Centralne Twierdzenie Graniczne

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
MAEW104
PROJEKT (F)
ILUSTRACJA CENTRALNEGO TWIERDZENIA
GRANICZNEGO
Projekt wykonany przez studentów I roku ARI
Politechniki Wrocławskiej:
Natalia Czop
Dawid Dąbrowski
Aneta Górniak
Andrzej Jakubiec
Piotr Walczak
09 czerwca 2008
CENTRALNE
TWIERDZENIE
GRANICZNE
(CTG Lindeberga-Lévy’ego)
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Rozważmy zmienną losową postaci:
m – wartość oczekiwana
σ – pierwiastek z wariancji
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Sn
oznacza
, gdzie
Xi
są
niezależnymi zmiennymi losowymi o:
●
●
●
jednakowym rozkładzie
takiej samej wartości oczekiwanej m
skończonej wariancji σ 2 > 0
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Wtedy zmienna losowa o takiej postaci
zbiega według rozkładu do
standardowego rozkładu normalnego,
gdy n (liczba zmiennych losowych
tworzących daną sumę) rośnie do
nieskończoności.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Dla każdego
przy
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Gdzie:
to dystrybuanta standardowego rozkładu
normalnego
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
krzywa Gauss’a – funkcja gęstości prawdopodobieństwa standardowego rozkładu normalnego o wartości
oczekiwanej równej zeru i wariancji równej 1.
JAK DZIAŁA
CTG ?
Xi o rozkładzie Poissona
JAK DZIAŁA CTG?
 Losujemy
n liczb o takim samym
rozkładzie
tych n liczb normalizujemy
(aby rozkład zbiegał do rozkładu
normalnego o parametrach
m = 0, σ² = 1 )
 Sumę

Czynność powtarzamy N razy
JAK DZIAŁA CTG?
(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
JAK DZIAŁA CTG?
(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
JAK DZIAŁA CTG?
(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
JAK DZIAŁA CTG?
(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
ROZKŁAD POISSONA
To rozkład dyskretny
przedstawiający liczbę wystąpień
zjawiska w czasie t, w określonej
liczbie prób, gdy wystąpienia te
są niezależne od siebie.
ROZKŁAD POISSONA
JAK DZIAŁA CTG?
Rysujemy wykres:

Tworzymy histogram na podstawie
otrzymanych w wyniku błądzenia
losowego sum zmiennych losowych
sprawdzamy czy histogram
jest zbliżony do krzywej Gaussa.

JAK DZIAŁA CTG?
(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000)
JAK DZIAŁA CTG?
(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG?
(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG?
(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG?
(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG?
(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA
DO WYKRESU ROZKŁADU POISSONA
INNE PRZYKŁADY
ROZKŁADU XI
ROZKŁAD LAPLACE’A
(PODWÓJNIE WYKŁADNICZY)
Matematyczne zastosowania
rozkładu Laplace'a można
znaleźć w pracy Johnsona i
Kotza (Continuous univariate
distributions,1995).
ROZKŁAD
LAPLACE’A (PODWÓJNIE WYKŁADNICZY)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA
DO WYKRESU ROZKŁADU LAPLACE’A
ROZKŁAD PASCALA
(UJEMNY DWUMIANOWY)
Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa
opisujący czas oczekiwania na l-ty sukces .
Jeśli l to liczba sukcesów, k - liczba porażek,
a p – prawdopodobieństwo sukcesu
(w badanych próbach Bernoulliego)
to rozkład Pascala opisuje jakie jest
prawdopodobieństwo wystąpienia
l sukcesów w k+l próbach.
ROZKŁAD PASCALA (UJEMNY DWUMIANOWY)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA
DO WYKRESU ROZKŁADU PASCALA
ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY
Rozkład prawdopodobieństwa,
dla którego gęstość
prawdopodobieństwa na przedziale
(a,b) jest stała i różna od 0, a poza nim
równa 0 ( gdzie b > a )
ROZKŁAD
JEDNOSTAJNY
CIĄGŁY
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA
DO WYKRESU ROZKŁADU JEDNOSTAJNEGO
ROZKŁAD WYKŁADNICZY
Rozkład zmiennej losowej
opisujący sytuację, w której obiekt
może przyjmować stany X i Y,
przy czym obiekt w stanie X może
ze stałym prawdopodobieństwem
przejść w stan Y w jednostce czasu.
ROZKŁAD
WYKŁADNICZY
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA
DO WYKRESU ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO