ωωωωω - E-SGH

Ćwiczenia nr 3
dr Anita Abramowska-Kmon
mgr Sylwia Timoszuk
Zmienna losowa i jej rozkład. Rozkład dwumianowy. Rozkład normalny.
Zad. 1. Na zbiorze zdarzeń elementarnych Ω = {ω1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 } zdefiniowano zmienną losową w
następujący sposób:, X(ω1)=0, X(ω2)=X(ω3)= X(ω4)=1, X(ω5)=2, zdarzenia elementarne są jednakowo
prawdopodobne. Proszę: a) wyznaczyć rozkład tak zdefiniowanej zmiennej losowej, (określić funkcję
prawdopodobieństwa); b) podać parametry rozkładu; c) wyznaczyć i przedstawić graficznie
dystrybuantę tej zmiennej losowej.
Zad. 2. Zmienna losowa X ma rozkład:
xi
-1
0
1
2
P(xi)
0,1
0,4
0,2
0,3
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y=X2+1
Zad. 3. Ostatnie badania przeprowadzone w Wielkiej Brytanii wykazały, że 7 na 10 Brytyjczyków żyje
w ciągłym stresie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w grupie 5 Anglików: a) będą 3 osoby
„zestresowane”; b) nie będzie żadnej osoby „zestresowanej”.
Zad. 5. Wzrost pracowników agencji ochrony ma rozkład normalny o parametrach N(180, 10). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że przypadkowo spotkany pracownik ochrony będzie miał: a) mniej niż
185 cm wzrostu, b) dokładnie 180 cm wzrostu, c) jego wzrost będzie w przedziale od 180 cm do 190
cm?
Zad. 6. W pewnej uczelni stypendium naukowe otrzymuje 30% studentów o najwyższej średniej
ocen. Jaką średnią ocen powinien mieć kandydat do stypendium jeśli wiadomo, że rozkład ocen jest
rozkładem normalnym N(4,0 ; 0,5).
Zad. 7. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej:
xi
-2
-1
0
1
2
F(xi)
0,10
0,25
0,65
0,85
1
Proszę podać parametry rozkładu tej zmiennej losowej oraz wyznaczyć dominantę i medianę.
Zad. 8. Zmienna losowa X ma rozkład N(m; σ ). Proszę obliczyć:
P(m − σ < X < m + σ ) ;
P ( m − 2σ < X < m + 2σ ) ; P ( m − 3σ < X < m + 3σ ) .
Jak zmienią się powyższe prawdopodobieństwa, jeśli zmienna losowa X, będzie miała rozkład N(20;
8)?
Zad. 9. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej zero. Wyznaczyć
odchylenie standardowe tej zmiennej, jeśli wiadomo, że przyjmuje ona wartości nie większe niż 3
z prawdopodobieństwem równym 0,95.
Zad. 10. Prędkość samochodów na pewnym odcinku autostrady ma rozkład normalny o
parametrach (100; 10) km/h. a) Jaki procent przejeżdżających samochodów przekracza
dopuszczalną prędkość wynoszącą 110km/h? b) Jaką minimalną prędkość osiąga 25% samochodów
jadących najszybciej?
Zad. 11. Zmienna losowa ma rozkład N(10; 1). Podaj dominantę, medianę i kwartyle tej zmiennej
losowej.
Zad. 12. Czas dojazdu na uczelnię pewnego asystenta (w min) jest zmienną o rozkładzie normalnym
N( 40, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) dojedzie on na uczelnię w ciągu mniej niż 30 min,
b) dojazd na uczelnię zajmie mu więcej niż 42 min, c) podróż na uczelnię będzie trwała więcej niż 35
min, d) jazda w stronę uczelni będzie trwała od 30 do 45 min?
1
Ćwiczenia nr 3
dr Anita Abramowska-Kmon
mgr Sylwia Timoszuk
Zmienna losowa i jej rozkład. Rozkład dwumianowy. Rozkład normalny.
Zad. 13. Wiadomo, że 20% studentów spóźnia się na zajęcia. Wyznacz prawdopodobieństwo tego,
że spośród 5 losowo wybranych studentów co najwyżej jeden spóźni się na zajęcia.
Zad. 14. Jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą 100 i
odchyleniem standardowym równym 40, to dla jakiej wartości x prawdopodobieństwo, że X będzie
mniejsze od x jest równe 0,56? Odp. 106.
Zad. 15. Zmienna losowa X ma rozkład N(20; 2). Znajdź taką wartość, żeby prawdopodobieństwo, że
zmienna przekroczy tę wartość było równe 0,85. Odp. 17,9.
Zad. 16. Znajdź takie dwa punkty położone symetrycznie po obu stronach wartości oczekiwanej,
żeby pole pod krzywą normalną o średniej 100 i odchyleniu standardowym 5 między tymi punktami
miało miarę 0,98. Odp. 88,4 oraz 111,6.
Zad. 17. Dla X:N(40, 5) znajdź takie wartości x1 i x2 leżące symetrycznie po obu stronach średniej,
żeby zachodziła równość: P( x1 < X < x2 ) = 0,99 . Odp. 27,1 oraz 52,9.
Zad. 18. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą 100
i odchyleniem standardowym równym 10. Znajdź takie x, żeby P (102 < X < x) = 0,05 . Odp.
x=103,3.
Zad. 19. Prawdopodobieństwo, że sprzęt zakupiony w pewnym sklepie AGD nie trafi do właściciela
wynosi 0,25. Ekipa transportowa ma dowieźć 6 lodówek do nowych właścicieli. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że: wszystkie lodówki trafią na miejsce, b) będą 2 pomyłki, c) będą co
najmniej 3 pomyłki.
Zad. 20. Zmienna losowa X ma rozkład normalny, X:N(15;2). Wyznaczyć prawdopodobieństwo
następujących zdarzeń: a) P( X ≥ 12) ; b) P( X ≤ 10) ; c) P(13 < X < 17 ) ; d) P( X = 14) .
Zad. 21. Zmienne losowe X i Y są niezależne: X~N(27;8), Y~N(31; 6). Oblicz prawdopodobieństwo,
że: a) suma tych zmiennych losowych nie przekroczy 50; b) zmienna losowa Z=X-Y-3 przyjmie
wartość nie mniejszą niż 13.
Zad. 22. Zmienna losowa X ma rozkład N(18; 6), zaś Y~N(19; 4). Oblicz prawdopodobieństwo, że
zmienna losowa X przyjmie mniejszą wartość niż zmienna losowa Y.
Zad. 23. Zmienna losowa ma rozkład normalny N(80; 16). Należy obliczyć: a) prawdopodobieństwo
P(X>48) i wynik przedstawić graficznie, b) kwartyl trzeci w tym rozkładzie.
2