PODSTAWOWE ROZKLADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
advertisement
Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Agnieszka Rossa Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najcz˛eściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: ˛ Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najcz˛eściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: ˛ – rozkład dwupunktowy, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najcz˛eściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: ˛ – rozkład dwupunktowy, – rozkład dwumianowy, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najcz˛eściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: ˛ – rozkład dwupunktowy, – rozkład dwumianowy, – rozkład Poissona. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x1 oraz x2 , z prawdopodobieństwami odpowiednio: P(X = x1 ) = p, P(X = x2 ) = q, przy czym p + q = 1. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x1 oraz x2 , z prawdopodobieństwami odpowiednio: P(X = x1 ) = p, P(X = x2 ) = q, przy czym p + q = 1. W przypadku szczególnym, gdy x1 = 1, x2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x1 oraz x2 , z prawdopodobieństwami odpowiednio: P(X = x1 ) = p, P(X = x2 ) = q, przy czym p + q = 1. W przypadku szczególnym, gdy x1 = 1, x2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x1 oraz x2 , z prawdopodobieństwami odpowiednio: P(X = x1 ) = p, P(X = x2 ) = q, przy czym p + q = 1. W przypadku szczególnym, gdy x1 = 1, x2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu. Gdy X ma rozkład zero-jedynkowy, wówczas: E(X ) = p, Agnieszka Rossa D 2 (X ) = pq. PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu zero-jedynkowego Na osi odcietych ˛ zaznaczone sa˛ dwie realizacje zmiennej zero-jedynkowej, tj. 0 i 1, natomiast pionowe odcinki reprezentuja˛ prawdopodobieństwa wystapienia ˛ tych realizacji, tj. q = 1 − p oraz p. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża sie˛ wzorem: n P(X = x) = px q n−x , dla x = 0, 1, . . . , n, x gdzie: n ∈ N, p ∈ (0, 1), q = 1 − p, p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża sie˛ wzorem: n P(X = x) = px q n−x , dla x = 0, 1, . . . , n, x gdzie: n ∈ N, p ∈ (0, 1), q = 1 − p, p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n n! = x!(n−x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik x oznacza silnie). ˛ Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża sie˛ wzorem: n P(X = x) = px q n−x , dla x = 0, 1, . . . , n, x gdzie: n ∈ N, p ∈ (0, 1), q = 1 − p, p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n n! = x!(n−x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik x oznacza silnie). ˛ W rozkładzie dwumianowym: E(X ) = np, Agnieszka Rossa D 2 (X ) = npq. PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy – Uwagi W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada sie, ˛ że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym ˛ na wykonaniu ciagu ˛ tzw. doświadczeń Bernoulliego. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy – Uwagi W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada sie, ˛ że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym ˛ na wykonaniu ciagu ˛ tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy – Uwagi W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada sie, ˛ że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym ˛ na wykonaniu ciagu ˛ tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag ˛ n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych ˛ trzy warunki: 1. Sa˛ dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. ˛ Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy – Uwagi W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada sie, ˛ że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym ˛ na wykonaniu ciagu ˛ tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag ˛ n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych ˛ trzy warunki: 1. Sa˛ dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. ˛ 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy – Uwagi W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada sie, ˛ że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym ˛ na wykonaniu ciagu ˛ tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków – Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag ˛ n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych ˛ trzy warunki: 1. Sa˛ dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. ˛ 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe. 3. Doświadczenia sa˛ niezależne, co oznacza, że wynik jednego doświadczenia nie ma wpływu na wyniki pozostałych doświadczeń. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa˛ wybrakowane, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa˛ wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja˛ wady, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa˛ wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja˛ wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa˛ wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja˛ wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa. Jaka jest oczekiwana liczba pralek wadliwych w losowej próbie 20 pralek? Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. ˛ Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. ˛ Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których ”sukcesem” jest wylosowanie wadliwej pralki. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. ˛ Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których ”sukcesem” jest wylosowanie wadliwej pralki. Liczba wybrakowanych pralek (tj. liczba sukcesów) w próbie 20 sztuk jest zatem zmienna˛ losowa˛ (oznaczmy ja˛ przez X ) o rozkładzie dwumianowym z parametrami n=20, p=0, 05. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie ˛ – c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa˛ wadliwe wynosi: 20! 20 (0, 05)2 (0, 95)18≈0, 189. P(X=2)= (0, 05)2 (0, 95)18= 2 2!18! Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie ˛ – c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa˛ wadliwe wynosi: 20! 20 (0, 05)2 (0, 95)18≈0, 189. P(X=2)= (0, 05)2 (0, 95)18= 2 2!18! Ad.2. Prawdopodobieństwo, że co najwyżej dwie pralki w próbie 20 sztuk sa˛ wadliwe wynosi: P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 20 20 0 20 = (0, 05) (0, 95) + (0, 05)1 (0, 95)19 + 0 1 20 + (0, 05)2 (0, 95)18 ≈ 0, 925. 2 Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie ˛ – c.d. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie ˛ – c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie bedzie ˛ wadliwych pralek, wynosi: 20 P(X = 0) = (0, 05)0 (0, 95)20 ≈ 0, 358. 0 Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie ˛ – c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie bedzie ˛ wadliwych pralek, wynosi: 20 P(X = 0) = (0, 05)0 (0, 95)20 ≈ 0, 358. 0 Oczekiwana liczba wybrakowanych pralek w 20-elementowej próbie jest równa: E(X ) = np = 20 · 0, 05 = 1. Uzyskany wynik można interpretować nastepuj ˛ aco. ˛ Średnia liczba wadliwych pralek przypadajacych ˛ na każda˛ 20-elementowa˛ próbe˛ (tj. próbe, ˛ która˛ potencjalnie można wylosować) wynosi 1. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Objaśnienia do wykresu – analogiczne, jak w przypadku wykresu rozkładu zero-jedynkowego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża sie˛ wzorem: P(X = x) = λx −x e , dla x = 0, 1, 2, . . . . x! Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża sie˛ wzorem: P(X = x) = λx −x e , dla x = 0, 1, 2, . . . . x! Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n → ∞ i jednocześnie p → 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac ˛ λ = np. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża sie˛ wzorem: P(X = x) = λx −x e , dla x = 0, 1, 2, . . . . x! Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n → ∞ i jednocześnie p → 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac ˛ λ = np. W rozkładzie Poissona: E(X ) = λ, Agnieszka Rossa D 2 (X ) = λ. PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z parametrami n = 100, p = 0, 01 i rozkładu Poissona z parametrem λ = np = 1 Uwaga: Na wykresie przedstawiono prawdopodobieństwa dla x = 0, 1, . . . , 20, z pominieciem ˛ pozostałych możliwych realizacji x = 21, . . . , 100, ze wzgledu ˛ na prawdopodobieństwa bliskie 0. Zauważymy, że prawdopodobieństwa wyznaczone z rozkładu Poissona w tym przypadku dobrze przybliżaja˛ prawdopodobieństwa z rozkładu dwumianowego. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej ˛ zaliczamy: Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej ˛ zaliczamy: – rozkład jednostajny, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej ˛ zaliczamy: – rozkład jednostajny, - rozkład normalny, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej ˛ zaliczamy: – rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat, Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej ˛ zaliczamy: – rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat, - rozkład Studenta. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład jednostajny Mówimy, że zmiennej losowa ciagła ˛ X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gestości ˛ wyraża sie˛ wzorem: 1 dla x ∈ [a, b], b−a , f (x) = 0, dla pozostałych x. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład jednostajny Mówimy, że zmiennej losowa ciagła ˛ X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gestości ˛ wyraża sie˛ wzorem: 1 dla x ∈ [a, b], b−a , f (x) = 0, dla pozostałych x. W rozkładzie jednostajnym: E(X ) = b−a , 2 Agnieszka Rossa D 2 (X ) = 1 (b − a)2 . 12 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykładowy wykres funkcji gesto ˛ ści rozkładu jednostajnego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny Mówimy, że zmienna losowa ciagła ˛ X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gestości ˛ wyraża sie˛ wzorem: 1 − f (x) = √ e σ 2π (x−µ)2 2σ 2 dla x ∈ R, gdzie: µ, σ sa˛ dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ ∈ R i σ > 0. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny Mówimy, że zmienna losowa ciagła ˛ X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gestości ˛ wyraża sie˛ wzorem: 1 − f (x) = √ e σ 2π (x−µ)2 2σ 2 dla x ∈ R, gdzie: µ, σ sa˛ dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ ∈ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X ) = µ, Agnieszka Rossa D 2 (X ) = σ 2 . PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny Mówimy, że zmienna losowa ciagła ˛ X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gestości ˛ wyraża sie˛ wzorem: 1 − f (x) = √ e σ 2π (x−µ)2 2σ 2 dla x ∈ R, gdzie: µ, σ sa˛ dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ ∈ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X ) = µ, D 2 (X ) = σ 2 . Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna˛ zmienna˛ losowa. ˛ Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny Mówimy, że zmienna losowa ciagła ˛ X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gestości ˛ wyraża sie˛ wzorem: 1 − f (x) = √ e σ 2π (x−µ)2 2σ 2 dla x ∈ R, gdzie: µ, σ sa˛ dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ ∈ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X ) = µ, D 2 (X ) = σ 2 . Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna˛ zmienna˛ losowa. ˛ Jej rozkład oznaczamy w skrócie symbolem N(µ, σ). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykładowy wykres funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykładowy wykres funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykładowe wykresy funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykładowe wykresy funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Własności funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Funkcja gestości ˛ przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa˛ gestości ˛ jest równe 1 (sa˛ to własności funkcji gestości ˛ dowolnej zmiennej ciagłej). ˛ Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Własności funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Funkcja gestości ˛ przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa˛ gestości ˛ jest równe 1 (sa˛ to własności funkcji gestości ˛ dowolnej zmiennej ciagłej). ˛ Wartość E(X ) = µ określa wartość przecietn ˛ a˛ zmiennej X . Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Własności funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Funkcja gestości ˛ przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa˛ gestości ˛ jest równe 1 (sa˛ to własności funkcji gestości ˛ dowolnej zmiennej ciagłej). ˛ Wartość E(X ) = µ określa wartość przecietn ˛ a˛ zmiennej X . Krzywa gestości ˛ normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna wzgledem ˛ prostej prostopadłej przechodza˛ cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa˛ gestości ˛ na lewo i na prawo od punktu µ sa˛ równe 12 . Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Własności funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego Funkcja gestości ˛ przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa˛ gestości ˛ jest równe 1 (sa˛ to własności funkcji gestości ˛ dowolnej zmiennej ciagłej). ˛ Wartość E(X ) = µ określa wartość przecietn ˛ a˛ zmiennej X . Krzywa gestości ˛ normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna wzgledem ˛ prostej prostopadłej przechodza˛ cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa˛ gestości ˛ na lewo i na prawo od punktu µ sa˛ równe 12 . Interpretacje˛ ostatniej własności oprzemy na przykładzie. Załóżmy, że iloraz inteligencji w populacji dorosłej cz˛eści ludzkości ma rozkład zbliżony do normalnego ze średnia˛ µ = 100. Z tego wynika, że połowa ludzkości jest madrzej˛ sza od osoby przecietnie ˛ madrej ˛ (czego nie można powiedzieć o drugiej połowie). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – przykład Załóżmy, że na koniec każdego miesiaca ˛ obserwujemy stope˛ zwrotu z akcji XYZ. Na podstawie 12 danych zebranych w ciagu ˛ roku rysujemy histogram rozkładu. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami wzglednymi ˛ na osi rzednych. ˛ Krzywa reprezentuje tu funkcje˛ gesto ˛ ści rozkładu normalnego z wartościami parametrów µ i σ równymi odpowiednio średniej i odchyleniu standardowemu stóp zwrotu w badanym zbiorze. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego jest bardzo słabe. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Gdyby obserwacje˛ stóp zwrotu prowadzić np. w połowie każdego miesiaca, ˛ wówczas zebrane wyniki byłyby inne. Poniżej przykładowy histogram. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami wzglednymi ˛ na osi rzednych. ˛ Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nadal słabe. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Przypuśćmy teraz, że obserwacji stóp zwrotu dokonujemy z wieksz ˛ a˛ czestotli˛ wościa, ˛ np. w wybranym dniu każdego tygodnia. Otrzymamy wieksz ˛ a˛ liczbe˛ danych. Poniżej przykładowy histogram dla kilkudziesieciu ˛ obserwacji. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami wzglednymi ˛ na osi rzednych. ˛ Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nieco lepsze. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Jeśli obserwacje˛ przeprowadzać bedziemy ˛ w innym dniu tygodnia, wówczas uzyskamy inny zbiór danych. Poniżej – przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami wzglednymi ˛ na osi rzednych ˛ oraz krzywa gesto ˛ ści rozkładu normalnego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Prowadzac ˛ obserwacje˛ z bardzo duża˛ czestotliwo ˛ ścia, ˛ np. kilka razy dziennie przez cały rok, zbierzemy kilkaset lub nawet kila tysiecy ˛ wyników obserwacji. Poniżej – ich przykładowy histogram. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny – c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami wzglednymi ˛ na osi rzednych. ˛ W tym przypadku dopasowanie krzywej gesto ˛ ści rozkładu normalnego jest wyraźne. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności wzglednych ˛ jest dobrze reprezentowany przez funkcje˛ gestości ˛ rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności wzglednych ˛ jest dobrze reprezentowany przez funkcje˛ gestości ˛ rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gestości ˛ aproksymuje rozkład cz˛estości wzgled˛ nych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża˛ cz˛estotliwościa˛ (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności wzglednych ˛ jest dobrze reprezentowany przez funkcje˛ gestości ˛ rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gestości ˛ aproksymuje rozkład cz˛estości wzgled˛ nych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża˛ cz˛estotliwościa˛ (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek. Nie każda cecha ciagła ˛ ma rozkład normalny. Istnieja˛ także inne możliwe rozkłady zmiennych ciagłych ˛ – zob. nastepny ˛ slajd. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykład innego rozkładu Krzywa gesto ˛ ści rozkładu z prawostronna˛ asymetria˛ Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny standaryzowany Rozkład normalny z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie – standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1) . Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny standaryzowany Rozkład normalny z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie – standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1) . Zmienna˛ o takim rozkładzie oznaczać bedziemy ˛ dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcje˛ gestości ˛ i dystrybuante˛ tej zmiennej – symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny standaryzowany Rozkład normalny z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie – standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1) . Zmienna˛ o takim rozkładzie oznaczać bedziemy ˛ dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcje˛ gestości ˛ i dystrybuante˛ tej zmiennej – symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gestość ˛ zmiennej U ma postać: 1 φ(x) = √ e− 2π Agnieszka Rossa x2 2 dla x ∈ R. PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład normalny standaryzowany Rozkład normalny z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie – standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1) . Zmienna˛ o takim rozkładzie oznaczać bedziemy ˛ dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcje˛ gestości ˛ i dystrybuante˛ tej zmiennej – symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gestość ˛ zmiennej U ma postać: 1 φ(x) = √ e− 2π x2 2 dla x ∈ R. W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N(0, 1) prawdziwa jest nastepuj ˛ aca ˛ równość: Φ(−x) = 1 − Φ(x). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Wykres funkcji gesto ˛ ści rozkładu normalnego standaryzowanego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła ˛ zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa˛ gesto ˛ ści w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa˛ wynosi 1. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła ˛ zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa˛ gesto ˛ ści w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa˛ wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuante˛ Φ(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartość. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła ˛ zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa˛ gesto ˛ ści w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa˛ wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuante˛ Φ(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa˛ ges˛ tości rozkładu N(0, 1) na przedziale (−∞, x). Obliczenie takiego pola ”na piechote” ˛ jest jednak stosunkowo trudne. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła ˛ zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa˛ gesto ˛ ści w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa˛ wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuante˛ Φ(x) = P(U < x), gdzie x – zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa˛ ges˛ tości rozkładu N(0, 1) na przedziale (−∞, x). Obliczenie takiego pola ”na piechote” ˛ jest jednak stosunkowo trudne. W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta sie˛ cz˛esto z tablic statystycznych, zawierajacych ˛ obliczone prawdopodobieństwa dla różnych x – zob. nastepny ˛ slajd. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwo P(U < x) w rozkładzie N(0, 1) Np. dla x = 1, 37 mamy bezpośrednio z tablicy: P(U < 1, 37) = 0, 9147 Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwo P(U ≥ x) w rozkładzie N(0, 1) Dla x = 1, 37 mamy: P(U ≥ 1, 37) = 1 − P(U < 1, 37) = 1 −0, 9147 = 0, 0853 Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwo P(|U| < x) w rozkładzie N(0, 1) P(|U| < 1, 37) = P(−1, 37 < U < 1, 37) = P(U < 1, 37)−P(U < −1, 37)= =Φ(1, 37)−Φ(−1, 37) = Φ(1, 37)−(1−Φ(1, 37)) = 0, 9147−(1−0, 9147) = 0, 8294 Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Reguła 3 sigm w rozkładzie N(0, 1) P(|U| < 3 · σ) = P(|U| < 3) = P(−3 < U < 3) = P(U < 3)−P(U < −3)= =Φ(3)−Φ(−3) = Φ(3)−(1−Φ(3)) = 0, 9987−(1−0, 9987) = 0, 9974 Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwo P(x < U < y ) w rozkładzie N(0, 1) Obliczymy prawdopodobieństwo P(x < U < y ) dla zadanych wartości x, y . Niech x = 0, y = 1, 43. Mamy wówczas: P(0 < U < 1, 43) = P(U < 1, 43)−P(U < 0)=Φ(1, 43)−Φ(0) = 0, 9236−0, 5 = 0, 4236. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana˛ liczba˛ z przedziału (0, 1). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana˛ liczba˛ z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy ˛ powyższa˛ równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rz˛edu p. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana˛ liczba˛ z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy ˛ powyższa˛ równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rz˛edu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rz˛edu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana˛ liczba˛ z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy ˛ powyższa˛ równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rz˛edu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rz˛edu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego. 4. Z definicji, jest to taka˛ wartość u, dla której P(U < u) = 0, 9. Na podstawie danych w tablicy wnioskujemy, iż szukany kwantyl jest równy: u ≈ 1, 28. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Ilustracja graficzna Równość P(U < u) = 0, 9 zachodzi dla u ≈ 1, 28. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Wyznaczanie kwantyli dla rozkładu N(0, 1) – c.d. Znajdziemy, jakiego rz˛edu jest kwantyl u rozkładu N(0, 1), spełniajacy ˛ równość: P(|U| < u) = 1 − α dla zadanego α = 0, 05. Nastepnie ˛ znajdziemy ten kwantyl. Mamy: 1 − α =P(|U| < u) = P(U < u)−P(U < −u)= =P(U < u)−(1 − P(U < u)) = 2P(U < u)−1. Oznaczajac ˛ p = P(U < u), otrzymujemy: 2p − 1 = 1 − α, stad ˛ p =1− α . 2 Wynika z tego, że u jest kwantylem rz˛edu: α 0, 05 p =1− =1− = 0, 975. 2 2 Na podstawie tablicy otrzymujemy natychmiast: u ≈ 1, 96. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostepnych ˛ tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostepnych ˛ tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X −µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostepnych ˛ tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X −µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F (8) = P(X < 8), zakładajac, ˛ że X ma rozkład N(10; 2). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostepnych ˛ tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X −µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F (8) = P(X < 8), zakładajac, ˛ że X ma rozkład N(10; 2). 8−10 F (8) = P(X < 8) = P( X −10 2 < 2 ) = P(U < −1) = Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 0, 8413. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Ilustracja graficzna Prawdopodobieństwo F (8) = P(X < 8) w rozkładzie N(10, 2) Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Zmienna X po standaryzacji X −10 2 Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta ma rozkład N(0, 1) Zaznaczone pola sa˛ równe Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsiewzi ˛ ecia ˛ ma rozkład normalny N(80, 45). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsiewzi ˛ ecia ˛ ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac ˛ w dane przedsiewzi ˛ ecie, ˛ poniesiemy strate. ˛ Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsiewzi ˛ ecia ˛ ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac ˛ w dane przedsiewzi ˛ ecie, ˛ poniesiemy strate. ˛ Rozwiazanie. ˛ Zysk z przedsiewzi ˛ ecia ˛ jest zmienna˛ losowa. ˛ Oznaczmy ja˛ symbolem X . Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie strate˛ oznacza prawdopodobieństwo, że zysk bedzie ˛ ujemny. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsiewzi ˛ ecia ˛ ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac ˛ w dane przedsiewzi ˛ ecie, ˛ poniesiemy strate. ˛ Rozwiazanie. ˛ Zysk z przedsiewzi ˛ ecia ˛ jest zmienna˛ losowa. ˛ Oznaczmy ja˛ symbolem X . Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie strate˛ oznacza prawdopodobieństwo, że zysk bedzie ˛ ujemny. Skorzystamy z tw. o standaryzacji i tablic statystycznych: X −80 0 − 80 P(X < 0)=P < =P(U < −1, 78)= 45 45 =Φ(−1, 78)=1−Φ(1, 78)=1−0, 9625=0, 0375. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład chi-kwadrat Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma˛ kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k X Ui2 , i=1 gdzie U1 , U2 , . . . , Uk sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład chi-kwadrat Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma˛ kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k X Ui2 , i=1 gdzie U1 , U2 , . . . , Uk sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1). W rozkładzie chi-kwadrat: E(Z ) = k , D 2 (Z ) = 2k . Rozkłady chi-kwadrat (podobnie, jak dalej przedstawione rozkłady Studenta) sa˛ cz˛esto wykorzystywane w procedurach wnioskowania statystycznego. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykładowe wykresy funkcji gesto ˛ ści rozkładu chi-kwadrat Agnieszka Rossa Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład Studenta Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: U √ t=√ k, Z gdzie U i Z sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z – rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład Studenta Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: U √ t=√ k, Z gdzie U i Z sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z – rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy ˛ pod pseudonimem Student. Stad ˛ wywodzi sie˛ ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo ˛ mała litera˛ t (od ostatniej litery nazwiska autora). Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Rozkład Studenta Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: U √ t=√ k, Z gdzie U i Z sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z – rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy ˛ pod pseudonimem Student. Stad ˛ wywodzi sie˛ ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo ˛ mała litera˛ t (od ostatniej litery nazwiska autora). k W rozkładzie Studenta: E(t) = 0, D 2 (t) = k −2 , o ile k > 2. Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Podstawowe rozkłady zmiennej losowej ciagłej ˛ Wyszczególnienie Rozkład jednostajny Rozkład normalny Rozkład chi-kwadrat Rozkład Studenta Przykładowe wykresy funkcji gesto ˛ ści rozkładu Studenta Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Agnieszka Rossa PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
