Ciągi liczbowe Wymagane umiejętności

Ciągi liczbowe
Wymagane umiejętności
Zakres podstawowy:
1. wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym,
2. badanie, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym lub geometrycznym,
3. stosowanie wzorów na n – ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego,
również w kontekście praktycznym,
4. wykreślanie ciągów;
Zakres rozszerzony:
1.opanowanie umiejętności wyznaczania wyrazów ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie,
a
2. wyznaczanie sumy ciągów zbieżnych dla q  1;1  , stosowanie wzoru: S  1 ,
1 q
3. wyznaczanie granic ciągów liczbowych.
1. Ogólne własności ciągów liczbowych
Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy każdą funkcję o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych określoną na zbiorze liczb
naturalnych ( D : n  N  ).
-
liczby przyporządkowane kolejnym liczbom naturalnym nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy symbolem an, gdzie n  N  ;
ciągi liczbowe określa się za pomocą wzoru ogólnego lub za pomocą wzoru rekurencyjnego*;
wykresem ciągu jest zbiór punków spełniających warunki danego ciągu umieszczonych w układzie współrzędnych.
Do podstawowych cech każdego ciągu liczbowego zaliczamy:
 monotoniczność ciągu;
 ograniczoność ciągu;
 posiadanie granicy.
Poprzez monotoniczność ciągu rozumiemy określenie, czy ciąg jest:
 rosnący (a n1  an  n  N  );
 malejący (a n1  an  n  N  );
 stały (wszystkie wyrazy ciągu maja taką samą wartość).
Ze względu na monotoniczność ciągu, dzielimy ciągi na:
a) ciągi zbieżne – posiadające granicę skończoną;
b) ciągi rozbieżne – do plus lub minus nieskończoności,
- nie posiadające granicy.
Poprzez ograniczoność ciągu należy rozumieć takie wartości do których zbliżają się bezwzględne wartości kolejnych wyrazów ciągu,
np. a n  (( 1) n  1), gdzie M = 3 (każdy wyraz ciągu jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od liczby M).
rekurencja – sposób definiowania procedur i funkcji polegający na umieszczaniu w treści procedury odwołań do tej samej procedury, rekurencyjny wzór jest wzorem
wyrażającym ogólny (n-ty) wyraz ciągu przez wyrazy go poprzedzające.
*
Powyższe definicje można uzupełnić (zakres rozszerzony)
1. Przykłady ciągów liczbowych
1, 1, 1, ... - (an= 1) - ciąg stały (same jedynki w nieskończoność, oczywiście zamiast jedynki może być dowolna liczba rzeczywista)
1, 2, 3, 4, 5, ... - (an= n) - ciąg tożsamościowy (same liczby naturalne i to po kolei)
1, 3, 5, 7, 9,... - (an= 2n-1) - ciąg liczb nieparzystych dodatnich
2, 4, 6, 8, 10,... - (an= 2n) - ciąg liczb parzystych dodatnich
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... - (an= 1/n) - tak zwany ciąg harmoniczny (nazwa pochodzi z fizyki)
1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, ... - (an= (-1)n1/n) - ciąg anharmoniczny
2. Ograniczoność ciągów
Ciągi mogą być ograniczone. Z góry, z dołu a takżei z góry i z dołu. Cóż to znaczy?
Ciąg liczbowy (an) nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
Na przykład ograniczony z góry jest ciąg harmoniczny. Wystarczy obrać C = 1.
Ciąg liczbowy (an) nazywamy ograniczonym z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
Na przykład ograniczony z góry jest ciąg tożsamościowy. Wystarczy obrać c = 0.
Ciąg liczbowy (an) nazywamy ograniczonym (domyślnie z góry i z dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
A choćby ciąg 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... jest ograniczony (z góry i z dołu). Wystarczy obrać M = 1.
3. Zbieżność ciągu liczbowego (do granicy)
Mówimy, ze ciąg liczbowy (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista g taka, że
Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an). Innymi słowy granica ciągu jest to wartość, dowolnie blisko której leżą prawie wszystkie (poza
skończoną liczbą) wyrazy ciągu.
Zapisujemy to symbolicznie:
Przykłady granic ciągów liczbowych
4. Własności granic
Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony posiada granicę. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji tak zwanego aksjomatu ciągłości
zbioru liczb rzeczywistych. Z granicami ciągów wiąże się kilka ważnych twierdzeń.
Twierdzenie 1. Każdy ciąg ma co najwyżej jedną granicę taki ciąg (nazywany jest zbieżnym).
Twierdzenie 2. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Nie oznacza to wcale, że każdy ciąg ograniczony jest zbieżny.
Na przykład ciąg (an) = (-1)n jest ograniczony ale nie jest zbieżny.
Twierdzenie 3. Każdy ograniczony i monotoniczny ciąg jest zbieżny.
Jeśli dwa ciągi (an), (bn) są ciągami zbieżnymi i
oraz
, to wykonalne są działania:
przy założeniu, że b, bn ≠ 0
Granice niewłaściwe
Niektóre ciągi liczb rzeczywistych mają własność, iż ich wyrazy "skupiają się wokół punktu w nieskończoności", tj. wraz ze wzrostem indeksów
wyrazów ciągu, zwiększają się (albo zmniejszają) prawie wszystkie jego wartości. Mówimy wówczas, że ciąg taki jest zbieżny do granicy
niewłaściwej. Formalnie, mówimy że ciąg (an) ma granicę niewłaściwą w +∞ lub granicę niewłaściwą w -∞
Ciąg rozbieżny
Ciąg rozbieżny to taki ciąg, który nie posiada granicy - ani właściwej ani niewłaściwej. Przykładem takiego ciągu jest an=(-1)n.
Mówimy, że ciąg a n ma granicę g, jeżeli w każdym przedziale ( g   ; g   ),   0 , leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu począwszy od N ( ).
Wyznaczając granicę ciągu liczbowego, musimy pamiętać o tym, by omijać (eliminować) symbole nieoznaczoności, tj.:
 0
; ;0  ;   ;1 ;0  ;  0
 0
2. Ciąg arytmetyczny
Ciąg liczbowy a n nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu powstaje poprzez dodanie do wyrazu
poprzedniego stałej liczby r zwanej różnicą ciągu.
Z definicji wynika, że dla każdej dowolnej liczby naturalnej n prawdziwa jest relacja: an1  an  r.
Można mówić o ciągu arytmetycznym jedynie wtedy, gdy ma on co najmniej trzy wyrazy.
Własności ciągu arytmetycznego:
1. Ciąg arytmetyczny jest:
- rosnący, gdy r > 0;
- stały, gdy r = 0;
- malejący, gdy r = 0.
2. W ciągu arytmetycznym każdy wyraz, oprócz pierwszego i ostatniego jest średnią arytmetyczną wyrazów bezpośrednio z nim
a  a n1
sąsiadujących, tzn. dla n  N  prawdziwy jest wzór: a n  n 1
;
2
3. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an  a1  n  1  r;
4. Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: S n 
a1  a n
 n.
2
Korzystając z powyższych definicji można zauważyć, że:
a) ciąg liczb naturalnych: 1, 2, 3, ....n jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 1, i sumę n-początkowych liczb
1 n
n;
naturalnych można wyznaczyć ze wzoru: 1  2  3  ...  n 
2
b) ciąg liczb nieparzystych: 1, 3, 5,...,2n – 1,... jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 2, i sumę n-początkowych liczb
nieparzystych można wyznaczyć ze wzoru: 1  3  5  ...  (2n  1)  n 2 ;
c) ciąg liczb parzystych: 2, 4, 6, ... ,2n, ... jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 2, i sumę n-początkowych liczb
parzystych wyznaczyć ze wzoru: 2  4  6  ...  2n  n(n  1).
3. Ciąg geometryczny
Ciąg liczbowy a n  nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu powstaje przez pomnożenie wyrazu
poprzedniego przez pewną liczbę q, zwaną ilorazem, czyli prawdziwa jest zależność: an1  an  q  q  1,2.....
O ciągu geometrycznym mówimy, gdy ma on, co najmniej trzy wyrazy.
Własności ciągu geometrycznego:
a) Między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a n 1  a n 1  (a n ) 2
(dla wszystkich dodatnich wyrazów ciągu można dostrzec, że: an  an1  an1 )
b) monotoniczność ciągu geometrycznego:
- ciąg jest rosnący, gdy a1  0  q  1  a1  0  q  (0;1),
- ciąg jest malejący, gdy a1  0  q  (0;1)  a1  0  q  1,
- ciąg jest stały, gdy q = 1 lub a1  0  q  0 .
c) wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: a n  a1  q n 1  n  N  ,
d) ciąg geometryczny jest zbieżny jeśli:
a
- q 1 S  1 ,
1 q
- q = 1  S  n  a1 (ciąg stały).