Wnioskowanie statystyczne

Wnioskowanie statystyczne
dr Ewa Putek-Szeląg
Katedra Ekonometrii i Statystyki
e-mail: [email protected]
Tel. (91) 444 19 63
Konsultacje: czwartek godz. 1000–1200, pok. 212
Wnioskowanie statystyczne
Literatura:
1.
Hozer J., Kolanko E., Korol M., Lasota B., Witek M., Statystyka. Część II. Wnioskowanie statystyczne,
Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin 1994.
2.
3.
Jóźwiak J., Podgórski J., Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2006,
Aczel A. D., Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000 .
4.
5.
Greń J., Statystyka matematyczna, modele i zadania, PWN, Warszawa 1987
Balicki A., Makać W., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego,
6.
Gdańsk 2007.
Luszniewicz A., Statystyka nie jest trudna. Metody wnioskowania statystycznego, PWE, Warszawa 1999.
7.
8.
Domański C.,Testy statystyczne, PWE, Warszawa 1990.
Fisz M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1976.
9. Domański C., Pruska K., Nieklasyczne metody statystyczne, PWE, Warszawa 2000.
10. Bąk I., Markowicz I., Mojsiewicz M., Wawrzyniak K., Statystyka w zadaniach. Cz. II, Wydawnictwo
Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.
11. Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna w zadaniach. Część 2. Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 2002.
12. Bąk I., Markowicz I., Mojsiewicz M., Wawrzyniak K., Wzory i tablice statystyczne, Katedra Ekonometrii
i Statystyki US, Stowarzyszenie Pomoc i Rozwój, Szczecin 1997.
Wnioskowanie statystyczne
Właściwości prawdopodobieństwa:
(c)
(b)
(a)
A
A
AiB
A*B
B
A lub B
(A+B)
~A
A+(~A)=W
(d)
A
(e)
B
Zdarzenia rozłączne A, B
W
Zdarzenie pewne W
(suma wszystkich
zdarzeń możliwych)
Jeśli A, B, .. są zdarzeniami rozłącznymi (wykluczają się wzajemnie) to
P(A  B  …) = P(A) + P(B) + ...
(patrz rysunek d)
Jeśli W jest zdarzeniem pewnym to
P(W) = 1
(patrz rysunek e)
Stąd wynika, że dla dowolnego zdarzenia A
0  P(A)  1
P(A’) = 1 - P(A)
(patrz rysunek a)
Dla dowolnych zdarzeń A i B
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
(patrz rysunki b, c)
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
1. W sklepie znajdują się magnetowidy trzech firm: I, II, III: 3 razy tyle magnetowidów firmy I co
magnetowidów firmy II, a 5 razy tyle magnetowidów firmy I co magnetowidów firmy III. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo magnetowid, trafimy na magnetowid firmy II?
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że trafimy na magnetowid firmy II.
Oznaczmy ilość magnetowidów firmy II przez x. Wtedy magnetowidów firmy I będzie 3x,
a firmy III będzie 3/5x magnetowidów. Stąd szukane prawdopodobieństwo jest równe:
P( A) 
m
x
x
5



n x  3x  3 x 23 x 23
5
5
2. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie parzysta liczba oczek?
W – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A – {2, 4, 6}
P(A) 
m 3 1
 
n 6 2
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
Żarówki są produkowane w 3 fabrykach. Z fabryki pierwszej pochodzi 25% produkcji, z fabryki drugiej
35% produkcji a z trzeciej 40%.
Produkcja wadliwa wynosi odpowiednio: dla fabryki I – 5%, dla fabryki II – 4%, dla fabryki III – 2%.
Wybrana żarówka okazała się wadliwa – jakie jest prawdopodobieństwo, ze pochodzi ona z fabryki
pierwszej?
Zakładamy:
B1 – wybrana żarówka pochodzi z fabryki I,
B2 – wybrana żarówka pochodzi z fabryki II,
B3 – wybrana żarówka pochodzi z fabryki III,
A – wybrana żarówka jest wadliwa.
Szukamy P(B1A).
Mamy: P(B1) = 0,25; P(B2) = 0,35; P(B3) = 0,40; P(AB1) = 0,05; P(AB2) = 0:04; P(AB3) = 0:02
PB1 A  
0,25  0,05
 0,3623
(0,25  0,05)  (0,35  0,04)  (0,4  0,02)
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10
zł, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia w wysokości 1 zł, a za wyciągnięcie pozostałych
płacimy 2 zł. Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne.
Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych W = {1, 2, ..., 10} i jest skończona.
Określmy funkcję X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną, gdzie A = {-2, 1, 10}.
Zauważmy, że X(1) = 10, X(2) = X(3) = 1, X(4) = X(5) = ... = X(10) = -2.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
wartość zmiennej losowej
-2
1
10
prawdopodobieństwo
0,7
0,2
0,1
Dystrybuanta zmiennej losowej X
x  2
 F( x )  P(X  x ) 
p
xi x
 2  x 1
 F( x ) 
p
xi x
1  x  10
 F( x ) 
p
xi x
x  10
 F( x ) 
0
i
 p1  0,7
i
 p1  p 2  0,9
p
xi x
i
i
 p1  p 2  p 3  1
 0 dla x  2
0,7 dla  2  x  1

F( x )  
0,9 dla 1  x  10
 1 dla x  10
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X
x
(– ∞, 0]
(0, 1]
(1, 3]
(3, 6]
(6, +∞)
0
1/3
1/2
5/6
1
F(x)
Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
1
1
p1  PX  0  lim Fx   F0   0 
x 0
3
3
p 2  PX  1  lim Fx   F1 
1 1 1
 
2 3 6
p 3  PX  3  lim Fx   F3 
5 1 1
 
6 2 3
x 1
x 3
p 4  PX  6  lim Fx   F6  1 
x 6
5 1

6 6
xi
0
1
3
6
pi
1/3
1/6
1/3
1/6
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
W loterii wypuszczono 500 losów, w tym jeden los z wygraną 1000 zł, pięć losów z wygraną po 200 zł i
dwadzieścia losów – po 50 zł. Określić rozkład zmiennej losowej X, będącej wielkością możliwej
wygranej osoby, która kupiła jeden los. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe tak
określonej zmiennej losowej.
Jeżeli zmienna losowa X jest wielkością wygranej właściciela jednego losu to przyjmie wartości 0,
50, 200 lub 1000. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez X wartości 1000 jest równe 1/500, wartości
200 wynosi 5/500, wartości 50 jest równe 20/500 a wartości 0, czyli bez wygranej 474/500.
Rozkład zmiennej losowej można przedstawić w tabeli:
xi
0
50
200
1000
pi
0,948
0,040
0,010
0,002
E(X)  0  0,948  50  0,040  200  0,010  1000  0,002  0  2  2  2  6
D 2 (X)  0 2  0,948  50 2  0,040  200 2  0,010  1000 2  0,002  36  100  400  2000  36  2464
Wartość oczekiwana oznacza, że średnia wygrana właściciela jednego losu wynosi 6 zł. Odchylenie
standardowe równe około 49,6 zł oznacza, że wygrana właściciela jednego losu przeciętnie odchyla się
od średniej o prawie 50 zł.
Wnioskowanie statystyczne
Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej
Typ
rozkładu
zero –
jedynkowy
dwumianowy
Poissona
hipergeometryczny
Funkcja rozkładu
P( X  x i )
Dystrybuanta
Parametry
E(X), D(X)
p
p(1  p)
P ( X  x)
P( X  1)  p
P( X  0)  q  1  p
P( X  k ) 
 nk  p k q n  k
k 
P( X  k ) 
e
k!
 Mk  Nn  kM 
P( X  k ) 
 Nn 
P( X  k ) 
k 1

r0
 p q
n
r
r
nr
k 1
r  
P( X  k )  
e
r
!
r0
P( X  k ) 
  
r0
 Nn 
k 1 M
r

np
npq


np
NM
nr
np
Nn
N 1
Wnioskowanie statystyczne
Prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom (realizacjom zmiennej losowej X) są
następujące:
5!
1  0,59  1 1  0,59  0,59
0!(5  0)!
5!
P(X  1)  (15 )(0,1)1 (0,9) 4 
 0,1  0,66  5  0,1  0,66  0,33
1!(5  1)!
5!
P(X  2)  ( 52 )(0,1) 2 (0,9) 3 
 0,01  0,73  10  0,01  0,73  0,073
2!(5  2)!
5!
P(X  3)  ( 53 )(0,1) 3 (0,9) 2 
 0,001  0,81  10  0,001  0,81  0,0081
3!(5  3)!
5!
P(X  4)  ( 54 )(0,1) 4 (0,9)1 
 0,0001  0,9  5  0,0001  0,9  0,00045
4!(5  4)!
5!
P(X  5)  ( 55 )( 0,1) 5 (0,9) 0 
 0,00001 1  1  0,00001 1  0,00001
5!(5  5)!
P(X  0)  ( 50 )(0,1) 0 (0,9) 5 
P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,0081 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856
Możliwe jest również wyznaczenie prawdopodobieństwa w oparciu o dystrybuantę
P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1 – F(2)
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200
losowaniach, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji
ludzi wynosi 0,05.
Ponieważ spełnione są warunki: p = 0,05 < 0,1 oraz N = 200 > 50, zatem mamy do czynienia z
rozkładem Poissona. Wówczas
  0,05  200  10
P0  k  3  Pk  0  Pk  1  Pk  2  Pk  3
1
2
3
100
10 10
10 10
10 10
P0  k  3  e
e
e
e

0!
1!
2!
3!
100 10 1000 10
500 10
 e 10  10e 10 
e 
e  e 10  10e 10  50e 10 
e 
2
6
3
10

683 10 683
683
683
e 


 0,011
10
3
3 e
3  20589 61767
Prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych wynosi 0,011.
Wnioskowanie statystyczne
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Typ
rozkładu
równomierny
Funkcja gęstości f(x)
Dystrybuanta F(x)
 1

,a  x b
f ( x)   b  a
0, dla pozosta ł ych x
0,
xa
 x  a
F( x)  
,axb
b

a

1,
xb
x
 1 x



F( x)  1  e  , x  0
f ( x)    e , x  0
wykładniczy
0 , poza tym
0 , dla pozosta ł ych x
( x  )2
normalny
f ( x) 
1
 2
e
22
  x 
F( x) 
1
 2
2
x  ( x )
2
e 2 dx


Parametry
E(X), D(X)
ab
2
(b  a)2
12
,
, 
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład równomierny (prostokątny, jednostajny) jest najprostszym rozkładem zmiennej losowej typu
ciągłego. Rozkład ten bywa czasem stosowany w sytuacji, gdy można przypuszczać, że każda wartość
zmiennej w pewnym przedziale liczbowym jest jednakowo możliwa.
Rozkład wykładniczy jest jedynym rozkładem ciągłym, który ma własność zwaną brakiem pamięci.
Własność tę można interpretować następująco: jeżeli zmienna losowa X jest czasem bezawaryjnej pracy
pewnego elementu o rozkładzie wykładniczym, to niezależnie od dotychczasowego czasu pracy elementu,
dalszy czas pracy nie zależy od „przeszłości” i ma taki sam rozkład, co całkowity czas pracy elementu.
Wnioskowanie statystyczne
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach  oraz , co w skrócie zapisuje się jako
X: N(, ), jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:
f unkcja gęstości
1
e
 2
( x  )
2 2
0,4
, gdzie    x   i   0
0,3
f(x)
f (x) 

2
0,2
0,1
0
-4
-3
-2
Dystrybuantą zmiennej losowej X mającej
rozkład normalny jest funkcją F(x) określona na
zbiorze liczb rzeczywistych o postaci:
-1
0
1
2
3
4
dystrybuanta rozkładu normalnego
1
0,8
x
1
F( x ) 
e

 2  

f(x)
0,6
( t  )2
2 2
0,4
dt
0,2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Wnioskowanie statystyczne
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:
– jest symetryczna względem prostej x =  (osią symetrii jest prosta pionowa przechodząca przez
punkt x = μ), jest rosnąca dla x < μ, a malejąca dla x > μ
– w punkcie x =  osiąga wartość maksymalną
– ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x =  - σ oraz x =  + σ
– kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów:  i σ. Parametr  decyduje o
przesunięciu krzywej, natomiast parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej (im mniejsza jest
wariancja/odchylenie standardowe, tym wykres gęstości prawdopodobieństwa jest bardziej
wysmukły)
0,5
N(0,1)
N(3,1)
N(0,2)
N(3,2)
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Wnioskowanie statystyczne
Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu normalnego wyrażane są następującymi wzorami:

E(X)   x


1
e
 2
D 2 ( X )   ( x  ) 2


( x  ) 2
22
dx  
1
e
 2

( x  ) 2
22
dx   2
Wartość  jest to taka wartość zmiennej losowej X, wokół której skupiają się wyniki wielokrotnych
realizacji tej zmiennej. Innymi słowy, oczekuje się (ma się nadzieję), że wielokrotne realizacje zmiennej
losowej X będą skupiały się wokół liczby .
Wnioskowanie statystyczne
Reguła trzech sigm
Funkcja gęstości rozkładu normalnego ma zastosowanie do reguły „trzech sigma”, którą następnie
rozwinięto na regułę „sześć sigma” – stosowaną w kontroli jakości, przede wszystkim w USA (np. General
Electric, General Motors Company)
Reguła trzech sigma – jeżeli zmienna losowa ma
rozkład normalny to:
– 68,3 % populacji mieści się w przedziale
( - σ;  + σ)
– 95,5 % populacji mieści się w przedziale
( - 2σ;  + 2σ)
– 99,7 % populacji mieści się w przedziale
( - 3σ;  + 3σ)
Reguła ta ma duże znaczenie w teorii błędów
obserwacji, bowiem błędy przypadkowe pomiarów tej
samej wielkości fizycznej zwykle tak się rozkładają, że
wyniki tych pomiarów mają rozkład normalny. Rozkład
ten nie wystąpi, gdy popełniony zostanie tendencyjny
błąd systematyczny.
Wnioskowanie statystyczne
Tablica dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1) → dla u =1,64  Fu = 1,64) = Fu = 1,64 = 0,949497
u
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
0
0,500000
0,539828
0,579260
0,617911
0,655422
0,691462
0,725747
0,758036
0,788145
0,815940
0,841345
0,864334
0,884930
0,903199
0,919243
0,933193
0,945201
0,955435
0,964070
0,971284
0,977250
0,982136
0,986097
0,989276
0,991802
0,993790
0,995339
0,996533
0,997445
0,998134
0,998650
0,01
0,503989
0,543795
0,583166
0,621719
0,659097
0,694974
0,729069
0,761148
0,791030
0,818589
0,843752
0,866500
0,886860
0,904902
0,920730
0,934478
0,946301
0,956367
0,964852
0,971933
0,977784
0,982571
0,986447
0,989556
0,992024
0,993963
0,995473
0,996636
0,997523
0,998193
0,998694
0,02
0,507978
0,547758
0,587064
0,625516
0,662757
0,698468
0,732371
0,764238
0,793892
0,821214
0,846136
0,868643
0,888767
0,906582
0,922196
0,935744
0,947384
0,957284
0,965621
0,972571
0,978308
0,982997
0,986791
0,989830
0,992240
0,994132
0,995603
0,996736
0,997599
0,998250
0,998736
0,03
0,511967
0,551717
0,590954
0,629300
0,666402
0,701944
0,735653
0,767305
0,796731
0,823814
0,848495
0,870762
0,890651
0,908241
0,923641
0,936992
0,948449
0,958185
0,966375
0,973197
0,978822
0,983414
0,987126
0,990097
0,992451
0,994297
0,995731
0,996833
0,997673
0,998305
0,998777
0,04
0,515953
0,555670
0,594835
0,633072
0,670031
0,705402
0,738914
0,770350
0,799546
0,826391
0,850830
0,872857
0,892512
0,909877
0,925066
0,938220
0,949497
0,959071
0,967116
0,973810
0,979325
0,983823
0,987455
0,990358
0,992656
0,994457
0,995855
0,996928
0,997744
0,998359
0,998817
0,05
0,519939
0,559618
0,598706
0,636831
0,673645
0,708840
0,742154
0,773373
0,802338
0,828944
0,853141
0,874928
0,894350
0,911492
0,926471
0,939429
0,950529
0,959941
0,967843
0,974412
0,979818
0,984222
0,987776
0,990613
0,992857
0,994614
0,995975
0,997020
0,997814
0,998411
0,998856
0,06
0,523922
0,563559
0,602568
0,640576
0,677242
0,712260
0,745373
0,776373
0,805106
0,831472
0,855428
0,876976
0,896165
0,913085
0,927855
0,940620
0,951543
0,960796
0,968557
0,975002
0,980301
0,984614
0,988089
0,990863
0,993053
0,994766
0,996093
0,997110
0,997882
0,998462
0,998893
0,07
0,527903
0,567495
0,606420
0,644309
0,680822
0,715661
0,748571
0,779350
0,807850
0,833977
0,857690
0,878999
0,897958
0,914656
0,929219
0,941792
0,952540
0,961636
0,969258
0,975581
0,980774
0,984997
0,988396
0,991106
0,993244
0,994915
0,996207
0,997197
0,997948
0,998511
0,998930
0,08
0,531881
0,571424
0,610261
0,648027
0,684386
0,719043
0,751748
0,782305
0,810570
0,836457
0,859929
0,881000
0,899727
0,916207
0,930563
0,942947
0,953521
0,962462
0,969946
0,976148
0,981237
0,985371
0,988696
0,991344
0,993431
0,995060
0,996319
0,997282
0,998012
0,998559
0,998965
0,09
0,535856
0,575345
0,614092
0,651732
0,687933
0,722405
0,754903
0,785236
0,813267
0,838913
0,862143
0,882977
0,901475
0,917736
0,931888
0,944083
0,954486
0,963273
0,970621
0,976705
0,981691
0,985738
0,988989
0,991576
0,993613
0,995201
0,996427
0,997365
0,998074
0,998605
0,998999
Wnioskowanie statystyczne
W celu obliczenia prawdopodobieństwa P(a < X  b) należy skorzystać ze standaryzacji. Jeśli zmienna
losowa X ma rozkład N(,  to zmienna standaryzowana u ma rozkład N(0,1), czyli:
 a   X   b  
 b  
 a  
P ( a  x  b)  P


  F
  F
.
 
  
  

 
b  
 a    należy odczytać w tablicach dystrybuanty standaryzowanego
Wartości F
 oraz F

  
  
rozkładu normalnego.
Przykład
Dany jest rozkład zmiennej losowej X o parametrach N(15; 5). Obliczyć:
a) P(X<12)
b) P(X>14)
c) P{12 < X < 14}
 12  15
  Fu   0,6  0,2743
a) P{X < 12} = Fu 
5 
 14  15
  1  Fu   0,2  1  0,4207  0,5793
b) P{X > 14} = 1 – P{X < 14}= 1 – Fu 
5 
 14  15
 12  15
F

F


  Fu   0,2  Fu   0,6  0,4207  0,2743  0,1464
c) P{12 < X < 14} = u 
u
 5 
5 
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny N(165,15). Oznacza to, iż zmienna losowa jaką jest
wzrost kobiet ma rozkład normalny ze średnią równą 165 cm i odchyleniem standardowym równym 15 cm.
Jaki jest udział w populacji kobiet o wzroście:
a)
do 160 cm,
b)
w przedziale 165-170 cm,
c)
powyżej 175 cm.
 160  165 
a ) P(X  160)  Fu 
  Fu (0,33)  1  Fu (0,33)  1  0,6293  0,3707
 15

 170  165 
 165  165 
b) P(165  X  170)  Fu 
  Fu 
  Fu (0,33)  Fu (0)  0,6293  0,5  0,1293
15
15




 175  165 
c) P(X  175)  1  P( U  175)  1  Fu 
  1  Fu 0,67   1  0,748571  0,251429
15


Wnioskowanie statystyczne
Przykład
Zmienna losowa X ma rozkład N(20; 5). Obliczyć ki, wiedząc, że
a) P{X  k1}  0,8849
b) P{X  k 2 }  0,6554
c) P{X    k 4 }  0,0,00511
a) P{X  k1}  0,8849
k1  20
 k1  20
Fu 
 1,2  k1  26
  0,8849 
 5 
5
b) P{X  k 2 }  0,6554  1  P{X  k 2 }  0,6554  P{X  k 2 }  0,3446
k 2  20
 k 2  20 
Fu 
 0,4  k 2  18
  0,3446 
 5 
5
c) P{X    k 4 }  1  P{X    k 4 }  0,0,00511  P{ k 4  X    k 4 }  0,99489
k 
 k  20  20 
  k  20  20 
Fu  4
  Fu  4
  0,99489  2  Fu  3   1  0,99489 
5
5




 5
k
k 
Fu  3   0,99744  3  2,8  k 3  14
5
 5
Wnioskowanie statystyczne
poziom
istotności
l.ss
1
2
3
4
5
0,99
0,975
0,95
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
0,000
0,020
0,115
0,297
0,554
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
0,064
0,446
1,005
1,649
2,343
0,148
0,713
1,424
2,195
3,000
0,275
1,022
1,869
2,753
3,656
0,455
1,386
2,366
3,357
4,351
0,708
1,833
2,946
4,045
5,132
1,074
2,408
3,665
4,878
6,064
1,642
3,219
4,642
5,989
7,289
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
5,024
7,378
9,348
11,143
12,832
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
5,024
7,378
9,348
11,143
12,832
6
7
8
9
10
0,872
1,239
1,647
2,088
2,558
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
3,070
3,822
4,594
5,380
6,179
3,828
4,671
5,527
6,393
7,267
4,570
5,493
6,423
7,357
8,295
5,348
6,346
7,344
8,343
9,342
6,211
7,283
8,351
9,414
10,473
7,231
8,383
9,524
10,656
11,781
8,558
9,803
11,030
12,242
13,442
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
11
12
13
14
15
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
5,578
6,304
7,041
7,790
8,547
6,989
7,807
8,634
9,467
10,307
8,148
9,034
9,926
10,821
11,721
9,237
10,182
11,129
12,078
13,030
10,341
11,340
12,340
13,339
14,339
11,530
12,584
13,636
14,685
15,733
12,899
14,011
15,119
16,222
17,322
14,631
15,812
16,985
18,151
19,311
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
16
17
18
19
20
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
11,152
12,002
12,857
13,716
14,578
12,624
13,531
14,440
15,352
16,266
13,983
14,937
15,893
16,850
17,809
15,338
16,338
17,338
18,338
19,337
16,780
17,824
18,868
19,910
20,951
18,418
19,511
20,601
21,689
22,775
20,465
21,615
22,760
23,900
25,038
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
Wnioskowanie statystyczne
α
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,001
k
1
0
,
1
5
8
0
,
3
2
5
0
,
5
1
0
0
,
7
2
7
1
,
0
0
0
1
,
3
7
6
1
,
9
6
3
3
,
0
7
8
6
,
3
1
4
7
,
0
2
6
7
,
9
1
6
9
,
0
5
8
2
0
,
1
4
2
0
,
2
8
9
0
,
4
4
5
0
,
6
1
7
0
,
8
1
6
1
,
0
6
1
1
,
3
8
6
1
,
8
8
6
2
,
9
2
0
3
,
1
0
4
3
,
3
2
0
3
,
5
7
8
1
3
0
,
8
,
5
9
7
6
9
1
4
2
,
3
,
7
0
0
3
6
1
4
5
,
8
,
8
4
9
9
4
2
5
1
,
6
,
2
4
0
3
5
3
6
1
,
9
,
8
6
2
5
1
6
9
3
,
9
,
6
2
5
5
6
6
3
3
6
3
0
,
1
3
7
0
,
2
7
7
0
,
4
2
4
0
,
5
8
4
0
,
7
6
5
0
,
9
7
8
1
,
2
5
0
1
,
6
3
8
2
,
3
5
3
2
,
4
7
1
2
,
6
0
5
2
,
7
6
3
2
,
9
5
1
3
,
1
8
2
3
,
4
8
2
3
,
8
9
6
4
,
5
4
1
5
,
8
4
1
1
4
0
,
1
3
4
0
,
2
7
1
0
,
4
1
4
0
,
5
6
9
0
,
7
4
1
0
,
9
4
1
1
,
1
9
0
1
,
5
3
3
2
,
1
3
2
2
,
2
2
6
2
,
3
3
3
2
,
4
5
6
2
,
6
0
1
2
,
7
7
6
2
,
9
9
9
3
,
2
9
8
3
,
7
4
7
4
,
6
0
4
8
,
6
1
0
5
0
,
1
3
2
0
,
2
6
7
0
,
4
0
8
0
,
5
5
9
0
,
7
2
7
0
,
9
2
0
1
,
1
5
6
1
,
4
7
6
2
,
0
1
5
2
,
0
9
8
2
,
1
9
1
2
,
2
9
7
2
,
4
2
2
2
,
5
7
1
2
,
7
5
7
3
,
0
0
3
3
,
3
6
5
4
,
0
3
2
6
,
8
6
9
6
0
,
1
3
1
0
,
2
6
5
0
,
4
0
4
0
,
5
5
3
0
,
7
1
8
0
,
9
0
6
1
,
1
3
4
1
,
4
4
0
1
,
9
4
3
2
,
0
1
9
2
,
1
0
4
2
,
2
0
1
2
,
3
1
3
2
,
4
4
7
2
,
6
1
2
2
,
8
2
9
3
,
1
4
3
3
,
7
0
7
5
,
9
5
9
7
0
,
1
3
0
0
,
2
6
3
0
,
4
0
2
0
,
5
4
9
0
,
7
1
1
0
,
8
9
6
1
,
1
1
9
1
,
4
1
5
1
,
8
9
5
1
,
9
6
6
2
,
0
4
6
2
,
1
3
6
2
,
2
4
1
2
,
3
6
5
2
,
5
1
7
2
,
7
1
5
2
,
9
9
8
3
,
4
9
9
5
,
4
0
8
8
0
,
1
3
0
0
,
2
6
2
0
,
3
9
9
0
,
5
4
6
0
,
7
0
6
0
,
8
8
9
1
,
1
0
8
1
,
3
9
7
1
,
8
6
0
1
,
9
2
8
2
,
0
0
4
2
,
0
9
0
2
,
1
8
9
2
,
3
0
6
2
,
4
4
9
2
,
6
3
4
2
,
8
9
6
3
,
3
5
5
5
,
0
4
1
9
0
,
1
2
9
0
,
2
6
1
0
,
3
9
8
0
,
5
4
3
0
,
7
0
3
0
,
8
8
3
1
,
1
0
0
1
,
3
8
3
1
,
8
3
3
1
,
8
9
9
1
,
9
7
3
2
,
0
5
5
2
,
1
5
0
2
,
2
6
2
2
,
3
9
8
2
,
5
7
4
2
,
8
2
1
3
,
2
5
0
4
,
7
8
1
1
2
,
,
6
,
9
5
7
0
8
0
2
4
1
0
0
,
1
2
9
0
,
2
6
0
0
,
3
9
7
0
,
5
4
2
0
,
7
0
0
0
,
8
7
9
1
,
0
9
3
1
,
3
7
2
1
,
8
1
2
1
,
8
7
7
1
,
9
4
8
2
,
0
2
8
2
,
1
2
0
2
,
2
2
8
2
,
3
5
9
2
,
5
2
7
2
,
7
6
4
3
,
1
6
9
4
,
5
8
7
1
1
0
,
1
2
9
0
,
2
6
0
0
,
3
9
6
0
,
5
4
0
0
,
6
9
7
0
,
8
7
6
1
,
0
8
8
1
,
3
6
3
1
,
7
9
6
1
,
8
5
9
1
,
9
2
8
2
,
0
0
7
2
,
0
9
6
2
,
2
0
1
2
,
3
2
8
2
,
4
9
1
2
,
7
1
8
3
,
1
0
6
4
,
4
3
7
1
2
0
,
1
2
8
0
,
2
5
9
0
,
3
9
5
0
,
5
3
9
0
,
6
9
5
0
,
8
7
3
1
,
0
8
3
1
,
3
5
6
1
,
7
8
2
1
,
8
4
4
1
,
9
1
2
1
,
9
8
9
2
,
0
7
6
2
,
1
7
9
2
,
3
0
3
2
,
4
6
1
2
,
6
8
1
3
,
0
5
5
4
,
3
1
8
1
3
0
,
1
2
8
0
,
2
5
9
0
,
3
9
4
0
,
5
3
8
0
,
6
9
4
0
,
8
7
0
1
,
0
7
9
1
,
3
5
0
1
,
7
7
1
1
,
8
3
2
1
,
8
9
9
1
,
9
7
4
2
,
0
6
0
2
,
1
6
0
2
,
2
8
2
2
,
4
3
6
2
,
6
5
0
3
,
0
1
2
4
,
2
2
1
1
4
0
,
1
2
8
0
,
2
5
8
0
,
3
9
3
0
,
5
3
7
0
,
6
9
2
0
,
8
6
8
1
,
0
7
6
1
,
3
4
5
1
,
7
6
1
1
,
8
2
1
1
,
8
8
7
1
,
9
6
2
2
,
0
4
6
2
,
1
4
5
2
,
2
6
4
2
,
4
1
5
2
,
6
2
4
2
,
9
7
7
4
,
1
4
0
1
5
0
,
1
2
8
0
,
2
5
8
0
,
3
9
3
0
,
5
3
6
0
,
6
9
1
0
,
8
6
6
1
,
0
7
4
1
,
3
4
1
1
,
7
5
3
1
,
8
1
2
1
,
8
7
8
1
,
9
5
1
2
,
0
3
4
2
,
1
3
1
2
,
2
4
9
2
,
3
9
7
2
,
6
0
2
2
,
9
4
7
4
,
0
7
3
1
6
0
,
1
2
8
0
,
2
5
8
0
,
3
9
2
0
,
5
3
5
0
,
6
9
0
0
,
8
6
5
1
,
0
7
1
1
,
3
3
7
1
,
7
4
6
1
,
8
0
5
1
,
8
6
9
1
,
9
4
2
2
,
0
2
4
2
,
1
2
0
2
,
2
3
5
2
,
3
8
2
2
,
5
8
3
2
,
9
2
1
4
,
0
1
5
1
7
0
,
1
2
8
0
,
2
5
7
0
,
3
9
2
0
,
5
3
4
0
,
6
8
9
0
,
8
6
3
1
,
0
6
9
1
,
3
3
3
1
,
7
4
0
1
,
7
9
8
1
,
8
6
2
1
,
9
3
4
2
,
0
1
5
2
,
1
1
0
2
,
2
2
4
2
,
3
6
8
2
,
5
6
7
2
,
8
9
8
3
,
9
6
5
1
8
0
,
1
2
7
0
,
2
5
7
0
,
3
9
2
0
,
5
3
4
0
,
6
8
8
0
,
8
6
2
1
,
0
6
7
1
,
3
3
0
1
,
7
3
4
1
,
7
9
2
1
,
8
5
5
1
,
9
2
6
2
,
0
0
7
2
,
1
0
1
2
,
2
1
4
2
,
3
5
6
2
,
5
5
2
2
,
8
7
8
3
,
9
2
2
1
9
0
,
1
2
7
0
,
2
5
7
0
,
3
9
1
0
,
5
3
3
0
,
6
8
8
0
,
8
6
1
1
,
0
6
6
1
,
3
2
8
1
,
7
2
9
1
,
7
8
6
1
,
8
5
0
1
,
9
2
0
2
,
0
0
0
2
,
0
9
3
2
,
2
0
5
2
,
3
4
6
2
,
5
3
9
2
,
8
6
1
3
,
8
8
3
2
0
0
,
1
2
7
0
,
2
5
7
0
,
3
9
1
0
,
5
3
3
0
,
6
8
7
0
,
8
6
0
1
,
0
6
4
1
,
3
2
5
1
,
7
2
5
1
,
7
8
2
1
,
8
4
4
1
,
9
1
4
1
,
9
9
4
2
,
0
8
6
2
,
1
9
7
2
,
3
3
6
2
,
5
2
8
2
,
8
4
5
3
,
8
5
0
Wnioskowanie statystyczne
Przykłady
1. W grupie studentów przeprowadzono test ze statystyki , gdzie zmienna losowa Xk oznaczała liczbę
zdobytych punktów (od 0 do 100, gdzie k – jest liczbą studentów). Rozkład zmiennej Xk jest identyczny
dla wszystkich studentów – E(Xk) = 70; D(Xk) = 20. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
a) suma punktów uzyskanych przez 100 studentów będzie wyższa od 7500 punktów,
b) przeciętna liczba zdobytych punktów w 100–osobowej grupie studentów będzie w przedziale 65–70 pkt.
Korzystamy z twierdzenia Lindeberga–Levy’ego
a) Niech zmienna Z będzie sumą zmiennych X1, X2, …, X100 → Z100 = X1 + X2 +…+ X100,
wówczas ma ona rozkład zbliżony do normalnego o parametrach
N(n  E(X), D(X)  n )  N(100  70, 20  100 )  N(7000, 200)
 7500  7000 
P( Z100  7500)  1  P( Z100  7500)  1  Fu 
  1  Fu 2,5  1  0,99379  0,00621
200


Prawdopodobieństwo tego, że suma punktów uzyskanych przez 100–osobową grupę studentów
będzie wyższa od 7500 p. wynosi 0,621 %.
b) Niech zmienna V będzie średnią ze zmiennych X1, X2, …, X100, wówczas ma ona rozkład zbliżony do
normalnego o parametrach
D(X) 
20 


N E(X),

  N(70, 2)
  N 70,
n 
100 

 70  70 
 65  70 
P(65  V100  70)  Fu 
  Fu 
  Fu 0  Fu  2,5  0,5  0,00621  0,49379
2
2




Prawdopodobieństwo tego, że średnia liczba punktów uzyskanych przez 100–osobową grupę studentów
będzie w przedziale 65–70 p. wynosi 49,379 %.
Wnioskowanie statystyczne
2. Pewien towar produkowany jest w 2 gatunkach. 40 % produkcji stanowi gatunek 1, natomiast 60 % –
drugi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w niezależnie pobranej partii towaru liczącej 50 sztuk, liczba
sztuk 1–go gatunku będzie większa od 24.
Jeżeli Yn jest liczbą sukcesów (mamy do czynienia z rozkładem dwumianowym), to jej
rozkład dąży do rozkładu normalnego o parametrach N np , npq .


 


p  0,4; q  0,6; Yn  N np , npq  N 50  0,4; 50  0,4  0,6  N(20; 3,464).
 24  20 
P(Y50  24)  1  P(Y50  24)  1  Fu 
  1  Fu 1,15  1  0,8749  0,1251
 3,464 
3. Prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu 1–go gatunku wynosi 0,25. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że częstość wystąpienia sztuk I gatunku wśród 400 wylosowanych wyrobów wyniesie nie więcej
niż 30 %.
Przy dużej liczbie obserwacji częstość wystąpienia sukcesu w rozkładzie dwumianowym Yn na


rozkład normalny o parametrach N p, pq 

n 




pq 
0,25  0,75 
  N 0,25;
  N0,25; 0,02165
p  0,25  Yn  N p,



n
400




 0,3  0,25 
P(Y400  0,3)  Fu 
  Fu 2,31  0,98956
 0,02165 