8. Jowisz ma masę 318 razy większą od masy Ziemi, a jego promień

FI
Zestaw 8 – grawitacja i prawo Gaussa
18.12.2010
1. Jabłko, które spadło na Newtona z przyspieszeniem 9,81 m/s2 miało ciężar 2 N. Wiedząc, że
promień Ziemi wynosi 6,37⋅106 m, a stała grawitacyjna wynosi G = 6,67⋅10-11 N⋅m2/kg2 oblicz
masę Ziemi.
2. W przestrzeni kosmicznej, w jednorodnym polu grawitacyjnym o natężeniu Eg= 2 m/s2 porusza
się meteoryt o masie m = 150 kg. Jakie jest jego przyspieszenie ? Z jakim przyspieszeniem będzie
się poruszał dwukrotnie większy meteoryt ?
•2m
3. Oblicz wartość natężenia pola i potencjał pola w punkcie B, jaki
jest wytwarzany przez masy: m, 2m i 3m umieszczone w
wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku a.
•3m
°
B
4. Gdyby Księżyc posiadał 2 razy większą masę i znajdował się 2 razy dalej, to jaka byłaby
wówczas siła wzajemnego przyciągania Ziemi i Księżyca ?
m • a/2
5. Po tej samej orbicie wokół Marsa poruszają się bez napędu dwa satelity obserwacyjne o masach
M i 2M. Czy okres obiegu Marsa jest dla obu satelitów taki sam ?
6. Satelita obiega Ziemię po orbicie kołowej z okresem T = 12 h. Po zmianie parametrów lotu,
promień orbity zwiększył się czterokrotnie. Oblicz okres obiegu satelity na nowej orbicie.
7. Satelita geostacjonarny („wiszący” stale nad tym samym punktem Ziemi) krąży po orbicie
kołowej w płaszczyźnie równika. Wyprowadź wzór, który pozwoli na obliczenie promienia jego
orbity, jeżeli dana jest masa Ziemi M , stała grawitacji G i czas trwania doby ziemskiej T.
8. Jowisz ma masę 318 razy większą od masy Ziemi, a jego promień na równiku jest 11
razy większy od promienia równikowego Ziemi.
a) Zakładając, że można by stanąć na powierzchni Jowisza, podaj jaką masę miałby kosmonauta,
który na Ziemi waży 800 N ?
b) Jaki byłby jego ciężar na Jowiszu ?
9. Sonda kosmiczna została wystrzelona z Ziemi z II prędkością kosmiczną.
A. W jakiej odległości od powierzchni Ziemi sonda straci połowę swojej początkowej energii
kinetycznej ?
B. Jaką w tym punkcie będzie miała prędkość ?
C. Na jaką odległość będzie mogła dolecieć ta sonda, od miejsca w którym jej prędkość zmaleje
do I prędkości kosmicznej ?
10. Stacja orbitalna krąży wokół Ziemi na wysokości H = 150 km. Należy oddalić ją od Ziemi na
odległość dwa razy większą. Po jakim torze należy przesuwać stację, aby wykonać najmniejszą
pracę ? Oblicz wartość tej pracy.
A) wzdłuż promienia orbity,
B) po spirali o możliwie dużej liczbie zwoi,
C) po spirali w czasie jednego okrążenia Ziemi,
D) po dowolnej drodze.
11. Wokół planety o masie M i promieniu R krążą dwa satelity badawcze: jeden na niskiej orbicie
– w odległości h od powierzchni planety, a drugi na wysokiej orbicie – w odległości H (gdzie H
= 4h) od planety. Który z nich ma większą prędkość liniową ? UZASADNIJ odpowiedź: a)
wyprowadzając wzór na szukana prędkość, b) korzystając z sił działających w układzie
nieinercjalnym, związanym z satelitą, c) oblicz energie tych satelitów.
12. Statek kosmiczny lecący na Księżyc znalazł się w pewnym momencie w takim punkcie, że siły
oddziaływania Ziemi i Księżyca zrównoważyły się. Odległość środków Ziemi i Księżyca
wynosiła w tym momencie 4⋅108m. Wiedząc, że masa Ziemi jest 81 razy większa od masy
księżyca oblicz w jakiej odległości od Ziemi znalazł się statek kosmiczny.
13. Ciało znajdujące się w odległości 2R od kulistej planety o promieniu R i gęstości δ należy
przenieść daleko poza granice tamtego układu słonecznego. Mając powyższe dane i stałą
grawitacji G oblicz jaką pracę należy wykonać ?
14. Okres obiegu Merkurego wokół Słońca wynosi 88 dni ziemskich. Oblicz promień jego orbity.
15. Księżyc Marsa Phobos obiega planetę w ciągu0,32 doby ziemskiej, po orbicie zbliżonej do
okręgu o promieniu 9380 km. Mając daną stałą grawitacji G oblicz masę Marsa i określ ile razy
jest ona mniejsza od masy Ziemi.
16. Masa Wenus stanowi 81,5% masy Ziemi. Oblicz promień orbity sztucznego satelity Wenus, który
okrążał ją co 3⅓ minuty. Dane G.
17. Masa planetoidy Ceres stanowi 2⋅10-4 masy Ziemi, a jej średnica jest równa 960 km. Mając dane
przyspieszenie ziemskie g = 10 m/s2 oblicz:
a. Ile ważyłby na Ceres kosmonauta o masie 80 kg ?
b. Ile razy dłużej spadają ciała na Ceres niż na Ziemi ?
c. Ile wynosi prędkość ucieczki z powierzchni planetoidy (porównaj ją z VII dla Ziemi.
18. Oblicz jaki promień miałoby Słońce gdyby było czarna dziurą (oblicz promień tzw. horyzontu
zdarzeń dla Słońca).
19. Dwie planety: 1 i 2 obiegają gwiazdę po orbitach kołowych, poruszając się z szybkościami
odpowiednio v1 = 20 km/s i v2 = 60 km/s. Która z nich porusza się po orbicie o większym
promieniu ? Oblicz stosunek promieni orbit.
20. W odległości 4R od środka kuli o promieniu R i gęstości ρ, znajduje się nieskończona
płaszczyzna o gęstości λ. Korzystając z prawa Gaussa wyznacz, w jakiej odległości od środka
kuli natężenie pola grawitacyjnego jest równe zero.
21. A) Oblicz zależność natężenia pola grawitacyjnego g od odległości r od środka jednorodnej kuli
o masie M i promieniu R . B) Oblicz wartość pracy, jaka jest potrzebna na wydobycie niewielkiej
masy m ze środka kuli na jej powierzchnię
22. Do środka jednorodnej planetoidy krążącej w układzie
planetarnym odległej gwiazdy, wydrążono z powierzchni
pionowy szyb jak na rysunku. W środku kulistej
planetoidy o promieniu ośmiokrotnie mniejszym od
promienia Ziemi, umieszczono stację badawczą aby
ochronić ja przed silnym, szkodliwym promieniowaniem
Rp
gwiazdy.
Na
powierzchni
planetoidy
panuje
przyciąganie równe 1/10 przyciągania ziemskiego g.
Rakiety obserwacyjne są wystrzeliwane ze stacji
zarówno na orbitę planetoidy, jak i umieszczane są na
orbicie wokół gwiazdy.
A. Oblicz natężenia pola grawitacyjnego mierzone na
stacji badawczej, na powierzchni planetoidy i na
orbicie na wysokości równej promieniowi planetoidy.
B. Naszkicuj wykres zależności natężenia pola grawitacyjnego od odległości od stacji badawczej.
C. Oblicz szybkość jaką należy nadać na stacji rakiecie, aby dotarła ona na niska orbitę nad
powierzchnią planetoidy.
23. W jednorodnej kuli o promieniu R i gęstości ρ,
wykonano kuliste wydrążenie o promieniu r=1/3 R
przylegające do powierzchni dużej kuli. Korzystając z
prawa Gaussa oblicz natężenie pola grawitacyjnego w
punkcie P, odległości R od powierzchni kuli, oraz w
środku kuli w punkcie O.
O•
•P
24. Kosmonauta o masie m wylądował na kulistej, jednorodnej planetoidzie o promieniu R. Na jej
powierzchni ważył 8-krotnie mniej niż na Ziemi. Dane jest przyspieszenie ziemskie g oraz stała
grawitacji G.
a. Podaj prawo Gaussa dla grawitacji oraz krótko je objaśnij.
b. Oblicz jak zmieniało się natężenie pola grawitacyjnego mierzone przez kosmonautę w trakcie
lądowania, w funkcji odległości r od środka planetoidy.
c. Drążąc pionową studnię w planetoidzie, kosmonauta znalazł się na głębokości h =R/6
pod powierzchnią planetoidy. Korzystając z prawa Gaussa, oblicz, ile w tym miejscu
ważył kosmonauta.
d. Korzystając ze związku natężenia pola i potencjału pola, oblicz różnicę energii potencjalnej
kosmonauty na powierzchni i we wnętrzu studni.
e. Oblicz z jaką szybkością krąży statek-baza kosmonauty, znajdujący się na kołowej orbicie w
odległości x = 2R od powierzchni planetoidy.
f. Oblicz, korzystając z definicji, pracę jaką muszą wykonać silniki lądownika o masie
całkowitej ML, aby wynieść go na orbitę do statku-bazy.
25. Uczeń cukiernika upiekł makowiec w kształcie bardzo, bardzo długiego, idealnego walca niestety z zakalcem. Gęstość tego makowca o promieniu R można opisać w uproszczeniu funkcją
σ = A(1-r/R), gdzie A - stała makowcowa. Z jaką siłą przyciąga ten makowiec punktowy pączek
o masie m umieszczony w odległości 3R od osi makowca ?