Wykład 21
advertisement
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 1 Wykład 21 Wybrane zagadnienia z optyki geometrycznej. 21.1 Podstawowe prawa optyki. Całkowite wewnętrzne odbicie. Jeszcze przed odkryciem natury światła znane były podstawowe prostoliniowego ośrodku prawa optyki: rozchodzenia optycznie się prawo światła jednorodnym, Promień padający w prawo θa niezależności wiązek świetlnych (prawdziwe tylko Normalna θo θb w optyce liniowej), prawo odbicia światła i prawo załamania światła. Prawo światła: Promień odbity prostoliniowego światło w rozchodzenia ośrodkach się jednorodnych rozprzestrzenia się po linii prostej. Dowodem na to jest a optycznie obecnośd b Rysunek 21.1 cieni pochodzących od przedmiotów oświetlanych źródłami o małych rozmiarach. Dokładne doświadczenia pokazały jednak, że prawo to jest naruszone, jeżeli światło przechodzi przez małe otwory, przy czym odchylenie od linii prostej jest tym większe im mniejszy otwór. Prawo niezależności wiązek świetlnych: skutek wywołany pojedynczą wiązką nie zależy od tego, czy pozostałe wiązki działają, czy też są usunięte. Rozbijając strumieo świetlny na oddzielne wiązki światła (na przykład za pomocą przesłon), można wykazad, że działanie wydzielonych wiązek jest niezależne. Jeżeli światło pada na granicę dwóch ośrodków (dwóch przezroczystych substancji), to promieo padający (Rysunek 21.1) rozdziela się na dwa promienie – odbity i załamany, których kierunki określone są prawem odbicia i załamania. Prawo odbicia: promieo padający, odbity i normalna do powierzchni w punkcie odbicia leżą w jednej płaszczyźnie, a kąt odbicia θo jest równy kątowi padania θa: 𝛉 𝐨 = 𝛉𝐚 21.1 Prawo odbicia. Prawo załamania: promieo padający, załamany i normalna do powierzchni w punkcie załamania leżą w jednej płaszczyźnie, a stosunek sinusa kąta padania θa do sinusa kąta załamania θb jest stały dla danych ośrodków: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki sin θ a sin θ b 2 = nb/a , 21.2 Prawo załamania – Snella. gdzie na/b – względny współczynnik załamania ośrodka a względem ośrodka b. Względny współczynnik załamania dwóch ośrodków jest równy stosunkowi bezwzględnych współczynników załamania (lub prościej – współczynników załamania) – współczynników załamania ośrodków względem próżni: 𝐧𝐛 𝐚 𝐧 = 𝐧𝐛 𝐚 21.3 Uwzględniając 21.3 i 21.2 prawo załamania można zapisad w postaci 𝐧𝐚 𝐬𝐢𝐧𝛉𝐚 = 𝐧𝐛 𝐬𝐢𝐧𝛉𝐛 21.4 Prawo załamania – Snella. Bezwzględny współczynnik załamania światła danego ośrodka zdefiniowany jest jako stosunek prędkości światła w próżni do prędkości światła w tym ośrodku. 𝐜 𝐧=𝐯 21.5 Bezwzględny współczynnik załamania. Światło zawsze porusza się wolniej w ośrodku innym niż próżnia. Oczywiście dla próżni n = 1. Z dobrym przybliżeniem można przyjąd, że współczynnik załamania światła powietrz również wynosi jeden. Jeżeli światło przechodzi z jednego ośrodka do drugiego, to częstośd światła nie ulega zmianie. W związku z tym c = λ0f i v = λf, gdzie λ0 i λ długości fal odpowiednio w próżni i w danym ośrodku, a f jest częstotliwością. Podstawiając powyższe zależności do 21.5 otrzymujemy: 𝐧= 𝛌𝟎 𝛌 21.6 Bezwzględny współczynnik załamania. Z symetrii wyrażenia 21.4, wynika odwracalnośd biegu promieni świetlnych. Jeżeli odwrócid bieg promienia b i zmusid go do padania na granicę dwóch ośrodków pod kątem θb, to promieo załamany w ośrodku a będzie poruszad się pod kątem θa tzn. pokryje się z promieniem padającym w ośrodku a. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 3 Równania 21.2 i 21.4 pokazują, że jeżeli drugi ośrodek (b) ma mniejszy współczynnik załamania (nb < na) tak jak na rysunku 21.1, wtedy promienie załamane odchylają się bardziej od normalnej. To tłumaczy dlaczego zanurzony w wodzie patyk, czy słomka do picia wydają się zagięte; światło biegnące z pod powierzchni zmienia swój kierunek na granicy woda – powietrze i dlatego promieo wydaje się wychodzid z punktu powyżej rzeczywistego miejsca (Rysunek 21.2). nb (powietrze) = 1 Pozorny koniec linijki na (woda) = 1,33 Rzeczywisty koniec linijki a. b. Rysunek 21.2 Jak pokazuje rysunek 21.3 wraz ze zwiększaniem kąta padania w ośrodku gęstszym, kąt załamania wzrasta. W tym przypadku równanie Snella możemy przepisad w postaci: n sinθb = n a sinθa b Ponieważ na > nb. to będzie istniał taki kąt b θa = θgr dla którego sinθb będzie równy 1 jeden, a tym samym θb = 900, czyli promieo załamie się pod kątem prostym. Jeżeli kąt padania θa > θgr, wtedy żaden promieo 2 θb θb=900 nb na padający nie będzie się mógł wydostad z θa θgr θa > θgr danego ośrodka i nastąpi tzw. całkowite wewnętrzne odbicie. Należy pamiętad, że zjawisko to będzie zachodzid tylko wtedy, gdy drugi ośrodek ma 3 4 a P Rysunek 21.3 współczynnik załamania mniejszy od pierwszego. Jako przykład weźmy pod uwagę szkło i powietrze (na = nsz = 1,52, nb = npow = 1): 1 sinθgr = 1,52 sin900 = 0,658 θgr = 41, 10 Jak widad światło rozprzestrzeniające się w szkle i padające na granicę szkło – powietrze zostanie całkowicie wewnętrznie odbite, jeżeli będzie padad pod kątem 41.1 0 lub większym. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 4 Dlatego też do całkowitego odbicia światła można używad pryzmatów , które mają kąty 450 450 - 900 lub większe. Pryzmaty są pod pewnym względem lepsze od zwykłych odbijających metalowych powierzchni, takich jakie są używane w zwykłych lustrach. Przede wszystkim żadne lustro nie odbija światła w 100% tak jak to robi pryzmat. Poza tym pryzmaty mają tę przewagę nad zwykłym zwierciadłem, że są trwałe i nie tracą połysku. Na rysunku 21.4a przedstawiony jest pryzmat zwany pryzmatem Porro. Światło wchodzi i wychodzi pod kątem prostym Pryzmaty Porro do przeciwprostokątnej i jest całkowicie odbijane od przyprostokątnych. W rezultacie następuje zmiana kierunku rozchodzenia się światła o 1800. W lornetkach często stosuje się układ dwóch pryzmatów Porro, tak jak przedstawia to rysunek 21.4b. b a Brylant zawdzięcza swój blask w dużej mierze Rysunek 21.4 temu, iż posiada duży współczynnik załamania światła (n = 2,417), a tym samym odpowiadający mu duży kąt graniczny. Światło wpadające do oszlifowanego diamentu odbija się całkowicie od strony wewnętrznej ścian i następnie wychodzi z przedniej ściany. Jeżeli promieo wpada do przezroczystego przewodu (Rysunek 21.5) i współczynnik załamania materiału jest większy od współczynnika załamania otoczenie, wtedy promieo może wewnętrznych „uwięzione” doświadczad odbid. w całkowitych Światło przewodzie nawet zostaje jeżeli Pojedyncze włókno optyczne Wiązka światłowodowa przewód jest wygięty. Takie przewody nazywa się czasami światłowodami. Wiązka włókien Rysunek 21.5 szklanych lub plastikowych zachowuje się w ten sam sposób i dodatkowo jest elastyczna. Taka wiązka może składad się z tysięcy pojedynczych włókien o grubościach od 0,002 do 0.01mm. Za pomocą takich wiązek można przekazywad obraz na odległośd jak widad to na rysunku 21.6. Tego typu światłowody znalazły szerokie zastosowanie w urządzeniach Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 5 zwanych endoskopami wprowadzanymi do różnych części ciała w celach diagnostycznych lub wykonywania mikrooperacji (laparoskopia). Włókna optyczne znajdują zastosowania również w światłowodach w systemach telekomunikacji, przez które przesyłane jest modulowane światło laserowe. Szybkośd z jaką informacja może byd przekazywana przez falę (świetlną, radiową lub inną) jest proporcjonalna do częstości. Aby zrozumied jakościowo dlaczego tak się dzieje, rozważmy modulowaną (modyfikowaną) falę jako falę, w której niektóre grzbiety zostają odcięte. Załóżmy, że każdy grzbiet reprezentuje cyfrę binarną: odcięty grzbiet reprezentuje zero, a grzbiet niezmodyfikowany – jeden. Ilośd cyfr binarnych, które mogą byd wysłane w jednostce czasu jest zatem proporcjonalna do częstotliwości fali. Światło w zakresie podczerwieni i w zakresie widzialnym posiada częstotliwośd znacznie większą niż fale radiowe. W rezultacie modulowany promieo laserowy może przesyład ogromną ilośd informacji przez pojedyncze włókno Rysunek 21.6 światłowodowe. Inną zaletą włókien światłowodowych jest to, że są one znacznie cieosze od zwykłych miedzianych przewodów, czyli więcej włókien może byd połączone w wiązkę o danej średnicy. W związku z tym wyraźniejsze sygnały (na przykład różne linie telefoniczne) mogą byd przesyłane za pomocą jednego kabla. Ponieważ włókna 2 światłowodowe są izolatorami, to są odporne na wszelkiego 𝒗 rodzaju zakłócenia elektryczne. Z tych powodów włókna optyczne odgrywają coraz większą rolę w przesyłaniu obrazów ds telewizyjnych, telefonii, czy Internecie. 21.2 Zasada Fermata. Jako podstawową zasadę optyki geometrycznej można przyjąd zasadę podaną przez francuskiego matematyka Fermata. Z zasady 1 Rysunek 21.7 tej wynika prawo prostoliniowego rozchodzenia się promieni świetlnych oraz prawo załamania i odbicia. W sformułowaniu Fermata zasada ta głosi: Światło rozchodzi się po takiej drodze, której przebycie wymaga najkrótszego czasu. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 6 Na przejście odcinka ds (Rysunek 21.7) światło potrzebuje czasu dt = ds./v, gdzie v – prędkośd światła w danym punkcie ośrodka. Zamieniając v na c/n, otrzymujemy dt = (1/c)nds. A zatem czas τ potrzebny na przejście przez światło drogi od punktu 1 do 2 jest równy: 𝛕= 𝟐 𝐧𝐝𝐬. 𝐜 𝟏 21.7 𝟐 𝐧𝐝𝐬 𝟏 21.8 𝟏 Wielkośd 𝑳= nazywa się drogą optyczną. W ośrodku optycznie jednorodnym droga optyczna jest równa iloczynowi drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka n: 𝐋 = 𝐧𝐬 21.9 Z 21.7 i 21.8 wynika, że 𝛕= 𝐋 𝐜 Proporcjonalnośd czasu τ od drogi optycznej umożliwia sformułowanie zasady Fermata w następujący sposób: Światło rozchodzi się po takich liniach, którym odpowiadają minimalne drogi optyczne. Z zasady Fermata wynika odwracalność biegu promieni A świetlnych. Oczywiście droga optyczna, która jest minimalna przy Z B przejściu światła od punktu 1 do 2 musi byd również minimalna przy przejściu światła w kierunku przeciwnym. O O’ M A’ Rysunek 21.8 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 7 Wyprowadźmy prawo odbicia i załamania światła z zasady Fermata. Niech światło wychodzące z punktu A, odbijając się od powierzchni A MN, trafia do punktu B (Rysunek 21.8). (Bezpośrednia droga od A do B jest niemożliwa ze względu na s1 a1 θ1 przegrodę Z). Ośrodek, w którym biegnie promieo, jest ośrodkiem jednorodnym. Z tego względu minimum drogi optycznej geometrycznej. odpowiada Długośd minimum drogi dowolnej drogi geometrycznej jest równa AO’B = A’O’B (pomocniczy punkt A’ jest odbiciem zwierciadlanym punktu A). Z rysunku widad, że najmniejszą długośd ma droga x b θ2 a2 s2 B Rysunek 21.9 promienia odbijającego się w punkcie O w sytuacji, w której kąt odbicia jest równy kątowi padania. W celu wyprowadzenia prawa załamania, znajdźmy punkt, w którym promieo, rozchodząc się od A do B, powinien ulec załamaniu tak, aby droga optyczna była minimalna (Rysunek 21.9). Droga optyczna dowolnego promienia jest równa L n1s1 n 2s 2 n1 a12 x 2 n 2 a 22 b x 2 W celu znalezienia minimum (ekstremum) policzmy pochodną L po x i przyrównajmy ją do zera: dL dx n1 x a x 2 1 2 n 2 b x a b x 2 2 2 n1 x bx n2 0 s1 s2 Czynniki przy n1 i n2 są odpowiednio równe sinθ1 i sinθ2. Tak więc: n1sinθ1 n 2sinθ2 jest zależnością wyrażającą prawo załamania (patrz wzór 21.4). Gorąca powierzchnia Rysunek 21.10 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 8 Miraże są ciekawym przykładem zastosowania zasady Fermata. Na rozgrzanej słoocem pustyni (może to byd asfalt szosy w upalny dzieo) powietrze przy samej powierzchni jest najbardziej gorące. Im wyższa temperatura powietrza tym mniejsza jego gęstośd tym mniejszy współczynnik załamania światła. Zatem najkrótszą drogą optyczną między wielbłądem a człowiekiem nie będzie linia prosta a linia pokazana na rysunku 21.10. Ponieważ oko rejestruje tylko kierunek, z którego dociera promieo świetlny, dlatego obraz wielbłąda zobaczymy poniżej obrazu rzeczywistego. Równie dobrze można zjawisko to wytłumaczyd w oparciu o zasadę Huygensa, o której jest mowa w następnym wykładzie. 21.3 Załamanie na powierzchni kulistej. Dział optyki, w którym prawa rozchodzenia się światła rozpatruje się na podstawie pojęcia promieni świetlnych nazywa się optyką geometryczną. Pod pojęciem promieni świetlnych rozumie się normalne do powierzchni falowej linie, wzdłuż których rozprzestrzenia się strumieo energii świetlnej. Optyka geometryczna pomimo iż jest metodą przybliżoną, umożliwia, w sposób prosty, konstrukcję obrazów powstających w różnych układach optycznych. Jednym z najprostszych elementów dowolnego układu optycznego jest powierzchnia sferyczna rozdzielająca dwa jednorodne optyczne ośrodki. Aby otrzymane wyniki były prawdziwe zarówno dla wypukłych, jak i wklęsłych powierzchni wszystkim odcinkom i kątom przypisuje się odpowiednie znaki w zależności od ich kierunków. Na rysunku 21.11 rozpatrywane jest załamanie światła na powierzchni kulistej o promieniu R, która rozdziela dwa ośrodki o współczynnikach załamania n a i nb. Punkt P jest źródłem światła (przedmiotem). Prosta PP’ przechodząca przez punktowe źródło światła S i Środek krzywizny C powierzchni sferycznej nazywa się osią optyczną powierzchni sferycznej. Punkt V przecięcia powierzchni z osią optyczną D nazywa się wierzchołkiem powierzchni. Promieo SV jest prostopadły do powierzchni i przechodzi dalej nie załamując się. Aby otrzymad obraz S’ – Rysunek 21.11 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 9 poprowadźmy dowolny promieo PB, który w punkcie B załamuje się i rozchodzi się wzdłuż kierunku BP’. Rozpatrzmy tylko promienie przyosiowe, tzn. tworzące z osią optyczną małe kąty (odległośd h jest mała w porównaniu z R). Tylko dla promieni przyosiowych otrzymuje się obraz stygmatyczny, tzn. wszystkie promienie wiązki przyosiowej, wychodzące z punktu P, przecinają oś optyczną w jednym punkcie P’. Kierunki odcinków będziemy mierzyd od szczytu powierzchni; jeżeli pokrywają się z promieniem będziemy przyjmowad je jako dodatnie, jeżeli są po przeciwnej stronie promienia będziemy przyjmowad je jako ujemne. Dla promieni przyosiowych pokazanych na rysunku 21.11 wszystkie kąty są małe, dlatego sinusy i tangensy tych kątów można traktowad jako równe samym kątom. Zgodnie z prawem załamania 𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝜃𝑏 . Zamieniając sinusy na kąty otrzymujemy 𝑛𝑎 𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 𝜃𝑏 21.10 Kąty (θa) i ϕ będąc kątami zewnętrznymi w stosunku do trójkątów PBC i P’BC są równe sumie dwóch kątów wewnętrznych: 𝜃𝑎 = 𝜙 + 𝛼, 𝜙 = −𝜃𝑏 + 𝛽, czyli 𝜃𝑎 = 𝜙 + 𝛼 𝜃𝑏 = 𝜙 − 𝛽 21.11 Podstawiając do 21.11 otrzymamy: 𝑛𝑎 𝜙 + 𝛼 = 𝑛𝑏 𝜙 − 𝛽 Zamieniając małe kąty na ich funkcje trygonometryczne: 𝜙 ≈ 𝑅, 𝛼 ≈ 𝑠 i 𝛽 ≈ 𝑠′ otrzymamy: h h h h na nb , R s R s' skąd nb s′ + na s = n b −n a R 21.12 W ten sposób, znając odległośd s od przedmiotu do powierzchni załamującej, można wyliczyd odległośd s’ od powierzchni do obrazu. Przy wyprowadzaniu wzoru 21.12 wielkośd h upraszcza się, co oznacza, że promienie przyosiowe, które wychodzą z punktu P, bez względu jaki kąt tworzą one z osią optyczną, skupiają się w punkcie P’. We wzorze 21.12 promieo krzywizny należy brad jako dodatni dla powierzchni wypukłej (środek krzywizny C leży na prawo od wierzchołka V) lub ujemny dla powierzchni wklęsłej (C leży na lewo od O). Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 10 Przez formalną zamianę na na (-nb) z równania na kulistą powierzchnię załamującą, otrzymuje się równanie dla zwierciadła kulistego: 𝟏 𝟏 𝟐 +𝐬=𝐑= 𝐬′ 𝟏 21.13 𝐟 Równanie zwierciadła kulistego. gdzie f = R/2 nazywa się ogniskową zwierciadła kulistego. Jeżeli 𝑠 = ∞, wtedy 𝑠 ′ = 𝑓 tzn. promienie równoległe skupiają się w ognisku w odległości f od zwierciadła. Jeżeli źródło umieścid w ognisku (s = f), to 𝑠′ = ∞, tzn., po odbiciu od zwierciadła kulistego wiązka światła staje się równoległa. Jeżeli 𝑅 = ∞, (zwierciadło płaskie), to b = -a, tzn., obraz będzie pozorny, „umiejscawiając się” symetrycznie za zwierciadłem. Rysunki 21.12a i b pokazują a. Zwierciadło wklęsłe. R, s, s’ > 0 𝟏 𝟏 𝟐 + = 𝐬′ 𝐬 Rysunek 21.12 𝐑 b. Zwierciadło wypukłe. R < 0, s > 0, s’ < 0 𝟏 𝟏 𝟐 + = 𝐬′ 𝐬 𝐑 przykładowe konstrukcje obrazów w przypadku zwierciadła wklęsłego i wypukłego. Wródmy do sferycznej powierzchni załamującej i określmy zasady dotyczące znaków: jeżeli środek krzywizny leży po stronie promieni wychodzących, to R jest dodatnie i jeżeli s’ leży po stronie promieni wychodzących, to jest dodatnie; czyli równanie 21.12 możemy przepisad w postaci: 𝐧𝐚 𝐬 + 𝐧𝐛 𝐬′ = 𝐧𝐛 −𝐧𝐚 21.14 𝐑 Związek między przedmiotem a obrazem dla załamującej powierzchni sferycznej. Równanie to nie zawiera kąta α, zatem położenie obrazu jest takie samo dla wszystkich kątów przyosiowych wysyłanych z punktu P, co dowodzi Rysunek 21.13 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 11 prawdziwości naszego założenia, iż P’ jest obrazem P. Aby otrzymad powiększenie liniowe m obrazu, wykorzystajmy konstrukcję przedstawioną na rysunku 21.13. Z trójkątów PQV i P’Q’V: tgθa = y tgθb = s −y′ s′ Prawo załamania: na sinθa = nb sinθb Dla małych kątów: tgθa = sinθa i tgθb = sinθb W rezultacie: na y s =− n b y′ s′ lub 𝐦= 𝐲′ 𝐲 𝐧 𝐬′ = − 𝐧𝐚 𝐬 21.15 𝐛 Powiększenie liniowe, załamująca powierzchnia sferyczna. Załamanie na zakrzywionej powierzchni jest jednym z powodów, dla którego ogrodnicy starają się unikad podlewania roślin w środku dnia. Kiedy promienie słooca padają na kroplę liścia, to ulegają załamaniu dążąc do skupienia się tak jak na rysunkach 21.12 i 21.13. Powoduje to skoncentrowanie energii i może uszkodzid roślinę. Ważnym szczególnym przypadkiem ugięcia na powierzchni sferycznej jest przypadek, gdy mamy płaską powierzchnię między dwoma ośrodkami. Wtedy R = ∞ i: na s + nb s′ =0 21.16 Powiększenie w tym wypadku znajdziemy podstawiając to równanie do 21.15: m=1 Jeżeli powierzchnia rozdziału ośrodków jest płaska, to zawsze otrzymamy obraz tej samej wielkości co przedmiot. 21.4 Soczewki cienkie. Jeżeli soczewki są na tyle cienkie, że analizując obrazy uzyskane za ich pomocą możemy pominąd ich grubośd wtedy określamy je mianem cienkich. Soczewki pokazane na rysunku 21.14a mają tę własnośd, że jeżeli wiązka promieni równoległych do osi optycznej przechodzi przez nie, Rysunek 21.14 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 12 to ulega skupieniu w punkcie F2. Takie soczewki nazywamy skupiającymi. Podobnie jeżeli światło jest emitowane z punktu F1, to po przejściu przez soczewkę tworzy wiązkę równoległą (Rysunek 21.14b). Punkty nazywają się pierwszym i drugim ogniskiem soczewki, a odległośd od ogniska do środka soczewki nazywa się ogniskową. Pozioma linia łącząca ogniska na rysunku 21.14a i b nazywa się osią optyczną. Rysunek 21.15 przedstawia jak znaleźd obraz utworzony przez soczewkę i jakie jest jego powiększenie. Dwa kąty zaznaczone jako α są jednakowe, czyli dwa trójkąty Rysunek 21.15 prostokątne PQO i P’Q’O’ są podobne. W związku z tym możemy zapisad: y s y′ = − s′ lub y′ y s′ =−s 21.17 Również dwa kąty β są równe i trójkąty OAF2 i P’Q’F2 są podobne, zatem: y f y′ = − s ′ −f lub y′ y =− s ′ −f f 21.18 Przekształcając 21.17 i 21.18 otrzymujemy ostatecznie: 𝟏 𝟏 + 𝐬′ = 𝐬 𝟏 21.19 𝐟 Równanie przedmiot – obraz soczewki cienkiej. Z powyższej analizy otrzymujemy również, że powiększenie liniowe m = y’/y z 21.17 jest równe: 𝒎= 𝐲′ 𝐲 =− 𝐬′ 𝐬 21.20 Ujemny znak mówi nam, że kiedy s i s’ są dodatnie jak na rysunku 21.15 wtedy obraz jest odwrócony, a y i y’ mają przeciwne znaki. Równania 21.19 i 21.20 są podstawowymi równaniami dla soczewek cienkich. Obowiązują te same reguły dotyczące znaków. W szczególności dla soczewki skupiającej (f dodatnie) kiedy przedmiot znajduje się dalej od soczewki niż ogniskowa, wtedy odległośd obrazu s’ jest dodatnia (obraz znajduje się po tej samej stronie co wychodzący promieo), obraz jest rzeczywisty i Rysunek 21.16 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 13 odwrócony (rysunek 21.15). Jeżeli przedmiot umieszczony jest między ogniskiem, a soczewką, wtedy s < f i s’ jest ujemne, co świadczy, że obraz jest po tej samej stronie co przedmiot i jest urojony, prosty i powiększony. Rysunek 21.16 przedstawia soczewki rozpraszające. Wiązka światła równoległego padająca na taką soczewkę ulega rozproszeniu. Ogniskowa soczewek rozpraszających jest ujemna – ogniska soczewek rozpraszających są zamienione miejscami w porównaniu z soczewkami skupiającymi. Drugie ognisko soczewki rozpraszającej leży w punkcie przecięcia przedłużeo promieni (Rysunek 21.16a), które padając równolegle do osi optycznej uległy rozproszeniu (punkt, z którego wydają się wychodzid promienie). Padające promienie, których przedłużenia zbiegają się w ognisku F1 (Rysunek 21.16b) wychodzą z soczewki rozpraszającej jako równoległe. Równania 21.19 i 21.20 są prawdziwe zarówno dla soczewek rozpraszających jak i skupiających. Soczewki różnego typu rozpraszające i skupiające przedstawione są na rysunku 21.17. Zwródmy uwagę na ważną obserwację: Każda soczewka, która jest grubsza w środku niż na kraocach jest soczewką skupiającą i ma f > 0 i każda soczewka, która jest grubsza na kraocach niż w środku jest soczewką rozpraszającą i posiada f < 0. Rysunek 21.17 Wielkośd: 𝐙= 𝟏 𝐟 nazywa się zdolnością zbierającą soczewki. Jednostką Z jest dioptria 1D = 1/m. Dla soczewek skupiających Z jest większe od zera, a dla soczewek rozpraszających Z jest ujemne. Jeżeli na przykład zdolnośd zbierająca wynosi -2D, to oznacza to, że ogniskowa jest równa -50cm i soczewka jest soczewką rozpraszającą. 21.5 Równanie soczewki. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 14 Rozważmy ogólny przypadek kiedy mamy dwie powierzchnie kuliste oddzielające trzy ośrodki o współczynnikach załamania na, nb, nc jak pokazane jest na rysunku 21.18. Odległości przedmiotu i obrazu w przypadku pierwszej powierzchni wynoszą s1 i s1′ , a w przypadku drugiej powierzchni s2 i s2′ . Zakładamy, że soczewka jest na tyle cienka (grubośd Rysunek 21.18 t), że odległośd między tymi powierzchniami jest na tyle mała w porównaniu z odległością przedmiotu i obrazu, że może byd zaniedbana. Wtedy s2 i s1′ mają tę samą wielkośd, ale przeciwne znaki. Na przykład, jeżeli pierwszy obraz powstaje po stronie promieni wychodzących z pierwszej powierzchni, wtedy s1′ jest dodatnie. Jeżeli jednak obserwowad przedmiot od strony drugiej powierzchni, wtedy przedmiot nie znajduje się po stronie promieni wchodzących do soczewki. W związku z tym s2 = −s1′ . Musimy zastosowad dwa razy równanie 21.14 dla pojedynczej powierzchni: raz dla jednej powierzchni, a raz dla drugiej powierzchni: 𝐧𝐚 𝐬𝟏 𝐧𝐛 𝐬𝟐 + 𝐬′𝐛 = 𝐧 𝐧𝐛 −𝐧𝐚 𝐧𝐜 𝐧𝐜 −𝐧𝐛 𝐑𝟏 𝟏 + 𝐬𝟐′ = 𝐑𝟐 Zwykle pierwszym i trzecim ośrodkiem jest powietrze, czyli możemy zapisad n a = nc = 1. Drugim ośrodkiem jest materiał soczewki, którego współczynnik załamania oznaczmy przez n. Uwzględniając s2 = −s1′ otrzymujemy: 𝟏 𝐬𝟏 𝐧 𝐧−𝟏 𝟏 𝐑𝟏 + 𝐬′ = 𝐧 𝟏 𝟏−𝐧 𝟏 𝟐 𝐑𝟐 − 𝐬′ + 𝐬′ = Po przekształceniu otrzymujemy: 𝟏 𝐬𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝐑𝟏 + 𝐬′ = 𝐧 − 𝟏 𝟏 −𝐑 𝟐 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki Zamieniając s1 na s 𝟏 𝐬 i 15 odległośd 𝟏 + 𝐬′ = 𝐧 − 𝟏 koocowego 𝟏 obrazu s2′ na 𝟏 𝐑𝟏 −𝐑 s’ otrzymujemy: 21.21 𝟐 Porównując 21.21 z 21.19 widzimy, że: 𝟏 𝐟 = 𝐧−𝟏 𝟏 𝐑𝟏 𝟏 −𝐑 21.22 𝟐 Równanie soczewki cienkiej. Zwródmy uwagę, że jeżeli ośrodkiem otaczającym soczewkę nie jest powietrze, to n oznacza względny współczynnik załamania nsocz/otocz ośrodka soczewki względem otaczającego ośrodka (np. wody). Równanie 21.22 podaje związek między promieniami krzywizn R1 i R2 soczewki, a ogniskową soczewki. Można użyd ten związek aby pokazad, że wszystkie rysunku soczewki 21.17a na Promień krzywizny drugiej powierzchni Promień krzywizny pierwszej powierzchni są C1 soczewkami skupiającymi z dodatnim f, a wszystkie soczewki na rysunku 21.17b są soczewkami Rysunek 21.19 rozpraszającymi z f ujemnym. Podane wcześniej reguły dotyczące znaków stosują się nadal do równao 21.21 i 21.22. Na przykład na rysunku 21.19 s, s’ i R1 są dodatnie, a R2 jest ujemne. Należy podkreślid, że wprowadzone przybliżenia dla cienkich soczewek rzeczywiście są tylko przybliżeniami! Promienie, które padają pod dużymi kątami w stosunku do osi optycznej soczewki sferycznej nie skupią się w tym samym miejscu co promienie przyosiowe; jest to przyczyną aberracji sferycznej. Dlatego też, w precyzyjnych urządzeniach optycznych soczewką nadaje się bardziej skomplikowany kształt. 21.6 Metody graficzne tworzenia obrazów. Położenie obrazu możemy określid poprzez wybór dwu, trzech charakterystycznych promieni, które wychodzą z danego punktu przedmiotu. Przecięcie się tych promieni po Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 16 przejściu przez soczewkę określa położenie obrazu. Jak widad na rysunku 21.20 można wybrad trzy charakterystyczne promienie: 1. Promieo równoległy do osi optycznej, który po przejściu przez soczewkę przechodzi 1 Rysunek 21.20 przez ognisko F2, lub wydaje się wychodzid z ogniska F2 w przypadku soczewki rozpraszającej. 2. Promieo przechodzący przez środek soczewki, który nie ulega odchyleniu od kierunku pierwotnego. 3. Promieo przechodzący przez ognisko F1 (lub, którego przedłużenie przechodzi przez f. Przedmiot O na zewnątrz ogniska. Obraz I rzeczywisty. e. Przedmiot O na zewnątrz ogniska, bliżej. Obraz I rzeczywisty, dalej. d. Przedmiot O na zewnątrz ogniska, jeszcze bliżej. Obraz rzeczywisty I jeszcze dalej. c. Przedmiot O w ognisku. Obraz I w nieskończoności. b. Przedmiot O wewnątrz ogniskowej. Obraz pozorny. a. Pozorny O przedmiot. (promienie skupiają się na soczewce). Rysunek 21.21 to ognisko w przypadku soczewki rozpraszającej) i który za soczewką biegnie równolegle do osi optycznej. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 17 Rysunek 21.21 przedstawia szereg przypadków powstawania obrazów w przypadku soczewki skupiającej. Należy samemu przeanalizowad poszczególne rysunki. Rysunek 21.21f odpowiada pozornemu przedmiotowi. Padające promienie nie rozbiegają się z realnego przedmiotu, ale zbiegają się jak gdyby wychodziły z czubka O pozornego przedmiotu po prawej stronie. W tym wypadku s jest ujemne. W tym wypadku obraz jest rzeczywisty i leży między soczewką a drugim ogniskiem. Sytuacja taka ma miejsce, jeżeli padające na soczewkę z rysunku 21.21f są skupiane po przejściu przez inną soczewkę skupiającą niewidoczną na rysunku. 21.7 Powiększenie. Określony rozmiar przedmiotu określony jest przez rozmiar jego obrazu na siatkówce. Jeżeli oko jest nieuzbrojone, wtedy rozmiar ten zależy od kąta θ leżącego naprzeciwko przedmiotu zwanego rozmiarem kątowym (Rysunek 21.22a). Aby przyjrzed się dokładniej jakiemuś małemu przedmiotowi, przysuwamy go bliżej do oka, a tym samym zwiększamy na ile to jest możliwe kąt przeciwległy do przedmiotu i obraz na siatkówce. Jednak nasze oko nie jest w stanie zogniskowad się na przedmiocie, który jest bliżej niż odległośd dobrego widzenia, w związku z czym rozmiar kątowy przedmiotu osiąga swoją największą możliwą wartośd kiedy znajduje się w odległości dobrego widzenia. W dalszych rozważaniach będziemy przyjmowad, że średnia odległośd dobrego widzenia wynosi 25cm. Soczewki skupiające można użyd do stworzenia obrazu pozornego, który będzie większy i dalej położony od oka niż sam przedmiot, tak jak to jest pokazane na rysunku 21.22b. Soczewkę użytą w ten sposób nazywamy lupą (szkło powiększające). Obraz pozorny najwygodniej ogląda się, jeżeli położony jest w nieskooczoności, wtedy mięsieo rzęskowy źrenicy jest najbardziej rozluźniony i w dalszej dyskusji będziemy zakładad, że tak właśnie jest. Na rysunku 21.22a przedmiot znajduje się w pobliżu punktu, dla którego rozmiar kątowy wynosi θ. Na rysunku 21.22b szkło powiększające przed okiem wytwarza obraz w nieskooczoności, a rozmiar kątowy jest równy θ’. Skutecznośd działania lupy określona jest poprzez stosunek kąta θ’ (z lupą) do kąta θ (bez lupy). Iloraz ten nazywa się powiększeniem kątowym: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 𝐌= 18 𝛉′ 21.23 𝛉 Powiększenie kątowe. Uwaga. Nie należy mylid powiększenia liniowego z powiększeniem kątowym. Powiększenie kątowe jest stosunkiem rozmiarów kątowych, podczas gdy powiększenie liniowe jest stosunkiem rozmiarów liniowych. Na rysunku 21.22b powiększenie kątowe wynosi około 3X, ponieważ mrówka widoczna jest pod kątem trzy razy większym niż na rysunku 21.22a. Powiększenie liniowe wynosi m = -s’/s na rysunku 21.22b i jest równe nieskooczenie duże, ponieważ obraz pozorny znajduje się w nieskooczoności, nie oznacza to jednak, że mrówka jest nieskooczenie duża, kiedy patrzymy przez lupę! Aby znaleźd wartośd M przyjmijmy, że kąty są na tyle małe, iż każdy kąt w radianach może byd przybliżony jego sinusem i tangensem. Korzystając z rysunku 21.22a i rysując promieo, który na rysunku 21.22b przechodzi nieodchylony przez środek soczewki możemy obliczyd kąty θ’ i θ: 𝑦 𝑦 𝜃′ = 𝑓 𝜃 = 25𝑐𝑚 Podstawiając te wyrażenia do 21.23 otrzymujemy 𝐌= 𝛉′ 𝛉 𝐲/𝐟 = 𝐲/𝟐𝟓𝐜𝐦 = 𝟐𝟓𝐜𝐦 21.23 𝐟 Powiększenie kątowe lupy. Mogło by się wydawad, że możemy zwiększyd powiększenie kątowe do dowolnej wielkości poprzez Okular zmniejszenie ogniskowej f. Jednak z powodu aberracji dwuwypukłej soczewki zwykłej Obraz rzeczywisty granica powiększeo wynosi od 3X do 4X. Do uzyskania większych powiększeo Obiektyw stosujemy mikroskop. Okular Przedmiot 21.8 Mikroskop. Podstawowe składniki mikroskopu Źródło światła przedstawione są na rysunku 21.23a. Obiektyw Oglądany przedmiot O umieszcza się Rysunek 21.23 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 19 zaraz za pierwszym ogniskiem F1 obiektywu, który daje powiększony i rzeczywisty obraz przedmiotu I (Rysunek 21.23b). Obraz ten leży zaraz za pierwszym ogniskiem F1′ okularu. Okular działa jak zwykła lupa i tworzy końcowy pozorny obraz I’ przedmiotu I. Położenie obrazu I’ może być w dowolnym miejscu w punktach zarówno blisko lub i daleko od oka. W rzeczywistych mikroskopach w celu uzyskania dobrej jakości obrazu zarówno okular, jak i obiektyw składają się z wielu elementów optycznych, które dla prostoty objaśnień możemy pominąć. Tak samo jak w przypadku lupy o wielkości powiększenia w mikroskopie decyduje powiększenie kątowe M. Całkowite powiększenie kątowe mikroskopu jest iloczynem dwu czynników. Pierwszy składnik to powiększenie liniowe m1 obiektywu, które określa rozmiary obrazu rzeczywistego I; drugi czynnik jest powiększeniem kątowym M2 okularu, które związane jest z rozmiarem kątowym obrazu pozornego widzianym przez okular w porównaniu z rozmiarem kątowym obrazu rzeczywistego, który byłby obserwowany bez użycia okularu. Pierwszy z tych czynników dany jest przez: 𝑠′ 𝑚1 = − 𝑠1 1 gdzie s1 i s1′ są odległościami od przedmiotu i obrazu od soczewki obiektywu. Zwykle przedmiot znajduje się bardzo blisko ogniskowej i dlatego odległośd obrazu 𝑠1′ jest bardzo duża w porównaniu z ogniskową f1 obiektywu. Zatem s1 ≈ f1 i możemy zapisad, że m1 = −s1′ /f1 . Obraz rzeczywisty I znajduje się blisko ogniska F1′ okularu, dlatego aby znaleźd powiększenie kątowe możemy zastosowad wzór 21.23: M2 = 25cm /f2 , gdzie f2 jest ogniskową okularu. Całkowite powiększenie kątowe M mikroskopu (z pominięciem znaku minus) jest iloczynem tych dwu powiększeo: 𝐌 = 𝐦𝟏 𝐌𝟐 = 𝟐𝟓𝐜𝐦 𝐬𝟏′ 𝐟𝟏 𝐟𝟐 21.24 Powiększenie kątowe mikroskopu. gdzie s1′ f1 i f2 mierzone są w centymetrach. Koocowy obraz jest odwrócony w porównaniu do przedmiotu. Producenci mikroskopów zwykle podają wartości m1 i M2. 21.9 Teleskop. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 20 Układ optyczny stosowany w teleskopach przypomina ten z którego, składa się mikroskop. W obu urządzeniach obraz jest tworzony za pomocą obiektywu i obserwuje się go przez okular. Kluczową różnicą jest to, że teleskop jest używany do obserwowania dużych Obiektyw Okular Obiektyw Okular I’ w ∞ Rysunek 21.24 obiektów znajdujących w dużej odległości od obserwatora. Inną różnicą jest to, iż w teleskopach często stosuje się zwierciadła wklęsłe w miejsce obiektywu. Teleskop astronomiczny (luneta Keplera) pokazany jest na rysunku 21.24. Soczewki obiektywu tworzą obraz I rzeczywisty i pomniejszony obiektu. Ten obraz jest przedmiotem dla soczewek okularu, który daje powiększony obraz pozorny. Obiekty obserwowane przez lunetę znajdują się zwykle tak daleko od obserwatora, że obraz I powstaje bardzo blisko drugiej ogniskowej obiektywu. Jeżeli koocowy obraz I’ utworzony przez okular znajduje się w nieskooczoności (dla najbardziej komfortowego patrzenia), wtedy pierwszy obraz musi znajdowad się w tuż przy pierwszym ognisku okularu. W rezultacie odległośd między obiektywem, a okularem jest równa sumie ogniskowych f1 + f2. Powiększenie kątowe M teleskopu zdefiniowane jest jako stosunek rozmiaru kątowego koocowego obrazu I’ do kąta obserwacji obiektu okiem nieuzbrojonym. Na rysunku 21.24 kąt θ jaki tworzy promieo padający na obiektyw pochodzący od obiektu (niepokazanego na rysunku) z osią optyczną jest jednocześnie kątem pod jakim widoczny jest ten obiekt okiem nieuzbrojonym. Jednocześnie, ponieważ oko obserwatora znajduje się bezpośrednio na prawo za ogniskiem F2′ , to kąt, pod którym widziany jest obraz koocowy jest praktycznie równy kątowi θ’. Ponieważ bd jest równoległe do osi optycznej, to odcinki ab i cd są sobie równe jak również są równe wysokości y’ obrazu rzeczywistego I. Ponieważ θ i θ’ są małe, to Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 21 można je wyrazid za pomocą tangensów. Z trójkątów prostokątnych F 1ab i F2′ cd otrzymujemy: 𝑦′ 𝜃 = −𝑓 1 𝑦′ 𝜃′ = − 𝑓 2 W rezultacie powiększenie kątowe M: 𝐌= 𝛉′ 𝛉 𝐟 = − 𝐟𝟏 21.25 𝟐 Powiększenie kątowe teleskopu. Znak minus wskazuje, że obraz jest odwrócony. Równanie 21.25 pokazuje, że jeżeli chce się uzyskad duże powiększenie kątowe, to powinno się stosowad obiektywy o dużej ogniskowej f1. Sytuacja jest odwrotna niż w mikroskopie, gdzie otrzymamy tym większe powiększenie im krótsza będzie ogniskowa obiektywu. Jednak obiektyw teleskopu o dużej ogniskowej powinien posiadad również dużą średnicę D, tak aby wartośd przesłony nie była zbyt duża (duża wartośd przesłony f1/D oznacza, że obraz jest zamglony i posiada małe natężenie). W typowych teleskopach obiektywy nie są wymienialne, zmienia się natomiast okulary; tak jak w mikroskopie im mniejsza ogniskowa f2 okularu tym większe powiększenie kątowe teleskopu. Odwrócenie obrazu nie jest jedyną wadą teleskopu. Kiedy używamy teleskopu albo lornetki – w istocie dwu lunet zamocowanych obok siebie, chcielibyśmy, aby obraz obserwowanych przedmiotów był prosty. W lornetkach osiąga się to poprzez kilkakrotne odbicie promieni świetlnych od pryzmatów umieszczonych wewnątrz między obiektywem a okularem. Na lornetkach podaje się zwykle opis w postaci np. 7 X 50. Pierwsza liczba określa powiększenie kątowe M, a Obudowa wraz z drugim zwierciadłem druga jest średnicą obiektywu (w milimetrach). Średnica obiektywu pozwala określid zdolnośd soczewek obiektywu do skupiania światła, a tym samym determinuje jasnośd obrazu. W teleskopach odbiciowych (Rysunek 21.25) soczewki obiektywu zastąpione są przez zwierciadło wklęsłe. W dużych teleskopach ten sposób ma wiele zalet, zarówno Obiektyw teoretycznych jak i praktycznych. Zwierciadła z swojej istoty Otwór w zwierciadle obiektywu są wolne od aberracji chromatycznej, a aberracja sferyczna jest łatwiejsza do korygowania. Czasami kształt zwierciadeł jest paraboliczny, a nie sferyczny. Materiał zwierciadeł nie Rysunek 21.25 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 22 musi byd przezroczysty i może byd wykonany nie tak dokładnie jak materiał używany do soczewek (soczewki mogą oczywiście byd osadzane tylko przy swoich krawędziach). Tym niemniej powierzchnia zwierciadeł obiektywu, na przykład teleskopu należącego do The European Southern Observatory w północnym Chile, jest polerowana z dokładnością do 8,5 ∙ 10−9 m, co odpowiada średnicy około tuzina atomów. Największe na świecie teleskopy odbiciowe – teleskopy Kecka umieszczone na szczycie Mauna Kea na Hawajach posiadają zwierciadła o średnicy 10m składające się z 36 oddzielnych sześciokątnych elementów. Soczewki, które mają średnicę większą niż 1m nie mają już praktycznego zastosowania. Jednym z wyzwao przy projektowaniu teleskopów jest to, iż obraz powstaje naprzeciwko zwierciadła obiektywu, w obszarze padających promieni światła. Rysunek 21.24 przedstawia jeden ze sposobów rozwiązania tego problemu; promienie świetlne odbite od zwierciadła obiektywu są przechwytywane przez drugie zwierciadło, które odbija światło w kierunku otworu w obiektywie. Obraz koocowy jest obserwowany w pewnej odległości po drugiej stronie zwierciadła obiektywu. Jeżeli mają byd robione zdjęcia przy pomocy teleskopu, to w miejscu powstawania obrazu rzeczywistego tworzonego przez obiektyw umieszcza się film lub detektor elektroniczny. W większości teleskopów używanych w badaniach astronomicznych nigdy nie stosuje się okularów. 21.10 Aparat fotograficzny. Jednymi z najbardziej rozpowszechnionych urządzeo optycznych są aparaty fotograficzne, które wytwarzają obraz rzeczywisty i zapisują go elektronicznie lub na filmie. Podstawowymi częściami aparatu są: zamknięty (soczewki korpus, skupiające), obiektyw migawka Obraz rzeczywisty Migawka Obiektyw Naświetlany film odsłaniająca soczewki na zadany czas i medium rejestrujące obraz (matryca światłoczuła lub film) (Rysunek 21.26). Soczewki wytwarzają rzeczywisty obraz fotografowanego obiektu. Wysokiej klasy obiektyw składa się z szeregu elementów, które umożliwiają Obiekt Przesłona Rysunek 21.26 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 23 korekcję różnego rodzaju aberracji (chromatycznej i sferycznej). Jeżeli ustawiona jest właściwa ostrośd, wtedy następuje zgranie odległości obiektu z obrazem utworzonym na matrycy światłoczułej. Otrzymana fotografia będzie wtedy maksymalnie ostra. Jeżeli mamy soczewki skupiające, to wraz ze wzrastaniem odległości obrazu maleje odległośd do obiektu (Rysunek 21.21a,b,c). Z tego powodu jeżeli aparat 250 (105mm) Rysunek 21.27 ogniskuje się na dalekim przedmiocie obiektyw przybliża się do matrycy, a jeżeli fotografujemy przedmiot z bliska obiektyw oddala się od matrycy światłoczułej. Wybór ogniskowej f obiektywu aparatu fotograficznego zależy od rozmiaru filmu lub matrycy, jak również od pożądanego kąta widzenia. Rysunek 21.27 przedstawia trzy fotografie zarejestrowane na 35mm filmie wykonane tym samym aparatem ustawionym w tym samym miejscu, jednak przy różnych długościach ogniskowej. Obiektyw o dużej ogniskowej, zwany teleobiektywem, daje mały kąt widzenia i duży obraz odległego obiektu (taki jak pomnik na rysunku 21.27c); obiektyw posiadający krótką ogniskową daje mały obraz i szeroki kąt widzenia (taki jak na rysunku 21.27a) i nazywa się obiektywem szerokokątnym. Aby zrozumied takie zachowanie przypomnijmy sobie, że ogniskowa jest równa odległości od soczewki do obrazu, gdy przedmiot znajduje się w nieskooczoności. Ogólnie, dla dowolnej odległości od obiektu, użycie obiektywu o dłuższej ogniskowej powoduje powstanie obrazu dalej od obiektywu. powoduje to również wzrost wysokości Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 24 obrazu; jak była mowa wcześniej, stosunek wysokości y’ obrazu do wysokości y obiektu (powiększenie liniowe) jest równy wartości bezwzględnej ze stosunku odległości obrazu s’ do odległości przedmiotu s (równanie 21.10): 𝒎= 𝐲′ 𝐲 𝐬′ =−𝐬 Dla obiektywu o krótkiej ogniskowej stosunek s’/s jest mały i daleki obiekt tworzy mały obraz. Kiedy używamy obiektywu o długiej ogniskowej, wtedy obraz tego samego obiektu może całkowicie wypełnid kadr filmu. W rezultacie im dłuższa ogniskowa tym węższy kąt widzenia (Rysunek 21.27d). Aby obraz na filmie (matrycy) został utrwalony właściwie, całkowita energia na jednostkę powierzchni musi byd zawarta w określonych granicach. Osiąga się to poprzez odpowiedni dobór migawki i przesłony. Migawka określa przedział czasu, w którym światło wpada przez 1 obiektyw. Często czasy migawki zawierają się od 2s do 1000 s. Natężenie światła wpadającego do obiektywu jest proporcjonalne do obszaru „widzianego” przez obiektyw i do efektywnej powierzchni obiektywu. Wielkośd powierzchni, która jest „widziana” przez obiektyw jest proporcjonalna do kwadratu kąta widzenia obiektywu, a zatem z grubsza, jest proporcjonalna do 1/f2. Efektywna powierzchnia obiektywu jest regulowana za pomocą zmiennej średnicy obiektywu D zwanej przesłoną. Zatem efektywna powierzchnia jest proporcjonalna do D2. Łącząc te dwa czynniki razem widzimy, że natężenie światła docierającego do matrycy światłoczułej przez określony obiektyw jest proporcjonalne do D2/f2. Zdolnośd obiektywu do gromadzenia światła jest powszechnie określana w fotografii za pomocą tzw. liczby Skala przesłonowej zdefiniowanej jako stosunek f/D: 𝑂𝑔𝑛𝑖𝑠𝑘𝑜𝑤𝑎 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠ł𝑜𝑛𝑜𝑤𝑎 = Ś𝑟𝑒𝑑𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠 ł𝑜𝑛𝑦 𝑓 =𝐷 Na przykład jeżeli obiektyw posiada ogniskową f = 50mm i średnicę D = 25mm, to mówimy, że posiada liczbę przesłonową 2, lub przesłonę Zmienna przesłona Przesłona f/4 f/2. Natężenie światła docierającego do filmu (matrycy) jest odwrotnie proporcjonalne do liczby przesłonowej. W obiektywach zwiększymy średnicę posiadających zmienną przesłonę, 2 razy, to liczba przesłonowa zmaleje jeżeli 2 razy, a natężenie światła wpadającego przez obiektyw wzrośnie Przesłona f/8 Rysunek 21.28 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 25 dwukrotnie. Regulowane przesłony posiadają zwykle skale opisane liczbami będącymi wielokrotnościami f/2 2, taki jak: f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 itd. Największa liczba przedstawia najmniejszą średnicę i naświetlenie, a każda zmiana przesłony o jeden krok powoduje zmianę natężenia światła o 2 (Rysunek 21.28). Całkowita ekspozycja (całkowita ilośd światła padająca na matrycę czy film) jest proporcjonalna 1 1 zarówno do powierzchni otworu jak i czasu otwarcia migawki. Tak więc f/4 i 500 s, f/5,6 i 250 s 1 i f/8 i 125 s odpowiadają tej samej ekspozycji. Podczas fotografowania często używa się obiektywu z „zoomem”. Taki obiektyw składa się z układu soczewek, które pozwalają zmieniad ogniskową w sposób ciągły. W pojedynczych przypadkach w aparatach kompaktowych ogniskowa zmienia się nawet osiemnastokrotnie. Rysunek 21.29a i b przedstawia układ Obraz prosty ze zmienną ogniskową; długośd ogniskowej układu Rysunek 21.29 zależy od wzajemnej odległości między soczewkami. 21.11 Aberracje układów optycznych. Rozpatrując przechodzenie światła przez cienkie soczewki ograniczyliśmy się tylko do promieni przyosiowych. Współczynnik załamania światła uważaliśmy za niezależny od długości padającej fali świetlnej, a światło padające traktowaliśmy jako monochromatyczne. Ponieważ w rzeczywistych układach optycznych warunki te często nie są spełnione, to prowadzi to do zniekształceo obrazu zwanych aberracjami. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 1. promienie 26 Aberracja sferyczna. Jeżeli na soczewkę pada rozbieżna wiązka światła, to przyosiowe po δ przejściu przez soczewkę przetną S się w punkcie S’, a promienie S’’ bardziej oddalone od osi – w S’ punkcie S’’, bliższym soczewki (Rysunek 21.30). W rezultacie na Rysunek 21.30 ekranie prostopadłym do osi optycznej powstanie obraz świecącego punktu w postaci rozmytej plamki. Ten rodzaj zniekształceo, związany ze sferycznością załamującej powierzchni nazywa się aberracją sferyczną. Miarą ilościową aberracji sferycznej jest odcinek δ = OS’’ – OS’. W celu zmniejszenia aberracji sferycznej stosuje się diafragmy (przesłony), jednak jednocześnie zmniejsza się (a) przy tym strumieo światła przechodzący przez soczewkę. Aberrację sferyczną można praktycznie wyeliminowad stosując układy składające się z soczewek rozpraszających (δ > 0) i skupiających (δ < 0). 2. Koma. Jeżeli przez układ optyczny przechodzi (b) szeroka wiązka pochodząca od świecącego punktu znajdującego się poza osią optyczną, to otrzymany obraz tego punktu będzie miał kształt świecącej plamki, wyglądem przypominającej ogon komety. Takie zniekształcenie nazywa się komą. W celu pozbycia się komy stosuje się takie same metody jak w przypadku eliminacji aberracji sferycznej. 3. Dystorsja. Dystorsją nazywa się zniekształcenie (c) Rysunek 21.31 polegające na tym, że dla promieni padających pod dużymi kątami na soczewkę, powiększenie liniowe punktów przedmiotu, które znajdują się w różnych odległościach od głównej osi optycznej jest różne. W rezultacie ulega naruszeniua)geometryczne podobieostwo przedmiotu (Rysunek 21.31a) i obrazu (Rysunek 21.31b,c). Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 27 4. Aberracja chromatyczna. Do tej pory zakładaliśmy, ze współczynniki załamania światła układu optycznego są jednakowe. Jest to jednak prawdziwe tylko dla układu optycznego oświetlanego światłem monochromatycznym (λ = const.). Jeżeli światło ma złożony charakter (różne wartości b) λ), to należy uwzględniad zależnośd współczynnika załamania S materiału soczewki (i otaczającego ośrodka, jeżeli nie jest to powietrze) od długości fali zjawisko Rysunek 21.32 dyspersji). Jeżeli na układ optyczny pada światło białe, to poszczególne monochromatyczne składowe będą ogniskowad się w różnych punktach (najdłuższą ogniskową mają promienie czerwone, najmniejszą – promienie fioletowe) (Rysunek 21.32). W rezultacie na ekranie otrzymamy rozmytą plamkę, zabarwioną na brzegach. Zjawisko to nosi nazwę aberracji chromatycznej. Ponieważ różne rodzaje szkieł posiadają różną dyspersję, to tworząc kombinację soczewek rozpraszających i skupiających wykonanych z różnych szkieł, można pozbyd się aberracji chromatycznej. 5. Astygmatyzm. Zniekształcenie spowodowane niejednakową krzywizną powierzchni optycznej dla różnych przekrojów poprzecznych soczewki padającej wiązki nazywa się astygmatyzmem. Obraz punktu oddalonego od osi optycznej jest obserwowany na ekranie w postaci rozmytej, eliptycznej plamki. Plamka ta, w zależności od odległości do środka optycznego, ulga deformacji i zmienia się w pionowy lub poziomy odcinek. Astygmatyzm można skompensowad wybierając soczewki o odpowiednich krzywiznach powierzchni załamujących. 21.12 Wielkości i jednostki fotometryczne. Fotometrią nazywa się dział optyki zajmujący się pomiarem strumieni świetlnych i wielkości z nimi zawiązanych. Źródło światła, którego rozmiary są zaniedbywalnie małe w porównaniu z odległością od niego do miejsca detekcji, nazywa się źródłem punktowym. W ośrodku jednorodnym i izotropowym fala emitowana przez źródło punktowe jest falą kulistą. Do scharakteryzowania punktowych źródeł światła używa się pojęcia natężenie światła I, które definiuje się jako strumieo promieniowania źródła, przypadający na jednostkowy kąt bryłowy: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 28 𝐝𝚽 𝐈= 21.26 𝐝𝛀 Natężenie światła I (dΦ – strumieo świetlny emitowany przez źródło w kąt bryłowy dΩ). W ogólności natężenie światła zależy od kierunku. Jeżeli I nie zależy od kierunku, to źródło nazywa się źródłem izotropowym. W przypadku źródła izotropowego Φ 𝐼 = 4π 21.27 gdzie Φ – całkowity strumieo świetlny emitowany przez źródło we wszystkich możliwych kierunkach. Jednostka natężenia światła – kandela (cd) jest jedną z podstawowych jednostek międzynarodowego układu miar SI. Kandela jest to natężenie światła, którą ma w określonym kierunku źródło emitujące promieniowanie monochromatyczne o częstości 5,4 ∙ 1014 Hz i którego natężenie w tym kierunku jest równe (1/683)W/sr. Jednostką strumienia świetlnego jest lumen (lm). Jest on równy strumieniowi świetlnemu, emitowanemu przez źródło o natężeniu 1cd w kąt bryłowy 1 steradiana: 1lm = 1cd ∙ 1str Stopieo oświetlenia jakiejś powierzchni przez padające na nią światło określa wielkośd: 𝐄= 𝐝𝚽𝐩𝐚𝐝 𝐝𝐒 , 6.19 nazywa się oświetleniem (dΦ – strumieo świetlny padający na element powierzchni dS.). Jednostką oświetlenia jest lux (lx), który równy jest oświetleniu wywołanemu przez strumieo 1lm równomiernie rozłożony na powierzchni 1m2: 1lux 1lm :1m2 . Oświetlenie wywołane przez źródło punktowe można wyrazid przez natężenie oświetlenia I, odległośd r powierzchni oświetlanej od źródła i kąt α między normalną do powierzchni n i prostą w kierunku źródła. Na powierzchnię dS (Rysunek 21.33) pada strumieo dΦ = IdΩ, przypadający na kąt bryłowy dΩ oparty na powierzchni ds. Kąt dΩ jest równy dScosα/r2. Tak więc dΦ = I dScosα/r2. Dzieląc ten strumieo przez dS., otrzymujemy Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 𝐄= 29 𝐈𝐜𝐨𝐬𝛂 𝐫𝟐 dΩ 𝒏 𝒓 α dS Rysunek 21.33
