P = 0 Parzystość Jądro w modelu powłokowym to układ

FIZYKA III
MEiL
Fizyka jądrowa i cząstek elementarnych
Wykład 3 – własności jąder atomowych cd.
modele jądrowe
Kształt jąder
a / b < 1.17
R p  Rn
?
naskórek neutronowy
Gęstość jądrowa
R  r0 A1 / 3
r0  1.2 fm
RPb  7.1 fm
prawie stała gęstość
dyfuzyjna granica
208Pb
(eksperyment)
rozkład Fermiego
A > 40
 r  
0
1  exp
rR
a
R – promień połówkowy
a – parametr rozmycia
t = (4ln3)a – grubość
warstwy powierzchniowej
t  2.4 fm
  r dv  A
gęstość
średni promień kwadratowy (rms):
r  r dv


  r dv
2
r
2
Spin
Spin – własny moment pędu
•własność kwantowa
•przybiera wartości równe wielokrotności
•wyrażamy w jednostkach
1 3 5
s  1, , ,
2 2 2
:


2
Spin
Ustawienie wektora spinu nie jest dowolne
– kwantyzacja przestrzenna
Liczba stanów (możliwych ustawień) wektora spinu
2s  1
Np. dla s = ½ liczba stanów = 2
dla s = 1 liczba stanów = 3

: s
Bozony i fermiony
Bozony – cząstki o spinie całkowitym (0, 1, 2, 3,…)
np. fotony, bozony W i Z
Fermiony – cząstki o spinie ułamkowym (1/2 , 3/2 , 5/2,…)
np. elektrony, protony, neutrony
Fermiony podlegają zakazowi Pauliego:
Dwa fermiony nie mogą znajdować się
w tym samym stanie kwantowym
Spin jądra
Spin jądra jest sumą wektorową spinów poszczególnych
nukleonów oraz ich momentów orbitalnych.
•Spiny jąder zawierających parzystą liczbę nukleonów
są całkowite (równe są całkowitej wielokrotności
stałej Plancka)
• Spiny jąder, w których liczba protonów jak i liczba
neutronów jest podzielna przez dwa, tzn. obie liczby
są parzyste - są równe zeru.
•Spiny jąder o nieparzystej liczbie nukleonów są
połówkowe (równe są nieparzystej wielokrotności
połowy stałej Plancka)
Całkowity moment pędu
Całkowity moment pędu zachowany w każdym
procesie jest równy sumie (wektorowej) spinów
i orbitalnych momentów pędów.
   
np. dla 2 cząstek: J  s1  s2  l12
Przykład: rozpad 
A
Z
X
Ta sama wartość A - oba spiny
połówkowe lub oba całkowite.
A
Z 1
…więc ten spin musi
być połówkowy

X e ?
wykluczony kwant 
spin = ½
Moment magnetyczny

masa
ładunek
częstość
promień

  IS

S
I
m
q

R
stosunek
giroskopowy
2
q


R
q
moment magnetyczny:   R

2
2
2
moment pędu:
J  m R
2
e

J
2m
Momenty magnetyczne jąder
e 
p = 2.8 0
n = - 1.9 0
e
2me
e
0 
2m p
momenty jąder:
magneton
jądrowy
J=0
=0
J = 1, 2...
>0
J = 1/2, 3/2... różnie
Spiny jąder
spin:
parzyste
nieparzyste
parz.parz.
niep.niep.
J=7
Kompensowanie
(dwójkowanie) spinów
J=0
J = 1, 2, ... 7
J = 1/2, 3/2, ... 9/2
176Lu
200Bi
Kompensowanie spinów
2
1
H
s 2 H  sn  s p 
1

3
1
2
1H
 n   p  2,80  1,90  0,90
H
s 3H
1


1 1
 1
2 2
3
1H
p n
1
 sn  sn  s p 
2
  n   n   p  3 0
bo trzeba uwzględnić również orbitalny moment pędu
p n n
Kompensowanie spinów
3
2
He
s 3 H  sn  s p  s p 
2

4
2
He
3
2 He
1
2
 n   p   p  2,10
p p n
s 4 He  0
2

4
2 He
0
n n p p
Parzystość
Parzystość
2
H
2mi
 2
2
2 
 2  2  2   U xi , y i , zi 
 xi xi xi 
hamiltonian symetryczny względem inwersji
współrzędnych przestrzennych:
xi  xi , y i  y i , zi  zi ,
…więc funkcja falowa będąca
rozwiązaniem równania Schrödingera też
będzie symetryczna.
Parzystość
Prawdopodobieństwo znalezienia
cząstki w danym punkcie nie zależy
od układu współrzędnych…
z
y
x
 x, y , z     x, y ,z 
2
…prawoskrętnego
z
 (x,y,z   x, y, z
x
y
2
…czy lewoskrętnego
+ lub dwa rodzaje funkcji falowej
Parzystość
funkcje parzyste:
 (x,y,z   x, y, z
P=1
funkcje nieparzyste:
 (x,y,z   x, y, z
P=0
Parzystość
Jądro w modelu powłokowym to układ
nieoddziałujących nukleonów poruszających się
w uśrednionym polu potencjalnym.
Parzystość jądra:
P   1
 li
li – orbitalna liczba kwantowa określająca
ruch orbitalny i – tego nukleonu wokół
wspólnego środka masy
np. 3 Li ma 4 nukleony w stanie s (l = 0) i 3 w stanie p (l = 1).
Parzystość jądra w stanie podstawowym =
 13  1
7
Spin i parzystość
3,37 MeV
2+
0+
Spiny i parzystości stanu podstawowego i
10
stanu wzbudzonego jądra
Be
W oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych
parzystość jest zachowana.
Elektryczny moment kwadrupolowy
zlokalizowany układ ładunków:

 r  

r
1
40

i
qi
 
r  ri
szereg Taylora:


ri
qi
 r  
1
1
q

 i r2
r i

1
q
r
e

i i i r r 3  
moment dipolowy
moment monopolowy
moment kwadrupolowy
Multipole
Q0   q i
i

Q1 

q
r
 ii
moment monopolowy
- skalar
moment dipolowy
- wektor
i
 x 2q
i
i

i
Qˆ 2    x i y i q i
 i
 xzq
i i i
 
i
~
 y i qi
i
 y i zi qi
2
i


~ 

2
z
 i q i 
i
~
moment kwadrupolowy - tensor symetryczny
Symetryczny rozkład ładunku
jeśli rozkład ładunków jest symetryczny względem osi z:

Q1  0,0,Q1 
Q2 xx

ˆ
Q2  


Q2
xx



zz
Q2 
diagonalny
Ciągły rozkład ładunku
moment kwadrupolowy względem osi symetrii:

Q2   qi 3zi2  ri 2

i
a w przypadku symetrii sferycznej
Q2 = 0
Q2 jest miarą odstępstwa od sferyczności
Q0    dv
rozkład ciągły ładunków:
   x, y, z  - gęstość ładunku
Q1   z dv
Q2 
 3z
2
 r 2  dv
Przykład
elipsoida obrotowa o jednorodnej gęstości ładunku:
b
a


Q2   3z 2  r 2 dv 
R
ab
2
2b  a 

ba
4
Q0R 2
5
średni promień
parametr kształtu
<0
Q2 < 0
>0
Q2 > 0
Momenty kwadrupolowe jąder
jądra o magicznej liczbie Z lub P : Q2 = 0 (jądra sferyczne)
Momenty kwadrupolowe jąder
w przedziale między dwiema liczbami magicznymi jądro przybiera kształt:
Moment kwadrupolowy deuteru
dodatnia wartość momentu kwadrupolowego
Q2 > 0
rozkład ładunku rozciągnięty wzdłuż osi
pokrywającej się ze spinem jądra
Największa wartość sił jądrowych, gdy spiny nukleonów
równoległe do osi deuteronu.
Niecentralny charakter sił jądrowych – zależą nie tylko od
odległości między nukleonami, a również od wzajemnej
orientacji spinów.
Siły jądrowe
• dwuciałowe
• przyciągające 
EB
 
0
A
Siły jądrowe
• silne
  7 MeV
He: energia wiązania na nukleon:
energia oddz. elektrom. na nukleon:
e2
 0.7 MeV
r
• wysycone
EB  A
a nie:
E B  A2
każdy nukleon oddziałuje tylko z najbliższymi sąsiadami
Siły jądrowe
• krótkozasięgowe
 do 2 fm
• zależne od spinu
Jądro 2H - największa wartość sił jądrowych, gdy
spiny nukleonów równoległe do osi deuteronu.
Siły jądrowe nie są siłami centralnymi.
Siły jądrowe
• niezależne ładunkowo
Energie wiązania jąder zwierciadlanych są
równe z dokładnością do poprawki na energie
oddziaływania kulombowskiego.
E B  3 H   E B  3 He   0.7 MeV
Oddziaływanie jądrowe każdej pary nukleonów
jest jednakowe:
n n  p p  n  p
Oddziaływania wymienne
Wirtualne cząstki przenoszące oddziaływanie
Zasada nieoznaczoności:
E  t  
Próżnia wypełniona jest powstającymi i znikającymi cząstkami wirtualnymi.
czas
1 cząstka wysyła i pochłania
cząstki wirtualne
1 cząstka wysyła, a 2 cząstka
pochłania cząstki wirtualne
Mezonowa teoria sił jądrowych
Yukawa 1935
analog elektrodynamiki kwantowej
oddziaływanie wymienne
kwant pola silnego
Et  
E

m 2  2
c
c t
Hideki Yukawa
1907 – 1981
N – 1949
zasięg a  2  10 15 m
(średnia odległość nukleon-nukleon w jądrze)
Mezonowa teoria sił jądrowych
zasięg oddziaływania:
a  c  t

c

a c 


2
E mc
mc
m  0,
energia spoczynkowa cząstki wirtualnej:
a
t   0.7  10 23 s
c
wirtualne mezony  (piony)
gdy
E 
a=

 10 2MeV
t
m  140 MeV
a  1.4  10-15 m
Modele
model cząstki
niezależnej
- nukleon porusza się w
uśrednionym polu
pozostałych nukleonów
model gazu
Fermiego
model
powłokowy
model
kolektywny
- oddziaływania między
nukleonami tak silne, że
ich ruchy są całkowicie
skorelowane
model
kroplowy
Model kroplowy
R = r0 · A1/3
r0 = 1.2 fm
0 = 0.17 fm-1/3
średnia odległość między
nukleonami:
d0 = 0-1/3 = 1.8 fm
energia wiązania ~ A
nieściśliwość
kropla
Energia wiązania
•energia objętościowa:
EV  aV  A
aV = const
•energia powierzchniowa:
ES  aS  A
2
3
aS = const
•energia kulombowska:
EC  aC  Z  A
2

1
3
aC = const
Energia wiązania
•energia asymetrii:
aA  A  2Z 
ES  
A
aA = const
znika dla N = Z
•energia dwójkowania:
1


2



A


Ep   0
1


2



A


dla jąder parzysto- parzystych
dla A nieparzystych
dla jąder nieparzysto- nieparzystych
 = const
C. F. von Weizsäcker i N. Bohr:
półempiryczny wzór na energię wiązania:
EB = E V + E S + EC + E A + E P + E M
po dopasowaniu do
ponad 1200 nuklidów:
aV = 15.85 MeV
aS = 18.34 MeV
aC = 0.71 MeV
aA = 23.22 MeV
 = 11.46 MeV
czy to działa?
Model kroplowy
model kroplowy jest:
można wyznaczać masy jąder:
fenomenologiczny
klasyczny
kolektywny
m = Z · mp + (A – Z) · mn – EB (A,Z)
a także energie separacji,
rozszczepienia, rozpadu 
itd...
Stabilność jąder ze względu na przemianę 
EB(Z ) jest zależnością paraboliczną. Jądro stabilne
ma najmniejszą masę dla danego A. Warunek:
m
0
Z
A = const
m
(nieparz.)
δ=0
jądra
niestabilne (-)
jądra niestabilne (+)
e+
ee-
Zo-2
e+
Zo
jądro stabilne
Zo+2
Z
Stabilność jąder ze względu na przemianę 
jądra nieparz.-nieparz.
(mniej stabilne)
A = const
(parz.)
m
δ>0
δ<0
jądra parz.-parz.
(bardziej stabilne)
e+
ee+
e-
Zo-3
e+
Zo
e-
Zo+3
Z
nawet trzy stabilne izobary!
Model gazu Fermiego
Enrico Fermi
(1901-1954)
1938
Model gazu Fermiego
Nukleony zajmują najniższe dostępne stany w studni potencjału.
Na każdym poziomie tylko 2 identyczne cząstki – zakaz Pauliego.
Bariera kulombowska
energia Fermiego
Poziomy energetyczne
Model gazu Fermiego
W stanie podstawowym wszystkie
dostępne stany kwantowe zajęte.
zakaz Pauliego
Nukleony nie mogą zmienić stanu swego ruchu bez
doprowadzenia energii z zewnątrz – nie zderzają się.
Średni pęd nukleonów – pęd Fermiego:
p  240 MeV c
Model gazu Fermiego
Przykład:
p + p  p + n + +
m = 140. MeV
energia progowa ELAB = 290. MeV
W zderzeniach protonu z jądrem
trzeba uwzględnić pęd Fermiego
energia progowa
niższa