Rozkład zmiennej losowej

Statystyka
Katarzyna Chudy – Laskowska
http://kc.sd.prz.edu.pl/
ZMIENNE LOSOWE I ICH ROZKŁADY
Rozkłady zmiennych losowych
Zmienna losowa skokowa
Rozkład dwumianowy
Rozkład Poissona
Zmienna losowa ciągła
Rozkład prostokątny (mikrokanoniczny)
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozkład 2 (chi kwadrat)
Rozkład Studenta
Jeżeli zbiór wartości jakie przyjmuje funkcja X, jest zbiorem przeliczalnym,
wówczas zmienna losowa nazywana jest zmienną losową dyskretną lub skokową.
Jeśli funkcja X przyjmuje wartośc z pewnego przedziału liczbowego, nazywana jest
zmienną losową ciągłą.
Zmienna losowa może mieć tyle wartości ile elementów liczy zbiór zdarzeń
elementarnych, na którym jest określona. Najczęściej zmienne losowe oznaczane
Są wielkimi literami (X, Y, Z), natomiast wartości przyjmowane przez zmienną losową
(realizacje zmiennej losowej) – małymi literami (z,y,z)
Rozkłady dyskretne
Zmienna losowa skokowa – dyskretna
Zbiór wszystkich możliwych realizacji zmiennej losowe dyskretnej X (x1 ….xn)
jest skończony lub przeliczalny, a funkcja przyporządkowująca konkretnym
wartościom, realizacjom odpowiednie prawdopodobieństwa określana jest
mianem rozkładu prawdopodobieństwa co zapisuje się:
P ( X  xi )  pi
0  pi  1
n
p
i 1
i
1
xi – to wartości liczbowe jakie przyjmuje zmienna X
pi – odpowiadające im prawdopodobieństwa
Rozkłady dyskretne
Rzucamy kością do gry jeden raz. Zbiorem zdarzeń elementarnych E jest zbiór
Wszystkich możliwych wyników rzutu kością.
E= {wyrzucenie 1 oczka, wyrzucenie 2 oczek, wyrzucenie 3 oczek,
wyrzucenie 4 oczek, wyrzucenie 5 oczek, wyrzucenia 6 oczek}
Na tym zbiorze zdarzeń elementarnych określa się zmienną losową X
X(wyrzucenie 1 oczka)=1
X(wyrzucenie 2 oczek)=2
X(wyrzucenie 3 oczek)=3
X(wyrzucenie 4 oczek)=4
X(wyrzucenie 5 oczek)=5
X(wyrzucenie 6 oczek)=6
Rozkłady dyskretne
Rozkład prawdopodobieństwa
P(X=1)= P(wyrzucenie 1 oczka)=1/6
P(X=2)= P(wyrzucenie 2 oczek)=1/6
P(X=3)= P(wyrzucenie 3 oczek)=1/6
P(X=4)= P(wyrzucenie 4 oczek)=1/6
P(X=5)= P(wyrzucenie 5 oczek)=1/6
P(X=6)= P(wyrzucenie 6 oczek)=1/6
Rozkład prawdopodobieństwa
w formie graficznej
P(X=xi )
1
6
1 2 3 4 5 6
Rozkład prawdopodobieństwa
w formie tabelarycznej
Wartość
zmiennej xi
Prawdopodobieństwo
pi
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Rozkłady dyskretne
Zmienną losową można określić za pomocą dystrybuanty. Dystrybuanta zmiennej
losowej skokowej X jest funkcją F(x), wyrażającą prawdopodobieństwo tego, że
zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze niż określone x.
F ( x)  P( X  x)   pi
Własności dystrybuanty F(x) zmiennej X
-0 ≤ F(x) ≤1
-F(x) jest funkcją niemalejącą
-F(x) jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą
lim F ( x)  0 oraz lim F ( x)  1
x   
x  
Rozkłady dyskretne
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
F(x)
dla
dla
dla
dla
dla
dla
dla
x≤1
1≤x≤2
2≤x≤3
3≤x≤4
4≤x≤5
5≤x≤6
x>6
x
F(x)
1
0
2
1/6
3
2/6
4
3/6
5
4/6
6
5/6
x>6
6/6=1
1
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
1 2 3 4 5 6
Rozkłady dyskretne
Charakterystyki liczbowe rozkładu
Najważniejszymi parametrami zmiennych losowych są: wartość oczekiwana E(X),
wariancja V(X) i odchylenie standardowe.
Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) to wartość wokół której skupiają się
realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnie powtarzanego
eksperymentu.
n
E ( X )   xi pi
i 1
Wariancja zmiennej losowej X – V(X) to miara rozproszenia wartości zmiennej wokół
Wartości średniej. Im mniejsza wariancja tym bardziej wartości zmiennej skupiają się
Wokół wartości przeciętnej E(X).
n
V ( X )   ( xi  E ( X )) pi
2
x 1
n
lub V ( X )   xi2 pi  ( E ( X )) 2
x 1
Rozkłady dyskretne
1
1
1
1
1
1
E ( X )  1  2   3   4   5   6   3,5
6
6
6
6
6
6
n
V ( X )   xi2 pi  ( E ( X )) 2
x 1
1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
 x pi  1  6  2  6  3  6  4  6  5  6  6  6  15,17
2
i
2
V ( X )  15,17  3,52  2,92
  2,92  1,71
Rozkłady dyskretne –ROZKŁAD ZERO-JEDYNKOWY
Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli jej funkcja rozkładu określona jest:
P(X=1) =p
P(X=0)=q
(p+q)=1
Dystrybuanta rozkładu zero-jedynkowego ma postać
F(x)
0
q
1
dla x ≤ 0
dla 0< x ≤1
dla x>1
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej X są równe
E(X)=p
V(x) = pq
Rozkłady dyskretne –ROZKŁAD ZERO-JEDYNKOWY
Rzucano monetą. Wyrzucenie orła oznaczone zostało jako 1, wyrzucenie reszki jako 0.
Reszultat rzutu monetą ma rozkład zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem ½.
Rozkład zmiennej losowej:
P(X=1) = ½
P(X=0) = ½
Dystrybuanta zmiennej losowej
F(x)
0 dla x < 0
1/2 dla 0 ≤ x ≤1
1 dla x > 1
Wartość oczekiwana i wariancja wynoszą:
E(X)=1/2
V(X) = ¼
σ=1/2
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
Jakub Bernoulli – 1654 – 1705
Pochodził ze znanej rodziny matematyków Bernoullich. Był bratem Johanna
i stryjem Daniela. Był profesorem uniwersytetu w Bazylei. Stworzył
podstawy rachunku prawdopodobieństwa i przyczynił się do rozwoju
rachunku różniczkowego i wariacyjnego. Wprowadził pojęcia całki i
biegunowego układu współrzędnych. Sformułował także prawo Bernoulliego.
Lista osiągnięć Jakuba Bernoulliego jest długa; użycie współrzędnych
biegunowych, badanie krzywej łańcuchowej i spirali logarytmicznej. Jego
fascynacja spiralą logarytmiczną spowodowała, że pragnął, by wyrzeźbiono
ją na jego nagrobku.
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
Spirala logarytmiczna
Ramiona galaktyki spiralnej
Obszar niskiego ciśnienia
Spirala logarytmiczna jest to krzywa płaska przecinająca pod jednakowym, stałym kątem
wszystkie półproste wychodzące z ustalonego punktu, zwanego biegunem spirali.
Odległość od środka kolejnych pętel spirali rośnie w postępie geometrycznym.
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
Zmienna losowa X ma rozkład DWUMIANOWY B(n, p), jeśli jej funkcja rozkładu
określona jest:
B(n, p, k )  P( X  k )  Cnk p k q nk
gdzie k=0,1,2,…..n
oraz p+q=1
Dystrybuanta zmiennej losowej określona jest wzorem:
F ( x)   Cnk p k q nk
kx
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej X są równe
E(X)=np
V(x) = npq
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym opisuje eksperyment noszący
Nazwę prób Bernoulliego – stąd nazwa rozkładu.
Doświadczenie polega na tym że przeprowadzono n (n>2) niezależnych
Doświadczeń. Wynikiem każdego doświadczenia może być tylko jeden z
Dwóch wyników: SUKCES lub PORAŻKA.
1. Prawdopodobieństwo stanu, który został uznany jako sukces, jest takie
samo w kolejnych doświadczeniach. Prawdopodobieństwo sukcesu
oznaczamy symbolem p a prawdopodobieństwo niepowodzenia symbolem q.
Między prawdopodobieństwami p i q zachodzi związek p+q=1
2. Doświadczenia są niezależne, tzn. wynik poprzedniego doświadczenia nie
ma wpływu na wynik następnego.
Jeśli przeprowadzimy n doświadczeń to prawdopodobieństwo sukcesu ma
Rozkład dwumianowy.
Funkcja rozkładu dwumianowego zależy od dwóch parametrów:
- Liczby doświadczeń n i
- Prawdopodobieństwa sukcesu p
W zależności od wielkości tych parametrów zmienia się kształt funkcji rozkładu
Prawdopodobieństwa. Dla p=q=1/2 rozkład jest symetryczny.
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
W pewnej firmie spedycyjnej ciężarówki przewożą palety z cytrusami w różne
miejsca.
Prawdopodobieństwo że ciężarówka dotrze na miejsce docelowe i owoce będą świeże
(nie będzie ani jednego zepsutego) jest ½. Sprawdzono więc pięć losowo wybranych
ciężarówek. Rozkład zmiennej losowej (brak zepsutych owoców) może
przybierać wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Aby znaleźć prawdopodobieństwo z jakimi
te wartości są przyjmowane należy sprawdzić czy spełnione są warunki schematu
Bernoulliego.
1) Wybranie ciężarówki ze świeżymi owocami –p- sukces
2) Wybranie ciężarówki z owocami zepsutymi –q- porażka
(dwa wykluczające się wyniki doświadczeń)
Prawdopodobieństwo trafienia na owoce zepsute jest ½ i nie zmienia się.
Wynik poprzedniego wyboru nie ma wpływu na kolejny.
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
Prawdopodobieństwa odpowiadające poszczególnym wartościom (realizacjom):
Rozkład prawdopodobieństwa
1
P( X  0)  C  
2
0
5
5!
1
1
1
1  
  
 2  0!5  0 ! 32 32
0
5
1
1
P( X  1)  C  
2
1
5
1
 
2
5 1
5
2
5 2
5!
1 1

   
2!5  2 !  2   2 
3
53
5!
1 1

   
3!5  3!  2   2 
1 1
P ( X  2)  C    
2 2
1
 
2
4
1 1
P( X  4)  C54    
2 2
1
P( X  5)  C55  
2
4
5!
1 1
5!  1 
1
5

       5 
1!5  1! 2  2 
4!  2 
32 32
2
5
1
P( X  3)  C53  
2
Dystrybuanta rozkładu
5
1
 
2
2
3
5 4
53
4

55
5!
1 1
   
4!5  4 !  2   2 
5

5 2
5!
1 1
   
5!5  5!  2   2 
5
 1  10
 10    
 2  32
5 4
55
5
 1  10
 10    
 2  32
5
5
1
 5  
 2  32
5
1
1
  
 2  32
0
1

 32
6

 32
16
F(x) 
 32
 26
 32

 31
 32

1
dla
x0
dla 0  x  1
dla 1  x  2
dla
2 x3
dla 3  x  4
dla
4 x5
dla
x5
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
10
32
0
5
5!
1
1
1 1
P( X  0)  C50     
1  
 2   2  0!5  0 ! 32 32
1
1 1
P( X  1)  C    
2 2
5 1
1
5
2
1 1
P( X  2)  C52    
2 2
3
1 1
P( X  3)  C53    
2 2
5 2
4
5 4
5
55
1 1
P( X  4)  C    
2 2
1
 
2
5
2

5!
1 1
   
2!5  2 !  2   2 

5!
1 1
   
3!5  3!  2   2 
53
4
5
1
P( X  5)  C55  
2
4
5!
1 1
5!  1 
1
5

       5 
1!5  1! 2  2 
4!  2 
32 32
3
53
4
5!
1 1

   
4!5  4 !  2   2 
5

5 2
5!
1 1
   
5!5  5!  2   2 
5
 1  10
 10    
 2  32
5 4
55
5
 1  10
 10    
 2  32
5
32
5
5
1
 5  
 2  32
5
1
1
  
2
32
 
1
32
0
1
2 3 4 5
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
0
1

 32
6

 32
16
F(x) 
 32
 26
 32

 31
 32

1
dla
x0
dla 0  x  1
dla 1  x  2
dla
1
31
32
26
32
2 x3
dla 3  x  4
dla
4 x5
dla
x5
16
32
6
32
1
32
0
1
2
3
4
5
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
Mając rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej X można policzyć prawdopodobieństwa
Wybranych zdarzeń:
1) Prawdopodobieństwo że ilość wybranych ciężarówek ze świeżymi owocami
jest mniejsza niż 2, P(x<2)
2)Prawdopodobieństwo że liczba wybranych ciężarówek ze świeżymi owocami
jest nie mniejsza niż 3, P(X≥3)
3) Prawdopodobieństwo że liczba wybranych ciężarówek ze świeżymi owocami
jest nie mniejsza niż 2 i nie większa niż 4, P(2≤X≤4)
1) P(X<2)= P(X=0)+P(X=1) =1/32+5/32=6/32
2) P(X≥3) =P(X=3)+P(X=4)+ P(X=5) =10/32+5/32+1/32=16/32
3) P(2≤X≤4) = P(X=2)+P(X=3)+ P(X=4) =10/32+10/32+5/32=25/32
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD DWUMIANOWY - BERNOULLIEGO
Szyby przewożone są w opakowaniach po 12 sztuk. Z dotychczasowych
doświadczeń wynika że 10% opakowań ulega uszkodzeniu w czasie transportu.
Pani Ania zakupiła do firmy zajmującej się wymianą szyb w samochodach
osobowych 3 opakowania szyb. Znaleźć rozkład i dystrybuantę zmiennej
losowej X, którą jest liczba nie uszkodzonych opakowań
wśród trzech zakupionych.
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD POISSONA
Rozkład Pissona jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego, gdy
liczba doświadczeń Jest duża n>20 a prawdopodobieństwo
osiągnięcia sukcesu małe (p<0,05), tak Że iloczyn np=. Dlatego
rozkład ten nazywany jest rozkładem rzadkich zdarzeń.
Zmienna skokowa X przyjmująca wartości k=0,1,2,…. Ma rozkład
Pissona o parametrze  >0, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa
wyrażona jest wzorem:
Simeon Poisson
1781-1840
P( X  k ) 
k
k!
e 
k  0,1,2,....
e- podstawa logarytmów naturalnych 2,72
Gdzie m jest stałą dodatnią, nazywa się zmienną losową o rozkładzie Pissona.
Dystrybuanta tej zmiennej określona jest wzorem:
f ( x)   e 
k 
k
k!
Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej X są równe : E(X)= , V(x) =
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD POISSONA
W skład pewnego systemu transportowego wchodzi między innymi n=1000
Elementów określonego rodzaju. Prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku
Każdego z tych elementów wynosi p=0,001 i nie zależy od stanu pozostałych
Elementów. Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku :
a) dokładnie 2 elementów
b) nie mniej niż dwóch elementów
P( X  k ) 
k
k!
e 
k  0,1,2,....
=np.=1000*0,001= 1
12 1 1
1
1
1
1) P( X  2)  e   2,721  

 0,368  0,184
1
2!
2
2 (2,72)
2
10 1 11 1
2) 1  ( P( X  0)  P( X  1))  1  ( e  e )  1  (0,368  0,368)  0,264
0!
1!
Rozkłady dyskretne – ROZKŁAD POISSONA
Firma ubezpieczeniowa ocenia że każdego roku 1% ubezpieczonych samochodów
Musi ulegać kasacji z powodu wypadków. Jakie jest prawdopodobieństwo
że w danym roku firma ubezpieczeniowa będzie musiała wypłacić odszkodowanie
Więcej niż trzy razy, jeżeli ubezpieczyło się od wypadków 200 osób.
Rozkłady ciągłe
W przypadku zmiennej losowej ciągłej (X), zbiór możliwych jej realizacji(x1 ….xn )
Jest nieskończony. Przykładem może być wiek, zużycie paliwa, czas wykonywania
Jakiejś czynności. (np. 58,345 roku, 9,467 litra, 8 min i 21 sekund). W przypadku
Takich zmiennych mówi się o prawdopodobieństwie zdarzenia , którego
Wartość będzie się zawierać w określonym przedziale wartości( od.. Do).
Rozkład zmiennej losowej ciągłej nie jest funkcją prawdopodobieństwa, która
Każdemu zdarzeniu przypisuje odpowiednie prawdopodobieństwo lecz funkcją
Gęstości prawdopodobieństwa f(x), w skończonym przedziale (a,b). Taką że:
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
a
W przypadku zmiennej losowej ciągłej graficzną reprezentacją funkcji
gęstości prawdopodobieństwa jest krzywa, przy czym prawdopodobieństwo tego,
że zmienna losowa ciągła przyjmie wartość z określonego przedziału (od a do b)
Jest równe polu powierzchni znajdującemu się pod krzywą.
f(x)
P(a<X<b)
x
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
Abraham de Moivre
1667-1754
francuski matematyk
działający w Anglii
samouk
Karl Friedrich Gauss
1777-1855
niemiecki matematyk
fizyk, astronom, geodeta
Princeps mathematicorum
Karl Pearson
1857-1936
Angielski matematyk
Prekursor statystyki
matematycznej
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
12 listopada 1733 roku francuski matematyk Abraham de Moivre (1667-1754)
Który wyemigrował do Anglii, prywatnie opublikował broszurę, którą udostępnił
Swoim przyjaciołom. o publikacji tej całkiem zapomniano. Był nauczycielem
matematyki i zarabiał jako doradca uczestników gier losowych w karczmach.
Był członkiem The Royal Society. Zmarł w wieku 87 lat i rozeszły się pogłoski
Że przewidział dokładnie dzień swojej śmierci. Zauważył że codziennie potrzebuje
Kilka minut snu więcej. Podobno zmarł gdy jego zapotrzebowanie na sen
wyniosło 24 godziny.
Prawie cały wiek po tym zasługę odkrycia rozkładu normalnego przypisano dwóm
Naukowcom: Pierre Simon de Laplace(1749) i Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Do dziś rozkład normalny często nazywany jest rozkładem Gaussa.
W 1924 roku Karl Pearson, zupełnie przypadkowo natrafił na zachowaną kopię
Broszury de Moivrea z 1733 roku i z wielkim zdziwieniem odkrył że to on odkrył
zbieżność rozkładu dwumianowego do rozkładu normalnego, gdy n rośnie. I poda
Wzór na funkcję gęstości normalnej. NA szczęście Pearson miał własne pismo
„Biometrica „i mógł sprawę wyprostować . Podał do publicznej wiadomości
Że właściwym odkrywcą rozkładu normalnego był Abraham de Moivre.*
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
Od rozkładu dwumianowego do rozkładu normalnego
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
Rozkład normalny jest najczęściej używanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej.
Użyteczność rozkładu normalnego polega na tym że większość zjawisk w przyrodzie,
Gospodarce, ekonomii, fizyce, biologii, medycynie przybiera właśnie taki kształt
przez co można go wykorzystać do szacowania prawdopodobieństwa w różnych
Przypadkach i sytuacjach.
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrem m i σ, co oznacza się N(m,σ)
Jeśli jej funkcja gęstości jest określona wzorem:
 1 
f ( x)  
e
  2 
Charakterystyki liczbowe
E(X)=m
V(X)=σ2
Me = m
Do = m

 x   2
2 2
dla    x  
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
Kształt krzywej normalnej zależy od dwóch parametrów:
miσ
Funkcja f(x) ma następujące własności:
1.
Jest symetryczna względem prostej x=m,
co znaczy że spełniona jest zależność P(X>m)= P(X<m) = 0,5
2. W punkcie x=m funkcja osiąga wartość maksymalną która wynosi: f (m) 
1
 2
3. Prawdopodobieństwo że zmienna losowa X przyjmuje wartości z przedziału
[m-3σ,m+3σ] jest w przybliżeniu równe 1
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
Standaryzowany rozkład normalny
Ponieważ istnieje nieskończenie wiele zmiennych posiadających rozkład normalny
Jedną z nich wybrano aby służyła jako pewien standard. Prawdopodobieństwa
Związane z wartościami przyjmowanymi przez standaryzowaną normalną
Zmienną losową zostały stablicowane. Odpowiednia transformacja pozwala na wykorzystan
Wartości prawdopodobieństw zawartych w tablicach do analizy dowolnej zmiennej
Posiadającej rozkład normalny. Zmienną standaryzowaną oznacza się literą Z.
Z
Zmienna ta posiada średnią równą
X m

0 a odchylenie standardowe równe 1
Każdą zmienną losową o rozkładzie normalnym można sprowadzić do zmiennej
Losowej Z o rozkładzie standaryzowanym N(0,1).
am

P ( X  a )  P Z 

 

bm

P ( X  b)  P Z 

 

bm
am
P ( a  X  b)  P
Z

 
 
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
Przykład – odczytywanie wartości z tablic
Staż pracy w pewnej firmie logistycznej jest zmienną losową (X)
o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą 12 lat i odchyleniem
standardowym równym 2 lata. N(12,2). Korzystając z tablic wyznaczone zostanie i
Przedstawione na wykresie funkcji gęstości zmiennej losowej X i
zmiennej standaryzowanej Z prawdopodobieństwa że:
1. Staż pracy pracownika jest mniejszy niż 15 lat P(x<15)
2. Staż pracy jest mniejszy od 7 lat p(x<7)
3. Staż pracy mieści się w przedziale od 8 do 16 lat P(8<X<16)
4. Staż pracy będzie większy niż 19 lat p(x>19).
Dystrybuanta rozkładu normalnego
t
φ(t)
t
φ(t)
t
φ(t)
0,00
0,0000
1,00
0,3413
2,00
0,4773
0,05
0,0199
1,05
0,3531
2,05
0,4798
0,10
0,0398
1,10
0,3643
2,10
0,4821
0,15
0,0596
1,15
0,3479
2,15
0,4842
0,20
0,0793
1,20
0,3849
2,20
0,4861
0,25
0,0987
1,25
0,3944
2,25
0,4878
0,30
0,1179
1,30
0,4032
2,30
0,4893
0,35
0,1268
1,35
0,4155
2,35
0,4906
0,40
0,1554
1,40
0,4192
2,40
0,4918
0,45
0,1736
1,45
0,4265
2,45
0,4929
0,50
0,1915
1,50
0,4332
2,50
0,4938
0,55
0,2088
1,55
0,4394
2,55
0,4946
0,60
0,2257
1,60
0,4452
2,60
0,4953
0,65
0,2422
1,65
0,4505
2,65
0,4960
0,70
0,2580
1,70
0,4554
2,70
0,4965
0,75
0,2734
1,75
0,4599
2,75
0,4970
0,80
0,2881
1,80
0,4641
2,80
0,4974
0,85
0,3023
1,85
0,4678
2,85
0,4978
0,90
0,3159
1,90
0,4713
2,90
0,4981
0,95
0,3289
1,95
0,4744
2,95
0,1984
3,00
0,4987
Rozkłady ciągłe – ROZKŁAD NORMALNY- DZWONOWY- GAUSSA
1. Staż pracy pracownika jest mniejszy niż 15 lat P(x<15)
am

P ( X  a )  P Z 




15  12 

P( X  15)  P Z 
  P( Z  1,5)
2


15  12 

P( X  15)  P Z 
  P( Z  1,5)  P( Z  0)  1,5  0,5  0,1332  0,9332
2 

2. Staż pracy pracownika jest mniejszy niż 7 lat P(x<7)
am

P ( X  a )  P Z 




7  12 

P ( X  7 )  P Z 
  P( Z  2,5)
2


7  12 

P( X  7)  P Z 
  P( Z  2,5)  0,5   2,5  0,5  0,4938  0,0062
2 

3. Staż pracy mieści się w przedziale od 8 do 16 lat P(8<X<16)
bm
am
P ( a  X  b)  P
Z

 
 
16  12 
 8  12
P(8  X  16)  P
Z
  P(2  X  2)
2 
 2
16  12 
 8  12
P(8  X  16)  P
Z 
  P(2  X  2)  2  2  2  0,4773  0,9546
2 
 2
4. Staż pracy będzie większy niż 19 lat p(x>19).
bm

P ( X  b)  P Z 

 

19  12 

P( X  19)  P Z 

2 

19  12 

P( X  19)  P Z 
  P( Z  3,5)  0
2 

Często spotykany jest problem że prawdopodobieństwo dane jest z góry a nie jest znana
Wartość zmiennej odpowiadającej temu prawdopodobieństwu.
Obliczyć wartość x jeżeli wiadomo że:
a) P(X<x)=0,9773
0,9773=0,5+0,4773
( z)  0,4473  z  2
x  12
z
2
x  12
2
2
x  16
Rozkłady związane z rozkładem normalnym
William Sealy Gosset (1876 – 1937), statystyk angielski.
Publikował pod pseudonimem Student (stąd nazwa
wprowadzonego przez niego - w roku 1908 - rozkładu
prawdopodobieństwa: rozkład Studenta). Przez
większość życia pracował w browarach Guinnessa w
Dublinie i w Londynie. Zajmował się tam m.in. kontrolą
jakości piwa i surowców do jego produkcji, co
doprowadziło go do rozważań nad statystyką i
szacowaniem nieznanych parametrów. Nie miał
gruntownego wykształcenia matematycznego,
posługiwał się jednak genialną intuicją (porównywano
go pod tym względem do fizyka Michaela Faradaya), co
sprawiło, że wniósł wielki wkład w rozwój metod
statystycznych (estymacji, testowania hipotez
statystycznych) i wiedzy o projektowaniu
eksperymentów.
Rozkłady związane z rozkładem normalnym
Rozkład t-Studenta z k stopniami swobody nazywamy rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej losowej Tk określonej wzorem
Tk 
T

2
k
 k
2

Gdzie T i
k są to niezależne zmienne losowe , T ma rozkład normalny N(0,1)
2
a  k ma rozkład chi kwadrat z k stopniami swobody.
Rozkład Studenta jest rozkładem symetrycznym względem prostej x=0
A jego kształt jest bardzo zbliżony do rozkładu normalnego. (jest nieco
Bardziej spłaszczony)