(2) W szczególności plan losowania próby dwuelementowej z

Janusz Wywiał
Katedra Statystyki
Akademia Ekonomiczna w Katowicach
Plany losowania prób
Definicja 1. Planem losowania próby nieuporządkowanej
s nazywamy rozkład prawdopodobieństwa P(s) określony na
przestrzeni , który dla kaŜdej s ∈ Ω spełnia warunki:
P(s) ≥ 0 i s∈∑ΩP( s ) = 1
Ω
Określamy zbiór:
A(k1,...,kr) = {s: ki ∈ s, dla i=1,...,r}
Prawdopodobieństwo doboru do próby o ustalonej liczebności
k-tego elementu populacji (k=1,...,N) określa wyraŜenie:
π k = ∑ P( s )
, A(k) = {s: k ∈ s}.
s∈A( k )
Prawdopodobieństwa inkluzji rzędu drugiego, czyli, Ŝe
jednocześnie k-ty oraz t-ty elementy populacji naleŜą do próby
(k=1,...,N, t=1,...,N oraz k≠t), są postaci:
π kt =
∑ P( s ) , A(k ) = {s: k ∈ s, t ∈ s, k≠t }.
,t
s∈ A( k ,t )
N
N
∑π k = n
i
k =1
N
∑∑π
t =1 k =1
k ≠t
k ,t
= n(n − 1)
Schemat losowania próby:
p (k1 )∏ p (k i k i −1 ,..., k1 ) = P (s )
n
i =2
przy czym ki=1,...,N oraz i=1,...,n.
.
6
Definicja 2. [ Cassel i in. (1977)]: Mechanizm losowania
realizujący plan wyboru elementów populacji do próby s
według danych powyŜszym wzorem prawdopodobieństw
warunkowych nazywamy schematem losowania próby.
Schemat losowania próby umoŜliwia więc techniczną
realizację załoŜonego planu losowania próby.
Twierdzenie 1. [T.V.H. Rao (1962)]: Dla kaŜdego planu
próbkowania P(s) istnieje przynajmniej jeden schemat
losowania próby realizujący tenŜe plan.
Przykład 1. Plan zwrotnego losowania prostej próby
uporządkowanej ma postać:
∧
s∈Ω
P1( s ) = N-n
(1)
π i( 1 ) = 1 − ( 1 − N −1 ) n
(2)
W szczególności plan losowania próby dwuelementowej z
pięcioelementowej populacji ma postać: ∧ P1( s )=0.04.
s∈Ω
Przykład 2: Plan bezzwrotnego losowania (nie
uporządkowanej) próby prostej o liczebności n elementów z
populacji N-elementowej ma postać:
∧
1
P3 ( s ) =
N
s∈Ω
 
n
(3)
Prawdopodobieństwa wyboru kaŜdego elementu populacji do
próby są takie same i wynoszą:
π i( 3 ) =
n
,
N
dla i=1,...,N
(4)
7
Przykład 3: Schemat losowania próby realizujący plany
P2( s ) lub P3(s) polega na wyborze bezzwrotnym kolejnych
elementów do próby, tak aby prawdopodobieństwo
wylosowania elementu o numerze ki w i-tym losowaniu pod
warunkiem, Ŝe wcześniej juŜ wybrano elementy k1,...,ki-1
wynosiło:
p( k ) =
1
N , k=1,...,N;
p( k i k i −1 ,..., k1 ) =
1
N − i + 1 , i=2,...,n
Przykład 4. Plan Lahiriego bezzwrotnego losowania
nieuporządkowanej próby proporcjonalny do sumy wartości
cechy dodatkowej obserwowanej w tej próbie ma postać:
x
∑
(n − 1)!( N − n)!
P( s) =
( N − 1)!
∑x
i∈s
i∈U
i
i
−1
 N  xs
=  
n x
.
N − n xk
n −1
πk =
+
N − 1 Nx N − 1 ,
n−2
n( n − 1 )
π kl =
[π k + π l ] −
N −2
( N − 1 )( N − 2 ) .
8
W końcu prawdopodobieństwa warunkowe określające
schemat losowania próby mają postać (Wywiał (1991)):
r
p(k r | k r −1 ,...k1 ) =
( N − n ) ∑ xk i + N ( n − r ) x
i =1
r −1
( N − n)∑ xki + N (n − r + 1) x
1
N −r
i =1
.
Lahiri (1951) zaproponował prostszy schemat losowania.
Pierwszy element jest los. z prawd. prop. do:
p(k1 ) =
xk1
Nx .
k1=1,2,...,N.
Przykład 5: Elementom populacji U={1,2,3,4,5} są
przyporządkowane następujące wartości zmiennej y: y(1)=8,
y(2)=1, y(3)=3, y(4)=1, y(5)=3. Średnia w populacji
wynosi y = 3.2, a wariancja v ∗ = 8.2 . Niech plan bezzwrotnego
losowania próby trój-elementowej określają wyraŜenia:
1
P1(1,2,3)=P1(1,2,5)=P1(1,3,4)=P1(1,4,5)= 6
1
P1(1,2,4)=P1(2,3,4)=P1(2,3,5)=P1(3,4,5)= 12
P1(1,3,5)=P1(2,4,5)=0
Prawdopodobieństwa inkluzji:
3
7
7
π 1(1) = ,
π 3(1) = ,
π 2(1) = ,
4
12
12
π 4(1) =
1
7
(1)
, π5 = ,
2
12
9
π 1(,12) =
4
,
12
3
= ,
12
5
,
12
4
= ,
12
4
4
(1)
, π 2,3 = ,
12
12
3
2
(1)
π
=
,
= , 4,5
12
12
5
,
12
π 1(,13) =
π 1(,14) =
π 1(,15) =
2
,
12
π 2(1,5)
π 3(1, 4)
π 3(1,5)
π 2(1, 4) =
Wyznaczyć wartość wariancji estymatora Horvitza-Thompsona.