Analiza korelacji

Statystyczne metody analizy
danych
Statystyka opisowa
Wykład I-III
Agnieszka Nowak - Brzezioska
Podstawowe pojęcia
STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych
badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych.
BADANIE STATYSTYCZNE - ogół prac mających na celu
poznanie
struktury
określonej
zbiorowości
statystycznej.
ZBIOROWOŚD (POPULACJA) STATYSTYCZNA – zbiór
dowolnych elementów (osób, przedmiotów, faktów)
podobnych pod względem określonych cech (ale nie
identycznych) poddanych badaniu statystycznemu.
JEDNOSTKA STATYSTYCZNA - składowe (elementy)
zbiorowości (obiekty badania), które podlegają
bezpośredniej obserwacji lub pomiarowi.
n - oznaczenie liczby jednostek
statystycznych w populacji
• ZBIOROWOŚD (POPULACJA) GENERALNA – wszystkie
elementy będące przedmiotem badania, co do których
chcemy formułowad wnioski ogólne.
• ZBIOROWOŚD PRÓBNA (PRÓBA) - podzbiór populacji
generalnej; wyniki badao próby są uogólniane na
zbiorowośd
generalną.
Próba
musi
byd
reprezentatywna.
• Reprezentatywnośd zależy od: sposobu wyboru
jednostek (celowy, losowy) oraz liczebności próby.
• n>30 - duża próba
• n≤30 - mała próba
Populacja a próba
• Z oczywistych powodów nie jesteśmy w stanie
opisad całej tej populacji.
• Musimy się zatem posłużyd podzbiorem populacji
generalnej - pobraną wcześniej próbą.
• Na podstawie analizy tej próby będziemy jednak
chcieli wyciągad wnioski na temat całej populacji.
• Aby to było możliwe należało na wstępie zadbad
aby pobrana populacja w sposób możliwie
reprezentatywny opisywała populację generalną.
Populacja a próba
• Do oceny i opisu populacji próby można posłużyd się
samymi danymi ale jest to niewygodne.
• Z reguły badacz wykorzystuje różnorodne syntetyczne
wskaŸ
źniki
(statystyki) mające ilustrowad badaną
populację.
• Gdy opisujemy jakąś skooczoną populację np. wzrost
uczniów z klasy IIA (populacja generalna o skooczonej
liczbie elementów) mówimy o statystykach z populacji.
W przypadku gdy opisujemy jedynie wycinek jakiejś
większej,
najczęściej
niepoliczalnej
populacji
generalnej, mówimy o statystyce z próby.
Estymacja, estymator
• Chcemy zatem wyznaczyd wartośd pewnej
charakterystyki danych populacji na podstawie
próby.
• Wyniki obliczane na próbie chcemy rozciągnąd na
populację i wnioskowad o populacji. Opisywana
zależnośd nosi nazwę estymacji.
• Poszczególne statystyki obliczane z próby takie jak
np. średnia arytmetyczna z próby jest więc tylko
przybliżeniem wartości przeciętnej z populacji m.
• W związku z tym są nazywane estymatorami.
SZEREGI STATYSTYCZNE
SZEREGI STATYSTYCZNE – odpowiednio
usystematyzowany i uporządkowany surowy
materiał statystyczny.
Szeregi statystyczne dzielimy na szeregi:
• szczegółowe
• rozdzielcze (punktowe, przedziałowe)
• czasowe (momentów, okresów)
PRZYKŁAD 1 (szereg szczegółowy i szereg
rozdzielczy)
SZEREG ROZDZIELCZY PUNKTOWY
WSKAŹNIK STRUKTURY (wi)
• Wskaźnik struktury (inaczej częstośd) nazywany jest też:
liczebnością względną, frakcją, odsetkiem. Wylicza się go
następująco:
Kolumna liczb { wi }
nazywana jest
rozkładem empirycznym
(liczby usterek).
SKUMULOWANY WSKAŹNIK
STRUKTURY (wi sk)
• Skumulowany wskaźnik struktury (inaczej: częstośd
skumulowana). Wylicza się go następująco:
Kolumna liczb { wi sk }
nazywana jest
dystrybuantą empiryczną
(liczby usterek).
ZALECENIA przy grupowaniu
w szereg rozdzielczy przedziałowy
szereg rozdzielczy przedziałowy przykład
• Przedmiotem badania jest czas dojazdu do pracy w dwóch
firmach: X i Y.
Czas dojazdu pracowników firmy X
[w minutach]
Czas dojazdu pracowników firmy Y
[w minutach]
• Pogrupuj dane w szeregi rozdzielcze następującej postaci :
X
Y
WSKAŹNIK PODOBIEOSTWA
STRUKTUR
• Wskaźnik podobieostwa struktur (wp) jest najprostszą miarą
statystyczną pozwalającą ocenid podobieostwo kształtowania
się badanej cechy w dwóch różnych zbiorowościach.
• Wyliczamy go następująco:
X
Y
PREZENTACJA GRAFICZNA
SZEREGOW STATYSTYCZNYCH
HISTOGRAM - wykres słupkowy
DIAGRAM - wykres liniowy
Oba typy wykresów mogą byd sporządzane w
wariantach dla:
• liczebności
• liczebności skumulowanej
• częstości
• częstości skumulowanej
• Dla wzrokowego porównania rozkładu
badanej cechy w dwóch (lub więcej)
zbiorowościach używamy wyłącznie wykresów
częstościowych.
• Dla firmy X wykonad je samodzielnie w domu.
• O innych typach wykresów poczytad
samodzielnie we wskazanych wcześniej
rozdziałach.
Histogram i diagram częstości
dla czasu dojazdu pracowników firmy Y
Histogram i diagram częstości skumulowanej
dla czasu dojazdu pracowników firmy Y
Diagramy częstości
dla czasu dojazdu pracowników firm X i Y
X
Y
Statystyka opisowa to:
• Miary można podzielid na kilka podstawowych kategorii:
• miary położenia, np. kwantyl oraz miary tendencji
centralnej
(np.
średnia
arytmetyczna,
średnia
geometryczna, średnia harmoniczna, średnia kwadratowa,
mediana, moda )
• miary zróżnicowania np. (odchylenie standardowe,
wariancja, rozstęp, rozstęp dwiartkowy, średnie odchylenie
bezwzględne, odchylenie dwiartkowe, współczynnik
zmienności )
• miary asymetrii (np. współczynnik skośności, współczynnik
asymetrii, trzeci moment centralny )
• miary koncentracji (np. współczynnik Giniego, kurtoza )
Średnia arytmetyczna
• Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej
podzieloną przez liczbę jednostek skooczonej zbiorowości statystycznej.
gdzie:
n - liczebnośd zbiorowości próbnej (próby),
xi - wariant cechy.
Y
Należy pamiętad, że przy
pogrupowaniu danych
źródłowych
w szereg rozdzielczy przedziałowy
następuje pewna utrata
informacji.
Jeżeli policzymy średnią dla
szeregu szczegółowego lub
szeregu rozdzielczego
punktowego, to wynik będzie
dokładny i taki
sam.
Dla danych w postaci szeregu
rozdzielczego przedziałowego
średnia będzie już przybliżeniem.
Tym większym, im szersze są
przedziały klasowe, im jest ich
mniej, itd.
Ważniejsze własności ŚREDNIEJ arytmetycznej
Moda
• Modalna (dominanta D, moda, wartość najczęstsza) - jest to wartośd
cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje
najczęściej.
• Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych
modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności
(częstości).
• W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio
można określid tylko przedział, w którym modalna występuje, jej
przybliżoną wartośd wyznacza się graficznie z histogramu liczebności
(częstości) lub ze wzoru interpolacyjnego:
gdzie: m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,
- dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,
nm - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m, nm-1;
nm+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m -1 i m + 1,
hm - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna.
• Modalna (Mo) zwana też dominantą (D) jest to
wartośd cechy, która występuje najczęściej w
badanej zbiorowości.
Y
Y
Y
Y
Y
Modalna możemy wyznaczyd graficznie tak jak to pokazano na rysunku
Modalną wyznaczamy i sensownie interpretujemy tylko wtedy, gdy
dane są pogrupowane w szereg rozdzielczy (punktowy lub
przedziałowy).
2. Liczebnośd populacji powinna byd dostatecznie duża.
3. Diagram lub histogram liczebności (częstości) ma wyraźnie
zaznaczone jedno maksimum (rozkład jednomodalny).
4. Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy
modalna nie występuje w skrajnych przedziałach (pierwszym lub
ostatnim) - przypadek skrajnej asymetrii. Nie da się w takim
przypadku analitycznie wyznaczyd modalnej.
5. Dla danych pogrupowanych w szereg rozdzielczy przedziałowy
przedział modalnej oraz dwa sąsiednie przedziały (poprzedzający i
następujący po przedziale modalnej) powinny mied taką samą
rozpiętośd.
Miary pozycyjne
• Kwantyle - definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości,
przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowośd
na określone części pod względem liczby jednostek, części te pozostają do
siebie w określonych proporcjach.
• Kwartyl pierwszy Q1 dzieli zbiorowośd na dwie części w ten sposób, że 25%
jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi
pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla.
• Kwartyl drugi (mediana Me) dzieli zbiorowośd na dwie równe części;
połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a
połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość
środkowa.
• Kwartyl trzeci Q3 dzieli zbiorowośd na dwie części w ten sposób, że 75%
jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi
pierwszemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla.
• Decyle np. decyl pierwszy oznacza, że 10% jednostek ma wartości cechy
mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% jednostek wartości
cechy równe lub większe od decyla pierwszego.
• Kwartyle to takie wartości cechy X, które dzielą zbiorowośd na cztery
równe części pod względem liczebności (lub częstości). Części te pozostają
w określonych proporcjach do siebie.
• Aby dokonywad takiego podziału zbiorowośd musi byd uporządkowana
• według rosnących wartości cechy X.
• Każdy kwartyl dzieli zbiorowośd na dwie części, które pozostają do siebie w
• następujących proporcjach. I tak:
• kwartyl 1 (QI) - 25% z lewej i 75% populacji z prawej strony kwartyla,
• kwartyl 2 (QII) - 50% z lewej i 50% populacji z prawej strony kwartyla,
• kwartyl 3 (QIII) - 75% z lewej i 25% populacji z prawej strony kwartyla.
Mediana
• Mediana (Me) - wartośd środkowa, inaczej: kwartyl 2
(QII).
• Jest to taka wartośd cechy X, która dzieli zbiorowośd na
dwie równe części, tj. połowa zbiorowości
charakteryzuje się wartością cechy X mniejszą lub
równą medianie, a druga połowa większą lub równą.
Mediana dla szeregu szczegółowego
• Szereg musi byd posortowany rosnąco !!!
• Wartośd mediany wyznacza się inaczej gdy liczebnośd
populacji (n) jest nieparzysta, a inaczej gdy jest
parzysta.
Y
Y
Y
Y
Kwartyl pierwszy i trzeci
• Dla szeregu szczegółowego kwartyl pierwszy i trzeci wyznacza
się w ten sposób, że w dwóch częściach zbiorowości, które
powstały po wyznaczeniu mediany, ponownie wyznacza się
medianę; mediana w pierwszej części odpowiada kwartylowi
pierwszemu, a w drugiej kwartylowi trzeciemu.
• Dla szeregu rozdzielczego wyznaczenie kwartyli poprzedza się
ustaleniem ich pozycji:
• gdzie: m - numer przedziału (klasy), w którym
występuje odpowiadający mu kwartyl,
- dolna granica tego przedziału,
nm - liczebnośd przedziału, w którym
występuje odpowiedni kwartyl,
- liczebnośd skumulowana do przedziału
poprzedzającego kwartyl,
hm - rozpiętośd przedziału klasowego, w
którym jest odpowiedni kwartyl.
Miary zmienności (rozproszenia,
dyspersji)
Miary klasyczne
wariancja
odchylenie standardowe
odchylenie przeciętne
współczynnik zmienności
Miary pozycyjne
rozstęp
odchylenie dwiartkowe
współczynnik zmienności
Miary KLASYCZNE
• Wariancja, odchylenie standardowe, odchylenie przeciętne, współczynnik
zmienności (klasyczny)
• Wariancję (s2) definiuje się jako średnią arytmetyczną kwadratów odchyleo
wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości. Wariancja jest
wielkością mianowaną w kwadracie miana badanej cechy i nie
interpretujemy jej.
• Odchylenie standardowe (s) jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.
Jest ono wielkością mianowaną tak samo jak badana cecha. Odchylenie
standardowe określa przeciętne zróżnicowanie badanej cechy od średniej
arytmetycznej.
• Odchylenie przeciętne (d) jest średnią arytmetyczną bezwzględnych odchyleo
wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Jest ono wielkością mianowaną
tak samo jak badana cecha. Odchylenie przeciętne interpretujemy podobnie
jak odchylenie standardowe.
• Współczynnik zmienności (klasyczny) (Vs lub Vd) jest to iloraz odchylenia
standardowego (lub przeciętnego) przez średnia arytmetyczną. Jest to
wielkośd niemianowana.
• Używamy go do porównao zmienności w dwu lub więcej zbiorowościach.
Ocena rozproszenia
na podstawie obserwacji diagramów
Na rysunku pokazano dwa diagramy
częstości (1) i (2).
Dla uproszczenia miary położenia (średnia,
mediana i modalna) są sobie równe i
identyczne dla obu zbiorowości.
Mniejsze rozproszenie wokół średniej
występuje w zbiorowości (1).
Diagram jest smuklejszy i wyższy.
Większe rozproszenie wokół średniej
występuje w zbiorowości (2).
Diagram jest bardziej rozłożysty i niższy.
Odchylenie standardowe w zbiorowości (1)
jest mniejsze niż w zbiorowości (2)
s1 < s2
Przedział TYPOWYCH wartości cechy
(miary klasyczne)
• Przedział taki ma tą własnośd, że około70%
jednostek badanej zbiorowości charakteryzuje
się wartością cechy należącą do tego
przedziału.
Reguła „3 sigma”
Dla szeregów szczegółowych
przykład
• Weźmy dane o liczbie braków:
• 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4
• Jak pamiętamy: n=50
Dla szeregów rozdzielczych
punktowych
Dla szeregów rozdzielczych
przedziałowych
czas dojazdu pracowników firmy Y
Rozstęp
• Najprostszą i najbardziej intuicyjną miarą zmienności
przypadków w populacji próby jest rozstęp.
• Rozstęp - różnica pomiędzy wartością maksymalną, a
minimalną cechy - jest miarą charakteryzującą
empiryczny obszar zmienności badanej cechy. W
związku z tym, że przy jego obliczeniu ignoruje się
wszystkie dane (za wyjątkiem dwóch wartości minimalnej i maksymalnej), nie daje on jednak
informacji o zróżnicowaniu poszczególnych wartości
cechy w zbiorowości.
Dla szeregów szczegółowych
• Weźmy dane z (liczba braków):
• 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 2, 2,2, 2, 2, 2,
3, 3, 3, 3, 4, 4
Inny przykład
• Weźmy dane z innego przykładu
10, 10, 10, 12, 12, 12, 12,
13, 13, 13,
13, 13, 14, 14, 15, 15, 15
Dla szeregów rozdzielczych punktowych
Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych
Wariancja
Rozstęp możemy uznad jedynie za wstępną miarę zmienności w populacji próby. Zresztą
przyjrzyjmy się takiemu przykładowi:
Dwa obszary charakteryzują się identycznymi wartościami średnimi badanego parametru i
identycznymi wartościami minimalnymi i maksymalnymi, a co za tym idzie identycznymi
rozstępami. Jednak już na pierwszy rzut oka widad, że rozrzuty danych wokół wartości
przeciętnej w obu przypadkach są skrajnie różne. W obszarze A dane są znacznie bardziej
skumulowane przy wartości średniej niż w obszarze B.
Wariancja
• Wariancja - jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleo
poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej
zbiorowości.
•
•
•
•
•
szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy punktowy
szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi
Wykonując proste przekształcenia algebraiczne, otrzymamy:
szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy
Odchylenie standardowe
• Odchylenie standardowe s - jest to pierwiastek
kwadratowy z wariancji. Stanowi miarę
zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem
badanej cechy, określa przeciętne zróżnicowanie
poszczególnych wartości cechy od średniej
arytmetycznej.
• Typowy obszar zmienności cechy - około 2/3
wszystkich jednostek badanej zbiorowości
statystycznej posiada wartości cechy w tym
przedziale:
Odchylenie przeciętne
Odchylenie przeciętne d - jest to średnia arytmetyczna
bezwzględnych odchyleo wartości cechy od średniej
arytmetycznej. Określa o ile jednostki danej zbiorowości
różnią się średnio, ze względu na wartośd cechy, od
średniej arytmetycznej.
Pomiędzy odchyleniem przeciętnym i standardowym, dla
tego samego szeregu, zachodzi relacja: d < s.
Odchylenie ćwiartkowe Q
jest to parametr określający odchylenie wartości cechy
od mediany. Mierzy poziom zróżnicowania tylko części
jednostek; po odrzuceniu 25% jednostek o
wartościach najmniejszych i 25% jednostek o
wartościach
największych.
Typowy obszar zmienności cechy:
Miary asymetrii
• wskaźnik skośności
współczynnik skośności
• Rozkłady różnią się między sobą kierunkiem i
siła asymetrii (miary klasyczne):
• dla szeregów symetrycznych
• jeżeli asymetria prawostronna
• jeżeli asymetria lewostronna.
• Wskaźnik skośności - jest to wielkośd
bezwzględna wyrażona jako różnica między
średnią arytmetyczną, a modalną.
Współczynniki skośności (asymetrii)
są stosowane w porównaniach, do określenia
siły oraz kierunku asymetrii, są to liczby
niemianowane, im większa ich wartośd tym
silniejsza asymetria.
Pozycyjny współczynnik asymetrii określa
kierunek i siłę asymetrii jednostek
znajdujących się miedzy pierwszym z trzecim
kwartylem.
Miary koncentracji
• współczynnik skupienia (koncentracji)(kurtoza)
współczynnik koncentracji Lorenza
kurtoza
• Współczynnik
skupienia
(koncentracji)
(kurtoza)
Kjest
miarą
skupienia
poszczególnych obserwacji wokół średniej. Im
wyższa wartośd współczynnika tym bardziej
wysmukła krzywa liczebności, większa
koncentracja wartości cech wokół średniej.
• Jeżeli przyjmiemy, że zbiorowośd ma:
• rozkład normalny, to: K = 3,
• rozkład bardziej spłaszczony od normalnego,
to: K < 3,
• rozkład bardziej wysmukły od normalnego, to:
K > 3.
• Stąd:
Analiza korelacji
Zależności korelacyjne
• Badając różnego rodzaju zjawiska, np. społeczne, ekonomiczne,
psychologiczne, przyrodniczne itp. stwierdzamy niemal zawsze, że
każde z nich jest uwarunkowane działaniem innych zjawisk
• Istnienie związków pomiędzy zjawiskami charakteryzującymi
badane zbiorowości bywa często przedmiotem dociekao i
eksperymentów naukowych.
• Przykład: David Buss w publikacji z 2001 roku pt.
”Psychologia ewolucyjna. Jak wytłumaczyd społeczne zachowania
człowieka?”, opisał badanie, w którym sprawdzał, czy istnieje
związek między szybkością chodzenia a pozycją społeczną. Okazało
się, że związek ten jest dośd wyraźny wśród mężczyzn, natomiast w
mniejszym stopniu wśród kobiet.
Inny przykład:
• Allison i Cicchetti w pracy ”Sleep in mammals”
• (Science, 194, 1976) opisali badania przeprowadzone wśród
przedstawicieli 62 gatunkach ssaków. Przedmiotem obserwacji
(pomiarów) były m.in. następujące charakterystyki:
• długośd snu w ciągu doby (godz/dobę),
• maksymalna długości życia (lata),
• masa ciała (kg),
• masa mózgu (g),
• czas trwania ciąży (dni).
• Cel badania: Ustalenie, czy istnieją jakiekolwiek zależności
pomiędzy wymienionymi charakterystykami, a jeśli tak, to jaka
• jest siła tych zależności.
Kolejny przykład:
• Związek pomiędzy wagą a wzrostem człowieka próbuje
się wyrazid za pomocą tzw. wskaźnika BMI (Body Mass
Index):
• Przyjmuje się, że wartośd BMI dla osób z prawidłową
masą ciała zawiera się mniej więcej w przedziale 18; 5
BMI < 25. Jednak BMI kształtuje się na poziomie
indywidualnym dla konkretnych osób i może znacznie
przekraczad wartośd 25.
• Przykład ten wskazuje, że zależnośd między wagą a
wzrostem nie jest ściśle funkcyjna. Podana formuła
opisuje tylko w przybliżeniu te zależności.
Przy analizie współzależności pomiędzy wzrostem i wagą, nie
oczekujemy, aby zależnośd ta była ściśle funkcyjna, tzn. aby
istniała jednoznacznie określona funkcja matematyczna y = f (x),
podająca wagę y konkretnej osoby z ustalonym wzrostem x.
Mimo tego wydaje się, że ”jakaś” zależnośd pomiędzy wagą i
wzrostem istnieje.
Obserwując obie cechy w dużej zbiorowości osób, dojdziemy do
przekonania, że średnia waga jest większa w grupie osób
wyższych i na odwrót.
Związek między wagą i wzrostem jest przykładem tzw. związku
korelacyjnego, w skrócie – korelacji. Z korelacją mamy do
czynienia wtedy, gdy wraz ze zmianą wartości jednej cechy
zmienia się średnia wartośd drugiej cechy.
• Związek korelacyjny można odkryd obserwując
dużą liczbę przypadków. Nie ujawnia się w
pojedynczych obserwacjach.
• Zależnośd korelacyjna może byd prostoliniowa (w
skrócie – liniowa) lub krzywoliniowa, silna lub
słaba.
• Na podstawie obserwacji wykresu rozproszenia
możemy w przybliżeniu ocenid charakter
zależności i jej siłę.
• Potrzebujemy miary, która pomogłaby wyrazid
siłę zależności w sposób liczbowy.
• Załóżmy, że między cechami X i Y występuje
zależnośd korelacyjna o charakterze liniowym.
• Współczynnikiem służącym do pomiaru siły tego
związku jest współczynnik korelacji liniowej
Pearsona określony wzorem
• gdzie x; y oznaczają średnie arytmetyczne,
natomiast
• sx ; sy – odchylenia standardowe zmiennych
odpowiednio X i Y.
Współczynnik r korelacji liniowej
Pearsona
Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje zawsze
wartości z przedziału [-1; 1].
Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa
ujemna lub liniowa dodatnia).
Wartośd bezwzględna |r| informuje o sile korelacji liniowej.
W szczególnym przypadku, gdy |r|=1, wówczas mamy do
czynienia z korelacją funkcyjną (tzn. zależnośd Y od X można
wyrazid za pomocą funkcji Y = aX + b, gdzie a; b są pewnymi
stałymi).
Współczynnik r mierzy tylko korelację o charakterze
prostoliniowym.
Gdy r = 0, wówczas mówimy, że nie ma korelacji liniowej
(ale może byd krzywoliniowa).
Wyniki badao ssaków
• Kilka wybranych uwag podsumowania:
• wszystkie cechy są ze sobą wzajemnie powiązane (w mniejszym lub większym
stopniu),
• można zauważyd silną, dodatnią korelację liniową między masą mózgu i ciała,
• umiarkowana, ujemna korelacja liniowa między czasem snu a czasem życia,
• dośd silna korelacja (dodatnia lub ujemna) czasu ciąży z innymi zmiennymi,
• Pytanie: Jak opisad zależnośd np. czasu ciąży od wszystkich pozostałych
zmiennych jednocześnie? Odpowiedzi dostarcza analiza regresji.
współczynnik korelacji rang
Spearmana
Jednym ze współczynników korelacji obliczanych dla
danych rangowych jest, określony wzorem
gdzie
Własności:
Współczynnik rS przyjmuje wartości z przedziału [-1; 1].
Wartośd rS = 1 oznacza, że istnieje całkowita zgodnośd
uporządkowao wg rang ai i bi .
Wartośd rS = -1 oznacza z kolei pełną przeciwstawnośd
uporządkowao między rangami.
Wartośd rS = 0 oznacza brak korelacji rang.
przykład
• Przypuśdmy, że porządkujemy 4 studentów w zależności od stopnia
ich zdolności matematycznych, zaczynając od studenta najlepszego,
któremu przydzielamy numer 1, a koocząc na studencie
najsłabszym, któremu przydzielamy numer 4 (ocenę zdolności
powierzamy np. ekspertowi)
• Mówimy wówczas, że studenci zostali uporządkowani w kolejności
rang, a numer studenta jest jego rangą.
• Oznaczmy rangi poszczególnych studentów przez ai .
• Przykładowo, niech: a1 = 4; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 1; co oznacza, że w
badanej grupie, ustawionej w kolejności alfabetycznej, pierwszy
student (oznaczmy go umownie literą A) jest najsłabszy, student B –
dobry, student C – słaby, a student D – najlepszy.
• Załóżmy, że w podobny sposób uporządkowaliśmy tych
samych studentów z punktu widzenia ich zdolności
muzycznych. Niech bi będą rangami poszczególnych
• studentów:
• b1 = 2; b2 = 1; b3 = 3; b4 = 4
• W ten sposób każdemu studentowi przyporządkowaliśmy
• po dwie rangi ai oraz bi .
• Pytanie: Jak na tej podstawie możemy ocenid, czy istnieje
zależnośd między zdolnościami matematycznymi oraz
muzycznymi w badanej grupie. Innymi słowy, jak ocenid
stopie o zgodności (lub niezgodności) rang ai ; bi?
• Uwaga: W przypadku danych rangowych nie możemy
zastosowad współczynnika korelacji Pearsona
• korelacyjny wykres rozrzutu (korelogram)
• rodzaje zależności (brak, nieliniowa, liniowa)
• pomiar siły zależności liniowej (współczynnik
korelacji Pearsona, współczynnik korelacji rang
Spearmana)
• liniowa funkcja regresji
Badamy jednostki statystyczne pod katem dwóch
różnych cech - cechy X oraz cechy Y.
Pytanie jakie sobie stawiamy to:
czy istnieje zależnośd pomiędzy cecha X i cecha Y ?
Jeżeli taka zależnośd istnieje, to poszukujemy
odpowiedzi na kolejne pytania:
• jaki jest charakter tej zależności
oraz
• jaka jest jej siła ?
• Zależnośd korelacyjna pomiędzy cechami X i Y
charakteryzuje sie tym, że wartościom jednej
cechy są przyporządkowane ściśle określone
wartości średnie drugiej cechy.
• Jeżeli otrzymamy bezładny zbiór punktów, który nie
przypomina kształtem wykresu znanego związku
funkcyjnego, to powiemy że pomiędzy cechami X i Y nie
ma zależności.
• Gdy smuga punktów układa sie w kształt paraboli,
powiemy, że istnieje zależnośd pomiędzy cechami X i Y i
jest to związek nieliniowy; zależnośd nieliniowa.
• Gdy smuga punktów układa sie wzdłuż linii prostej,
powiemy, że istnieje zależnośd pomiędzy cechami X i Y i
jest to związek liniowy; zależnośd liniowa.
Pomiar KIERUNKU i SIŁY zależności
liniowej. Szeregi szczegółowe
• Współczynnik korelacji (Pearsona) rxy
obliczamy dla cech ilościowych wg
następującego wzoru:
• gdzie:
• C(X,Y) – kowariancja pomiędzy cechami X i Y
• sx (sy) – odchylenie standardowe cechy X
(cechy Y)
INTERPRETACJA współczynnika
korelacji rxy
Znak współczynnika rxy mówi nam o kierunku
zależności. I tak:
• znak plus – zależnośd liniowa dodatnia, tzn.
wraz ze wzrostem wartości jednej cechy rosną
średnie wartości drugiej z cech,
• znak minus – zależnośd liniowa ujemna, tzn.
wraz ze wzrostem wartości jednej cechy
maleją średnie wartości drugiej z cech.
Siła zależności
Wartośd bezwzględna współczynnika korelacji, czyli
|rxy|, mówi nam o sile zależności. Jeżeli wartośd
bezwzględna |rxy|:
• jest mniejsza od 0,2, to praktycznie brak związku
liniowego pomiędzy badanymi cechami,
• 0,2 – 0,4 - zależnośd liniowa wyraźna, lecz niska,
• 0,4 – 0,7 - zależnośd liniowa umiarkowana,
• 0,7 – 0,9 - zależnośd liniowa znacząca,
• powyżej 0,9 - zależnośd liniowa bardzo silna
przykład
W grupie 7 studentów badano zależnośd pomiędzy ocena z egzaminu
ze statystyki (Y), a liczba dni poświęconych na naukę (X).
• Widad tutaj wyraźną zależnośd liniową (dodatnia).
• Obliczamy współczynnik korelacji (Pearsona).
• UWAGA ! Liczebnośd populacji jest mała (n=7). Użyjemy tak małego
przykładu tylko dlatego, aby sprawnie zilustrowad procedurę
liczenia.
Współczynnik korelacji rang
(Spearmana)
• Współczynnik korelacji rang (Spearmana) rS
używamy w przypadku gdy:
• 1. chod jedna z badanych cech jest cecha
jakościowa (niemierzalna), ale istnieje możliwośd
uporządkowania (ponumerowania) wariantów
każdej z cech;
• 2. cechy maja charakter ilościowy (mierzalny), ale
liczebnośd zbiorowości jest mała (n<30).
• Numery jakie nadajemy wariantom cech noszą
nazwę rang.
uwagi
UWAGA! W procesie nadawania rang stymulanty
porządkujemy malejąco, a destymulanty rosnąco.
UWAGA! W procesie nadawania rang może zdarzyd się więcej
niż 1 jednostka o takiej samej wartości cechy (np. k
jednostek).
Wówczas należy na chwile nadad tym jednostkom kolejne
rangi.
Następnie należy zsumowad takie rangi i podzielid przez k
(otrzymamy w ten sposób średnią rangę dla tej grupy k
jednostek).
W ostateczności każda jednostka z tych k jednostek otrzyma
identyczna rangę (średnia dla danej grupy k jednostek).
• Współczynnik korelacji rang (Spearmana) rS
wyznaczamy wg następującego wzoru:
• di – różnica pomiędzy rangami dla cechy X i
cechy Y
Współczynnik korelacji rang (Spearmana) rS spełnia zawsze warunek:
INTERPRETACJA
Analogiczna jak dla współczynnika korelacji (Pearsona).
przykład
• Dla danych z przykładu 1 obliczenia współczynnika korelacji rang
(Spearmana) są następujące:
Wartośd współczynnika
korelacji rang (Spearmana)
potwierdza bardzo silna,
dodatnia (znak plus)
zależnośd pomiędzy czasem
nauki (X), a uzyskana ocena
(Y).
• Analiza korelacji i regresji jest działem statystyki
zajmującym się badaniem związków i zależności pomiędzy
rozkładami dwu lub więcej badanych cech w populacji
generalnej.
• Termin regresja dotyczy kształtu zależności pomiędzy
cechami. Dzieli się na analizę regresji liniowej i nieliniowej.
• W przypadku analizy nieliniowej, graficzną reprezentacją
współzależności są krzywe wyższego rzędu np. parabola.
• Pojęcie korelacji dotyczy siły badanej współzależności.
Analiza regresji i korelacji może dotyczyd dwóch i większej
ilości zmiennych (analiza wieloraka). W tym miejscu
zajmowad się będziemy jedynie najprostszym przypadkiem
regresji prostoliniowej dwóch zmiennych.
Zapamiętad…
• Co to jest korelacja, jakie są jej własności ?
• Kiedy stosowad korelację rang Spearmana a
kiedy Pearsona ?
• Kiedy korelacja jest dodatnia / ujemna ?
• Jak opisywad dany zbiór danych (jakie
wskaźniki)?
• Jak zrobid wykres częstości ?