Model addytywny, model multiplikatywny zmienności aktywów.

MODELOWANIE
ZMIENNOŚCI CEN AKCJI
MODEL ADDYTYWNY
MODEL MULTIPLIKATYWNY
Modele zmienności aktywów z czasem
dyskretnym / Model addytywny
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
S(0) - cena początkowa akcji
S(k) - cena akcji w k-tym etapie
u(k) , k= 0,1,2,…n ciąg niezależnych zmiennych
losowych o jednakowej wartości oczekiwanej μ
oraz o tej samej wariancji równej σ2. Będziemy go
interpretować jako losowe fluktuacje.
Model addytywny
Rozważmy model ceny aktywu postaci
(1)
S(k+1) = a S(k) + u (k)
Gdzie u(k) – losowe fluktuacje, k=0,1,2,... zaś a jest
pewną dodatnią liczbą rzeczywistą, decydującą o
trendzie głównym. Dla a > 1 trend główny jest
wzrostowy.
Znając wartości u(0),...,u(n) można wyznaczyć S(1), S(2),
…,S(n).
W tym modelu cena akcji w dowolnym momencie zależy
wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym i
od losowej fluktuacji.
Model addytywny
Ze wzoru (1) otrzymujemy
S(1) = aS(0) + u(0) ,
S(2) = aS(1) + u(1) = a[aS(0) + u(0)] + u(1)=
= a2S(0) + au(0) + u(1)
S(3) = aS(2)+u(2) = a [a2S(0) + au(0) + u(1)] +u(2)=
= a3S(0) + a2u(0) + au(1) + u(2)
Uwaga 1. Dla dowolnego k cena S(k) dana jest wzorem:
(2) S(k) = akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+a u(k-2) + u(k-1).
Model addytywny
Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z
definicji modelu).
Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości :
S(k+1) = a S(k) + u (k)= a[akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…
+a u(k-2) + u(k-1)] + u (k)=
= ak+1S(0) + aku(0) + ak-1u(1) +…+a2 u(k-2) + au(k-1) + u (k)
oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość
wzoru (2)
Model addytywny. Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana zmiennej S(k).
Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z
założenia E[u(k)] = μ dla każdego k mamy
E[S(k)] = E( akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ au(k-2) + u(k-1))=
= akE[S(0)] + ak-1E[u(0)] + ak-2E[u(1)] +…+aE[u(k-2)]+E[u(k-1)]
= akS(0) + ak-1 μ + ak-2 μ +…+a μ + μ
E[S(k)] = akS(0) + μ(1-ak)/(1-a), o ile a jest różne od 1
albo
E[S(k)] = S(0) + k μ, gdy a = 1
Model addytywny. Wariancja ceny
Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz
założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy
Var [S(k)] = Var [akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] =
= Var [ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] =
= Var [ak-1u(0)] + Var[ak-2u(1)] +…+Var[u(k-1)] =
= (ak-1)2 Var [u(0)]+ (ak-2)2 Var [u(1)]+…+ a2 Var [u(k-2)] +
+Var [u(k)] =
= a2(k-1)σ2+ a2(k-2)σ2 +…+a2σ2 +σ2 =
= (1+a2+a4+…+a2k-2) σ2 = σ2(1- a2k) / (1- a2), gdy a różne od 1
Var [S(k)] = k σ2,
dla a = 1
Wariancja w modelu addytywnym.
σ=1, a=0,9; 0,95; 1,01; 1,05; 1,1;
k=1,…,20
250,00
1000,00
200,00
0,9
150,00
100,00
0,9
100,00
0,95
0,95
1,01
1,01
1,05
1,05
10,00
1,1
50,00
0,00
1,1
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Model addytywny. Przykład
Rozważmy 300 – etapową symulację w
modelu addytywnym. Cena początkowa
akcji: 100 zł, a =1, fluktuacje w każdym
etapie są liczbami losowymi z przedziału
(-5 zł, 5 zł).
Model addytywny. Przykłady symulacji
Model addytywny; a=1, fluktuacje z przedziału (-5,5)
(19 symulacji)
200
150
100
50
-50
nr etapu
289
277
265
253
241
229
217
205
193
181
169
157
145
133
121
109
97
85
73
61
49
37
25
13
1
0
Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i
spadku. Losowe wahanie z przedziału (0;1)
o przeciętnej wartości równej 0,5
70
65
60
55
50
45
40
35
301
289
277
265
253
241
229
217
205
193
181
169
157
145
133
121
109
97
85
73
61
49
37
25
13
1
30
Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu
i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0;2)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
286
271
256
241
226
211
196
181
166
151
136
121
106
91
76
61
46
31
16
1
0
Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu
i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0; 2)
Histogram częstości
100
10
90
9
80
8
70
7
60
6
50
5
40
4
30
3
20
2
10
1
289
277
265
253
241
229
217
205
193
181
169
157
145
133
121
109
97
85
73
61
49
37
25
13
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 razy
większe niż spadku. Losowe wahanie z
przedziału (0; 1)
115
105
95
85
75
65
55
45
35
289
277
265
253
241
229
217
205
193
181
169
157
145
133
121
109
97
85
73
61
49
37
25
13
1
25
Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 razy większe
niż spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; 1)
Wykres oczekiwanej wartości – czerwona prosta
115
105
95
85
75
65
55
45
35
289
277
265
253
241
229
217
205
193
181
169
157
145
133
121
109
97
85
73
61
49
37
25
13
1
25
Model addytywny; a = 1,01 fluktuacje z przedziału (-5,5)
(18 symulacji)
2500
2300
2100
1900
1700
1500
1300
1100
900
700
500
300
301
289
277
265
253
241
229
217
205
193
181
169
157
145
133
121
109
97
85
73
61
49
37
25
13
-100
1
100
Model addytywny; a = 1,01 fluktuacje z przedziału (-5,5)
(18 symulacji)
2500
2300
2100
1900
1700
1500
1300
1100
900
700
500
300
301
289
277
265
253
241
229
217
205
193
181
169
157
145
133
121
109
97
85
73
61
49
37
25
13
-100
1
100
Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne
losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym
S(k+1) = S(k) + u (k)
u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn.
u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi
prawdopodobieństwami
S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1)
Sn= u (0) + u (1) +…+ u (n-1)
S(n) = S(0) + Sn
Sn wyraża zmianę ceny po n etapach
Wtedy: E[u (i)] = 0
Var [u (i)] = 0,5(σ-0)2 + 0,5(-σ-0)2 = σ2
E[Sn]= 0
Var Sn = Ʃni=1 Var [u (i)] = n σ2
Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z
elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy
E[S(n)]= S(0)
Var S(n) = n σ2
Oznaczając przez σn odchylenie standardowe zmiennej Sn, mamy
σn = σ n
Centralne twierdzenie graniczne
Standaryzacja zmiennej losowej Sn

S*n = (Sn-E(Sn))/σn
Uwzględniając poprzednie wyliczenia
 S*n= Sn/ σ n
 TW (CTG) Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych
losowych o jednakowych rozkładach (niekoniecznie dwupunktowych)
oraz E Xi = μi, Var Xi = σ2 dla i=1,…,n. Sn = X1 + X2 +… + Xn. Wtedy
Sn   n
 (8)
lim n P{a 
 (9)

lim n P{a  S  b} 
 n
*
n
 b} 
 x2
exp(
)dx

2
2 a
1
b
1
2
 x2
a exp( 2 )dx
b
W przypadku m = 0 mamy
lim
n 
P{a 
Sn

n
 b} 
1
2
 x2
a exp( 2 )dx
b
W szczególności
lim
lim
n 
n 
czyli
P{1 
P{
P{
Sn

n
 1} 
n  Sn  
n  Sn  
ponadto P{2
 x2
1 exp( 2 )dx
1
1
2
n} 
1
2
 x2
1 exp( 2 )dx
n} 
1
2
 x2
1 exp( 2 )dx  0,6827
n  S n  2
n} 
1
1
1
2
 x2
 2exp( 2 )dx  0,9545
2
Przykład 1
 Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że
każdego dnia kurs ma taką samą szansę na wzrost co na spadek o
10 punktów. W jakim przedziale znajdzie się z
prawdopodobieństwem 0,9545 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?,
(po 50?, po 100 ?)
 Zastosujemy centralne twierdzenie graniczne a w szczególności
wykorzystamy przybliżenie
P{2
n  S n  2
n} 
1
2
 x2
2exp( 2 )dx  0,9545
2
 Ponieważ σ = 10, n=30 mamy więc
P{20 30  Sn  20 30}  0,9545
 Otrzymaliśmy przedział na zmianę ceny, zatem uwzględniając
S(n) = S(0) + Sn mamy

P{2490,46  S (30)  2709,54}  0,9545
Przykład 1
 Dla 50 i 100 dni mamy odpowiednio
P{2 n  S n  2 n }  0,9545
P{20 50  S50  20 50}  P{2458,58  S (50)  2741,42}
P{20 100  S100  20 100}  P{2400,00  S (100)  2800,00}
Przykład 1
Zależność w ielkości przedziału dw óch sigm od liczby dni
3500,00
3000,00
dolny
kraniec
przedziału
2500,00
2000,00
1500,00
górny
kraniec
przedziału
1000,00
500,00
liczba dni
17
0
15
0
13
0
11
0
90
70
50
30
10
0,00
Model addytywny. Uwagi
Mimo swej prostoty i łatwości stosowania model
addytywny nie zawsze nadaje się do stosowania
go w rzeczywistości. Zmienne u(k) mogą
przyjmować wartości ujemne, co oznacza, że
model dopuszcza ujemne wartości cen akcji, co
jest niemożliwe.
Model ten nadaje się do analizy w krótkich
okresach i stał się podstawą do zbudowania
wielu innych modeli.
Model multiplikatywny
Rozważmy model zmienności cen aktywów w którym
„nowa” cena powstaje ze „starej” przez pomnożenie
przez pewien losowy czynnik.
(3)
S(k+1) = u(k)S(k)
dla k = 0, 1, ..., n – 1.
Zakładamy, że dana jest cena początkowa S(0) oraz że
zmienne losowe u(k),
k = 0, 1,... ,n - 1, są dodatnie, mają jednakowe wartości
oczekiwane oraz jednakowe wariancje.
Model multiplikatywny
Logarytmując (3) stronami:
ln S(k+l) = ln S(k) + ln u(k)
dla k = 1, 2,...,n - 1.
Uwaga. Uzyskana postać jest jedną z form modelu
addytywnego - wartości ln S(k) są modelowane addytywnie
ze stałą a = 1
Oznaczmy
w(k) = ln u(k)
Losowe fluktuacje są
naturalnego z u(k).
wyrażone
w
formie
logarytmu
Załóżmy dalej, że ciąg {w(k)} jest ciągiem niezależnych
zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Niech wartość
oczekiwana każdej z nich wynosi μ zaś wariancja σ2.
Model multiplikatywny
Korzystając z modelu (3) cena aktywa w chwili
k dana jest wzorem
S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0).
Po zlogarytmowaniu obu stron
k 1
k 1
i 0
i 0
ln S (k )  ln S (0)   ln u (i )  ln S (0)   w(i )
S (k ) k 1
ln
  w(i )
S (0) i 0
Model multiplikatywny
Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość
oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są niezależne, to
korzystając z własności wartości oczekiwanej i
wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych
możemy zapisać:
E [ln S(k)] = ln S(0) + μk
Var [lnS(k)] = k σ2.
Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana jak i
wariancja rosną liniowo względem k.
Rozkład logarytmiczno – normalny
 Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie
normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY (Y = lnX)
 DEF. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X nazywamy rozkładem logarytmiczno – normalnym i
oznaczamy Λ(μ,σ)
 (X jest funkcją wykładniczą zmiennej losowej o
rozkładzie normalnym)
 FX – dystrybuanta zmiennej X
niech
x0
FX ( x)  P{ X  x}  P{ln X  ln x} 
 P{Y  ln x}  FY (ln x)
gdzie FY dystrybuanta zmiennej Y
Rozkład logarytmiczno – normalny
FX ( x)  FY (ln x) dla x  0
 Zatem
ogólnie
x0
0
FX ( x)  
 FY (ln x) x  0
 Oznaczmy przez (x) gęstość rozkładu
zmiennej X
 ( x)  FX ' ( x)  FY (ln x) x ' 
(density rozkl . N (  ,  ) w punkcie ln x)  1x

1
1
2  x

exp 
ln x   2
2 2

Model multiplikatywny
S (k ) k 1
ln
  w(i )
S ( 0) i  0
 Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
normalnych i parametrach μ, σ2, to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)]
ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji
kσ2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)
Ponadto, jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o
dowolnych rozkładach i parametrach μ, σ2 , to ciąg zmiennych
losowych ln [S(k)/ S(0)], (k=0,1,2,…) po standaryzacji jest zbieżny do
rozkładu normalnego, a więc granica ciągu zmiennych S(k)/ S(0)
(k=0,1,2,…) ma rozkład logarytmiczno - normalny
Model multiplikatywny, dwumianowy
 Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może
obniżyć się lub wzrosnąć, zawsze w tej samej
proporcji, czyli
u, gdzie u  1
u (k )  
d , gdzie 0  d  1
przy czym pierwsza z tych wartości jest
przyjmowana z prawdopodobieństwem p
a druga z (1-p)
Drzewo cen w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym
(4 etapy, S – cena początkowa)
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym
dwumianowym, n-etapowym
Ze wzoru (3) wynika, że możliwe ceny końcowe
muszą mieć postać
S u k d n-k, gdzie k = 0,1,…,n.
Na drzewie cenowym istnieje
n
 
k 
różnych dróg
prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną
Sukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie
scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg
(u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k)
liter d.
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym
dwumianowym, n-etapowym
 Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi
– jako koniunkcji zdarzeń niezależnych wynosi

pk (1-p)n-k
Zatem prawdopodobieństwo ceny
końcowej Sukdn-k wynosi

n k
  p (1  p) n  k
k 
Przykład modelu multiplikatywnego,
dwumianowego
up
down
zmiana
20%
15%
cena
początko
wa akcji
współcz.
zmiany
1,20
0,85
100
prawdopodo
bieństwo
0,5
0,5
Drzewo cen akcji w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym (10 etapów)
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
619,17
515,98
429,98
358,32
298,60
1,2
0,85
u
d
współczynnik wzrostu
współczynnik spadku
248,83
207,36
172,80
144,00
120,00
100,00
122,40
102,00
85,00
72,25
152,81
106,12
73,70
108,24
75,17
52,20
110,41
92,01
76,67
63,89
53,24
44,37
155,87
129,89
90,20
62,64
220,05
183,38
127,34
88,43
61,41
215,74
149,82
104,04
310,66
258,88
179,78
124,85
86,70
304,57
211,51
146,88
365,48
253,81
176,26
438,58
78,21
65,17
54,31
45,26
37,71
55,40
46,16
38,47
32,06
39,24
32,70
27,25
27,79
23,16
19,69
Ceny akcji w modelu multiplikatywnym,
dwumianowym (10 etapów)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
85,00
72,25
61,41
52,20
44,37
37,71
32,06
27,25
23,16
19,69
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
120,00 144,00 172,80 207,36 248,83 298,60 358,32 429,98 515,98 619,17
102,00 122,40 146,88 176,26 211,51 253,81 304,57 365,48 438,58
86,70 104,04 124,85 149,82 179,78 215,74 258,88 310,66
73,70 88,43 106,12 127,34 152,81 183,38 220,05
62,64 75,17 90,20 108,24 129,89 155,87
53,24 63,89 76,67 92,01 110,41
45,26 54,31 65,17 78,21
38,47 46,16 55,40
32,70 39,24
możliwe ceny koncowe
27,79
po 10 etapach
Ceny końcowe akcji w modelu 10-etapowym
oraz prawdopodobieństwo ich uzyskania
prawdopodo
bieństwo
0,0009766
0,0097656
0,0439453
0,1171875
0,2050781
0,2460938
0,2050781
0,1171875
0,0439453
0,0097656
0,0009766
wartosć
końcowa
liczba
liczba
akcji
wzrostów spadków
619,17 zł
10
0
438,58 zł
9
1
310,66 zł
8
2
220,05 zł
7
3
155,87 zł
6
4
110,41 zł
5
5
78,21 zł
4
6
55,40 zł
3
7
39,24 zł
2
8
27,79 zł
1
9
19,69 zł
0
10
Wykres p-stwa ceny końcowej akcji
0,3000
0,2500
p-stwo
0,2000
0,1500
0,1000
0,0500
0,0000
- zł
100,00
zł
200,00
zł
300,00
zł
400,00
zł
cena
500,00
zł
600,00
zł
700,00
zł
Wykres p-stw a ceny końcow ej akcji
skala osi X - logarytmiczna
0,3000
0,2500
p-stwo
0,2000
0,1500
0,1000
0,0500
0,0000
1,00 zł
10,00 zł
100,00 zł
cena
1 000,00 zł
Model dwumianowy
Symulacja
u
d
p-stwo zwyżki
p-stwo zniżki
1,1
0,9
0,6
0,4
Model dwumianowy. Symulacja ceny dla 304
etapów. Różne prawdopodobieństwa wzrostu i
spadku
D
E
5
6
7
8
9
10
Numer
11 etapu
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
LICZBA
LOSOWA
LOS()
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,7940582518
0,7057079778
0,2483957215
0,4540308593
0,6651300992
0,4155843400
0,2729054330
0,3609674757
0,9415690500
0,0748121619
0,4833381005
F
u
d
p-stwo zniżki
p-stwo zwyżki
CENA AKCJI
(symulowana)
G
1,1
0,9
0,4
0,6
teoretyczna
(oczekiwana)
wartość ceny
akcji
JEŻELI(E15<G$7;F G$7*G$6*G14+G
14*G$6;F14*G$5) $8*G$5*G14
100,00 zł
100,00 zł
110,00 zł
102,00 zł
121,00 zł
104,04 zł
108,90 zł
106,12 zł
119,79 zł
108,24 zł
131,77 zł
110,41 zł
144,95 zł
112,62 zł
130,45 zł
114,87 zł
117,41 zł
117,17 zł
129,15 zł
119,51 zł
116,23 zł
121,90 zł
127,86 zł
124,34 zł
Oczekiwana wartość ceny w (n+1)szym kroku
 S0=100 (cena początkowa)
 ESn - oczekiwana wartość ceny po n –
tym krokach
 ESn+1= (1,1 ESn ) • 0,6 + (0,9 ESn) • 0,4 =
= 1,02 ESn
 Ciąg (ESn) jest ciągiem geometrycznym o
ilorazie 1,02
Model dwumianowy. Symulacja ceny
CENA AKCJI: SYMULACYJNA I TEORETYCZNA
40 000,00 zł
35 000,00 zł
30 000,00 zł
25 000,00 zł
20 000,00 zł
15 000,00 zł
10 000,00 zł
5 000,00 zł
298
271
244
217
190
163
136
109
82
55
28
zł
1
-
CENA AKCJI: SYMULACYJNA I TEORETYCZNA
60 000,00 zł
50 000,00 zł
40 000,00 zł
30 000,00 zł
20 000,00 zł
10 000,00 zł
298
271
244
217
190
163
136
109
82
55
28
zł
1
-
CENA AKCJI: SYMULACYJNA I TEORETYCZNA
60 000,00 zł
50 000,00 zł
40 000,00 zł
30 000,00 zł
20 000,00 zł
10 000,00 zł
298
271
244
217
190
163
136
109
82
55
28
zł
1
-
CENA AKCJI: SYMULACYJNA I TEORETYCZNA
60 000,00 zł
50 000,00 zł
40 000,00 zł
30 000,00 zł
20 000,00 zł
10 000,00 zł
298
271
244
217
190
163
136
109
82
55
28
zł
1
-
0
295
281
267
253
239
225
211
197
183
169
155
141
127
113
99
85
71
57
43
29
15
1
180000
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
Model dwumianowy. Rozkład
prawdopodobieństwa ceny końcowej dla 304
etapów
nr wiersza
P$7*G$5^R14*G$6^S14
ROZKŁAD.DWUM(R14;304;G$8;FAŁSZ)
p-stwo
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
3,61393E-68
7,32424E-66
7,39748E-64
4,96453E-62
2,49054E-60
9,96216E-59
3,30965E-57
9,3931E-56
2,32479E-54
5,09732E-53
1,00247E-51
1,78623E-50
2,90758E-49
cena koncowa akcji (po 304 liczba
liczba
składniki wartości
etapach)
wzrostów spadków oczekiwanej ceny
383 156 579 951 951,00
313 491 747 233 415,00
256 493 247 736 430,00
209 858 111 784 352,00
171 702 091 459 924,00
140 483 529 376 302,00
114 941 069 489 701,00
94 042 693 218 846,60
76 944 021 724 510,90
62 954 199 592 781,60
51 507 981 485 003,20
42 142 893 942 275,30
34 480 549 589 134,30
304
303
302
301
300
299
298
297
296
295
294
293
292
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
0,00 zł
TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI
0,05
0,045
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
500 000
450 000
400 000
350 000
300 000
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
TEORETYCZNY ROZKŁAD CENY AKCJI
0,05
0,045
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
1 000 000
10 0 00 0
10 000
1 000
10 0
10
1
0
0
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
+
0E
2,0
+
0E
1,8
+
0E
1,6
+
0E
1,4
+
0E
1,2
+
0E
1,0
+
0E
8,0
+
0E
6,0
+
0E
4,0
+
0E
2,0
+
0E
0,0
07
07
07
07
07
07
06
06
06
06
00
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
+
0E
1,0
08
07
06
05
04
03
02
01
1
00
-0
0E
1,0
Porównanie prawdopodobieństw dla
ln(ceny końc.) i rozkładu normalnego
0,05
0,045
0,04
0,035
0,03
0,025
lnS
0,02
normalny
0,015
0,01
0,005
17,00
16,42
15,85
15,28
14,71
14,14
13,56
12,99
12,42
11,85
11,28
10,71
10,13
9,56
8,99
8,42
7,85
7,27
6,70
6,13
5,56
4,99
4,41
3,84
0
0,03
0,025
0,02
0,015
17,00
16,42
15,85
15,28
14,71
14,14
13,56
12,99
12,42
11,85
11,28
10,71
10,13
9,56
8,99
8,42
7,85
7,27
6,70
6,13
5,56
4,99
4,41
3,84
0,035
17,00
16,42
15,85
15,28
14,71
14,14
13,56
12,99
12,42
11,85
11,28
10,71
10,13
9,56
8,99
8,42
7,85
7,27
6,70
6,13
5,56
4,99
4,41
3,84
Porównanie prawdopodobieństw dla
ln(ceny końc.) i rozkładu normalnego
0,05
0,045
0,045
0,04
0,035
0,05
0,04
0,03
0,025
0,02
lnS
0,015
normalny
0,01
0,005
lnS
0
0,01
0,005
0
normalny