(CPM) Metoda I

D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
BADANIA OPERACYJNE
Wykład 5: Zarządzanie projektami przy pomocy sieci.
dr Dorota Ciołek
Katedra Ekonometrii
Wydział Zarządzania UG
http://wzr.pl/dc
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Podstawowe pojęcia (1)
Projekt (przedsięwzięcie) – zorganizowane działanie ludzkie
z wyróżnionym początkiem i końcem, zmierzające do
osiągnięcia określonego celu i zawarte w skończonym
przedziale czasu.
Ogólne charakterystyki:
- Należy wykonać więcej niż jedną czynność,
- Niektóre czynności mogą być wykonywane równolegle,
niezależnie,
- Inne czynności mogą rozpoczynać się dopiero wówczas,
gdy zakończone zostanie jakieś poprzedzające je działanie.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Podstawowe pojęcia (2)
Sieci wspomagają planowanie i kontrolę realizacji projektów.
Sieci - stanowią graficzną reprezentację czynności
wchodzących w skład projektu oraz zależności
strukturalnych między nimi, czyli kolejności ich wykonania
zgodnie z wymogami procesu pracy.
Sieć składa się z uporządkowanego zbioru węzłów
(wierzchołków) oraz łuków.
Główne techniki sieciowe:
1) AOA (activities-on-arcs) – łuki reprezentują czynności,
węzły reprezentują zdarzenia – graf czynności.
2) AON (activities-on-nodes) – węzły pokazują czynności, a
łuki relacje poprzedzenia – graf zdarzeń.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Sieć czynności – definicja
Sieć czynności jest grafem:
•
Skierowanym – składa się z połączeń o określonym
kierunku,
•
Antysymetrycznym – składa się z dróg umożliwiających
przejście tylko w jednym kierunku: od węzła początkowego
do końcowego,
•
Spójnym – łączy wszystkie węzły i łuki,
•
Acykliczny – pozbawiony jest obwodów zamkniętych
wewnątrz sieci.
Budowa sieci AOA wymaga znajomości wszystkich czynności
wchodzących w skład projektu oraz zbioru czynności
bezpośrednio je poprzedzających.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Zasady konstrukcji sieci:
1) Nazwy czynności oznaczane są kolejnymi literami alfabetu,
lub symbolem <i, j>, co oznacza, że i-te zdarzenie
rozpoczyna daną czynność, a j-te zdarzenie kończy tę
czynność.
2) Sieć zawiera dokładnie jedno zdarzenie początkowe i jedno
zdarzenie końcowe. Wszystkie inne zdarzenia w sieci
powinny być początkiem i końcem co najmniej jednej
czynności.
3) Do zdarzenia rozpoczynającego daną czynność powinny
dochodzić tylko te czynności, które bezpośrednio ją
poprzedzają.
4) Dwie czynności mogą rozpoczynać się od tego samego
zdarzenia tylko wtedy, jeżeli maja identyczny zbiór
czynności poprzedzających.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Zasady konstrukcji sieci (cd):
5) Dwa dowolnie wybrane węzły (zdarzenia) może łączyć
bezpośrednio co najwyżej jeden łuk (czynność).
6) Każdy węzeł (zdarzenie) otrzymuje odrębny numer (liczbę
całkowitą), zdarzenie początkowe numer 1, zdarzenie
końcowe numer n.
7) Należy unikać sytuacji, w której łuki przecinają się ze sobą.
Czasem, aby zachować wszystkie zasady należy wprowadzić
czynności pozorne (fikcyjne), oznaczone w sieci
przerywanymi strzałkami – nie oznaczają żadnego
konkretnego działania.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Etapy budowy sieci AOA
Etap 1) Wypisać zbiory czynności poprzedzających, ich
niepuste części wspólne oraz zbiory tych czynności, które
nie wystąpiły w żadnym zbiorze – każdemu utworzonemu
zbiorowi przypisać wierzchołek sieci.
Etap 2) Narysować łuki odpowiadające czynnościom, tak aby
rozpoczynały się od zbioru ich poprzedników, a kończyły w
najmniejszym zbiorze zawierającym nazwę danej czynności.
Etap 3) Jeżeli dany niepusty zbiór zawiera się w innym
zbiorze, wprowadzić czynność pozorną zwrócona w kierunku
bardziej licznego zbioru.
Etap 4) Jeżeli dwa zbiory połączone są więcej niż jednym
łukiem – dołączyć czynność fikcyjną.
Etap 5) Ponumerować węzły tak, aby dla każdej czynności
zdarzenie rozpoczynające miało numer niższy niż kończące.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Możliwości wykorzystania grafu
1) Analiza czasowa – Metoda Ścieżki Krytycznej (CPM),
(metoda deterministyczna).
2) Ocena i kontrola programu (PERT), (metoda
probabilistyczna).
3) Analiza czasowo-kosztowa (CPM-COST).
4) Analiza zasobowa.
D. Ciołek
Przykład 1.
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Ignasiak E. (2001), „Badania operacyjne”
Celem realizacji projektu jest przygotowanie wystawy.
W zadaniu można wskazać następujące czynności, które
powinny być zrealizowane:
A – wybór lokalizacji wystawy,
B – przygotowanie eksponatów,
C – przygotowanie terenu wystawy,
D – przygotowanie stoisk,
E – dostawa eksponatów,
F – przygotowanie obsługi stoisk,
G – urządzenie stoisk wystawowych,
H – otwarcie wystawy.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d.
Należy określić kolejność wykonywania czynności:
- czynności poprzedzające,
- czynności równoległe,
- czynności następujące.
Czynność
Bezpośrednio poprzedzające
A
B
C
D
E
F
G
H
A
C
B
A
D, E
F, G
Bezpośrednio następujące
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d.
Należy określić kolejność wykonywania czynności:
- czynności poprzedzające,
- czynności równoległe,
- czynności następujące.
Czynność
Bezpośrednio poprzedzające
Bezpośrednio następujące
A
B
C
D
E
F
G
H
A
C
B
A
D, E
F, G
C, F
E
D
G
G
H
H
-
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d.
Uporządkowanie czynności oraz stany (zdarzenia) jakie mają
miejsce po ich zrealizowaniu, można przedstawić w
następujący sposób:
E
4
5
B
D
3
1
7
G
H
C
A
2
F
6
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia
Metoda Ścieżki Krytycznej (CPM)
Pomaga udzielić odpowiedzi na pytania:
- Jaki jest najwcześniejszy możliwy do uzyskania czas
realizacji projektu?
- Opóźnienie których czynności przesunie moment zakończenia
realizacji projektu?
- Które działania można wykonać wolniej lub rozpocząć
później, nie opóźniając przy tym realizacji całego projektu?
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)
Ścieżka – każdy ciąg kolejno następujących po sobie
czynności.
Ścieżka pełna – taka ścieżka, której pierwsza czynność
zaczyna się w zdarzeniu początkowym, a ostatnia kończy się
w zdarzeniu końcowym sieci.
Czas trwania czynności – nakład czasu potrzebny na jej
realizację.
Warunkiem przeprowadzenia analizy czasowej jest znajomość
czasu potrzebnego do realizacji poszczególnych czynności –
czas jest zdeterminowany, nie zależy od czynników
losowych – metoda deterministyczna.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)
Metoda I
1) Wypisać wszystkie ścieżki pełne.
2) Obliczyć czas trwania każdej ścieżki przez dodanie czasów
trwania wszystkich czynności na niej leżących.
3) Wybrać tę ścieżkę (ścieżki), która charakteryzuje się
najdłuższym czasem trwania – określa ona najkrótszy
możliwy czas realizacji projektu – T*.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)
Metoda II
Określmy:
ti’ - najwcześniejszy możliwy moment zajścia zdarzenia – czyli
moment zajścia i-tego zdarzenia, w którym najwcześniej
ukończone zostaną wszystkie wchodzące do niego czynności.
ti’’ – najpóźniejszy dopuszczalny moment zajścia zdarzenia –
czyli moment, w którym najpóźniej ukończone muszą być
wszystkie czynności wchodzące do i-tego zdarzenia, aby nie
opóźnił się moment realizacji całego projektu.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)


t i'  max t k'  t ki ,
k
i  2, ..., n
k – zdarzenie początkowe czynności, które kończą się
zdarzeniem i,
tki – czas trwania czynności <k, i>.


ti''  min tk''  tki ,
k
i  n  1, ...,1
k – zdarzenie początkowe czynności, które kończą się
zdarzeniem i,
tki – czas trwania czynności <k, i>.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)
Moment najwcześniejszy ustalamy metoda „krok do przodu”,
rozpoczynając od zdarzenia początkowego, dla którego t’1=0,
a kończąc ma zdarzeniu n.
Moment najpóźniejszy dopuszczalny wyznaczamy w sieci
metodą „krok do tyłu”, rozpoczynając od zdarzenia
końcowego, dla którego t’’n = t’n i kończąc na pierwszym
zdarzeniu.
Wystąpienie zdarzenia końcowego równoznaczne jest z
zakończeniem projektu, dlatego:
T *  t'n  t' 'n
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Przykład 1. c.d.
Poszczególnym czynnościom przyporządkowujemy
odpowiednie czasy realizacji:
A – wybór lokalizacji wystawy – 4 dni
B – przygotowanie eksponatów – 5 dni
C – przygotowanie terenu wystawy – 4 dni
D – przygotowanie stoisk – 3 dni
E – dostawa eksponatów – 1 dzień
F – przygotowanie obsługi stoisk – 4 dni
G – urządzenie stoisk wystawowych – 4 dni
H – otwarcie wystawy - 1 dzień
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)
Wyznaczamy zapasy czasu dla poszczególnych działań.
Całkowity zapas czasu:
z ijc  t 'j'  t i'  t ij
określa, o ile czas trwania czynności <i, j> może być
wydłużony, lub moment jej rozpoczęcia opóźniony, aby
najkrótszy czas realizacji projektu nie zmienił się.
Zapas swobodny:
z ijs  t 'j  t i'  t ij
Może być wykorzystany bez wpływu na zapasy czynności tej
samej ścieżki.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)
Zapas warunkowy:
w
z ij
''
tj
''
 ti
 t ij
jego wykorzystanie, przy danej czynności, nie zmienia
zapasów czasu czynności poprzednich znajdujących się na
tej samej ścieżce.
Niezależny zapas czasu:
 
zijn  max 0, t 'j  ti''  tij

Informuje o rezerwie, której wykorzystanie nie ma wpływu na
zapas jakiejkolwiek innej czynności.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (CPM)
Czynności krytyczne - czynności o zerowym zapasie
całkowitym – jakiekolwiek wydłużenie czasu trwania tych
czynności opóźnia moment zakończenia inwestycji.
Pozostałe zapasy czasu czynności krytycznej są również
zerowe.
Wykresy Gantta – inny sposób graficznej prezentacji struktury
projektu oraz jego analizy czasowej.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia
Techniki Oceny i Kontroli Programu
(PERT)
Nie zawsze możliwe jest precyzyjne ustalenie czasów realizacji
działań przed rozpoczęciem projektu.
Stosujemy wówczas:
metody niedeterministyczne – stochastyczne,
probabilistyczne.
Czasy trwania poszczególnych czynności traktowane są jako
zmienne losowe o określonej funkcji gęstości
prawdopodobieństwa.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT)
Określamy:
oczekiwany czas realizacji czynności:
gdzie:
a  4m  b
t0 
6
a – czas optymistyczny realizacji czynności w okolicznościach
sprzyjających,
m – czas najbardziej prawdopodobny realizacji czynności w
warunkach normalnych,
b – czas pesymistyczny realizacji czynności w warunkach
niesprzyjających.
Formuła ma sens jeżeli:
amb
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT)
Najwcześniejszy oczekiwany czas realizacji projektu T0
wyliczamy dodając czasy oczekiwane dla czynności
znajdujących się na ścieżce krytycznej.
Możemy określić również stopień niepewności związany z
przewidywanym czasem realizacji czynności <i, j>,
wynikający z różnicy między czasem optymistycznym i
pesymistycznym.
Definiujemy wariancję – miarę niepewności:
ba
vij  

 6 
2
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT)
Wariancja pozwala wyznaczyć możliwe odchylenie
rzeczywistego momentu zakończenia inwestycji od
momentu oczekiwanego sT :
0
obliczamy wariancję oczekiwanego czasu realizacji projektu
sumując wariancje czasu dla wszystkich czynności na ścieżce
krytycznej. Z otrzymanego wyniku wyciągamy pierwiastek.
Jeżeli graf składa się z kilku ścieżek krytycznych, wówczas
możliwe odchylenie oblicza się na podstawie tej ścieżki, dla
której suma wariancji jest największa.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT)
Możemy określić również błędy w oczekiwanych momentach
zajścia poszczególnych zdarzeń.
Wariancje najwcześniejszych momentów – sumujemy
wariancje czasów trwania czynności począwszy od źródła
grafu, dla którego v1’=0:


vi'  max v k'  v ki ,
i  2, ..., n
gdzie:
k – zdarzenie początkowe czynności, które kończą się
zdarzeniem i,
vki – wariancja czasu trwania czynności <k, i>.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT)
Wariancje najpóźniejszych momentów zajścia zdarzenia–
sumujemy wariancje czasów trwania czynności począwszy od
końca grafu, przy czym vn’’=0:


vi''  max vk''  vki ,
i  2  n  1, ...,1
gdzie:
k – zdarzenie końcowe czynności rozpoczynającej się
zdarzeniem i,
vki – wariancja czasu trwania czynności <i, k>.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowa przedsięwzięcia (PERT)
Znając czas oczekiwany realizacji projektu oraz jego odchylenie
standardowe, można określić prawdopodobieństwo
zakończenia projektu w dowolnym zadanym czasie
(Tz).
Wyznaczamy parametr z, który wykorzystamy do odnalezienia
tego prawdopodobieństwa w tablicy dystrybuanty rozkładu
normalnego standaryzowanego:
Tz  To
z
sT0
Gdy wartość prawdopodobieństwa znajduje się poniżej 0,25
stwierdzamy, że realizacja projektu w zadanym czasie jest
obarczona znacznym ryzykiem.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa
Oprócz analizy czasowej przedsięwzięcia ważny jest aspekt
ekonomiczny realizacji projektu.
Kompresja sieci – wprowadzenie zmian czasu trwania
niektórych czynności w taki sposób, aby skrócić łączny czas
realizacji projektu. Wynika z potrzeby przyśpieszenia
zakończenia przedsięwzięcia.
Skrócenie czasu pracy pociąga za sobą wzrost kosztów –
analiza czasowo-kosztowa umożliwia minimalizację
wzrostu kosztów.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST
Minimalizujemy czas realizacji przedsięwzięcia (T), mając na
względzie dostępne środki (Kd), które można przeznaczyć na
koszty dodatkowe wynikające ze skrócenia czasu pracy
(budget problem).
T ( X )  min
K(X )  K d
T


X

x
,
x
,
...
,
x
1 2
m
gdzie
to wektor czasów wykonania
czynności danego przedsięwzięcia.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST
Koszty skrócenia danego działania o każdą kolejną jednostkę
mogą wzrastać z tą samą lub różną prędkością.
Jeżeli wzrastają z tą samą prędkością, to koszt jednostkowy
(średni gradient kosztu):
sij 
gdzie:
k ijg  k ijn
t ijn  t ijg
sij – wzrost kosztu związany ze skróceniem czasu czynności <i, j>
o jedną jednostkę,
tijn – normalny czas trwania czynności <i, j>,
tijg – graniczny czas trwania czynności <i, j>,
kijn – koszt związany z realizacją czynności w czasie normalnym,
kijg – koszt związany z realizacją czynności w czasie granicznym.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST
Czas graniczny – najkrótszy możliwy ze względów technicznych i
technologicznych czas na wykonanie danego działania.
W przypadku identycznych kosztów skrócenia, model można
zapisać:
t n  min .
t j  t ijn  y ij  t i
t1  0
m
d
s
y

K
 ij ij
ij
gdzie:
ti , t j  0
y ij  Pij
y ij  N
ti(tj) – moment zajścia i-tego (j-tego) zdarzenia,
n – liczba zdarzeń,
yij – liczba jednostek czasu, o jaką trzeba skrócić czynność <i, j>,
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST
m – liczba czynności,
sij – jednostkowy koszt skrócenia czasu <i, j>,
Kd – dostępne środki,
Pij – maksymalna liczba jednostek, o którą skrócenie czasu
trwania czynności <i, j> jest możliwe (różnica miedzy
czasem normalnym a czasem granicznym).
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST
W przypadku różnych kosztów skrócenia, model można
zapisać:
t n  min .
yij1  yij2  ... yijij
P
Pij
t j  tijn   yijp  ti
p 1
t1  0
m Pij
  kijp yijp  K d
ij 1 p 1
gdzie:
ti , t j  0
yijp   0,1 
yijp – zmienna przyjmuje wartość 1, gdy czynność <i, j>
zostanie skrócona po raz p-ty,
kijp – koszt skrócenia po raz p-ty czynnosci <i, j>,
Td – czas dyrektywny.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST
Główne zasady metody:
1) W celu skrócenia czasu realizacji całego przedsięwzięcia
należy rozpatrywać jedynie ścieżki krytyczne, ponieważ to
one decydują o momencie zakończenia projektu,
2) Każde skrócenie momentu zakończenia przedsięwzięcia może
wpłynąć na kształt podsieci krytycznej, czyli na liczbę ścieżek
krytycznych,
3) Ścieżka krytyczna może przestać być krytyczna, jeżeli nie
zachowa w następnej iteracji zerowego zapasu czasu,
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 5
Analiza czasowo-kosztowa CPM-COST
4) Skracanie czasu realizacji przedsięwzięcia sukcesywnie o
jedną jednostkę jest konieczne, zwłaszcza gdy w sieci
występuje kilka ścieżek krytycznych; jeżeli siec składa się
tylko z jednej drogi krytycznej, i to znacznie dłuższej od
pozostałych ścieżek, wybraną czynność krytyczną można w
danej iteracji skrócić od razu o kilka jednostek, pamiętając o
ograniczeniach wynikających z ustalonego czasu granicznego
oraz z dostępnych środków przeznaczonych na akcelerację
działań.