Podstawowe definicje dotyczące wyznaczania

I Ciągi liczbowe
1. Podstawowe definicje, ciąg liczbowy w ujęciu ogólnym ------------------------------------------------------------- str. 2
a) wybrane zadania otwarte ----------------------------------------------------------------------------------- str. 3
b) wybrane zadania zamknięte -------------------------------------------------------------------------------- str. 5
2. Ciąg arytmetyczny --------------------------------------------------------------------------------------------------------- str. 6
a) wybrane zadania otwarte ----------------------------------------------------------------------------------- str. 7
b) wybrane zadania zamknięte -------------------------------------------------------------------------------- str. 9
3. Ciąg geometryczny ------------------------------------------------------------------------------------------------------- str. 10
a) wybrane zadania otwarte ---------------------------------------------------------------------------------- str. 11
b) wybrane zadania zamknięte ------------------------------------------------------------------------------- str. 14
4. Wybrane zadania maturalne dotyczące ciągów liczbowych (ciąg arytmetyczny i geometryczny łącznie) --- str. 15
1
1. Ciągi liczbowe w ujęciu ogólnym
Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy każdą funkcję o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych określoną na zbiorze liczb
naturalnych ( D : n  N  ).
- liczby przyporządkowane kolejnym liczbom naturalnym nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy symbolem an, gdzie n  N  ;
- ciągi liczbowe określa się za pomocą wzoru ogólnego lub za pomocą wzoru rekurencyjnego*;
- wykresem ciągu jest zbiór punków spełniających warunki danego ciągu umieszczonych w układzie współrzędnych.
Do podstawowych cech każdego ciągu liczbowego zaliczamy:
a) monotoniczność ciągu;
b) ograniczoność ciągu;
c) posiadanie granicy.
Poprzez monotoniczność ciągu rozumiemy określenie, czy ciąg jest:
- rosnący (a n1  an  n  N  );
- malejący (a n1  an  n  N  );
- stały (wszystkie wyrazy ciągu maja taką samą wartość).
Ze względu na monotoniczność ciągu, dzielimy ciągi na:
a) ciągi zbieżne – posiadające granicę skończoną;
b) ciągi rozbieżne – do plus lub minus nieskończoności,
- nie posiadające granicy.
Poprzez ograniczoność ciągu należy rozumieć takie wartości do których zbliżają się bezwzględne wartości kolejnych wyrazów ciągu,
np. a n  (( 1) n  1), gdzie M = 3 (każdy wyraz ciągu jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od liczby M).
Szczególnymi rodzajami ciągów są ciągi:
- arytmetyczne
- geometryczne.
rekurencja – sposób definiowania procedur i funkcji polegający na umieszczaniu w treści procedury odwołań do tej samej procedury, rekurencyjny wzór jest wzorem
wyrażającym ogólny (n-ty) wyraz ciągu przez wyrazy go poprzedzające.
*
2
a) wybrane zadania otwarte:
Zadanie 1
n
2
Wyrazy ciągu określone są wzorem: hn   1 n  1 . Wyznacz: h1 ; h5 ; hn1 .
Zadanie 2*
Ciąg określony jest w sposób rekurencyjny (indukcyjny): u n  2;

n N
u n 1  2u n  3. Wyznacz trzy pierwsze wyrazy ciągu.
Zadanie 3
Podaj wzór ogólny ciągu, którego wyrazami są:
a) 2; 4; 6; 8; 10.....
b) 0,7; 0,07; 0,007 ....
c) –1; 1; -1; 1; ...
d)* 0;1  3;2  4;3  5....
Zadanie 4
Na podstawie definicji zbadaj monotoniczność poniższych ciągów:
2
1

2
3    3
n 1
n
.
;
a) a n 
b)* an  n ;
c)* a n  
1
n
n
Zadanie 5
Ciąg an jest określony wzorem ogólnym:
4n
a) a n 
; b)* bn  n 2  16n  54
n
a) wyznacz liczbę dodatnich wyrazów ciągu;
b) zbadaj monotoniczność ciągu.
3
Zadanie 6
Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu, którego suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem: S n  3n 2  n
Zadanie 7
Dany jest ciąg: an 
n 1
.
n2
Wyznacz:
a) pierwszych pięć jego wyrazów
b) wykres ciągu dla n  4;8
c) na podstawie definicji określ monotoniczność ciągu.
Zadanie 8
6b
jest równa 22, a wyraz czwarty jest o 3 mniejszy od drugiego. Oblicz a i b oraz wyznacz
n
wzór ogólny ciągu a następnie wykreśl go dla n  1;4 .
Suma trzech pierwszych wyrazów ciągu: a n  an 2 
Zadanie 9
Które wyrazy ciągu: a n 
2n
spełniają nierówność: 6 x 2  13 x  6  0 ?
n3
Zadanie 10*
a2n 1
Dla jakich wartości parametru a ciąg określony wzorem: an 
jest rosnący?
a  2n
Zadanie 11*
Dany jest ciąg : a n  n 2  8n  a , którego najmniejszym wyrazem jest liczba: -5. Oblicz a oraz wyznacz wszystkie wyrazy ujemne tego ciągu.
Zadanie 12
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg a n  określony wzorem: a n  n 2  2n  24 dla n  1?
4
Zadanie 13
Sumę 100 początkowych wyrazów ciągu (an), określonego wzorem a n 
1
, dla n  N  , można obliczyć w następujący sposób:
(4n  3)( 4n  1)
1
1
1
1
1


 ... 


1  5 5  9 9  13
393  397 397  401
1  1 1 1 1 1 1 1 
1  1
1  1  1
1 
 1              ...   


  

4  5  4  5 9  4  9 13 
4  393 397  4  397 401 
1  1 1 1 1 1
1
1
1
1  1 
1  1 400 100
 1       ... 




.
   1 
 
4  5 5 9 9 13
393 397 397 401  4  401  4 401 401
a1  a 2  a3  ...  a100 
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, oblicz sumę 100 początkowych wyrazów ciągu bn 
1
.
(3n  2)(3n  1)
Zadanie 14
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg a n  określony wzorem: a n  n 2  2n  24 dla n  1?
Zadanie 15
Dany jest ciąg (an) określony wzorem: a n   1
n
2n
 n  1. Oblicz a2 i a5.
n2
5
c) wybrane zadania zamknięte
Zadanie 1
Dany jest ciąg (an) określony wzorem: a n 
a3 
A.
n
 2n
1
2
 n  1. Wówczas
B. a 3  
1
2
C. a 3 
3
8
D. a3  
3
8
Zadanie 2
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem: a n  2n 2  9 dla n  1.
A.
B. 1
0
C. 2
D. 3
Zadanie 3
n
Ciąg (a n ) jest określony wzorem: an   3  9  n 2 dla n  1. Wynika z tego, że:

B. a3  27
a3  81
A.

C. a3  0
D. a3  0
Zadanie 4
n
Ciąg (a n ) jest określony wzorem: an   1  n 2  2n dla n  1. Wtedy

A.
a3  3

B. a3  3
C. a3  2
D. a3  2
Zadanie 5
Ciąg (a n ) jest określony wzorem: a n   1 
n
A.

3
25
2n
dla n  1. Wtedy a5 tego ciągu jest równy:
n2
B.
3
25
C. a 3  
7
25
D. a 3 
7
25
6
Zadanie 6
Ciąg (a n ) jest określony wzorem: an 2n  4 dla n  1. Wówczas:
A.
a8  2 5
B. a8  8
C. a8  5 2
D. a8  12
7
2. Ciąg arytmetyczny
Ciąg liczbowy a n nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu powstaje poprzez dodanie do wyrazu
poprzedniego stałej liczby r zwanej różnicą ciągu.
Z definicji wynika, że dla każdej dowolnej liczby naturalnej n prawdziwa jest relacja: an1  an  r.
Można mówić o ciągu arytmetycznym jedynie wtedy, gdy ma on co najmniej trzy wyrazy.
Własności ciągu arytmetycznego:
1. Ciąg arytmetyczny jest:
- rosnący, gdy r > 0;
- stały, gdy r = 0;
- malejący, gdy r = 0.
2. W ciągu arytmetycznym każdy wyraz, oprócz pierwszego i ostatniego jest średnią arytmetyczną wyrazów bezpośrednio z nim
a  a n1
sąsiadujących, tzn. dla n  N  prawdziwy jest wzór: a n  n 1
;
2
3. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an  a1  n  1  r;
4. Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: S n 
a1  a n
 n.
2
Korzystając z powyższych definicji można zauważyć, że:
a) ciąg liczb naturalnych: 1, 2, 3, ....n jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 1, i sumę n-początkowych liczb
1 n
n;
naturalnych można wyznaczyć ze wzoru: 1  2  3  ...  n 
2
b) ciąg liczb nieparzystych: 1, 3, 5,...,2n – 1,... jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 2, i sumę n-początkowych liczb
nieparzystych można wyznaczyć ze wzoru: 1  3  5  ...  (2n  1)  n 2 ;
c) ciąg liczb parzystych: 2, 4, 6, ... ,2n, ... jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 2, i sumę n-początkowych liczb
parzystych wyznaczyć ze wzoru: 2  4  6  ...  2n  n(n  1).
8
a) wybrane zadania otwarte
Zadanie 1
Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y.
Zadanie 2
Ciąg liczbowy an  jest określony wzorem an 
4  3n
. Uzasadnij, że dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
2
Zadanie 3*
Udowodnij, że jeśli różne liczby a 2 , b 2 , c 2 tworzą ciąg arytmetyczny, to liczby
1
1
1
,
,
też tworzą ciąg arytmetyczny.
bc ca ab
Zadanie 4
W ciągu arytmetycznym składającym się z dziewięciu wyrazów suma trzech pierwszych wyrazów równa się 30, a suma trzech następnych
wynosi 84. Oblicz sumę trzech ostatnich wyrazów tego ciągu.
Zadanie 5
Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, jeśli:
a3  a5  24 i a3  a5  144.
Zadanie 6
Liczby 55; 51; 47 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n).
a) oblicz 16 –ty wyraz tego ciągu;
b) podaj wzór na n-ty wyraz tego ciągu;
c) oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 7
Liczby: 2 x 3  5 x, x 2  x, 3x  4 ( w podanej kolejności) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego o wyrazach całkowitych.
a) oblicz x;
b) wyznacz podane wyrazy;
c) podaj wzór na n-ty wyraz tego ciągu;
d) wykreśl ten ciąg dla n  4;7 .
9
Zadanie 8
Suma szóstego i szesnastego wyrazu ciągu arytmetycznego (a n) jest równa 5, a iloczyn wyrazu ósmego i dwunastego równy jest 3. Wyznacz
wzór na wyraz ogólny ciągu (a n). Zbadaj monotoniczność ciągu na podstawie definicji.
Zadanie 9
Uczeń przeczytał książkę liczącą 256 stron w ciągu 10 dni, przy czym każdego dnia czytał o pewną stałą liczbę stron więcej niż dnia
poprzedniego. W piątym dniu przeczytał 24 strony. Oblicz, ile stron uczeń przeczytał w pierwszym, a ile w ósmym dniu.
Zadanie 10
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego
ciągu.
Zadanie 11
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 1. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Zadanie 12
Znajdź sumę liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od 100, które nie są podzielne przez 5.
Zadanie 13
Kino czynne jest całą dobę. Za oglądanie pierwszego filmu trzeba zapłacić 15 zł, a za oglądanie każdego następnego o 2 zł mniej niż
poprzedniego. Czy 100 zł wystarczy Tobie, aby obejrzeć 8 filmów?
Zadanie 14
Rozwiąż równanie: -4 – 1 + 2 + 5 + ... + x = 490
Zadanie 15
Liczby: 3x + 15; 12; 27x – 1 są odpowiednio pierwszym, trzecim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz x.
Zadanie 16
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3.
Zadanie 17
Liczby: 2, x – 3, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
10
Zadanie 18
Wyrazami ciągu arytmetycznego (an) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.
Zadanie 19
Liczby: x - 2, 3, x + 6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
Zadanie 20
Suma S n  a1  a 2  ...  an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem S n  n 2  n  n  1. Wyznacz
wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Zadanie 21*
W ciągu arytmetycznym (an), dla n  1, dane są a1 = -2 oraz różnica r = 3. Oblicz największe n takie, że a1  a2  ...  an  2012.
b) wybrane zadania zamknięte
Zadanie 1
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego ciągu jest równa:
A. 9
B.
5
2
C. 2
D.
2
5
Zadanie 2
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a n ) o wyrazach dodatnich. Wtedy
A.
a4  a7  a10
B. a4  a6  a3  a8
C. a2  a9  a3  a8
D. a5  a7  2a8
Zadanie 3
W ciągu arytmetycznym a1  3 oraz a20  7. Wtedy suma S 20  a1  a2  a3  ...  a19  a20 jest równa:
A. 95
B. 200
C. 230
D. 100
11
Zadanie 4
W ciągu arytmetycznym a3  13 oraz a5  39. Wtedy a1 jest równy:
A. 13
B. 0
C. -13
D. –26
Zadanie 5
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 200. Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę:
A. 400
B. 500
C. 600
D. 700
Zadanie 6
Liczby: x-1, 4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa:
A. 3
B. 1
C. -1
D. –7
Zadanie 7
Liczby: 1; 3; x – 11, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa
A. 5
B. 9
C. 16
D. 20
12
3. Ciąg geometryczny
Ciąg liczbowy a n  nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu powstaje przez pomnożenie wyrazu
poprzedniego przez pewną liczbę q, zwaną ilorazem, czyli prawdziwa jest zależność: an1  an  q  q  1,2.....
O ciągu geometrycznym mówimy, gdy ma on co najmniej trzy wyrazy.
Własności ciągu geometrycznego:
a) między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a n 1  a n 1  (a n ) 2
(dla wszystkich dodatnich wyrazów ciągu można dostrzec, że: an  an1  an1 .
b) monotoniczność ciągu geometrycznego:
- ciąg jest rosnący, gdy a1  0  q  1  a1  0  q  (0;1),
- ciąg jest malejący, gdy a1  0  q  (0;1)  a1  0  q  1,
- ciąg jest stały, gdy q = 1 lub a1  0  q  0 .
c) wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: a n  a1  q
n 1
1 qn
 n  N  ; wzór na sumę ciągu geometrycznego: S n  a1
q 1
1 q
d) ciąg geometryczny jest zbieżny jeśli:
a
- q 1 S  1 ,
1 q
- q = 1  S  n  a1 (ciąg stały).
Podstawowe definicje dotyczące wyznaczania granic ciągu liczbowego(*)
od N ( ).
Mówimy, że ciąg a n ma granicę g, jeżeli w każdym przedziale ( g   ; g   ),   0 , leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu począwszy
Wyznaczając granicę ciągu liczbowego, musimy pamiętać o tym, by omijać (eliminować) symbole nieoznaczoności, tj.:
 0
; ;0  ;   ;1 ;0   0
 0
13
a) wybrane zadania otwarte
Zadanie 1
Zawodnik wspinając się na maszt, za pokonanie pierwszych dwóch metrów otrzymał 10 pkt. Za pokonanie następnego metra otrzymał 30 pkt, a
za pokonanie każdego następnego otrzymywał trzy razy więcej niż za pokonanie poprzedniego. W sumie zawodnik otrzymał 3640 pkt. Ile
metrów pokonał?
Zadanie 2
Cyfry pewnej liczby trzycyfrowej x tworzą w podanej kolejności: cyfra setek, cyfra dziesiątek, cyfra jedności, trzywyrazowy ciąg geometryczny.
Jeśli od liczby x odejmiemy liczbę trzycyfrową zapisaną za pomocą tych samych cyfr, ale w kolejnosci odwrotnej, to otrzymamy 594. Znajdź
liczbę x.
Zadanie 3
Miedzy liczby:
2 i 4 wpisz takie dwie różne od zera liczby, aby wraz z danymi w podanej kolejności tworzyły ciąg geometryczny.
Zadanie 4
Znajdź iloraz ciągu geometrycznego, w którym: b1  b2 
1
2
 b1  b2  1 .
3
3
Zadanie 5
Wyznacz ogólny wzór ciągu geometrycznego, w którym: a3  18  a4  a5  216 . Który wyraz tego ciągu jest równy 39366 i ile wynosi suma
jego początkowych ośmiu wyrazów?
Zadanie 6*
Dla jakich x istnieją równocześnie sumy S1 i S2 nieskończonych ciągów geometrycznych: S1 
x x2 x3
2


 ... ; S 2  1  x  1  x  1  ... .
3 6 12
Dla jakich x sumy te są równe?
Zadanie 7
Liczby 16, 8 2 , 8 w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego ( a n ). Oblicz:
a) iloraz q tego ciągu oraz sumę jego wszystkich wyrazów,
b) podaj wzór na wyraz ogólny ciągu ( a n ).
14
Zadanie 8
Wyznacz ciąg geometryczny ( a n ), w którym a5 
1
1
i a9  .
625
81
Zadanie 9
Rozwiąż równanie:
9 3
2
 x  x 2  x 3  ...  3
4 2
3
Zadanie 10
Liczby: x-3, 2x, 5x +18 w podanej kolejności są szóstym, siódmym i ósmym wyrazem ciągu geometrycznego ( a n ). Oblicz:
a) niewiadomą x,
b) iloraz q ciągu ( a n ) oraz podaj jego pierwszy wyraz.
Zadanie 11
Między liczby 16 i 81 staw trzy liczby tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.
Zadanie 12
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym: a n  (2)  n 1 . Wyznacz trzeci i szósty wyraz tego ciągu oraz wykreśl go dla n  2;6 .
Zadanie 13
Wyznacz (a n ), jeśli: a2  a4  20 oraz a6  a8  40 .
Zadanie 14
Długość, szerokość i głębokość prostopadłościennego wykopu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 2. Oblicz wymiary tego wykopu
wiedząc, że objętość dołu wynosi 8000 m3.
Zadanie 15
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego malejącego mając dane: a1  27; S 3  57
Zadanie 16
Sprawdź, czy ciąg o wzorze ogólnym: bn  n n jest ciągiem geometrycznym.
15
Zadanie 17*
Wyznacz granicę poniższych ciągów:
2n 2  2n
a) a n  2
;
n n
n2 1
b) a n 
;
n 1
c) a n  4n 2  1  2n 2  1 ;
n2 1
;
n3  n2
2 n 1  3 n
e) a n  n  2
.
3 5
d) a n 
Zadanie 18
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a1  12; a3  27 .
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz an, dla każdej liczby naturalnej n ≥1.
c) Oblicz wyraz a 6 .
Zadanie 19
Wykonaj działanie: 0, (25)  0,0(5) 
Zadanie 20*
O ciągu xn dla n  1 wiadomo, że:
a) ciąg an określony jest wzorem: a n  3 xn dla n  1 jest geometryczny o ilorazie q = 27,
b) x1  x2  ...  x10 =145.
Oblicz x1.
16
b) wybrane zadania zamknięte
Zadanie 1
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a n ) , w którym a3  1 i a 4 
A.
a1 
2
3
B. a1 
2
. Wtedy
3
4
9
C. a1 
3
2
D. a1 
9
4
Zadanie 2
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a1  2; a2  12. Wtedy
A.
a4  26
B. a4  432
C. a4  32
D. a4  2592
Zadanie 3
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a1  3; a4  24. Iloraz tego ciągu jest równy:
A. 8
B. 2
C.
1
8
D. 
1
2
Zadanie 4
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a1  32; a4  4. Iloraz tego ciągu jest równy:
A. 12
B. -12
C.
1
2
D. 
1
2
Zadanie 5
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a1  36; a2  18. Wtedy a 4 wynosi:
A. -18
B. 0
C. 4,5
D. 144
17
Zadanie 6
W ciągu geometrycznym (a n ) dane są: a3  5; a4  15. Wtedy a 5 wynosi:
A. 10
B. 20
C. 75
D. 45
Zadanie 7
Liczby: -8, 4 i x+1 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa:
B. – 1,5
A. -3
C. 1
D. 15
Zadanie 8
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wyraz tego ciągu jest równy 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A. 4
B. 4 2
C. 16
D. 16 2
Zadanie 9
Ciąg (2 2 ,4, a ) jest geometryczny. Wówczas
A.
8 2
B. 4 2
C. 8  2 2
D. 8  2 2
18
4. Wybrane zadania maturalne dotyczące ciągów liczbowych (ciąg arytmetyczny i geometryczny łącznie)
Zadanie 1
Ciąg (9; x; 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x; 42; y; z) jest geometryczny. Wyznacz oba ciągi oraz podaj interpretację graficzną zadania.
Zadanie 2*
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby
nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby uwzględniając wszystkie
możliwości.
Zadanie 3*
Wykaż, że jeśli liczby: x; y; z tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny, to liczby:  x ;  y ;  z tworzą w tej kolejności ciąg geometryczny.
Zadanie 4
Trzy liczby, z których każda jest różna od zera i których suma jest równa 35, tworzą rosnący ciąg geometryczny. Te same liczby w tej samej
kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz wzory ogólne obu ciągów.
Zadanie 5
4n 2  9
. Na podstawie odpowiednich definicji
2n  3
zbadaj, czy jest to ciąg arytmetyczny,
zbadaj, czy jest to ciąg geometryczny,
zbadaj monotoniczność ciągu,
narysuj wykres ciągu (zaznacz 4 początkowe wyrazy).
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym: an 
a)
b)
c)
d)
Zadanie 6
Trzy liczby: x; y; 12 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, natomiast liczby: x, y, 9 sa kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Wyznacz wzory ogólne obu ciągów.
Zadanie 7*
Trzy liczby, których suma wynosi 78, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczby te są również pierwszym, trzecim i dziewiątym
wyrazem ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby?
19
Zadanie 8*
Liczby: a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są
pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b i c.
Zadanie 9
Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i
trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
Zadanie 10
Ciąg (1; x; y – 1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x; y; 12) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny (jego wzór
ogólny).
Zadanie 11
Ciąg (9; x; 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x, 42, y, z)jest geometryczny. Oblicz x; y oraz z.
20