Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych

Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych.
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienna losowa typu ciągłego
— Zmienna losowa X o ciągłej dystrybuancie F nazywa się zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna
i całkowalna funkcja f taka, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi
Zx
F (x) =
f (t)dt.
−∞
— Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej X.
Własności gęstości prawdopodobieństwa
— f (x) > 0 dla każdego x ∈ R
+∞
Z
f (x)dx = 1
—
−∞
— f (x) = F 0 (x), jeżeli dystrybuanta F jest funkcją różniczkowalną
Zmienna losowa typu ciągłego
Zauważmy, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego mamy:
— P (X = a) = 0 dla każdego a ∈ R;
— P (a 6 X < b) = P (a 6 X 6 b) = P (a < X 6 b) =
Zb
= P (a < X < b) = f (x)dx = F (b) − F (a).
a
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej
Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeśli dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X, względnie gdy dana jest jej gęstość prawdopodobieństwa.
Podstawowe rozkłady ciągłe
— rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na przedziale ha, bi
— rozkład normalny (Gaussa) o parametrach m, σ
— rozkład wykładniczy
Rozkład jednostajny na przedziale ha, bi
— Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego jest określona wzorem:

dla
x < a,
 0
1
dla a 6 x 6 b,
f (x) = b−a

0
dla
x > b.
y
1
b−a
0
a
b
x
Rysunek 1. Wykres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego
1
Rozkład jednostajny na przedziale ha, bi
— Dystrybuanta rozkładu jednostajnego ma postać:

 0
F (x) = x−a
 b−a
1
— EX =
dla
x 6 a,
dla a < x 6 b,
dla
x > b.
a+b
(b − a)2
, D2 (X) =
2
12
Rozkład normalny N (m, σ)
— Rozkład normalny z parametrami m, σ oznaczany jest symbolem N (m, σ).
— Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest określona wzorem:
f (x) =
(x−m)2
1
√ e− 2σ2 , gdzie m ∈ R, σ > 0.
σ 2π
y=√
y
0
m−σ
m
(x−m)2
1
e− 2σ2
2πσ
x
m+σ
Rysunek 2. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego N (m, σ)
Rozkład normalny N (0, 1)
— Jeżeli m = 0 i σ = 1, to funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać
x2
f (x) = √12π e− 2 i oznaczamy ją przez ϕ(x).
y
x2
1
ϕ(x) = √ e− 2
2π
√1
2π
0
−1
x
σ=1
Rysunek 3. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego N (0, 1)
Rozkład normalny N (0, 1)
— Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0, 1) ma postać:
1
Φ(x) = √
2π
Zx
t2
e− 2 dt.
−∞
1
φ(x) = √
2π
y
1
Zx
t2
e− 2 dt
−∞
1
2
0
x
Rysunek 4. Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego N (0, 1)
2
Rozkład normalny
— Funkcje ϕ i Φ są stablicowane.
— Fakt, że zmienna losowa ma rozkład normalny z parametrami m, σ zapisujemy skrótowo X ∼ N (m, σ).
— EX = m, D2 (X) = σ 2 .
Standaryzacja zmiennej losowej
— Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N (m, σ), to zmienna losowa Y = X−m
ma rozkład N (0, 1).
σ
x−m
x−m
x−m
— Wtedy F (x) = P (X < x) = P X−m
<
=
P
Y
<
=
Φ
,
σ
σ
σ
σ
gdzie Φ jest dystrybuantą zmiennej losowej Y .
— Taki proces nazywamy standaryzacją zmiennej losowej.
Rozkład normalny N (0, 1)
— Z symetrii wykresu gęstości ϕ względem osi OY wynika, że
Φ(−x) = 1 − Φ(x).
— Często w tablicach, zamiast wartości funkcji Φ(x), podane są wartości funkcji
1
Φ0 (x) = √
2π
Zx
t2
e− 2 dt.
0
— Z własności dystrybuanty Φ(x) mamy wtedy: Φ(x) =
1
+ Φ0 (x).
2
Rozkład wykładniczy
— Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego jest określona wzorem:

dla x < 0,
 0
f (x) =
 1 − λx
dla x > 0,
gdzie λ > 0.
λe
y
1
λ
f (x) =
(
0,
1
1 −λ
x
λe
dla x < 0,
dla x > 0
0
x
Rysunek 5. Wykres funkcji gęstości rozkładu wykładniczego
Rozkład wykładniczy
— Dystrybuanta rozkładu wykładniczego ma postać:

0

F (x) =
x

1 − e− λ
dla x 6 0,
dla x > 0.
— EX = λ, D2 (X) = λ2
Inne rozkłady zmiennych losowych wykorzystywane w statystyce
3
— rozkład t-Studenta
— rozkład χ2 (chi kwadrat)
— rozkład F -Snedecora
Parametry rozkładu zmiennej losowej
—
—
—
—
—
wartość oczekiwana (wartość przeciętna, wartość średnia, nadzieja matematyczna)
wariancja
odchylenie standardowe
mediana
moda
Wartość oczekiwana
— Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej X
typu skokowego o rozkładzie pi = P (X = xi ), gdzie i ∈ {1, 2, . . . }, nazywamy liczbę
X
EX =
xi pi ,
i=1
przy założeniu, że suma
X
xi pi jest skończona albo szereg nieskończony
i=1
∞
X
|xi |pi jest zbieżny.
i=1
Wartość oczekiwana
— Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f nazywamy liczbę
+∞
Z
EX =
xf (x)dx,
−∞
+∞
Z
|x|f (x)dx jest zbieżna.
przy założeniu, że całka
−∞
Podstawowe własności wartości oczekiwanej
— E(aX + b) = aEX + b, gdzie a, b ∈ R
— jeżeli X i Y są dowolnymi zmiennymi losowymi, dla których istnieją wartości oczekiwane EX oraz EY , to E(X +
Y ) = EX + EY
— jeżeli istnieje E|X|, to prawdziwa jest nierówność |EX| 6 E|X|
— wartość oczekiwana jest miarą położenia, parametrem pozycyjnym: wskazuje punkt środkowy rozkładu, tzn. punkt,
wokół którego grupują się wartości zmiennej losowej
— interpretacja fizyczna: wartość oczekiwaną można utożsamiać z pojęciem środka ciężkości, jeśli prawdopodobieństwa
zinterpretujemy jako masy
Uwaga. Jak wynika z definicji, wartość oczekiwana dla niektórych zmiennych losowych nie istnieje (odpowiedni szereg
lub odpowiednia całka nie są zbieżne).
Wariancja
— Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę
D2 (X) = E(X − EX)2 .
— Jeżeli X jest zmienną losową typu skokowego o rozkładzie
pi = P (X = xi ), i ∈ {1, 2, . . . }, i wartości oczekiwanej EX = m, to
X
D2 (X) =
(xi − m)2 pi .
i
4
— Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f i wartości oczekiwanej EX =
m, to
+∞
Z
D2 (X) =
(x − m)2 f (x)dx.
−∞
Podstawowe własności wariancji
—
—
—
—
2
2
2
D (X) = E(X ) − (EX)
D2 (aX + b) = a2 D2 (X), gdzie a, b ∈ R
D2 (X) > 0 dla dowolnej zmiennej losowej X
wariancja jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej
Odchylenie standardowe
— Odchyleniem standardowym nazywamy liczbę
D(X) =
p
D2 (X).
— Podstawowe własności odchylenia standardowego:
— D(aX + b) = |a|D(X), gdzie a, b ∈ R
— D(X) > 0 dla dowolnej zmiennej losowej X
— odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej
Wartości EX oraz D2 (X) dla podstawowych rozkładów skokowych
— Rozkład jednopunktowy:
.
— Rozkład zero-jedynkowy:
EX = p, D2 (X) = pq.
— Rozkład Bernoulliego:
EX = np, D2 (X) = npq.
— Rozkład Poissona z parametrem λ:
EX = λ, D2 (X) = λ.
Wartości EX oraz D2 (X) dla podstawowych rozkładów ciągłych
— Rozkład jednostajny na przedziale ha, bi:
a+b
(b − a)2
EX =
, D2 (X) =
.
2
12
— Rozkład normalny N (m, σ):
EX = m, D2 (X) = σ 2 .
— Rozkład wykładniczy z parametrem λ:
EX = λ, D2 (X) = λ2 .
Mediana
— Medianą zmiennej losowej X nazywamy liczbę M e spełniającą warunki:
P (X 6 M e) >
1
1
oraz P (X > M e) > .
2
2
— W przypadku zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f powyższe nierówności redukują się do jednego z dwóch
równań:
+∞
ZM e
Z
1
1
f (x)dx =
lub
f (x)dx = .
2
2
−∞
Me
— Mediana jest parametrem, który nie zawsze jest wyznaczony w sposób jednoznaczny.
Czasami zdarza się nawet, że mediana jest dowolną liczbą z pewnego przedziału domkniętego.
5
Moda
— Modą M o (dominantą) zmiennej losowej X nazywamy:
— w przypadku zmiennej losowej typu skokowego - wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe prawdopodobieństwo;
— w przypadku zmiennej losowej typu ciągłego - wartość, dla której gęstość prawdopodobieństwa przyjmuje
maksimum lokalne.
— Moda jest więc wartością, która należy do zbioru wartości zmiennej losowej. Istnieją rozkłady jednomodalne (jest
tylko jedna moda), wielomodalne (więcej niż jedna moda) oraz takie, dla których moda nie istnieje.
— Mediana i moda to, podobnie jak wartość oczekiwana, parametry charakteryzujące położenie zbioru wartości
zmiennej losowej. Są to tzw. wskaźniki położenia lub inaczej charakterystyki pozycyjne.
6