen
Podb = U I odb = U ( I źr + I G ) = U ( I źr + G U ) = U I źr + G U 2 > 0 ;
Iodb
Pgen = U I gen = U (− I źr − I G ) = −U ( I źr + G U ) = −U I źr − GU 2 < 0
– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie U nie jest
− I źr
= −U 0 ,
możliwe spełnienie warunku I źr + G U < 0 czyli U <
G
gdzie U0 – napięcie stanu jałowego gałęzi).
U
Iodb
(-U)
Iźr
(-U0)
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, Iźr = 3 A, U = 2 V.
U
0
Gałąź jest odbiornikiem; Iodb = Iźr + G U = 5 A, Podb = U Iodb = 10 W
Igen
albo Podb = U ⋅ I źr + G ⋅ U 2 = 6 + 4 = 10 W.
Bilans mocy obwodu prądu stałego
Zasada Tellegena (bilansowania się mocy w obwodzie elektrycznym), podana wcześniej dla wartości chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym, obowiązuje w obwodzie prądu stałego
dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.
Bilans mocy obwodu prądu stałego wyraża się następująco:
n
n
∑U k .gen ⋅ I k .gen = ∑ Rk ⋅ I k2 ,
k =1
(3.8a)
k =1
gdzie źródła strzałkuje się generatorowo i wielkości ich dotyczące umieszcza po lewej stronie równania, a wielkości dotyczące rezystancji gałęziowych umieszcza po prawej stronie (konwencja mieszana); indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... ,
n).
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa) albo aktywne (konwencja generatorowa), to bilans mocy przyjmuje postaci:
n
∑ U k .odb ⋅ I k .odb
k =1
=0
n
lub
∑ U k .gen ⋅ I k .gen
k =1
=0 ,
(3.8b, c)
gdzie wszystkie elementy obwodu strzałkuje się tak samo – odbiornikowo bądź generatorowo; indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... , n).
Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.
50
Wykład V
Przykład. Na schemacie obwodu prądu stałego podano wartości parametrów i prądów gałęziowych
(wartości prądów są wynikiem rozwiązania obwodu, uzyskanego jedną z metod objaśnionych dalej).
Po wyznaczeniu wartości napięć na elementach, zostanie sporządzony – na dwa sposoby – bilans
mocy obwodu.
a)
1. Bilans mocy obwodu przy mieszanej konwencji strzał1Ω 1A 1A 6V
kowania prądów i napięć elementów
Uwzględniając zwroty prądów zaznaczone na danym
2A
schemacie (rys. a), dorysowano napięcia: na źródłach – w
konwencji generatorowej, oraz na rezystorach – w kon1Ω
wencji odbiornikowej (rys. b). Wartość napięcia na źródle
3V
1Ω
prądowym jest sumą napięć (o właściwym zwrocie) na
2A 4A
gałęziach tworzących dowolną drogę między węzłami, do
których jest przyłączone to źródło, np. na dwóch górnych
3A
gałęziach (1 + 6 = 7 V) albo na dwóch środkowych
(3 + 4 = 7 V).
Wartości sum po lewej i prawej stronie równania (3.8a)
b)
1Ω 1A 1A 6V
wynoszą:
n
∑ Pk.gen =∑U k .gen ⋅ I k.gen = 6 ⋅ 1 + (−3) ⋅ 2 + 7 ⋅ 3 = 21 W,
k
∑ Pk.odb =∑ Rk ⋅ I k2 = 1 ⋅ 12 + 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 4 2 = 21 W,
k
∑ Pk .gen =∑ Pk .odb
k
3V
.
n
∑ Pk .odb =∑U k.odb ⋅ I k .odb =
k
k =1
∑ Pk.odb = 0 .
k
4A
3A
–3 V
1Ω
4V
7V
c)
1Ω 1A
3V
6V
–6 V
1Ω
2V
3V
1A
2A
1V
= 1 ⋅ 1 + (−6) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + (−7) ⋅ 3 = 0 W,
tzn. moce się bilansują
2A
k
2. Bilans mocy obwodu przy odbiornikowej konwencji
strzałkowania prądów i napięć każdego z elementów
Zwroty napięć wszystkich elementów obwodu przyjęto
przeciwne do zwrotów prądu (rys. c).
Wartość sumy w równaniu (3.8b) wynosi:
6V
1Ω
2V
k =1
tzn. moce się bilansują
2A
1V
k =1
n
2A
4A
3A
–7 V
1Ω
4V