Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych

URZĄDZENIA TECHNIKI
KOMPUTEROWEJ
Systemy liczbowe.
Człowiek posługuje się w życiu codziennym systemem dziesiętnym. Myśli w ten
sposób, ponieważ jest tak uwarunkowany od urodzenia (np. posiada dziesięć
palców u rąk).
Maszyna też jest uwarunkowana „genetycznie” tzn. działa lub nie. Technika cyfrowa
to dział technologii, umożliwiający przetwarzanie danych przez urządzenia
wykonawcze. Kiedyś były to elementy mechaniczne, dziś elektroniczne, a
konkretnie przyrządy półprzewodnikowe. Oznacza to, że maszyna (jako niezbyt
inteligentna) powinna mieć możliwość rozróżnienia jak najprostszej postaci
informacji. Najmniejszą liczbą kombinacji jest 2 i ten system (dwójkowy lub binarny)
przyjął się jako "język" wewnętrzny maszyny.
Sposób kodowania danych
Bit, najmniejsza możliwa jednostka informacji. Może posiadać wartość 0 lub 1 (stąd
system binarny używany w komputerze). Fizycznie wartość 0 oznacza brak sygnału
(prąd nie płynie), zaś 1 oznacza sygnał. Osiem bitów składa się na jeden bajt. Na
n bitach można zapisać 2 do potęgi n różnych wartości. Podobnie jak dla bajtów,
przedrostek kilo- (kilobit) oznacza 1024 bity, megabit to 1024 kilobity, gigabit to 1024
megabity, zaś terabit oznacza 1024 gigabity.
Bajt, jednostka informacji złożona z ośmiu (najczęściej) bitów. Bajt może być
samodzielnie adresowanym elementem pamięci komputera (komórka). Rozmiar bajtu
dobrano tak, aby wystarczył do zapamiętania każdego znaku, np. litery, cyfry lub znaku
typograficznego (a, 1, @) popularnych kodów, np. kodu ASCII, dlatego bajt jest często
utożsamiany ze znakiem.
Binarny kod, sposób zapisu informacji za pomocą dwu symboli: 0 i 1, oparty na
dwójkowym systemie liczbowym.
Aby ograniczyć długość kodu binarnego wprowadzono sposób kodowania zapisu
dwójkowego na ósemkowy lub szesnastkowy.
Liczby w kodzie binarnym
• System bitowy – dwójkowy
Liczba zapisywana jest ciągiem liczb: 1 lub 0
1
0
1
0
= 1*23 +0*22 + 1*21 +0*20 = 10
• System ósemkowy
Liczba zapisywana jest ciągiem liczb: od 0 do 7 i następnie zamieniana na układ
dwójkowy który po zestawieniu jest przekształcany
3
6
011110 = 0*25+ 1*24+ 1*23 +1*22 + 1*21 +0*20 = 30
• System szesnastkowy
Podobnie jak wyżej, liczba zapisywana jest ciągiem liczb: od 0 do 15 (0 do E)
1
E
00011110 = 0*27 + 0*26+ 0*25+ 1*24+ 1*23 +1*22 + 1*21 +0*20 = 30
Zapis pliku
Plik jest to jednostka zapisu i przechowywania
danych w komputerze. Plik jest ciągiem bitów
danych, opatrzony nazwą i atrybutami. Dane są
zapisane w postaci kodu binarnego, zależnie od
zawartości pliku. Nazwa z reguły składa się z
głównej części nazwy i tzw. rozszerzenia
(oddzielonego kropką).
System operacyjny składa się z pewnej liczby
plików. Wszystkie składniki systemu a także
rejestry i ustawienia przechowywane są w plikach
na dysku pamięci masowej.
Fragment pliku binarnego zapisanego
w kodzie szesnastkowym
Systemy liczbowe - binarny
Ponieważ każda informacja, która ma być przetwarzana przez układy cyfrowe, musi
być reprezentowana przez dwie wartości, zwane na przykład zerem i jedynką
logiczną, naturalnym staje się zainteresowanie systemem liczbowym dwójkowym,
opartym właśnie na takim zapisie liczb. Pozwoli nam to zapisywać i przetwarzać
liczby za pomocą układów cyfrowych.
Opisujemy tu konstrukcję systemu dwójkowego, czyli binarnego, oraz
szesnastkowego, czyli heksadecymalnego.
Do zapisu dowolnej liczby bez znaku system dziesiętny wykorzystuje dziesięć
symboli graficznych, zwanymi cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Przy ich użyciu jesteśmy w stanie przedstawić dowolną liczbę.
System dziesiętny, podobnie jak dwójkowy, jest systemem pozycyjnym.
Liczbę 425D (D oznacza zapis liczby w systemie dziesiętnym) możemy
przedstawić jako następującą sumę:
425D = 4 * 100 + 2 * 10 + 5 * 1
Systemy liczbowe - binarny
Czyli:
4 2 5 = 4*102 + 2*101 + 5*100
2- Pozycja
setek
1- Pozycja
dziesiątek
0 - Pozycja
jedynek
Widzimy więc, że cyfra na danej pozycji mnożona jest przez odpowiednią
potęgę liczby 10, przy czym wykładnik tej potęgi zależy od położenia
(pozycji) danej cyfry w liczbie.
Uwaga! Pozycje cyfr w liczbie numerujemy od 0 (najmłodsza cyfra)
Systemy liczbowe - binarny
Poszczególne mnożniki, zwane inaczej wagami, w systemie dziesiętnym noszą
nazwę odpowiednio:
jedynek (100 = 1),
dziesiątek (101 = 10),
setek (102 = 100) i tak dalej.
Poszczególne wagi w systemie dziesiętnym są potęgami liczby 10, dlatego jest
ona zwana podstawą tego systemu (p = 10).
Systemy liczbowe - binarny
W systemie dziesiętnym dysponujemy dziesięcioma cyframi do zapisania
dowolnej Iiczby bez znaku, w systemie dwójkowym musimy do tego celu używać
jedynie dwóch cyfr: 0 i 1.
Jak już wspomniano, obydwa systemy są pozycyjne, co oznacza, że cyfrę na
danej pozycji mnoży się przez określoną wagę. Dla systemu dwójkowego
podstawą jest liczba 2 (p = 2) i wagami są odpowiednie potęgi tej liczby.
Kolejne pozycje liczby zwane są więc pozycjami jedynek, dwójek, czwórek,
ósemek i tak dalej.
Zapis w systemie dwójkowym, zwanym inaczej systemem binarnym,
liczby 10100B (litera B sygnalizuje liczbę w systemie dwójkowym) oznacza:
10100B = 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 0 * 20 =
1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 16 + 4 = 20D
Wzór ten, określający sposób zapisu liczby w systemie dwójkowym, pozwala
jednocześnie na dokonanie konwersji (przeliczenia) liczby zapisanej w systemie
dwójkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiętnym.
Systemy liczbowe - binarny
Jedną z metod konwersji liczby dziesiętnej na dwójkową pokażemy na
przykładzie pomijając uzasadnienie jej poprawności. Metoda ta polega na
wykonywaniu kolejnych dzieleń całkowitoliczbowych (wynik jest liczbą całkowitą)
przez liczbę 2, z zapisem reszty.
Rozpoczynamy od podzielenia liczby przeliczanej przez 2. Kolejne
dzielenie wykonujemy na liczbie będącej ilorazem (wynikiem) poprzedniego
dzielenia.
Postępowanie kontynuujemy aż do momentu otrzymania jako wyniku 0.
Reszty dzieleń ustawione w odpowiedniej kolejności dają poszukiwaną liczbę
binarną.
Przykład: Dokonać konwersji liczby 23D na liczbę binarną.
Rozwiązanie:
Systemy liczbowe - binarny
Przykład: Dokonać konwersji liczby 23D na liczbę binarną.
Rozwiązanie:
23 : 2 = 11
11 : 2 = 5
5:2=2
2:2=1
1:2=0
r=1
r=1
r=1
r=0
r=1
kierunek
odczytu
wyniku
A zatem 23D = 10111B
STOP - SPRAWDZENIE
Systemy liczbowe - binarny
Przykład: Dokonać konwersji liczby 23D na liczbę binarną.
Rozwiązanie:
23D = 10111B
10111B = 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 =
1*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23D
Systemy liczbowe - heksadecymalny
System heksadecymalny, czyli szesnastkowy, nie jest używany bezpośrednio
przez układy cyfrowe, stanowi natomiast wygodny, zwarty sposób zapisu liczb
binarnych.
Stosowany jest często przez programistów czy też przy wyświetlaniu informacji
cyfrowej na ekranie (na przykład w programach typu debuger).
W systemie heksadecymalnym do zapisu dowolnej liczby dysponujemy
szesnastoma cyframi. Ponieważ symboli graficznych oznaczających liczby
arabskie jest dziesięć, brakuje symboli sześciu cyfr. Przyjęto więc, że będą
oznaczane początkowymi literami alfabetu (dużymi lub małymi).
Zatem A oznacza dziesiątkę,
B jedenastkę, aż do cyfry F, która oznacza piętnastkę
Pełny zestaw cyfr heksadecymalnych jest następujący:
ai € {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
gdzie ai jest dowolną cyfrą heksadecymalną.
Systemy liczbowe - heksadecymalny
Jeżeli przedstawienie ciągu liczb w postaci:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
jest zrozumiałe dla wszystkich ludzi (no, może prawie wszystkich), to
przedstawienie tego ciągu jako (spróbujmy w słupku):
000
001
010
011
100
101
110
111
jest zrozumiałe jedynie przez Matematyków, Informatyków, Elektroników,
Automatyków i przedstawicieli zawodów pochodnych oraz, co było założeniem
twórców komputerów, przez tę „głupią” maszynę. Powyższy ciąg liczb
przedstawiony został w tzw. naturalnym kodzie dwójkowym.
Systemy liczbowe - heksadecymalny
Jeżeli, po pewnej wprawie, rozróżnienie liczb w zakresie binarnym 0000 – 1111
nie powinno stanowić problemu dla przeciętnego człowieka, to zapamiętanie i
określenie wartości dziesiętnej liczby binarnej – na przykład:
11010010110000111011001000101101
może być zarówno oznaką geniuszu jak i podejrzeniem o oszustwo.
Człowiek musi na każdym kroku ułatwiać sobie życie, więc stworzył nowy kod.
Porównując reprezentacje liczb w kodach binarnym i dziesiętnym w zakresie
0 – 15 dostrzegamy potrzebę zastąpienia cyfr powyżej 9 jakimś jednym znakiem
(10 – to już liczba). I tak powstał kod „jeden z szesnastu” czyli kod
heksadecymalny.
Przedstawia on liczby z zakresu 0 – 15 w postaci znaków 0 – 9 oraz liter A, B, C,
D, E, F :
Systemy liczbowe - heksadecymalny
Jak łatwo sprawdzić, cyfr heksadecymalnych jest szesnaście. Liczba szesnaście
jest też podstawą tego systemu.
Przykład
Znaleźć liczbę dziesiętną odpowiadającą liczbie heksadecymalnej 4c2H.
Rozwiązanie
Zgodnie z podanym wzorem oraz wcześniejszymi informacjami:
4c2H = 4*162 + C* 161 + 2*160 =
= 4*256 + 12*16 + 2*1 = 450D
Konwersji liczby dziesiętnej na heksadecymalną można dokonać metodą
analogiczną do pokazanej dla systemu dwójkowego, wykonując kolejne dzielenia
z resztą przez liczbę 16. Należy jednak pamiętać, że reszty z dzielenia
zapisujemy w postaci cyfr heksadecymalnych, czyli np. resztę 14 zapisujemy
jako E.
Najistotniejszą cechą systemu heksadecymalnego jest łatwość przechodzenia od
zapisu binarnego do heksadecymalnego i na odwrót, przez co zapis
heksadecymalny staje się zwartym zapisem liczb binarnych.
Systemy liczbowe - heksadecymalny
Przykład
Zapisać liczbę binarną 1001011010 w postaci liczby heksadecymalnej.
Rozwiązanie
Przy przejściu od liczby binarnej do heksadecymalnej wykorzystujemy fakt, że
każdej cyfrze heksadecymalnej odpowiada określona kombinacja czterech cyfr
binarnych i na odwrót.
Cyfra hex
Liczba binarna
Cyfra hex
Liczba binarna
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Systemy liczbowe - heksadecymalny
Cyfra hex
Liczba binarna
Cyfra hex
Liczba binarna
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Przeliczaną liczbę binarną dzielimy od końca (czyli od najmłodszej pozycji) na
czwórki, a następnie każdą z nich zapisujemy w postaci jednej cyfry
heksadecymalnej, zgodnie z tabelą. Jeżeli ostatni fragment liczby nie jest pełną
czwórką, możemy ją dopełnić do czwórki zerami. Tak więc dla liczby binarnej
1001011010B
0010 0101 1010B = 25AH
Systemy liczbowe - heksadecymalny
Cyfra hex
Liczba binarna
Cyfra hex
Liczba binarna
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Podobnie możemy postąpić przy przeliczaniu w drugą stronę. Wówczas
każdą cyfrę heksadecymalną zapisujemy w postaci czwórki cyfr binarnych.
Ewentualne nieznaczące zera na początku liczby binarnej można w wyniku
pominąć.
Systemy liczbowe - heksadecymalny
Cyfra hex
Liczba binarna
Cyfra hex
Liczba binarna
0
0000
8
1000
1
0001
9
1001
2
0010
A
1010
3
0011
B
1011
4
0100
C
1100
5
0101
D
1101
6
0110
E
1110
7
0111
F
1111
Przykład: zapisać liczbę heksadecymalną 7cd5H w postaci liczby binarnej.
7cd5H = 0111 I 1100 I 1101 I 0101B = 111110011010101B
Uwaga: porównać długości liczb heksadecymalnych i odpowiadających im
liczb dwójkowych.
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Dodawanie. Liczby dwójkowe dodajemy podobnie, jak dziesiętne. Gdy
po dodaniu dwóch cyfr uzyskuje się wartość niemożliwą do zapisania
pojedynczą cyfrą, zachodzi tzw. przeniesienie. Odejmujemy wtedy od
wyniku podstawę systemu, a do następnej (starszej) pozycji dodajemy 1.
W przypadku liczb dwójkowych przeniesienie wystąpi już wtedy, gdy
wynik dodawania dwu cyfr jest większy od 1
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Uwaga, pułapka:
W pamięci komputera liczby binarne przechowywane są w postaci ustalonej ilości
bitów (np. 8, 16, 32 bity). Jeśli wynik sumowania np. dwóch liczb 8 bitowych jest
większy niż 8 bitów, to najstarszy bit (dziewiąty bit) zostanie utracony. Sytuacja taka
nazywa się nadmiarem (ang. overflow) i występuje zawsze, gdy wynik operacji
arytmetycznej jest większy niż górny zakres danego formatu liczb binarnych (np. dla
8 bitów wynik większy od 28 - 1, czyli większy od 255):
11111111(B) + 00000001(B) = 1|00000000(B) (255 + 1 = 0)
Przy nadmiarze otrzymany wynik jest zawsze błędny, dlatego należy bardzo
dokładnie analizować problem obliczeniowy i ustalić typy danych zgodnie z
przewidywanym zakresem wartości otrzymywanych wyników.
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Przy odejmowaniu korzystamy z tabliczki odejmowania, która w systemie
binarnym jest bardzo prosta:
0-0=
0-1=
1-0=
1-1=
0
1 i pożyczka do następnej pozycji
1
0
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Odejmując 0 - 1 otrzymujemy wynik 1 i pożyczkę (ang. borrow) do następnej
pozycji. Pożyczka oznacza konieczność odjęcia 1 od wyniku odejmowania cyfr
w następnej kolumnie. Identycznie postępujemy w systemie dziesiętnym, tyle
że tam jest to o wiele bardziej skomplikowane.
Na razie załóżmy, iż od liczb większych odejmujemy mniejsze (w przeciwnym
razie musielibyśmy wprowadzić liczby ujemne, a nie chcemy tego robić w tym
miejscu).
Przykład:
Wykonać odejmowanie w systemie binarnym 1101110(2) - 1111(2).
Obie liczby umieszczamy jedna pod drugą tak, aby ich cyfry znalazły się w
kolumnach o tych samych wagach:
1101110
1111
------------------------
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Odejmowanie rozpoczynamy od cyfr ostatniej kolumny. Wyniki zapisujemy
pod kreską. W tym przykładzie odjęcie ostatnich cyfr 0 - 1 daje wynik 1 oraz
pożyczkę do następnej kolumny. Pożyczki zaznaczamy kolorem czerwonym.
-
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
----------------------------------------------------------------------------1
Odjęcie cyfr w drugiej od końca kolumnie daje wynik 1 - 1 = 0. Od tego wyniku
musimy odjąć pożyczkę 0 - 1 = 1 i pożyczka do następnej kolumny.
1
-
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
---------------------------------------------------------------------------------------1
1
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Według tych zasad kontynuujemy odejmowanie cyfr w pozostałych kolumnach.
Pamiętaj o pożyczkach! Jeśli w krótszej liczbie zabraknie cyfr, to możemy
kolumny wypełnić zerami:
-
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
-------------------------------------------------------------------------1
0
1
1
1
1
1
1101110(2) - 1111(2) = 1011111(2)
(110(10) - 15(10) = 95(10)).
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Uwaga, pułapka:
Przy odejmowaniu również może dochodzić do nieprawidłowych sytuacji. Jeśli od
liczby mniejszej odejmiemy większą, to wynik będzie ujemny. Jednakże w
naturalnym systemie binarnym nie można zapisywać liczb ujemnych. Zobaczmy
zatem co się stanie, gdy od liczby 0 odejmiemy 1, a wynik ograniczymy do 8 bitów:
1
-
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
1
1
1
1
1
1
Otrzymujemy same jedynki, a pożyczka nigdy nie zanika. Sytuacja taka nazywa się
niedomiarem (ang. underflow) i występuje zawsze, gdy wynik operacji arytmetycznej
jest mniejszy od dolnego zakresu formatu liczb binarnych (dla naturalnego kodu
dwójkowego wynik mniejszy od zera). Oczywiście otrzymany rezultat jest błędny:
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Mnożenie dwójkowe
Naukę mnożenia binarnego rozpoczynamy od tabliczki mnożenia. Bez paniki jest ona równie prosta jak podane powyżej tabliczki dodawania i odejmowania.
0×0=
0×1=
1×0=
1×1=
0
0
0
1
Tabliczka mnożenia binarnego (podobnie jak w systemie dziesiętnym) posłuży
do tworzenia iloczynów częściowych cyfr mnożnej przez cyfry mnożnika.
Iloczyny te następnie dodajemy wg opisanych zasad i otrzymujemy wynik
mnożenia.
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Przykład:
Pomnożyć binarnie liczbę 1101(2) przez 1011(2).
Obie liczby umieszczamy jedna pod drugą tak, aby ich cyfry znalazły się w
kolumnach o tych samych wagach:
×
1101
1011
-----------
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Każdą cyfrę mnożnej mnożymy przez poszczególne cyfry mnożnika zapisując
wyniki mnożeń w odpowiednich kolumnach - tak samo postępujemy w systemie
dziesiętnym, a tutaj jest nawet prościej, gdyż wynik mnożenia cyfry przez cyfrę
jest zawsze jednocyfrowy:
×
1
1
0
1
1
0
1
1
---------------------------------------------------------------------------1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
Zwróć uwagę, iż wynikiem mnożenia mnożnej przez cyfrę mnożnika jest
powtórzenie mnożnej z przesunięciem o pozycję cyfry (cyfra mnożnika 1) lub
same zera (cyfra mnożnika 0). Spostrzeżenie to bardzo ułatwia konstrukcję
układów mnożących.
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Puste kolumny uzupełniamy zerami i dodajemy do siebie wszystkie cyfry w
kolumnach. Uważaj na przeniesienia.
1
1
0
1
×
1
0
1
1
----------------------------------------0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
+
1
1
0
1
0
0
0
---------------------------------------------------------------------------------------1
0
0
0
1
1
1
1
Sprawdź, czy otrzymany wynik jest poprawny.
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Dzielenie dwójkowe
Dzielenie binarne jest najbardziej skomplikowaną operacją arytmetyczną z
dotychczas opisywanych. Wymyślono wiele algorytmów efektywnego dzielenia, ale
dla potrzeb tego opracowania wystarczy znany wam algorytm szkolny, który
polega na cyklicznym odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od
dzielnej. W systemie dwójkowym jest to szczególnie proste, ponieważ dzielnika nie
musimy mnożyć.
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Przykład:
Podzielimy liczbę 1101(2) przez 10(2)
(13(10) : 2(10)).
Przesuwamy w lewo dzielnik, aż zrówna się jego najstarszy, niezerowy bit z
najstarszym, niezerowym bitem dzielnej. Nad dzielną rysujemy kreseczkę:
-----------1101
- dzielna
10
- przesunięty dzielnik
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Dzielnik przesuwamy o jeden bit w prawo i próbujemy tego samego z otrzymaną
różnicą. Jeśli odejmowanie jest możliwe, to nad kreską w następnej kolumnie
dopisujemy 1, odejmujemy dzielnik od różnicy, przesuwamy go o 1 bit w prawo i
kontynuujemy. Jeśli odejmowanie nie jest możliwe, to dopisujemy nad kreską 0,
przesuwamy dzielnik o 1 bit w prawo i kontynuujemy.
-
-
-
1
1
0
------------------------------------------------------------1
1
0
1
1
0
-------------------------------------------------------0
1
0
1
1
0
--------------------------------------------------------0
0
0
1
1
0
----------------------------------------------------------0
0
0
1
- wynik dzielenia
- dzielna
- przesunięty dzielnik
- dzielna po pierwszym odejmowaniu przesuniętego dzielnika
- przesunięty dzielnik
- dzielna po drugim odejmowaniu przesuniętego dzielnika
- dzielnik na swoim miejscu, odejmowanie niemożliwe
- reszta z dzielenia
Operacje te wykonujemy dotąd, aż dzielnik osiągnie swoją pierwotną wartość. Pozostała dzielna jest resztą z dzielenia. Oczywiście w tym
momencie możemy dalej kontynuować odejmowanie wg opisanych zasad otrzymując kolejne cyfry ułamkowe - identycznie postępujemy w
systemie dziesiętnym. W naszym przykładzie otrzymaliśmy wynik dzielenia równy:
1101(2) : 10(2) = 110(2) i resztę 1(2)
(6(10) i 1(10))
Jest to wynik poprawny, gdyż 2 mieści się w 13 sześć razy i pozostaje reszta 1.
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
Podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb binarnych
http://www.math.edu.pl/system-binarny#math