PRAWDOPODOBIEŃSTWO Rachunek

PRAWDOPODOBIEŃSTWO
Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem praw rządzących
zdarzeniami losowymi.
Doświadczenie losowe to w praktyce każde doświadczenie, które może się
zakończyć kilkoma nieprzewidywalnymi wynikami np. rzut kostką do gry, wiemy,
że może wypaść liczba 1, 2, 3, 4 ,5 lub 6, ale nie wiemy, która z nich zostanie
wyrzucona.
Zdarzenie elementarne to możliwy wynik doświadczenia losowego:
 rzut kostką do gry skutkuje wyrzuceniem na kostce liczby 1, 2, 3, 4 ,5 lub 6,
czyli zdarzeniami elementarnymi są liczby 1, 2, 3, 4 ,5 i 6
 rzut jedną monetą skutkuje wyrzuceniem Orła lub Reszki, czyli zdarzeniami
elementarnymi są Orzeł oraz Reszka
 rzut dwiema monetami skutkuje jednym z następujących zdarzeń
elementarnych: (Orzeł, Orzeł), (Orzeł, Reszka), (Reszka, Orzeł), (Reszka,
Reszka).
Zdarzenie losowe to podzbiór wszystkich zdarzeń elementarnych np. wyrzucenie
parzystej liczby oczek:
lub
wyrzucenie liczy oczek mniejszej niż 3:
.
Zmienna losowa to funkcja, która zdarzeniom elementarnym przypisuje liczby,
czyli argumentami tej funkcji są zdarzenia elementarne, a wartościami są liczby
przyjmowane z określonymi prawdopodobieństwami.
Zmienna losowa skokowa (dyskretna) to taka zmienna losowa, która przyjmuje z
dodatnim prawdopodobieństwem tylko niektóre wartości (liczba Orłów w
pięciokrotnym rzucie monetą, liczba sprzedanych kartonów mleka w kwartale
roku w sklepie, liczba wyrzuconych oczek w rzucie kostką).
Zmienna losowa ciągła może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste z
określonego przedziału (wzrost studenta SGGW, plon pszenicy z hektara, długość
żmii zygzakowatej).
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równe jest zeru.
Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nie większe od jedności.
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(B1)
P(Bn)
P(B2)
B1
P(A|B1)
A
Bn
B2
P(A|B2)
A’
A
P(A|Bn)
A’
A
A’
Prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia :
Twierdzenie Bayesa
Przykład 1. Test na rzadką chorobę, która dotyka średnio 1 osobę na tysiąc, daje
tzw. „fałszywą pozytywną odpowiedź” u 4% zdrowych, przy czym u chorych wynik
pozytywny występuje zawsze. Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał
odpowiedź pozytywną, jest rzeczywiście chora? Założono, że u chorej osoby nie
występują jakiekolwiek objawy choroby.
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, czyli rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej .
Pojedynczy rzut symetryczną kostką do gry:
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
Rzut symetryczną monetą:
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Orzeł
Reszka
6
7
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu normalnego:
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej
w punkcie
to prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie mniejsze bądź równe , tzn.
Przykład 2. Rozkład zmiennej losowej
:
1
0,2
Przykład 3. Rozkład jednostajny dyskretny.
3
0,5
7
0,3
Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładów dyskretnych (charakterystyki
rozkładu)
Przykład 4. Rozkład zmiennej losowej
1
0,2
:
3
0,5
7
0,3
Rozkład dwumianowy
0.16
0.14
0.12
0.1
p=0,25
0.08
p=0,75
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Przykład 5. Wezwania pogotowia mogą być uzasadnione lub nie.
Prawdopodobieństwo tego, że kolejne wezwanie będzie nieuzasadnione wynosi
5%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród kolejnych dziesięciu wezwań co
najmniej dwa będą nieuzasadnione.