Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ - E-SGH

Ćwiczenia 3
ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Zadanie 1.
Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy:
a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej.
b. Obliczyć parametry rozkładu tej zmiennej (wartość oczekiwana i odchylenie standardowe).
c. Zdefiniować i przedstawić graficznie dystrybuantę tej zmiennej.
Zadanie 2.
Mając daną dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej X:
0 < 0,5
1
0,5 ≤ < 1
= 3
2
1 ≤ < 5
3
1 ≥ 5
Wyznaczyć:
a. Moment zwykły pierwszego rzędu zmiennej losowej X.
b. P(X≤0,5), P(0,5≤X≤5), P(X≥1), P(X>0,5).
c. Przedstawić graficznie wykres funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuantę empiryczną.
Zadanie 3.
W doświadczeniu polegającym na dwukrotnym rzucie monetą: za wyrzucenie orła wygrywamy złotówkę, za
wyrzucenie reszki przegrywamy złotówkę. Definiujemy zmienną losową jako wartość wygranej (w podwójnym
rzucie monetą). Należy w oparciu o te informacje:
a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej oznaczającej wielkość wygranej.
b. Określić dystrybuantę dla tej zmiennej (wyznaczyć liczbowo oraz graficznie).
c. Wyznaczyć parametry rozkładu tej zmiennej.
Zadanie 4.
Z talii kart wybieramy losowo 1 kartę. Za wyciągnięcie dowolnej karty treflowej przegrywamy postawioną
stawkę S, za wyciągnięcie asa dowolnego koloru (oprócz trefla) wygrywamy 3S, za wyciągnięcie dwójki (bez
dwójki treflowej) przegrywamy 2 S.
a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oznaczającej wielkość wygranej.
b. Wyznaczyć parametry rozkładu tej zmiennej.
Zadanie 5.
Zmienna losowa X ma rozkład:
xi
-1
0
1
2
P(xi)
0,1
0,4
0,2
0,3
a. Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej
Y=X2+1.
b. Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej
Z=3X+1.
ROZKŁAD DWUMIANOWY
Zadanie 6.
Przeciętnie 3 gospodarstwa domowe na 4 posiadają pralkę automatyczną.
a. Określić prawdopodobieństwo, ze w wylosowanej próbie 3 gospodarstw wszystkie będą posiadały
pralkę automatyczną.
b. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze w losowej próbie 7 gospodarstw liczba tych, które posiadają
pralkę nie przekroczy 6.
Zadanie 7.
Wiadomo, ze co druga rodzina w Polsce posiada samochód osobowy. Określić prawdopodobieństwo, że w
wylosowanej próbie 4 rodzin żadna nie będzie posiadała samochodu.
Zadanie 8.
Zmienna losowa X o rozkładzie dwumianowym ma parametry: n=7, p=0,5.
a. Przedstawić graficznie rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Czym charakteryzuje się
wyznaczony rozkład prawdopodobieństwa?
b. Wyznaczyć – wzorem oraz na wykresie – dystrybuantę zmiennej losowej X.
c. Podać wartość liczbową parametrów rozkładu (wartość oczekiwana, odchylenie standardowe).
Zadanie 9.
Kontrola jakości zbadała jakość 8 partii żarówek. Wiadomo, że na każde 100 przebadanych partii kontrola
odrzuca średnio 10 partii z powodu dużej ilości żarówek wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z
pobranych 8 partii kontrola odrzuci:
a. 1 partię żarówek,
b. Mniej niż 2 partie żarówek,
Zadanie 10.
Przeciętnie co trzeci student nie wykonuje zadania domowego ze statystyki.
a. Jeżeli prowadzący ćwiczenia wywołuje losowo jedną osobę, jakie jest prawdopodobieństwo, że ma
ona odrobione zadanie?
b. Określić tabelarycznie rozkład zmiennej losowej X, gdzie X oznacza liczbę osób nieprzygotowanych do
ćwiczeń spośród wywołanych 4 osób.
c. Wyznaczyć parametry rozkładu zmiennej losowej X, gdzie X oznacza liczbę osób nieprzygotowanych do
ćwiczeń spośród wywołanych 4 osób.
Zadanie 11.
Ocenia się, że 10% dzieci jest dyslektykami. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 20-osobowej klasie będzie
więcej niż dwoje dzieci z dysleksją.
ROZKŁAD NORMALNY
Zadanie 12.
Korzystając z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego wystandaryzowanego, wyznacz liczbowo i graficznie
pole pod krzywą funkcji gęstości następujących prawdopodobieństw:
a. P(U<0)
b. P(U<-2)
c. P(U<-1)
d. P(U<1)
e. P(U>1)
f. P(U=1)
Zadanie 13.
Odczytaj z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego wystandaryzowanego, jakie są wartości zmiennej losowej
U, aby dystrybuanta F(U) wynosiła odpowiednio:
a. O,5
b. 0,025
c. 0,05
d. 0,95
e. 0,975
Zadanie 14.
Czas świecenia żarówki ma rozkład normalny z parametrami
prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić:
a. Od 1800 do 2200 godz.?
b. Mniej niż 1600 godz.?
c. Więcej niż 2600 godz.?
d. Dokładnie 2100 godz.?
= 2000 godzin oraz
= 200 godzin. Jakie jest
Zadanie 15.
Zakładając, że czas oczekiwania w kolejce pewnego banku ma rozkład normalny N(15; 5) określić jakie jest
prawdopodobieństwo, że będzie się stało w kolejce:
a. W czasie nie dłuższym niż 10 min?
b. W czasie dłuższym niż 18 min., ale nie krótszym niż 12 min?
c. Jaki procent klientów będzie oczekiwał w kolejce w czasie nie krótszym niż 18 min?
Wyniki proszę przedstawić graficznie.
Zadanie 16.
Średnia waga produktu wynosi 21 kg, a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładając, że waga ma rozkład normalny
obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a. Losowo wybrany produkt waży nie mniej niż 21,2 kg,
b. Losowo wybrany produkt wazy więcej niż 20 kg.
Zadanie 17.
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m; 30). Znaleźć wartość m wiedząc, że P(X < 80) = 0,6915.
Zadanie 18.
Czas spóźnień studentów na zajęcia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wariancji 0,25.
a. Jaki jest średni czas spóźnienia jeśli co piąte spóźnienie było krótsze od 2 min?
b. Jak często studenci spóźniają się o dłużej niż średni czas spóźnienia?
Zadania sprawdzające na podst. M. Wieczorek, Statystyka. Lubię to! Zbiór zadań, Oficyna Wydawnicza SGH,
Warszawa 2013.
Każdą odpowiedź jako: T – prawdziwą lub N – nieprawdziwą.
Zadanie 1.1
Rozkład dwumianowy określa prawdopodobieństwo uzyskania:
a. Sukcesu w jednym doświadczeniu.
b. Określonej liczby sukcesów w n doświadczeniach.
c. Częstości względnej sukcesów w n doświadczeniach.
Zadanie 1.2
Jeśli zmienna losowa ma rozkład 0-1, to:
a. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X zależy tylko od jednego parametru.
b. Wartość oczekiwana jest równa odchyleniu standardowemu
c. X ma maksymalną wariancję, gdy parametr p rozkładu wynosi ½.
Zadanie 1.3
Rozkład dwumianowy:
a. Dla dużych liczebnie prób jest zbieżny do rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej np i wariancji
npq [np(1-p)]
b. Jest symetryczny,
c. Jest oparty na schemacie losowania ze zwracaniem.
Zadanie 1.4
Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład normalny. Rozkłady zmiennych X i Y oraz X-Y:
a. Różnią się położeniem na osi liczbowej,
b. Różnią się kształtem (spłaszczeniem),
c. Mają jednakowe wariancje.
Zadanie 1.5
Momentem zwykłym rzędu pierwszego zmiennej X nazywamy:
a. Wariancję
b. Odchylenie standardowe
c. Wartość oczekiwaną.
Zadanie 1.6
Momentem centralnym rzędu drugiego zmiennej X nazywamy:
a. Wariancję
b. Wartość oczekiwaną
c. Różnicę momentu zwykłego rzędu drugiego i kwadratu momentu zwykłego rzędu pierwszego.
Wzory – ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA
Parametry rozkładu zmiennej losowej :
1. Wartość oczekiwana
=
-.
=+
−
,
/.
!"#$%%$& '(')$&(*'*')$&
−
!"#$%%$& '(')$&0#ą2ł$&
pi – funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przyjmującej wartości xi (i= 1,2,3,…)
f(x) – funkcja gęstości prawdopodobieństwa
2.
Wariancja 45
67
67
8
=
97 − −
-.
8 −
=+
Odchylenie standardowe 4
/.
!"#$%%$& '(')$&(*'*')$&
97 ,
−
!"#$%%$& '(')$&0#ą2ł$&
– pierwiastek dodatni z wariancji (tę wartość interpretujemy)
Momentem zwykłym (in. momentem) rzędu k (k=1,2,…) zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną ktej potęgi tej zmiennej, tzn.:
": = ;
": = ;
:
:
< =
:
-.
<=+
/.
:
,
!"#$%%$& '(')$&(*'*')$&
!"#$%%$& '(')$&0#ą2ł$&
Momentem centralnym rzędu k (k=1,2,…) zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną funkcji
2
=8
9: tej zmiennej, tzn.:
−
:
= 8 −
9: =
8
:
= 8 −
9: = =/. 8 −
−
-.
Dystrybuanta > ? zmiennej losowej skokowej:
9:
!"#$%%$& '(')$&(*'*')$&
9: ,
0
@
@ + 7 @ + 7 + B =
@ + 7 + B + C ⋮
@ + 7 + ⋯ + G/7 @ + 7 + ⋯ + G/@ 1
dla zmiennej losowej ciągłej
< @
<
@ ≤
≤
<
7
≤
<
B
<
C ≤
G/7 ≤
G/@ ≤
≥ G
7
B
C
<
<
D
G/@
G
ROZKŁAD DWUMIANOWY
Rozkład dwumianowy – rozkład rozkład prawdopodobieństwa liczby* sukcesów w% doświadczeniach
%
G/:
H =* =I J : 1
, gdzie * 0,1, . . . , % oraz 0
1
*
Parametry rozkładu dwumianowego:
%
7
6
L% M, 2 !#$M 1
ROZKŁAD NORMALNY
Rozkład normalny ~O P; R
,
@
$
/
VWX Y
YZY
, gdzie ∞
∞ oraz
S √7U
Parametry rozkładu normalnego:
"
6
\0
Rozkład normalny standardowy ~O ]; ^
_ `
@
√7U
$
aY
Y ,
/
gdzie ∞
∞
Parametry rozkładu normalnego standardowego:
b
0
6 b
1
Schemat obliczania c d
H
f
H
f
H
e w rozkładzie O P; R
_ f
_
Standaryzacja cechy w rozkładzie empirycznym:
`
̅
hi
Standaryzacja zmiennej w rozkładzie teoretycznym:
`
6i
"
~j 0; 1
ROZKŁAD NORMALNY - teoria
Standaryzacja rozkładu normalnego N(m,σ) jest metodą normalizacji rozkładu normalnego, czyli uzyskania
rozkładu N(0,1). Metoda standaryzacji zmiennej jest wykorzystywana przy zadaniach, w których mamy policzyć
prawdopodobieństwo zdarzenia zmiennej N(m,σ). Wynika to z faktu, że dysponujemy tylko tablicami dla N(0,1)
przez co chcąc podać wynik musimy przekształcić zadanie do wersji operującej na standardowej zmiennej
normalnej N(0,1).
Standaryzacja zmiennej losowej
Standaryzacja cechy w rozkładzie empirycznym:
− ̅
` =
hi
Standaryzacja zmiennej w rozkładzie teoretycznym:
−
−"
` =
=
~j 0; 1
6i
Rozkład normalny – in rozkład Gaussa odgrywa bardzo ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa i statystyce
matematycznej. Rozkładowi normalnemu podlega wiele zjawisk świata fizycznego np. waga i wzrost
jednorodnych populacji ludzkich i zwierzęcych, plon na jednakowych poletkach doświadczalnych, losowe błędy
pomiarów1.
Zmienna losowa ma rozkład normalny z parametrami " i :
~O P; R
Rozkład normalny ze średnią " 0 oraz odchyleniem standardowym
1 nazywamy standardowym
rozkładem normalnym i oznaczamy go jako j 0,1 .
Reguła 3 sigm:
|
H
"|
H 1 b 1
1
1
0,68269 68,3%
|
H
"|
2
2 b 2
2
2
0,95450 95,5%
|
H
"|
3
3 b 3
3
3
0,99730 99,7%
Oznacza, że: gdybyśmy obserwowali realizacje zmiennej losowej o dowolnym rozkładzie normalnym wówczas
około 68,3% obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego (wokół średniej), około
95,5% obserwacji mieści się w granicach dwóch odchyleń standardowych i około 99,7% obserwacji mieści się w
granicach trzech odchyleń standardowych.
H |b| `r
1 s lub
H |b| \ `r
s
1
J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2012, s. 142.