1. Zasada indukcji matematycznej, zasada minimum, zasada

1. Zasada indukcji matematycznej, zasada minimum, zasada szufladkowa Dirichleta
Twierdzenie 1.1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech T będzie formułą zdaniową jednej zmiennej o dziedzinie
N. Jeśli zdanie T (1) jest prawdziwe oraz dla każdej liczby naturalnej k prawdziwa jest implikacja
T (k) ⇒ T (k + 1),
to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n.
Twierdzenie 1.2 (wersja ogólniejsza). Niech T będzie formułą zdaniową jednej zmiennej o dziedzinie N. Jeśli
zdanie T (n0 ) jest prawdziwe oraz dla każdej liczby naturalnej k ≥ n0 prawdziwa jest implikacja
T (k) ⇒ T (k + 1),
to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0 .
Twierdzenie 1.3 (jeszcze inna wersja). Niech T będzie formułą zdaniową jednej zmiennej o dziedzinie N. Jeśli
zdanie T (n0 ) jest prawdziwe oraz dla każdej liczby naturalnej k ≥ n0 prawdziwa jest implikacja
[T (n0 ) ∧ . . . ∧ T (k)] ⇒ T (k + 1),
to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0 .
Twierdzenie 1.4 (i jeszcze inna wersja). Niech T będzie formułą zdaniową jednej zmiennej o dziedzinie N. Jeśli
zdanie T (n0 ) jest prawdziwe oraz dla każdej liczby naturalnej k, n0 ≤ k < m, prawdziwa jest implikacja
T (k) ⇒ T (k + 1),
to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n, n0 ≤ n ≤ m.
Twierdzenie 1.5 (Zasada szufladkowa Dirichleta (wersja opisowa, podstawowa)). Jeśli n+1 przedmiotów wkładamy
do n szufladek, to w którejś szufladce będą przynajmniej 2 przedmioty.
Twierdzenie 1.6 (Zasada szufladkowa Dirichleta (wersja opisowa, trochę bardziej zaawansowana)). Jeśli kn + 1
przedmiotów wkładamy do n szufladek, to w którejś szufladce będzie przynajmniej k + 1 przedmiotów.
A matematycznie to można wyrazić na przykład tak: Jeśli |X| = nk + 1, |Y | = n, to dla każdej funkcji f : X → Y
istnieje taki y ∈ Y , że |f −1 (y)| ≥ k + 1.
Albo tak: jeśli X = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xn , oraz |X| = kn + 1, to istnieje takie i ∈ {1, . . . , n}, że |Xi | ≥ k + 1.
Twierdzenie 1.7 (Zasada minimum). Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych posiada element najmniejszy.
Przykład 1.1. Dla liczby naturalnej n mamy dostępne następujące operacje: gdy n jest parzysta, to dzielimy ją przez
2, a gdy n jest nieparzysta, to wykonujemy działanie 3n + 1 lub 3n − 1. Wykaż, że stosując te operacje, wychodząc
od dowolnej liczby naturalnej zawsze dostaniemy po pewnej liczbie kroków liczbę 1.
1
2
ZADANIA (Wykaż, przy pomocy indukcji matematycznej, że...(Można też dowodzić innymi metodami dodatkowo))
Zadanie 1.1. 1 · 2 · . . . · n > 2n dla n ≥ 4.
Zadanie 1.2.
n(n + 1)
2
1 + 2 + ... + n =
Zadanie 1.3.
13 + 23 + . . . + n3 =
n(n + 1)
2
2
Zadanie 1.4. 43|(6n+2 + 72n+1 )
Zadanie 1.5. 3n > n3 dla n ≥ 4
Zadanie 1.6.
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Zadanie 1.7.
13 + 33 + 53 + . . . + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1)
Zadanie 1.8.
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) · (n + 2) =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
Zadanie 1.9.
1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n = 2n+1 − 1
Zadanie 1.10.
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n! = (n + 1)! − 1
Zadanie 1.11. 133|(11n+2 + 122n+1 )
Zadanie 1.12. 2n > n4 dla n ≥ 17
Zadanie 1.13. n! > 4n dla n ≥ 9
Zadanie 1.14. 10|(34n+1 + 1)
Zadanie 1.15. 2n > n2 dla n ≥ 5
Zadanie 1.16.
12 + 32 + 52 + . . . + (2n + 1)2 =
Zadanie 1.17.
Zadanie 1.18.
1
1
1
n
+
+ ... +
=
1·2 2·3
n(n + 1)
n+1
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1·3 3·5 5·7
(2n − 1)(2n + 1)
2n + 1
Zadanie 1.19. 9|(4n + 15n − 1)
Zadanie 1.20. 3|(n3 + 2n)
(n + 1)(4n2 + 8n + 3)
3
3
ZADANIA (korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta rozwiąż następujące zadania)
Zadanie 1.21. W dziewięciu skrzynkach umieszczono 82 jabłka. Wykazać, że
(a) jedna za skrzynek zawiera co najmniej 10 jabłek.
(b) jeśli dwie skrzynki zawierają po jednym jabłku, to któraś ze skrzynek zawiera ich 12(przynajmniej).
Zadanie 1.22. Pokazać, że w dowolnej grupie ludzi są dwie osoby, które mają w tej grupie jednakowe liczby znajomych.
Zadanie 1.23. Danych jest 7 liczb całkowitych. Wykazać, że można wsród nich znaleźć takie dwie, że róznica ich
kwadratów jest podzielna przez 10.
Zadanie 1.24. Na kartce w kratkę zaznaczono 5 punktów kratowych. Udowodnić, że środek odcinka łączącego pewne
dwa sposród nich jest także punktem kratowym.
Zadanie 1.25. Niech n ∈ N . Udowodnić, że istnieje taka liczba naturalna m, że zapis liczby mn składa sie tylko z
zer i jedynek.
Zadanie 1.26. Udowodnić, że z dowolnego 10-elementowego zbioru złożonego z liczb dwucyfrowych można wybrać
dwa różne podzbiory, których sumy elementów będą równe.
Zadanie 1.27. Wykazać, że w ciągu Fibonacciego (F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , n ∈ N) można znaleźć liczbę
podzielną przez 2013.
Zadanie 1.28. Danych jest 2013 liczb całkowitych. Wykazać, że zawsze można wsród nich znaleźć takie trzy różne
liczby a, b, c, że a(b − c) jest podzielne przez 2013.
Zadanie 1.29. Danych jest 17 różnych liczb całkowitych. Udowodnić, że można sposród nich wybrać pięć liczb,
których suma jest podzielna przez 5.
Zadanie 1.30. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną k o tej własności, że wsród dowolnych k różnych liczb całkowitych można wskazać dwie, których różnica sześcianów jest podzielna przez 9.
Zadanie 1.31. W ciagu 0; 0; 1; 2; 3; 6; 12; 23; 44; 85; 164; . . . każdy wyraz począwszy od piatego jest sumą czterech
poprzednich. Wykazać, że pewne dwie kolejne liczby w tym ciągu są podzielne przez 14.
Zadanie 1.32. Przy okrągłym stole zasiadło n osób, przy czym okazało sie, że żadna z tych osób nie usiadła przy
swoim kubku. Pokaż, że można stół tak obrócić, aby przynajmniej dwie osoby siedziały przy swoim kubku.
Zadanie 1.33. W tabeli o 65 wierszach i 5 kolumnach pola pomalowane są na biało albo czarno. Wykaż, że znajdziemy
trzy wiersze i trzy kolumny tak, aby pola z ich przecięć miały ten sam kolor.
Zadanie 1.34. Wykazać, że z dowolnego zbioru 2016 liczb całkowitych można wybrać taki podzbiór, że suma liczb
z tego podzbioru dzieli się przez 2016.
Zadanie 1.35. W turnieju piłkarskim, w którym docelowo każda drużyna ma zagrać z każdą inną, bierze udział n
zespołów. Uzasadnić, że w dowolnym momencie trwania turnieju znajdą się dwie drużyny, które rozegrały do tego
momentu tę samą liczbę meczów.
Zadanie 1.36. Pokazać, że odległość pewnych dwóch punktów, spośród siedemnastu umieszczonych w trójkącie
równobocznym o boku długości 4, jest nie większa niż 1.
Zadanie 1.37. Każde dwa wierzchołki sześciokąta foremnego połączono odcinkiem zielonym lub czerownym. Wykazać, że został narysowany co najmniej jeden trójkąt o bokach tego samego koloru.
Zadanie 1.38. Grupa 41 studentów zaliczyła sesję składającą się z trzech egzaminów, w których możliwymi ocenami
były bdb, db i dst. Wykazać, że co najmniej pięcioro studentów zaliczyło sesję z jednakowym “zbiorem” ocen.1
Zadanie 1.39. Niech dla ustalonego n naturalnego A będzie podzbiorem mocy n+1 zbioru {1, 2, . . . , 2n}. Udowodnić,
że A zawiera dwie różne liczby a i b, takie, że a + b = 2n + 1.
Zadanie 1.40. Niech dla ustalonego n naturalnego A będzie podzbiorem mocy n+1 zbioru {1, 2, . . . , 2n}. Udowodnić,
że A zawiera dwie różne liczby a i b, takie, że a jest dzielnikiem b.
Zadanie 1.41. Niech dla ustalonego n naturalnego A będzie podzbiorem mocy n+1 zbioru {1, 2, . . . , 2n}. Udowodnić,
że A zawiera dwie różne liczby a i b, takie, że a jest względnie pierwsze z b.
1ile jest różnych “zbiorów” k ocen spośród n możliwych ocen?
4
2. Podstawowe prawa i metody przeliczania
(1) Prawo mnożenia
Niech A1 , A2 , . . . , An będą skończonymi zbiorami. Wtedy
|A1 × A2 × . . . × An | = |A1 | · |A2 | · . . . · |An |.
Przykład 2.1. Na kursie tańca jest 5 panów i 8 pań, każdy pan z każdą panią ma zatańczyć dwa tańce. Ile
tańców będzie odtańczonych?
Przykład 2.2. Ile dzielników naturalnych ma liczba 106920?2
(2) Prawo dodawania
Jeśli A1 , A2 . . . , An są skończonymi zbiorami parami rozłącznymi, to
n
n
[
X
|Ai |.
Ai =
i=1
i=1
(3) Zasada włączania i wyłączania
Dla dowolnych zbiorów skończonych A1 , A2 , . . . , An , k ∈ [n] oraz i1 , i2 , . . . ik ∈ [n] niech
Ai1 ,i2 ,...,ik := Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik .
Wtedy
n
n
[ X
=
A
(−1)k+1
i
i=1
k=1
X
|Ai1 ,i2 ,...ik |.
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
Powyższy wzór zwany jest wzorem Sylwestra.
Ćwiczenie 2.1. Zapisz ten wzór dla dwu, trzech i może czterech składników.
(4) Zasada bijekcji
|A| = |B| wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja3 f : A → B.
A trochę ogólniej mamy: Jeśli A i B są zbiorami skończonymi, f : A → B i dla każdego b ∈ B mamy4
|f −1 ({b})| = n, to |A| = n|B|.
Przykład 2.3. Pokaż, że wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest 2n .
Przykład 2.4. Pokaż, że kombinacji k-elementowych jest k! razy mniej niż wariacji k-elementowych zbioru
n-elementowego.
2106920 = 23 · 35 · 5 · 11
3bijekcja to funkcja różnowartościowa i “na”, tzn. funkcja ustawiająca w pary elementy zbioru A z elementami zbioru B
4Przypominam, że f −1 ({b}) = {a ∈ A : f (a) = b}
5
Przykład 2.5. Pokaż, że obiektów opisanych w poszczególnych poniższych podpunktach jest tyle samo:
(a) 5-elementowe kombinacje z powtórzeniami zbioru {a, b, c}.
{{a, b, b, b, c}}
(b) Rozmieszczeniu pięciu jednakowych przedmiotów w trzech szufladkach (oznaczonych literami a, b, c).5
W szufladce a: 1 przedmiot, w b trzy przedmioty, w c jeden przedmiot.
h◦| ◦ ◦ ◦ |◦i
(c) Ciągi binarne (tzn. ciągi złożone z zer i jedynek) złożone z pięciu zer i dwóch jedynek.6
0100010
(d) Rozwiązania równania 5 = x1 + x2 + x3 w liczbach całkowitych nieujemnych.7
5=1+3+1
(e) Najkrótsze drogi z A = (0, 0) do B = (5, 2) (poruszamy się po prostych x = m, y = l, dla m, l ∈ Z).8
(→, ↑, →→→, ↑, →)
(f) Funkcje (słabo) rosnące f : {1, 2} → {0, 1, 2, 3, 4, 5}.9
f (1) = 1, f (2) = 1 + 3 = 4.
(g) Dwuelementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5}.10
{{1, 4}}.
(h) Rozmieszczenia dwóch jednakowych przedmiotów w sześciu szufladkach.11
h| ◦ ||| ◦ |i
(i) Ciągi binarne złożone z dwóch zer i pięciu jedynek.12
1011101
(j) Rozwiązania równania 2 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 w liczbach całkowitych nieujemnych.13
2=0+1+0+0+1+0
(k) Funkcje (słabo) rosnące f : {1, 2, 3, 4, 5} → {0, 1, 2}. 14
f (1) = 0, f (2) = 1, f (3) = 1, f (4) = 1, f (5) = 2
Ćwiczenie 2.2. Zapisz powyższy przykład ogólnie z k i n zamiast 5 i 3.
Przykład 2.6. (k ≥ n) Pokaż, że obiektów opisanych w poniższych podpunktach jest tyle samo:
(a) Rozmieszczenia k identycznych kul w n oznaczonych szufladach nie pozostawiające żadnej szufladki
pustej
(b) Podziały liczby k na n uporzadkowanych, dodatnich, całkowitoliczbowych składników (czyli innymi
słowy rozwiązania równania k = x1 + x2 + . . . + xn w liczbach naturalnych (całkowitych dodatnich))
(c) Ciągi binarne złożone z n − 1 jedynek i k − n zer
(d) Kombinacje n − 1 elementowe zbioru k − 1 elementowego
(e) Funkcje ściśle rosnące f : [n − 1] → [k − 1]
5ile elementów w szufladce, tyle razy ta literka w multizbiorze
60 to "przedmioty", a jedynki to przegródki między szufladami a, b, c, jest ich dwie, bo są trzy szufladki
7ilość zer to składnik, a jedynka to +
80 to ruch poziomy w prawo, a jedynka to ruch pionowy, w górę; droga ma długość 5 + 2, trzeba wybrać z tych siedmiu miejsc, dwa,
na których idziemy w górę.
9wartości funkcji odpowiadają sumom częściowym podziału (ostatnia suma jest zawsze 5, więc jej już nie trzeba i dlatego też
argumentów jest dwa,a nie trzy)
10do multizbioru wybieramy te elementy, które są wartościami funkcji z przykładu jeden wyżej
11szufladki odpowiadają elementom 0, 1, 2, 3, 4, 5
12dalej jedynki to przegródki, a zera to przedmioty, patrz punkt wyżej, ale teraz widać też, że rozmieszczenie dwóch przedmiotów w
sześciu szufladkach to "to samo", co pięciu w trzech szufladkach!
13jedynki na plusy, zera dają poszczególne składniki
14sumy częściowe, ostatnia jest równa dwa, więc nie uwzględniamy jej, dlatego argumentów 5, o jeden mniej niż składników. Można
też wrócić do punktu wyjścia i zamienić 0 na a, 1 na b, 2 na c; wtedy wartości funkcji stworzą multizbiór, którego szukamy
6
ZADANIA (zasada włączania - wyłączania)
Zadanie 2.1. W pewnej szkole 64 uczniów bierze udział w pięciu olimpiadach przedmiotowych. W każdej z tych
olimpiad uczestniczy co najmniej 19 uczniów tej szkoły; żaden z nich nie jest uczestnikiem więcej niż trzech olimpiad.
Udowodnić, ze jeżeli każde trzy olimpiady mają wspólnego uczestnika, to pewne dwie mają ich co najmniej pięciu.
Zadanie 2.2. W pewnej klasie uczniowie zdają maturę z matematyki, fizyki lub geografii. 20 uczniów zdaje maturę
z matematyki, 16 z geografii i 14 z fizyki. Ilu uczniów jest w tej klasie jeżeli nikt nie zdaje matury ze wszystkich
trzech przedmiotów, 10 uczniów zdaje matematykę i fizykę, 6 matematykę i geografię, a 4 fizyke i geografię?
Zadanie 2.3. W 30-osobowej klasie 20 osób uczy się języka angielskiego, 15 osób języka niemieckiego a 10 osób
języka francuskiego. Spośród nich 5 osób uczy się angielskiego i francuskiego, 6 osób angielskiego i niemieckiego, a
6 osób francuskiego i niemieckiego. Ile osób uczy się wszystkich trezch języków?
Zadanie 2.4. Wśród 200 studentów II roku informatyki po 80 studentów zapisało się na wykłady z systemów
operacyjnych, grafiki komputerowej i programowania. Na kazde dwa z tych wykładów zapisało się po 30 studentów,
a na wszystkie trzy- 15 studentów.
(a) Ilu studentów zapisało się na chociaż jeden z tych wykładów?
(b) Ilu studentów nie zapisało się na zaden wykład?
(c) Ilu studentów zapisało się tylko na programowanie?
Zadanie 2.5. Obliczyć ile jest liczb całkowitych, niepodzielnych przez 2,3,5 w przedziale [1, 900], oraz w przedziale
[17, 1218].
Zadanie 2.6. W trzydziestoosobowej klasie dwudziestu uczniów uczy się łaciny, czternastu greki, a dziesięciu hebrajskiego. Jeżeli żadne dziecko nie uczy się wszystkich trzech języków, a ośmioro nie uczy się żadnego, to ilu uczy
się greki i hebrajskiego?
Zadanie 2.7. Ile jest permutacji zbioru [n], bez punktów stałych (tzw. nieporządków)?
Zadanie 2.8. Na ile sposobów można posadzić n par wrogów przy okrągłym stole tak, by wrogowie nie siedzieli
obok siebie (usadzenia są takie same, jeśli różnią się tylko o obrót)
Zadanie 2.9. Wyprowadź wzór na funkcję Eulera Φ(n) := {k ∈ [n − 1] : N W D(n, k) = 1} dla n ≥ 2.
Zadanie 2.10. Ile permutacji zbioru [n] ma r punktów stałych?
Zadanie 2.11. Szkoła ze 120 studentami oferuje kursy jogi i karate. Liczba studentów chodzących tylko na kurs jogi
jest dwa razy większa od liczby tych studentów, którzy chodzą na karate( i być może, kurs jogi). Studentów nie
uczęszczających na żaden kurs jest o 25 więcej niż tych, co chodzą na oba kursy. 75 studentów chodzi na conajmniej
jeden kurs. Ilu studentów uczęszcza na kurs jogi, ilu na karate, a ilu na oba te kursy jednocześnie?
Zadanie 2.12. W ilu permutacjach słowa KANKAN żadne dwie sądsiednie litery nie są identyczne?
Zadanie 2.13. Kowalscy, Nowakowie i Wiśniewscy mają po pięcioro dzieci. Cała piętnastka biwakuje w pięciu
3-osobowych namiotach. Przyjmując, że rozmieszczenie dzieci w namiotach jest przypadkowe, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że kazda rodzina ma co najmniej dwoje dzieci w tym samym namiocie.
Zadanie 2.14. W ilu permutacjach liter słowa MATHEMATICS obie litery T stoją przed obiema literami A, lub
obie litery A stoją przed obiema literami M lub obie litery M stoją przed literą E?
Zadanie 2.15. W ilu permutacjach liczb 0, 1, 2, . . . , 9 pierwsza cyfra jest większa od 1 a ostatnia jest mniejsza od 8?
Zadanie 2.16. Ile liczb całkowitych z przedziału od 1 do 250 jest podzialnych przez co najmniej jedną z liczb 2,3,5,7?
Zadanie 2.17. Ile jest liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 70 i względnie pierwszych z 70?
Zadanie 2.18. Ile ciągów ternarnych długości n zawiera co namjmniej jedno zero, co najmniej jedną jedynkę i co
najmniej jedną dwójkę?
Zadanie 2.19. W ilu permutacjach liter a, b, c, d, e, f, g:
a) nie pojawi się sylaba cad
b) nie pojawią się sylaby beg oraz cad?
Zadanie 2.20. W ilu słowach długości 2n zbudowanych z n par jednakowych liter , żadne dwie jednakowe litery nie
stoją obok siebie?
Zadanie 2.21. Pewien człowiek ma siedmiu przyjaciół. Na ile sposobów może on zapraszać po trzech sposród nich
na kolację przez siedem kolejnych dni tak, że każdy z nich zostanie zaproszony co najmniej jeden raz?
Zadanie 2.22. Na półce stoi dziesięć książek w porządku alfabetycznym. Na ile sposobów można przestawić książki,
tak, aby żadna książka nie stała na swoim pierwotnym miejscu?
7
Zadanie 2.23. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród n osób zabierających losowo kapelusze z ciemnej szatni,
żadna nie wybierze własnego kapelusza?
Zadanie 2.24. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dziesięć razy dwoma kostkami do gry, wyrzucimy wszystkie
pary (i, i), gdzie i = 1, 2, . . . , 6.
Zadanie 2.25. Ile permutacji liczb 1, 2, ..., n nie zawiera parzystych punktów stałych?
Zadanie 2.26. W ilu n− cyfrowych liczbach występują wszystkie nieparzyste cyfry (np. dla n = 10 taką liczbą jest
2731345901)?
Zadanie 2.27. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że po rozdaniu kart do brydża, ustalony gracz otrzyma
cztery karty tego samego rodzaju (tzn. cztery dwójki, lub cztery trójki, ...)?
Zadanie 2.28. Ile czterocyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1,2,3,...,9 zawiera cyfrę 5? (nie przez dopełnienie i przez
dopełnienie, z prawa dodawania i z zas. wł-wył.)
Zadanie 2.29. Ile jest liczb czterocyfrowych , które nie są podzielne ani przez 2, ani przez 3, ani przez 5, ani przez
7?
Zadanie 2.30. Ile spośród liczb od 2 do 1000 ma całkowity pierwiastek kwadratowy, sześcienny, lub dowolnego
wyższego stopnia?
Zadanie 2.31. Ile jest liczb naturalnych nie większych od 1000, które nie sa podzielne ani przez 4 ani przez 6 ani
przez 9?
8
3. Schematy wyboru
Omówimy teraz różne sposoby wybierania k elementów z n-elementowego zbioru Y = {y1 , y2 , . . . , yn }.
(A) Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów?
(B) Czy losowane elementy mogą się powtarzać?
• (A) TAK, (B) TAK
Każdy wybór to ciąg długości k o elementach ze zbioru Y . Takie ciągi nazywamy k-elementowymi wariacjami z
powtórzeniami ze zbioru n-elementowego. Jest ich (z prawa mnożenia)
Wnk = nk
Jest to też ilość wszystkich funkcji f : [k] → Y .
Ćwiczenie 3.1. (a) Ile można utworzyć liczb trzycyfrowych z liczb 4, 5, 6?
(b) Na ile sposobów gospodarz może napełnić winem kieliszki sześciu gości, jeśli ma trzy różne gatunki win?
• (A) TAK, (B) NIE
Każdy wybór to różnowartościowy ciąg długości k o elementach ze zbioru Y (funkcja różnowartościowa f : [k] → Y ).
Takie ciągi nazywamy k-elementowymi wariacjami bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego. Jest ich
n!
.
Vnk = (n)k := n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
(n − k)!
Ćwiczenie 3.2. (a) Mając sześć pasków materiału w sześciu różnych kolorach tworzymy trójbarwne flagi z trzema
poziomymi pasami. Ile różnych flag można utworzyć?
(b) Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza się żadna cyfra?
Szczególnym przypadkiem wariacji bez powtórzeń są permutacje. Permutacją zbioru n-elementowego Y nazywamy
każdy różnowartościowy n-elementowy ciąg jego elementów (czyli n-elementową wariację bez powtórzeń ze zbioru
Y , czyli bijekcję f : [n] → Y ). Permutacji n-elementowych jest
Vnn = (n)n = n!.
Ćwiczenie 3.3. (a) Pięć panów i pięć pań udaje się gęsiego na spacer, panie na przemian z panami. Na ile sposobów
mogą się ustawić?
(b) Na ile sposobów pięć dziewczynek może usiąść na ławce, jeśli Marysia chce usiąść obok Zosi?
Przy tej okazji omówmy jeszcze Permutacje z powtórzeniami (ciągi n- elementowe, w których pewne elementy
się powtarzają odpowiednio n1 , n2 ,...,nk razy; n1 + n2 + . . . + nk = n)
Ćwiczenie 3.4. Z liter A,A,A,K,K,O,M tworzymy (sensowne lub nie) wyrazy 7-mio literowe. Ile takich wyrazów
można utworzyć?
Współczynniki wielomianowe:
n
n1 , n2 , . . . , nk
=
n!
n1 !n2 ! . . . nk !
• (A) NIE, (B) NIE
Każdy wybór to k-elementowy podzbiór zbioru Y . Pozdbiory k-elementowe zbioru n-elementowego nazywamy k
elementowymi kombinacjami (bez powtórzeń) ze zbioru n-elementowego. Jest ich
n
(n)k
n!
k
Cn =
=
=
.
k
k!
k!(n − k)!
Liczby nk nazywamy współczynnikami dwumianowymi.
Każdą kombinację (bez powtórzeń) można utożsamiać z funkcją silnie rosnącą f : [k] → Y ; Cnk jest też więc liczbą
silnie rosnących funkcji f : [k] → Y .
Ćwiczenie 3.5. 6 osób wita się każdy z każdym. Ile będzie powitań?
Omówmy tu jeszcze jedno zagadnienie:
Liczba sposobów, za pomocą których zbiór n- elementowy można podzielić na r grup, przy założeniu, że pierwsza
grupa ma k1 elementów, druga k2 ,..., r-ta ma kr elementów (k1 + k2 + . . . + kr = n), jest równa
n
n − k1
n − k1 − k2
n − k1 − k2 − . . . − kr−1
n!
n
...
=
=
k1
k2
k3
kr
k1 !k2 ! . . . kr !
k1 , k2 , . . . , kr
Ćwiczenie 3.6. (a) Ile jest rozdań w brydżu?
(b) Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, aby na pierwszej półce było 6 książek, na
drugiej 4 i na trzeciej dwie? Ważne tylko która książka na której półce a nie na jakim miejscu na tej półce.
9
Zbiór n par {(yi , ki ) ∈ Y × N0 ; i ∈ [n]} nazywamy k1 + k2 + . . . + kn -elementowym multizbiorem o elementach
ze zbioru Y (k1 + k2 + . . . + kn -elementową kombinacją z powtórzeniami ze zbioru Y ). Zapisujemy też
{{y1 , y1 , . . . , y1 , y2 , y2 , . . . , y2 , . . . , yn , yn , . . . , yn }}.
|
|
{z
} |
{z
}
{z
}
k1 razy
k2 razy
kn razy
• (A) NIE, (B) TAK
Każdy taki wybór to k-elementowy multizbiór o elementach z Y . Jest ich
n+k−1
k
CCn =
.
k
Każdą kombinację z powtórzeniami można utożsamiać z funkcją (słabo) rosnącą f : [k] → Y ; CCnk jest więc liczbą
(słabo) rosnących funkcji f : [k] → Y .
Ćwiczenie 3.7. Uzasadnij (zauważ) na podstawie przykładu 2.5, że
n−1
CCnk = CCk+1
.
Ćwiczenie 3.8. (a) 10 osób wrzuca do woreczka po kartce z nazwą miesiąca, w którym ma urodziny. Ile różnych
zawartości może mieć woreczek?
(b) Iloma sposobami można ustawić w rzędzie p białych i q czarnych kul (p > q) tak, aby czarne nie sąsiadowały ze
sobą?
10
ZADANIA
Zadanie 3.1. W zawodach bierze udział 10 atletów. Ile co najmniej różnych wyników odnośnie do trzech pierwszych
miejsc należy przewidzieć
a) z uwzględnieniem kolejności
b) bez uwzględnienia kolejności,
aby mieć pewność, że spełni się przynajmniej jedna przepowiednia?
Zadanie 3.2. W turnieju tenisowym bierze udział 16 zawodników. Na ile różnych sposobów można wytypować 4
zawodników, którzy wejdą do półfinału? A jeśli poznamy wyniki losowania par rozgrywających pierwsze eliminacje?
Zadanie 3.3. Uczestnik zakładów totalizatora piłkarskiego przepowiada wyniki 12 różnych spotkań piłkarskich. Jako
wyniki spotkań w grę wchodzą: remis, zwycięstwo gospodarzy, zwycięstwo gości. Ile co najmniej kuponów należy
oddać, aby mieć 12 trafień, tzn. przewidzieć właściwie wyniki wszystkich dwunastu spotkań?
Zadanie 3.4. W grze w skata z 32 kart rozdaje się po 10 kart między trzech graczy, dwie pozostałe karty kładzie
się do skata. Ile jest różnych sposobów rozdania kart?
A w grze w tysiąca (po 7 każdemu z trzech graczy i 3 karty na musiku)?
A w grze w brydża? (po 13 każdemu z czterech graczy)?
Zadanie 3.5. Ile jest sposobów ustawienia 5 mężczyzn i 4 kobiet w szeregu tak, aby z obu stron każdej kobiety stali
mężczyźni?
Zadanie 3.6. Ile jest sposobów ustawienia 10 osób w szeregu tak, aby dwie ustalone osoby
a) stały obok siebie
b) nie stały obok siebie?
Zadanie 3.7. W kiosku mamy do wyboru 9 rodzajów różnych widokówek. Ile jest sposobów wysłania po jednej
kartce do czterech znajomych?
W (ubogim) kiosku mamy do wyboru 9 różnych widokówek. Ile jest sposobów wysłania po jednej kartce do czterech
znajomych?
Zadanie 3.8. Mamy pięć widokówek kolorowych i pięć czarno-białych. Na ile sposobów można wysłać do każdego z
pięciu znajomych po jednej widokówce kolorowej i jednej czarno-białej?
Zadanie 3.9. Ile różnych "wyrazów" można utworzyć z liter słowa MATEMATYKA?
Zadanie 3.10. Ile różnych sznurów (nie pętli) korali można utworzyć tak, aby każdy sznur zawierał 4 korale w
kolorze czerwonym, 2 w kolorze białym, 3 w kolorze zielonym i 2 w kolorze niebieskim?
Zadanie 3.11. Ile różnych naszyjników złożonych z 11 korali można utworzyć mając do dyspozycji dowolną liczbę
koralików czerwonych, białych, niebieskich i zielonych?
Zadanie 3.12. Ile różnych zestawów po 11 koralików można utworzyć mając do dyspozycji koraliki w kolorze czerwonym, niebieskim, białym i zielonym?
Zadanie 3.13. Cylindryczny zamek cyfrowy ma cztery współosiowe pierścienie, na każdym z nich znajduje się po 6
cyfr. Przy pewnym ustawieniu cyfr zamek można otworzyć. Ile prób trzeba podjąć w najbardziej niesprzyjającycm
przypadku, aby otworzyć zamek?
Zadanie 3.14. Rzucamy jednocześnie kostką czarną i kostką białą. Wyznaczyć liczbę rzutów, w których
a) liczba oczek, które ukazały się na białej kostce jest mniejsza od liczby oczek, które wypadły na czarnej kostce,
b) liczba oczek, które ukazały się na białej kostce jest mniejsza lub równa liczbie oczek, które wypadły na czarnej
kostce.
Zadanie 3.15. Ile jest różnych wyników rzucając
a) trzema jednakowymi kostkami jednocześnie?
b) trzema różnokolorowymi kostkami jednocześnie?
c) rzucając jedną kostką 3 razy?
Zadanie 3.16. 15 Dziewięciu kierowców ma sześcioma samochodami pojechać do pewnej miejscowości. Ile jest różnych
możliwości rozmieszczenia kierowców w samochodach?
Zadanie 3.17. Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 10 kart tak, aby był wśród nich dokładnie jeden as?
Zadanie 3.18. Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 10 tak, aby był wśród nich co najmniej jeden as?
Zadanie 3.19. Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 6 kart tak, aby były wśród nich karty wszystkich
kolorów?
15ważne tylko kto kieruje, i kto w jakim siedzi samochodzie, a już niekoniecznie na jakim miejscu
11
Zadanie 3.20. Na ile sposobów spośród n małżeństw można wybrać jedną kobietę i jednego mężczyznę, którzy nie
są małżeństwem?
Zadanie 3.21. Na ile sposobów można posadzić n osób przy okrągłym stole, gdy ważne jest tylko kto przy kim
siedzi?
Zadanie 3.22. 16 Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n kobiet i n mężczyzn tak, aby żadne dwie
osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie?
Zadanie 3.23. Na ile sposobów można umieścić k rozróżnialnych kul w n ponumerowanych szufladach, przy założeniu, że w każdej szufladzie może znaleźć się co najwyżej jedna kula?
Zadanie 3.24. Na ile sposobów można umieścić k nierozróżnialnych kul w n ponumerowanych szufladach, przy
założeniu, że w każdej szufladzie może znaleźć się co najwyżej jedna kula?
Zadanie 3.25. Ile jest permutacji zbioru {1, 2, . . . , n}, w których żadne dwie sąsiednie liczby nie są parzyste?
Zadanie 3.26. Ile jest trzyliterowych ciągów zbudowanych z liter a, b, c, d, e, w których żadna litera się nie
powtarza?
Ile z nich zawiera literę e?
A jeśli litery mogą sie powtarzać?
Zadanie 3.27. Spośród pięciu różnych książek hiszpańskich, sześciu francuskich, ośmiu włoskich wybieramy dwie
tak, aby nie były napisane w tym samym języku. Na ile sposobów możemy to uczynić?
Zadanie 3.28. Na ile sposobów możemy utworzyć niepusty podzbiór mając do dyspozycji pięć identycznych kul
białych i osiem identycznych kul czarnych?
Zadanie 3.29. Tworzymy uporządkowane pary z liter słowa RADOŚĆ.
Ile jest par złożonych z różnych liter?
Ile jest par, w których pierwsza litera jest samogłoską a druga spółgłoską?
Te same pytania dla słowa KOMBINATORYKA.
Zadanie 3.30. Ile różnych liczb można utworzyć mnożąc dwie lub więcej liczb spośród: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7?
Zadanie 3.31. Ile jest liczb 5-cio cyfrowych?
Ile jest liczb 5-cio cyfrowych parzystych?
Ile liczb 5-cio cyfrowych zawiera dokładnie jedną trójkę?
Ile jest liczb pięciocyfrowych palindromicznych?
Zadanie 3.32. W ilu permutacjach liczb 1, 2, . . . , 9 pierwsza liczba jest większa od 1, a ostatnia jest mniejsza od 8?
Zadanie 3.33. Na ile sposobów możemy wybrać kolejno dwie karty z talii 52 kart tak, aby:
a) pierwszą kartą był as, a drugą nie była dama?
b) pierwsza była koloru karo, a drugą nie była dama?
Zadanie 3.34. Na ile sposobów można wybrać delegację spośród siedmiu kobiet i czterech mężczyzn, która będzie
składać się z równej liczby kobiet i mężczyzn?
Zadanie 3.35. Na ile różnych sposobów można podzielić dziewięć osób na trzy grupy po trzy osoby każda, jeśli
podziały takie różnią się jedynie pod względem składu grup, tzn. kolejności grup i uszeregowanie osób w grupie jest
nieistotne?
Zadanie 3.36. Na ile sposobów można umieścić cztery identyczne pomarańcze i sześć różnych jabłek (każde innego
gatunku) w pięciu różnych skrzynkach?
Zadanie 3.37. Ile rozwiązań całkowitych ma równanie:
x1 + x2 + x3 + x4 = 12
jeśli
a) xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4
b) xi > 0, i = 1, 2, 3, 4
c) x1 ≥ 2, x2 ≥ 2, x3 ≥ 4, x4 ≥ 0?
Zadanie 3.38. Na ile sposobów 10 osób może jednoczesnie prowadzić 5 rozmów telefonicznych (w swoim gronie)?
16Dwa rozsadzenia uważamy za identyczne, gdy w obu przypadkach każdy człowiek ma tych samych sąsiadów. Druga opcja: ważne
jest jeszcze po której stronie
12
4. Współczynniki dwumianowe i wielomianowe
n
(x + y) =
n X
n
k=0
k
xk y n−k
n
(x1 + x2 + . . . + xm ) =
xp1 xp2 . . . xpmm
p1 , p2 , . . . , pm 1 2
suma rozciąga się na wszelkie możliwe wartości całkowite nieujemne p1 , p2 , . . . , pm sumujące się do n ( na wszelkie
możliwe rozwiązania równania
p1 + p2 + . . . + pm = n
w liczbach całkowitych nieujemnych.
Ile jest składników tej sumy?
Rozpisz ten wzór dla kilku małych wartości m i n.)
ZADANIA
n
X
Zadanie 4.1. Wykaż, że (kombinatorycznie, indukcyjnie, algebraicznie - jak się da:))
n
a) nk = n−k
n
b) nk + k−1
= n+1
k
Pn
c) k=0 nk = 2n
Pm
d) k=0 nk = m+1
n+1
m
Pl
= n+m
e) k=0 nk l−k
l
2
Pn
f) k=1 k 2 nk = n2 2n−2
n−1
2
Pn
g) k=1 k 3 = n+1
2
n
h) nk = k, n−k
P
n
i) mn =
t1 ,t2 ,...,tm , gdzie sumowanie przebiega po wszystkich uporządkowanych podziałach liczby n na m
nieujemnych składników n = t1 + t2 + . . . + tm
Pm
j) k=0 n+k
= n+m+1
k
m
Pn
k) k=0 k nk = n2n−1
Pn
l) k=1 k(n + 1 − k) = n+2
3
Pn
m) k=0 nk (m − 1)n−k = mn
Pn
2n 2
n) k=0 (k!)2(2n)!
[(n−k)!]2 = n
n
2
o) 2n
2 =2 2 +n
n
n+r−1 2r
p) (n − r) n+r−1
r
r =n
2r
r
Pk
n n−i
k n
r) i=0 i k−i = 2 k
Pn
m
s) k=m kr = n+1
r+1 − r+1
Pm n+k−1
Pn
t) k=1 m+k−1
= k=1
k
k
P2n 2n
Pn
n 2
u)
=
k=0 k
k=0 k
Pn−1
i
w) nk = i=k−1 k−1
Pn
n 2
z) 2n
k=0 k
n =
Pn
x) k=1 k 2 nk = n(n + 1)2n−2
Pn
y) k=0 2k nk = 3n
q) n2 + n+1
= n2
2
ą) k nk = n n−1
k−1
n
m−k
m
ę) m
n
k = m−k n−k
Zadanie 4.2. Wykaż, że
n
n
n
n
n
<
< ... <
=
> ... >
0
1
bn/2c
dn/2e
n
13
5. Permutacje
Permutacją zbioru X = {x1 , x2 , . . . , xn } nazywamy różnowartościową funkcję f : X → X. Jak można zapisywać
permutacje?
•
f=
x1
x i1
x2
xi2
...
...
xn
x in
.
• Diagram permutacji
• Rozkład permutacji na cykle
Permutacja f jest typu 1λ1 2λ2 . . . nλn , gdy w rozkładzie na cykle ma λ1 cykli długości 1, λ2 cykli długości 2,...,λn
cykli długości n. (Oczywiście musi być 1 · λ1 + 2 · λ2 + . . . + n · λn = n).
Ćwiczenie
5.1.
1 2 3
a)
3 5 7
1 2 3
b)
9 8 7
1 2 3
c)
4 5 6
1 2 3
d)
5 7 6
Rozłożyć
4 5 6
1 9 2
4 5 6
6 5 4
4 5 6
7 8 9
4 5 6
3 1 8
na
7
4
7
3
7
1
7
2
cykle rozłączne
i wyznaczyć parzystość następujących permutacji:
8 9
6 8 8 9
2 1
8 9
2 3
8 9
.
9 4
Ćwiczenie 5.2. Dane są permutacje cykliczne σ = h1 2 3 4 5 6 7 8i i τ = h1 3 5 7 9i. Obliczyć σ ◦ τ , τ ◦ σ, τ ◦ σ −1 , σ 2 .
Rozłożyć te permutacje na cykle rozłączne. Przedstawić te permutacje, jako złożenia co najwyżej 8 transpozycji.
Gdy już poznasz liczby Stirlinga rozwiąż zadanie:
Zadanie 5.1. Udowodnij, że średnia liczba cykli permutacji zbioru n-elementowego wynosi
n
P
k=1
n
P
|s(n, k)| · k
k=1
n!
=
n
X
1
.
k
k=1
1
k.
Tzn.
14
6. Liczby z nazwiskiem i nie tylko
Zbiory wielomianów
{1, x, x2 , x3 , . . . , xn },
{1, (x)1 , (x)2 , . . . , (x)n },
{1, (x)1 , (x)2 , . . . , (x)n }
są bazami przestrzeni liniowej wielomianów stopnia co najwyżej n.
6.1. Liczby Stirlinga drugiego rodzaju, podziały zbioru na bloki, liczby Bella i liczba surjekcji.
Niech 0 ≤ k ≤ n.
(1) Liczby Stirlinga drugiego rodzaju: S(n, k), definiujemy jako współczynniki przy (x)k wielomianu xn
n
X
S(n, k)(x)k = xn .
k=0
n
(2) Oznaczmy przez
liczbę podziałów zbioru n-elementowego na k-bloków (tzn. k niepustych podzbiorów,
k
parami rozłącznych, sumujących się do całego zbioru, kolejność ich nie jest istotna)
(3) Oznaczmy przez f (n, m) liczbę surjekcji (funkcji "na") f : [n] → [m].
(4) Liczby Bella, Bn , to liczby wszystkich podziałów zbioru n- elementowego na rozłączne i niepuste podzbiory
(których kolejność nie jest ważna).
Prawdziwe są następujące wzory17:
n
(6.1)
S(n, k) =
k
(6.2)
S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k · S(n − 1, k)
(6.3)
S(n, k) · k! = f (n, k)
(6.4)
k
1 X
k−i k
in
(−1)
S(n, k) =
i
k! i=0
(6.5)
f (n, m) =
m
X
(−1)m−k
k=0
Bn+1 =
(6.6)
n X
n
i=0
i
m n
k
k
Bi
0
n
= 1,
= 0 dla n ≥ 1, S(n, k) = 0 dla k > n
0
0
ZADANIA I ĆWICZENIA
Przyjmujemy, B0 = 1,
Ćwiczenie 6.1. Wypisz wszystkie podziały zbioru [5] na 1,2,3,4,5 bloków. Ile wynosi S(5, k) dla k = 1, 2, 3, 4, 5? Ile
wynosi piąta liczba Bella?
Ćwiczenie 6.2. Oblicz liczby Stirlinga drugiego rodzaju, o których mowa w poprzednim zadaniu ze wzoru rekurencyjnego.
Ćwiczenie 6.3. Korzystając z obliczeń z poprzedniego zadania oblicz ile jest surjekcji f : [5] → [k] dla k = 1, 2, 3, 4, 5.
Ćwiczenie 6.4. Oblicz liczby Stirlinga drugiego rodzaju korzystając ze współczynników odpowiednich wielomianów.
Ćwiczenie 6.5. Uzupełnij trójkąt liczb Stirlinga drugiego rodzaju do 7 wierszy. Oblicz początkowe liczby Bella,
korzystając z niego.
Ćwiczenie 6.6. Oblicz początkowe liczby Bella ze wzoru rekurencyjnego na Bn .
Ćwiczenie 6.7. Oblicz liczbę surjekcji f : [7] → [3] z odpowiedniego wzoru na liczbę surjekcji. Korzystając z tych
obliczeń odpowiedz ile wynosi S(7, 3).
Ćwiczenie 6.8. Wyprowadź ze wzoru na liczbę surjekcji wzory na S(n, 2) oraz S(n, 3).
Zadanie 6.1. Udowodnić, że S(n, k) =
n−1
P
i=k−1
17dowody na tablicy
n−1
i
S(i, k − 1) dla k > 2.
15
Podział π zbioru n -elementowego jest typu λ =< λ1 , λ2 , . . . , λn > jeśli zawiera on dokładnie λi bloków liczebności
i. Zapisujemy to symbolicznie:
1λ1 2λ2 . . . nλn .
Pn
Oczywiście k=1 kλk = n.
Ćwiczenie 6.9. Wypisz wszystkie podziały zbioru [6] typu 11 21 31 40 50 60 , oraz typu 10 20 30 40 50 61 , oraz typu 16 20 30 40 50 60 .
Zadanie 6.2. Ile jest podziałów zbioru typu 1λ1 2λ2 . . . nλn ?
Zadanie 6.3. Obliczyć S(n, n − 2), S(n, n − 1).
6.2. Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju, rozkład permutacji na cykle rozłączne.
Niech 0 ≤ k ≤ n.
(1) Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju: s(n, k), definiujemy jako współczynniki przy xk wielomianu (x)n :
n
X
s(n, k)xk = (x)n .
k=0
(2) Niech C(n, k) będzie liczbą permutacji n-elementowych o dokładnie k cyklach.
Prawdziwe są następujące wzory18:
c(n, k) = c(n − 1, k − 1) + (n − 1) · c(n − 1, k),
(6.7)
dla n, k ≥ 1.
(6.8)
s(n, k) = (−1)n+k c(n, k)
(6.9)
s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1) · s(n − 1, k)
ZADANIA I ĆWICZENIA
Ćwiczenie 6.10. Korzystając z definicji liczb Stirlinga pierwszego rodzaju oblicz s(5, k) dla k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ćwiczenie 6.11. Uzupełnij pierwsze wiersze (powiedzmy z 7) trójkąta liczb Stirlinga pierwszego rodzaju korzystając
ze wzoru rekurencyjnego na liczby Stirlinga pierwszego rodzaju.
Ćwiczenie 6.12. Uzupełnij pierwsze wiersze trójkąta liczb c(n, k) (liczba permutacji zbioru [n] rozkłaadających się
na k cykli rozłącznych) korzystając ze wzoru rekurencyjnego na c(n, k).
Ćwiczenie 6.13. Wypisz wszystkie permutacje zbioru [4] rozkładające się na 2 cykle rozłączne.
Zadanie 6.4. Obliczyć C(n, n − 2).
Mówimy, że permutacja σ ∈ Sn jest typu λ =< λ1 , λ2 , . . . , λn > jeśli w jej rozkładzie na cykle rozłączne występuje
dokładnie λi cykli liczebności i. Zapisujemy to symbolicznie:
1λ1 2λ2 . . . nλn .
Oczywiście
Pn
k=1
kλk = n.
Ćwiczenie 6.14. Wypisz wszystkie permutacje zbioru [6] typu 11 21 31 40 50 60 , oraz typu 10 20 30 40 50 61 , oraz typu
16 20 30 40 50 60 .
Zadanie 6.5. Ile jest permutacji typu 1λ1 2λ2 . . . nλn ?
——————————WSPÓLNE————
n
P
Zadanie 6.6.
s(n, k)Bk = 1.
k=0
Ćwiczenie 6.15. Sprawdź bezpośrednio, że macierz liczb Stirlinga II rodzaju i macierz liczb Stirlinga I rodzaju są
do siebie odwrotne (dla macierzy o 4 wierszach i kolumnach).
Zadanie 6.7. Ile wynoszą sumy
n
X
S(i, k)s(k, j),
k=0
n
X
k=0
18dowody na tablicy
s(i, k)S(k, j)?
16
6.3. Partycje liczby. Przez P (n) będziemy oznaczać liczbę partycji liczby n. Przez P (n, s) będziemy oznaczać
liczbę partycji liczby n na s składników. (Partycją, lub inaczej podziałem, liczby n na s składników nazywamy
każdy ciąg (a1 , a2 , . . . , as ) liczb naturalnych, który spełnia warunki a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ as ≥ 1 i a1 + a2 + . . . + as = n)
Prawdziwy jest następujący wzór19:
(6.10)
P (n + k, k) =
k
X
P (n, i)
i=1
ZADANIA I ĆWICZENIA
Ćwiczenie 6.16. Wypisz wszystkie partycje liczb 2,3,4,5 i narysuj odpowiadające im diagramy Ferresa. Które podziały są dualne, które są symetryczne?
Ćwiczenie 6.17. Uzupełnij kilka pierwszych wierszy trójkąta liczb P (n, k) (partycji liczby n na k składników),
korzystając ze wzoru rekurencyjnego.
Ćwiczenie 6.18. Wypisz partycje liczby 10 na 4 składniki oraz partycje liczby 10 na dowolną ilość składników, ale
takie, że największy składnik wynosi 4.
Zadanie 6.8. Udowodnij, że P (n, k) jest równe liczbie partycji liczby n o największym składniku równym k.
Ćwiczenie 6.19. Wypisz symetryczne partycje liczby 16 i partycje liczby 16 na różne nieparzyste składniki.
Zadanie 6.9. Udowdnij, że symetrycznych partycji liczby n jest tyle, ile partycji na różne nieparzyste składniki.
Ćwiczenie 6.20. Wypisz partycje liczby 10 na parzyste składniki oraz partycje liczby 10, w których każdy składnik
występuje parzystą liczbę razy.
Zadanie 6.10. Udowodnij, że liczba partycji liczby n na parzyste składniki jest równa liczbie partycji liczby n, w
których każda liczba występuje parzystą liczbę razy.
Ćwiczenie 6.21. Wypisz partycje liczby 5 na trzy składniki oraz partycje liczby 10 na tzry składniki mniejsze od 5.
Zadanie 6.11. Udowdnij, że P (n, 3) jest równa liczbie partycji liczby 2n na trzy składniki, wszystkie mniejsze od n.
Zadanie 6.12. Obliczyć P (n, 1), P (n, 2), P (n, n), P (n, n − 1), P (n, n − 2).
Zadanie 6.13. Pokazać, że P (2n, n) = P (n).
P (n, k) = P (n − 1, k − 1) + P (n − k, k).
———————-WSPÓLNE BARDZO WAŻNE!!!————–
Ćwiczenie 6.22. Wkładamy k przedmiotów do n pudełek. Na ile sposobów można to zrobić - rozważ wszystkie 16
możliwości, zależnie od tego, czy
• przedmioty są rozróżnialne czy nie
• w pudełkach mieści się tylko jeden przedmiot, czy wiele
• pudełka są rozróżnialne czy nie
• pudełka mogą zostać puste lub nie. Wypisz wszystkie możliwości dla k = 4, n = 5, oraz dla k = 5 i n = 4.
Uzyj odpowiednich nazw do każdej z tych możliwości (wariacje, kombinacje ( z powtórzeniami lub bez), partycje
liczby, podziały zbioru na bloki)
19dowód na tablicy
17
6.4. Liczby Catalana. Ciąg binarny złożony z n jedynek i m zer nazywamy (n, m)-ciągiem. Jest ich .....................
Ciągi binarne zdominowane (przez zera) to (n, m)-ciągi, takie , że dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , n + m} na pierwszych
i pozycjach znajduje się co najmniej tyle zer, co jedynek. d(n, m)- liczba (n, m)-ciągów zdominowanych.
Liczba Catalana, Cn , to liczba zbalansowanych (zdominowanych)20 ciągów binarnych długości 2n zawierających
n zer i n jedynek.
Przykład 1. Stuosobowa kolejka do kina, bilety po 5 zł, w kasie pusto. 50 osób ma 5 zł w portfelu, 50 osób ma
10 zł w portfelu. Oblicz prawdopodobieństwo, że żadna osoba nie będzie zmuszona czekać na wydanie reszty.
Przykład 2. W czasie wyborów oddano 100 głosów, w tym 60 na kandydata A a 40 na kandydata B. Komisja
wyciąga po jednej kartce z urny i ogłasza aktualnego zwycięzce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cały czas będzie
to A?
Przykład 3. Z punktu (0,0) przemieszamy się po kratkach (tylko w prawo lub w górę w pojedyńczym ruchu) do
punktu (n,n). Obszar nad przekątną jest “niebezpieczny”. Ile jest wszystkich dróg , ile jest dróg bezpiecznych?
Prawdziwe są następujące wzory21:
Jeśli n ≤ m, to
m+1−n n+m
(6.11)
d(n, m) =
m+1
m
1
2n
(6.12)
Cn =
n+1 n
Przykład 6.1. Ile jest rozmieszczeń nawiasów (kolejności wymnożenia) w iloczynie
x0 · x1 · x2 · . . . · xn ?
Napisz wzór rekurencyjny i korzystając z funkcji tworzących udowodnij, że jest ich Cn .
ZADANIA I ĆWICZENIA
Ćwiczenie 6.23. Wypisz wszystkie (2, 3)-ciągi. Które z nich są zdominowane? Ile ich jest? Oblicz ich liczbę ze wzoru
na d(n, m).
Ćwiczenie 6.24. Wypisz wszystkie (4, 4)-ciągi zdominowane. Ile wynosi czwarta liczba Catalana. Oblicz ją również
ze wzoru.
Serią w ciągu binarnym nazywamy maksymalny podciąg jednakowych kolejnych elementów, np. ciąg 000111101100
ma 5 serii:
000 1111 0 11 00
Zadanie 6.14. Ile jest (n, m)-ciągów o liczbie serii R?
Zadanie 6.15. Ile jest (n, m)-ciągów o parzystej liczbie serii?
Zadanie 6.16. Ile jest (n, m)-ciągów, które kończą się serią jedynek długości k?
Zadanie 6.17. Ile jest (n, m)-ciągów zawierających k- serii zer?
Zadanie 6.18. Ile jest ciągów złożonych z ośmiu liter a i ośmiu liter b, w których każda litera znajduje się obok
przynajmniej jednej takiej samej litery?
Zadanie 6.19. Ile ciągów x1 , x2 , . . . , x2n+1 spełnia wszystkie trzy poniższe własności:
x1 = x2n+1 = 0
|xi − xi−1 | = 1 dla i = 2, 3, . . . , 2n + 1
xi ≥ 0 dla i = 1, 2, . . . , 2n + 1.
Zadanie 6.20. W ilu ciągach binarnych złożonych z k zer i n − k jedynek żadne dwa zera nie sąsiadują ze sobą?
20tzn., że dla każdego 1 ≤ k ≤ 2n na początkowych k pozycjach liczba zer jest nie mniejsza niż liczba jedynek
21dowody na tablicy
18
7. Zależności rekurencyjne
• Pierwszy sposób: wyliczyć kilka pierwszych wyrazów, odgadnąć wzór ogólny i udowodnić go za pomocą indukcji
matematycznej.
• Drugi sposób - dla jednorodnych równań rekurencyjnych liniowych o stałych współczynnikach c1 , c2 , . . . , cr :
an = c1 an−1 + c2 an−2 + . . . + cr an−r
znamy schemat postępowania (omówiony niżej)
• Trzeci sposób: funkcje tworzące (omówione w następnym rozdziale)
a1 , a2 , . . . , ar - dane (warunki początkowe zależności rekurencyjnej o głębokości r
an = f (a1 , a2 , . . . , ar ) - równanie rekurencyjne
Rozwiązanie ogólne - niezależne od warunków początkowych, spełnione tylko równanie rekurencyjne
Rozwiązanie szczególne - rozwiązanie, które spełnia warunki początkowe i równanie rekurencyjne
Liniowe jednorodne zależności rekurencyjne:
an = c1 · an−1 + c2 · an−2 + . . . + cr · an−r
(7.1)
Równaniem charakterystycznym zależności rekurencyjnej (7.1) nazywamy równanie postaci
xr = c1 xr−1 + c2 xr−2 + . . . + cr
(7.2)
Twierdzenie 7.1. Jeśli
xr − c1 xr−1 − c2 xr−2 − . . . + cr =
= (x − α1 )m1 · (x − α2 )m2 · . . . · (x − αk )mk
gdzie m1 + m2 + . . . + mk = r, to rozwiązanie ogólne (7.1) jest postaci:
an = (u11 + u12 n + . . . + u1m1 nm1 −1 ) · α1n +
+(u21 + u22 n + . . . + u2m2 nm2 −1 ) · α2n + . . . +
+(uk1 + uk2 n + . . . + ukmk nmk −1 ) · αkn .
Znając r warunków początkowych można obliczyć niewiadome współczynniki u11 , u21 , . . . , ukmk , aby dostać rozwiązanie
szczególne.
Niejednorodne liniowe równania rekurencyjne:
(7.3)
an = c1 · an−1 + c2 · an−2 + . . . + cr · an−r + f (n)
Twierdzenie 7.2. Rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego (7.3) jest postaci
an = a¯n + a˜n ,
gdzie a¯n jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego (7.1), a a˜n jest pewnym rozwiązaniem szczególnym
równania niejednorodnego (7.3).
Metoda przewidywania rozwiązania
(1) Jeśli f (n) jest wielomianem stopnia d, a a¯n nie jest wielomianem, to istnieje rozwiązanie szczególne a˜n ,
które jest wielomianem (zmiennej n) stopnia d.
(2) Jeśli f (n) jest wielomianem stopnia m, a a¯n jest wielomianem stopnia k, to istnieje rozwiązanie szczególne
a˜n postaci
a˜n = nk+1 (d0 + d1 · n + . . . + dm · nm ).
(3) Jeśli f (n) = c · β n i β nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (7.2), to istnieje rozwiązanie
szczególne a˜n postaci
a˜n = A · β n .
(4) Jeśli f (n) = c · β n i β jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (7.2) o krotności k, to istnieje
rozwiązanie szczególne a˜n postaci
a˜n = A · nk · β n .
(5) Jeśli f (n) = f1 (n) + . . . fl (n), to
˜
˜(l)
(1)
a˜n = an + . . . + an ,
˜(i)
gdzie an dla i = 1, . . . , l jest rozwiązaniem szczególnym
an = c1 · an−1 + c2 · an−2 + . . . + cr · an−r + fi (n).
19
Zadanie 7.1. Rozwiązać równania rekurencyjne:
a) an = −6an−1 − 9an−2 ,
b) an = 2an−1 + 15an−2 + 4an−3 − 20an−4 ,
c) an = 2an−1 − 2an−2 + an−3 ,
d) an = 7an−1 − 10an−2 + 3n ,
e) an = 3an−1 − 2an−2 + 2n ,
f) an = 2an−1 + 7n2 ,
g) a2n = 2a2n−1 + 1, a0 = 2, an ≥ 0,
h) a2n − s
2an−1 = 0, a0 = 4, an > 0,
r
q
p √
i) an = an−1 + an−2 + an−3 + . . . a0 , a0 = 4,
j) an = n2 an−1 , a1 = 1,
k) an = 2an−1 + 3an−2 , a0 = a1 = 1,
l) an = 2an−1 − an−2 , a0 = a1 = 2,
m) an = an−1 + 6an−2 , a0 = 4, a1 = 4,
n) an = 6an−1 − 9an−2 − 4an−3 + 12an−4 ,
o) an + 6an−1 + 9an−2 = 3, a0 = 0, a1 = 1,
p) an = 4an−1 − 4an−2 + 2n , a0 = a1 = 2,
r) an + 5an−1 + 6an−2 = 3n2 , a0 = 1, a1 = 4,
s) an = an−1 + 7n, a0 = 0,
t) an+1 = 2an − 1, a0 = 3,
u) an = 6an−1 − 9an−2 , a0 = 1, a1 = 2,
w) an = 3an−1 + 3n , a0 = 2,
y) an = an−1 + n3 , a0 = 0,
z) an = 3an−1 − 4n, a0 = 2,
ą) an = an−1 + 2an−2 + 3 · 2n , a0 = 0, a1 = 1,
ć) an = 3an−2 + 3n , a0 = 2, a1 = 1,
ę) an+2 = 4an ,
ł) an+2 + 4an+1 + 16an = 0,
ń) o równaniu charakterystycznym
x4 − 5x3 + 6x2 + 4x − 8 = 0
i warunkach początkowych a0 = 1, a1 = −9, a2 = −1, a3 = 2,
ó) an + 3an−1 + 2an−2 = f (n), gdzie f (5) = 1 i f (n) = 0 dla n 6= 5,
ś) nan + nan−1 − an−1 = 2n , a0 = 3456,
ź) an = nan−1 + n!, a0 = 2,
Zadanie 7.2. Rozwiązać układy równań:
a)
an = 2an−1 + bn−1 + 1,
bn = an−1 + 2bn−1 + 2n−1
z warunkami początkowymi a0 = b0 = 0,
b)
an = 3an−1 + 2bn−1 ,
bn = an−1 + bn−1
z warunkami poczatkowymi a0 = b0 = 1.
Wyznacz wzory rekurencyjne określające szukane wielkości, a następnie wyprowadź z nich postać jawną.
Zadanie 7.3. Ile jest działań potrzebnych do obliczenia wartości wielomianu stopnia n
(a) metodą Hornera
(b) metodą nauralną?
Zadanie 7.4. Wyznaczyć za pomocą zależności rekurencyjnej liczbę permutacji zbioru [n].
Zadanie 7.5. Wyznaczyć za pomocą zależności rekurencyjnej n-tą liczbę firankową i wzór jawny.
Zadanie 7.6. Każdego roku populacja królików podwaja się. Jeśli początkowo było 6 królików, to ile ich będzie po
n latach?
Zadanie 7.7. Na ile spójnych obszarów dzieli płaszczyznę n prostych, z których żadne dwie nie są równoległe i żadne
trzy nie przecinają się w jednym punkcie?
20
Zadanie 7.8. Będziemy mówili, że rozwiązujący pewien problem student jest na n-tym etapie, jeżeli do rozwiązania
problemu zostało mu n kroków. Na każdym etapie ma on 5 możliwości. Dwie z nich prowadzą z ntego etapu do
n − 1-go, a pozostałe 3 prowadzą bezpośrednio do n − 2go etapu. Niech an oznacza liczbę sposobów rozwiązania
problemu zaczynając od n-tego etapu. Przyjmując a1 = 5 i a2 = 13 wyznaczyć an .
Zadanie 7.9. Niech an oznacza liczbę kodów Morse’a długości n (kropka ma długość 1 a kreska ma długość 2).
Wyznaczyć an .
Zadanie 7.10. Wyznaczyć liczby Lucasa:
Ln = Fn+1 + Fn−1
gdzie Fn oznacza n-tą liczbę Fibonacciego (F0 = 0).
Zadanie 7.11. Ile jest n elementowych ciągów binarnych, takich, że żadne dwa po sobie następujące 0 nie są
dozwolone?
Zadanie 7.12. Ile jest n elementowych ciągów ternarnych takich, że żadne dwie następujące po sobie dwójki ani
żadne dwie następujące po sobie jedynki nie są dozwolone.
Zadanie 7.13. Ile jest ciągów ternarnych długości n, w których żadne dwie jedynki i żadne dwie dwójki nie stoją
obok siebie?
Zadanie 7.14. Znaleźć równanie rekurencyjne dla liczby n elementowych ciągów ternarnych, w których
a) liczba zer jest parzysta
b) liczba zer i liczba jedynek są parzyste.
Zadanie 7.15. Znaleźć liczbę obszarów, na jakie dzieli płaszczyznę n prostych, z których k jest równoległych, a
pozostałe przecinają wszystkie proste (żadne trzy proste nie przechodzą przez jeden punkt).
Zadanie 7.16. Przypuśćmy, że pewien prymitywny organizm osiąga dojrzałośc po dwóch godzinach i ma wtedy
pierwszych czterech potomków, a następnie już co godzinę ma sześciu kolejnych potomków. Zakładając, że wszystkie
urodzone organizmy zachowują się tak samo, oraz, że rozpoczęliśmy z jednym nowo narodzonym organizmem,
wyznaczyć liczbę ich po n godzinach.
Zadanie 7.17. Ile jest podziałów zbioru [n] na dwa niepuste podzbiory?
Zadanie 7.18. Korzystając z faktu, że liczba podziałów zbioru [n] na dwa niepuste zbiory jest równa 2n−1 −
1wyznaczyć liczbę podziałów tego zbioru na trzy niepuste zbiory.
Zadanie 7.19. Na ile różnych sposobów można wejść po schodach zbudowanych z n stopni, jeżeli w każdym kroku
można pokonać jeden lub dwa stopnie?
Zadanie 7.20. Przypuśćmy, że dowolna nowo narodzona para królików ma swoją pierwszą parę potomstwa po dwóch
miesiącach, a później, już co miesiac rodzi nową parę. Zaczynamy od jednej pary. Ile par będzie po n miesiącach?
Zadanie 7.21. Wyznaczyć równania rekurencyjne na liczbę nieporządków Dn i przypomnieć wzór jawny (a w przypadku nieobecności na wykładzie obydwa te równania rozwiązać).
Zadanie 7.22. Wyznaczyć równanie rekurencyjne na liczby Bella i wyznaczyć z niego postać jawną.
Zadanie 7.23. Niech sn będzie liczbą podzbiorów zbioru [n], wliczając zbiór pusty, które nie zawierają sąsiednich
liczb. Wyznaczyć sn .
Zadanie 7.24. Niech an oznacza liczbę rozłącznych części, na jakie dzielą n-kąt wypukły jego przekątne. Zakładając,
że żadne 3 przekątne nie przecinają się w jednym punkcie pokazać, że
an = an−1 +
(n − 1)(n − 2)(n − 3)
+n−2
6
oraz a0 = a1 = a2 = 0. Wyznaczyć an .
Zadanie 7.25. Mamy do dyspozycji n krążków o malejących średnicach oraz trzy paliki. Krążki te są nałożone na
jeden z palików - od największego na spodzie do najmniejszego na górze. Zadanie polega na przeniesieniu wszystkich
krążków na inny palik, korzystając pomocniczo z trzeciego, przekładając za każdym razem tylko jeden krążek i nigdy
nie kładą większego krążka na mniejszym. Niech an oznacza najmniejszą liczbą ruchów potrzenych do przeniesienia
wszystkich n krążków z zachowaniem powyższych zasad. Wyznacz an .
Zadanie 7.26. Rozpatrzmy iloczyn (potencjalnie niełączny) n + 1 liczb x0 x1 x2 . . . xn . Niech Cn oznacza liczbę
możliwych rozmieszczeń nawiasów w tym iloczynie, tak aby kolejność operacji mnożenia dwóch liczb w tym iloczynie
była wyznaczona jednoznacznie. Znaleźć wzór na Cn .
Zadanie 7.27. Na ile sposobów możemy podzielić n- kąt wypukły na trójkąty nieprzecinającymi się przekątnymi?
21
Zadanie 7.28. Znaleźć równanie rekurencyjne dla liczby sposobów połączeń w pary wierzchołków wypukłego 2n
kąta za pomocą nie przecinających się odcinków (boki, przekątne).
Zadanie 7.29. Wewnatrz reaktora jądrowego znajdują się dwa rodzaje cząstek: cząstki typu α i typu β. W każdej
sekundzie cząstka α rozpada się na trzy cząstki β, a cząstka β na jedną czastkę α i dwie cząstki β. Jeśli umieścimy
w reaktorze jedną cząstkę α w czasie t = 0, to ile będzie cząstek po czasie t = 100?
Zadanie 7.30. Na ile sposobów możemy wypełnić prostokąt
a) o wymiarach 2 na n kostkami domino o wymiarach 2 na 1
b) o wymiarach 3 na 2n tymi samymi kostkami?
Zadanie 7.31. Na ile sposobów można wciągnąć na n- metrowy maszt flagi trzech kolorów, jeżeli flagi czerwone
mają szerokość dwóch metrów a pozostałe jednego metra?
Zadanie 7.32. Ile jest uporządkowanych trójek (A1 , A2 , A3 ) takich, że A1 ∪ A2 ∪ A3 = [n]?
Zadanie 7.33. Udowodnić, że dla liczb Fibonacciego Fn zachodzą tożsamości:
a) F1 + F2 + . . . + Fn = Fn+2 − 1,
b) F2 + F4 + . . . + F2n = F2n+1 − 1,
c) F1 + F3 + . . . + F2n−1 = F2n ,
d) F12 + F22 + . . . + Fn2 = Fn · Fn+1 ,
e) Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n ,
f) Fn+m = Fm · Fn + Fm−1 · Fn−1 .
Zadanie 7.34. Udowodnić, że dla liczb Lucasa spełnione są równania:
a) L0 + L1 + L2 + . . . + Ln = Ln+2 − 1,
b) L1 + L3 + L5 + . . . + L2n+1 = L2n+2 − 2,
Zadanie 7.35. Definiujemy ciągi:
an = S(n, 2), bn = S(n, 3), cn = S(n, n − 1), dn = S(n, n − 2).
Napisać równania rekurencyjne dla tych ciągów i wyprowadzić z nich wzory wyrażające wartość n-tego wyrazu
kazdego z tych ciągów.
22
8. Aparat funkcji tworzących
Szeregi
(8.1)
1 + x + x2 + x3 + . . . =
∞
X
xk =
k=0
(8.2)
∞
X
1 + ax + a2 x2 + . . . =
ak · xk =
k=0
(8.3)
1 + nx +
1
,
1−x
dla |x| < 1
1
,
1 − ax
dla |x| <
1
|a|
∞ X
k+n−1 k
n(n + 1) 2
1
x + ... =
x =
2
(1 − x)n
k
k=0
∞
X xk
x2
x3
+
+ ... =
= ex
2!
3!
k!
1+x+
(8.4)
k=0
∞
1−
(8.5)
X
x2
x4
x2k
+
+ ... =
= cos x
(−1)k
2!
4!
(2k)!
k=0
∞
x−
(8.6)
X
x3
x5
x2k+1
+
+ ... =
(−1)k
= sin x
3!
5!
(2k + 1)!
k=0
∞
1+
(8.7)
X x2k
x2
x4
+
+ ... =
= ch x
2!
4!
(2k)!
k=0
x+
(8.8)
(8.9)
(8.10)
x−
x3
x5
+
+ ... =
3!
5!
x2
x3
x4
+
−
+ ... =
2
3
4
x + 2x2 + 3x3 + . . . =
∞
X
∞
X
x2k+1
= sh x
(2k + 1)!
k=0
∞
X
k=1
(−1)k+1 k
· x = ln(1 + x)
k
nxn =
n=0
(8.11)
x
,
(1 − x)2
∞
X
1
1 n
1
x + x2 + x3 + . . . =
x = − ln(1 − x),
2
3
n
n=1
∞
X
an xn +
n=0
∞
X
bn x n =
n=0
∞
X
an xn ·
n=0
∞
X
dla |x| < 1
dla |x| < 1
(an + bn )xn
n=0
∞
X
bn x n =
n=0
a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + (a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0 )x3 + . . . =
∞ X
n
X
(
ak bn−k )xn
n=0 k=0
c
∞
X
a n xn =
n=0
∞
X
can xn
n=0
Funkcję
f (x) =
∞
X
an xn
n=0
nazywamy (zwykłą) funkcją tworzącą ciągu (an )∞
n=0 .
Funkcję
∞
X
an n
f (x) =
x
n!
n=0
nazywamy wykładniczą funkcją tworzącą ciągu (an )∞
n=0 .
23
Mogą przydać się też następujące wzory:
(8.12)
(1 + x + x2 + x3 + . . . + xn−1 ) =
1 − xn
1−x
A więc
(8.13)
(1 + x + x2 + x3 + . . . + xn−1 )m =
1 − xn
1−x
m
=
m X
m
(−1)k xnk
k
k=0

! ∞ X m + j − 1
·
xj 
j
j=0
I na wszelki wypadek podaję też następujące wzory:
ex − e−x
ex + e−x
, ch x =
2
2
ch(2x)
+
1
ch(2x)
−
1
cos
2x
+
1
1 − cos 2x
ch2 x =
, sh2 x =
, cos2 x =
, sin2 x =
, sh(2x) = 2 sh x ch x.
2
2
2
2
Przydać się też może następujące rozkładanie trójmianów kwadratowych z “deltą” nieujemną:
√
√
−b − ∆
−b + ∆
2
(8.14)
ax + bx + c = c(1 − v1 x)(1 − v2 x), gdzie v1 =
, v2 =
.
2c
2c
sh x =
Ćwiczenie 8.1. Wyznaczyć funkcje tworzące ciągu geometrycznego, ciągu arytmetycznego, ciągu Fibonacciego. Nauczyć się wyznaczać postać zwartą ciągu zadanego równaniem rekurencyjnym przy użyciu funkcji tworzących, oraz
wyznaczać postać zwartą ciągów znając układ równań rekurencyjnych łączących wyrazy tych ciągów, przy pomocy
funkcji tworzących.
24
8.1. Kombinacje z ograniczeniami.
Twierdzenie 8.1 (ilość kombinacji z ograniczeniami). k elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru
{y1 , y2 , . . . , yn }, w których liczba wystąpień elementu yi należy do zbioru Ai ⊂ {0, 1, 2, 3, . . .}, i = 1, 2, . . . , n,
wynosi ak , gdzie
!
!
!
X
X
X
X
k
i
i
i
f (x) =
ak x =
x ·
x · ... ·
x .
i∈A1
k
i∈A2
i∈An
Przykład 8.1. A1 = A2 = . . . = An = {0, 1}
0
1
0
1
0
1
n
f (x) = (x + x )(x + x ) · . . . · (x + x ) = (1 + x) =
n X
n
k=1
ak =
n
k
k
xk
to liczba k-elementowych kombinacji (bez powtórzeń) ze zbioru n-elementowego.
Przykład 8.2. A1 = A2 = . . . = An = {0, 1, 2, . . .}
∞ X
n+k−1 k
1
=
x
f (x) = (1 + x + x + x + . . .) =
(1 − x)n
k
2
3
n
k=0
ak =
n+k−1
k
to liczba k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego.
Przykład 8.3. A1 = A2 = . . . = An = {1, 2, . . .}
∞ ∞ X
X
n + k − 1 k+n
m−1 m
xn
n
=x
x
=
x
f (x) = (x + x + x + . . .) =
k
n−1
(1 − x)n
m=n
2
3
n
k=0
am =
m−1
n−1
to liczba rozmieszczeń m kul w n szufladkach, nie pozostawiając żadnej szufladki pustej.
Przykład 8.4. Ile jest rozwiązań równania
x1 + x2 + x3 = 6
przy czym x1 , x2 ∈ {0, 1, 2}, x3 ∈ {2, 4}?
f (x) = (1 + x + x2 ) · (1 + x + x2 ) · (x2 + x4 )
= x2 + 2x3 + 4x4 + 4x5 + 4x6 + 2x7 + x8 .
Odpowiedź: współczynnik przy x , czyli 4.
6
25
8.2. Wariacje z ograniczeniami.
Twierdzenie 8.2 (ilość wariacji z ograniczeniami). k elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru {y1 , y2 , . . . , yn },
w których liczba wystąpień elementu yi należy do zbioru Ai ⊂ {0, 1, 2, 3, . . .}, wynosi ak , gdzie
!
!
!
X xi
X xi
X ak
X xi
k
·
· ... ·
.
f (x) =
x =
k!
i!
i!
i!
i∈A1
k
i∈A2
i∈An
Przykład 8.5. A1 = A2 = . . . = An = {0, 1}
f (x) = (
n n
X
x1 x0
x1
x0
x1
x0
n k X (n)k k
+ )( + ) · . . . · ( + ) = (1 + x)n =
x
x =
0!
1! 0!
1!
0!
1!
k!
k
k=1
k=0
ak = (n)k to liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego.
Przykład 8.6. A1 = A2 = . . . = An = {0, 1, 2, . . .}
∞
f (x) = (1 + x +
X nk xk
x3
x2
+
+ . . .)n = (ex )n = enx =
2!
3!
k!
k=0
k
ak = n to liczba k-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego.
Przykład 8.7. A1 = A2 = . . . = An = {1, 2, . . .}
f (x) = (x +
n n ∞
X
X
X
x2
x3
n kx
n
km m
+
+ . . .)n = (ex − 1)n =
e (−1)n−k =
(−1)n−k (
x )=
2!
3!
k
k
m!
m=0
k=0
k=0
!
∞
n X
X
n
xm
n−k m
(−1)
k
=
.
k
m!
m=0
k=0
am =
Pn
n
k=0 k
(−1)n−k k m to liczba surjekcji [m] → [n].
Przykład 8.8. Na ile sposobów można rozmieścić 6 osób w trzech pokojach, jeśli w pierwszych dwóch pokojach
mogą być co najwyżej dwie osoby, a w trzecim albo 2 albo 4?
x2
x2
x4
x2
) · (1 + x + ) · ( + )
2
2
2
24
1 2
100 4 56 5 20 6
1 7
1
3
= x +x +
x + x + x + x + x8 .
2
96
96
96
24
96
Odpowiedź: współczynnik przy x6 przemnożony przez 6!, czyli 150.
f (x) = (1 + x +
Przykład 8.9. A1 = {k1 }, A2 = {k2 },...,An = {kn }.
f (x) =
am =
m
k1 ,k2 ,...,kn
xk 1
xk2
xkn
xk1 +k2 +...+kn
·
· ... ·
=
.
(k1 )! (k2 )!
(kn )!
(k1 )!(k2 )! . . . (kn )!
, gdy m = k1 + k2 + . . . + kn (permutacje z powtórzeniami), a am = 0 w przeciwnym przypadku.
Przykład 8.10. Na ile sposobów można rozmieścić 6 osób w trzech pokojach, jeśli w pierwszy pokój nie może być
pusty, a w drugim zmieszczą się co najwyżej 3 osoby?
x2
x3
x2
x3
x2
x3
x4
+
+ . . .) · (1 + x +
+ ) · (1 + x +
+
+
+ . . .)
2
3!
2
3!
2
3!
4!
x2
x3
x2
x3
= (ex − 1) · (1 + x +
+ ) · ex = (e2x − ex ) · (1 + x +
+ )=
2
3!
2
3!
∞
∞
k k
2
3
k
2
3
X
X
2 x
x
x
x
x
x
(
) · (1 + x +
+ )−(
) · (1 + x +
+ ).
k!
2
3!
k!
2
3!
f (x) = (x +
k=0
k=0
Odpowiedź: współczynnik przy x6 przemnożony przez 6!, czyli
3
2
1
24 1
25
26
1 1
1 1
1
1
· +
· +
·1+
·1− · − · − ·1−
· 6! = 614.
3! 3!
4! 2!
5!
6!
3! 3! 4! 2! 5!
6!
26
8.3. Funkcje tworzące wielu zmiennych.
Przykład 8.11. Na ile sposobów można rozdać pięciu dzieciom r czekoladek i s lizaków tak, aby
a) żadne dziecko nie dostało więcej niz trzy lizaki,
b) każde dziecko, oprócz Tomka, dostało łącznie cao najmniej dwa, ale nie więcej niż trzy smakołyki, a Tomek
dokładnie cztery?
i-te dziecko dostanie xi czekoladek i yi lizaków, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, dane z zadania:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = r
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = s
• dodatkowo w a)
y1 ≤ 3,
dla i = 1, 2, 3, 4, 5;
Funkcja tworząca ma postać:
∞ X
3
X
f (x, y) = (
xi y j ) 5
i=0 j=0
r s
Przekształcamy i szukamy współczynnika przy x y :
f (x, y) = (
∞
X
3
X
xi ) 5 (
y j )5 =
i=0
=(
∞ X
k=0
j=0
1
1
· (1 − y 4 )5 ·
=
5
(1 − x)
(1 − y)5
5 ∞ X
X
5+k−1 k
5 4k
5+k−1 k
x )·(
y )·(
y )
k
k
k
k=0
k=0
a więc współczynnik przy xr y s wynosi
 s

b 4 c 5 + r − 1 X
5 5 + s − 4i − 1 
·
r
i
s − 4i
i=0
• natomiast w b) mamy dodatkowe warunki:
xi + yi = 2 lub 3 dla i = 1, 2, 3, 4,
x5 + y5 = 4
Funkcja tworząca ma postać
f (x, y) = (x2 + xy + y 2 + x3 + x2 y + xy 2 + y 3 )4 · (x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4 )
odpowiedź daje współczynnik przy xr y s
———————————Ogólnie (kombinacje z mieszanymi ograniczeniami):


 

X
X
X
xi y j  · . . . · 
xi y j  · 
f (x, y) = 
(i,j)∈A1
(i,j)∈A2

xi y j 
(i,j)∈An
———————————Przykład 8.12. Trzech mężczyzn i trzy kobiety rozmieszczmy w trzech pokojach tak, aby w pierwszym pokoju był
co najmniej jeden mężczyzna, w drugim co najwyżej trzy osoby a w trzecim tyle samo kobiet, co mężczyzn. Na ile
sposobów można to uczynić?
Warunki na pierwszy pokój: A1 = {0, 1, 2, . . .} × {1, 2, 3, . . .}, na drugi pokój: A2 = {(i, j) : i + j ≤ 3}, i na trzeci
pokój: A3 = {(i, i) : i = 0, 1, 2, . . .}.
Funkcja tworząca ma postać:
∞ X
∞
∞
X
X
xi y j
x2
xy
y2
x3
x2 y
xy 2
y3
xi y i
f (x, y) = (
) · (1 + x + y +
+
+
+
+
+
+ )·(
).
i!j!
2
1·1
2
3!
2! · 1! 1! · 2!
3!
i!i!
i=0 j=0
i=0
Odpowiedź daje współczynnik przy x3 y 3 (bo trzech mężczyzn i trzy kobiety) pomnożony przez 31 · 3!.
Wynosi 168.
————————————Ogólnie (wariacje z mieszanymi ograniczeniami):

 
X xi y j
X
·
f (x, y) = 
i!j!
(i,j)∈A1
(i,j)∈A2


X
xi y j 
· ... · 
i!j!
(i,j)∈An

xi y j 
i!j!
27
ZADANIA
Zadanie 8.1. Uzasadnić, że funkcja tworząca ciągu an określającego liczbę partycji liczby n wynosi
(1 + x + x2 + x3 + . . .) · (1 + x2 + x4 + x6 + . . .) · (1 + x3 + x6 + x9 + . . .) · . . . · (1 + xn + x2n + x3n + . . .) · . . . =
∞ Y
1
=
.
1 − xk
k=1
Zadanie 8.2. Na ile sposobów można rozmieścić cztery identyczne kule w pięciu rozróżnialnych szufladkach, przy
założeniu, że każda z pierwszych trzech szufladek zawiera co najwyżej jedną kulę, a szufladka czwarta i piąta, co
najwyżej dwie.
Zadanie 8.3. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ar określającego liczbę wyboru r kul spośród trzech kul zielonych,
trzech białych, trzech niebieskich i trzech czarnych.
Zadanie 8.4. Znaleźć liczbę rozmieszczeń dwudziestu identycznych kul w pięciu różnych pudełkach, jeśli każde
pudełko ma zawierać od dwóch do siedmiu kul.
Zadanie 8.5. Znaleźć wykładniczą funkcję tworzącą dla liczby sposobów rozmieszczenia r osób w sześciu pokojach,
jeśli w każdym pokoju ma być od dwóch do sześciu osób.
Zadanie 8.6. Na ile sposobów można uzyskać sumę dwudziestu pięciu oczek na dziesięciu różnych kostkach do gry?
Zadanie 8.7. Na ile sposobów można zamówić dwanaście porcji lodów sposród pięciu rodzajów, jeśli nie wolno wziąć
więcej niż czterech porcji jednego rodzaju?
Zadanie 8.8. Znaleźć liczbę wyborów r piłek spośród trzech zielonych, trzech białych, trzech czeronych i trzech
niebieskich piłek.
Zadanie 8.9. Ile jest r literowych słów złożonych z liter a, b, c zawierających co najmniej dwie litery a?
Zadanie 8.10. Użyć funkcji tworzących w celu określenia liczby 5 elelmentowych kombinacji liter M,A,T,H, w
których litery M i A mogą pojawić się dowolną ilość razy, natomiast T i H co najwyżej raz. Który współczynnik
funkcji tworzącej należy znaleźć?
Zadanie 8.11. Znaleźć funkcję tworzącą określającą ilosć liczb całkowitych z przedziału od 0 do 999 999 o sumie
cyfr równej r.
Zadanie 8.12. Na ile sposobów można rozmieścić 25 osób w trzech pokojach, jeśli w każdym pokoju ma być co
najmniej 1 osoba?
Zadanie 8.13. Znaleźć liczbę sposobów otrzymania sumy r oczek na sześciu różnych kostkach do gry, jeśli:
(1) na pierwszych trzech kostkach wypadną liczby nieparzyste a na trzech pozostałych liczby parzyste,
(2) na żadnej kostce nie wypadła wartosć 1.
Zadanie 8.14. Znaleźć funkcję tworzącą g(x, y, z), której współczynnik przy xr y s z t jest liczbą sposobów wyboru
przez osiem osób łącznie r jabłek , s pomarańczy i t bananów, jeśli każda osoba musi wybrać dwa różne owoce.
Zadanie 8.15. Ile jest r elementowych ciągów złożonych z cyfr 0, 1, 2, 3 z parzystą liczbą zer i nieparzystą liczbą
jedynek?
Zadanie 8.16. Ile 10-literowych słów można otrzymać z liter e,n,r,s, przy założeniu, że
(1) każda z liter występuje co najwyżej raz,
(2) każda z lietr występuje co najmniej raz?
Zadanie 8.17. Wyznaczyć funkcję tworzącą f (x, y, z), której współczynnik przy xr y s z t jest liczbą rozdań r kul
czerownych, s kul białych i t kul zielonych n osobom, przy czym:
(1) każda osoba otzrymuje od trzech do szesciu kul każdego koloru,
(2) tak jak w (1) i dodatkowo, każda ososba otzryma co najmniej tyle kul czerownych, co niebieskich,
(3) Tak jak w (1) i dodatkowo, pierwsze trzy osoby otzrymają taką samą liczbę kul czerwonych i niebieskich,
(4) tak jak w (1) i dodatkowo, zadna osoba nie otrzymuje tej samej liczby kul zielonych i czerwonych.
Zadanie 8.18. Ile jest r elementowych ciągów złożonych z cyfr 0,1,2 w których
(1) żadna z cyfr nie występuje dokładnie dwa razy,
(2) każda z cyfr 0 i 1 występuje parzystą liczbę razy?
28
9. Permutacje z ograniczeniami
Ile jest permutacji σ zbioru [n], w których σ(i) ∈
/ Bi , gdzie Bi ⊂ [n], i = 1, 2, . . . , n?
Można rozwiązywać takie zagadnienia zasadą włączeń i wyłączeń lub pomóc sobie przy pewnej metodzie z
wykorzystaniem macierzy i funkcji tworzących22
n
X
R(x, B) :=
rk (B) · xk ,
k=0
R(x, B1 ∪ B2 ) = R(x, B1 ) · R(x, B2 ), gdy B1 i B2 nie kolidują ze sobą,
R(x, B) = x · R(x, Bs∗ ) + R(x, Bs ).
ZADANIA
Zadanie 9.1. Siedmiu krasnoludków K1 , K2 , . . . , K7 ma do wykonania jedną z siedmiu prac P1 , . . . , P7 przy porządkach świątecznych. Krasnoludek K1 nie może wykonywać pracy P2 i P3 , K2 pracy P1 i P5 , K4 - P3 i P6 , K5 nie
może wykonywać pracy P2 i P7 , a K7 - P4 . Krasnoludki K3 i K6 mogą wykonywać wsztstkie prace. Na ile sposobów
można przypisać krasnoludkom różne prace?
Zadanie 9.2. Rzucamy dwoma różnymi kostkami do gry sześć razy. Na ile sposobów można otrzymać na każdej
kostce wszystkie liczby od 1 do 6, przy założeniu, nie występują następujące pary:
(1,5), (2,6), (3,4), (5,5), (5,3), (6,1), (6,2)?
(np. (1,2), (2,5), (5,4), (3,6), (4,1), (6,3))
Zadanie 9.3. Komputerowe biuro adopcyjne chce dobrać każdemu z czterech małżeństw jedno spośród pięciorga
dzieci do adopcji. Na ile sposobów moze to zrobić, jeśli na podstawie wstępnych badań stwierdzono, że małżeństwu
pierwszemy nie odowiada trzcie i piąte dziecko, małżeństwu drugiemu nie odpowiada pierwsze i drugie dziecko,
małżeństwo trzecie nie spełnia warunków adopcji czwartego dziecka, a mażeństwo czwarte nie moze adoptować
drugiego i czwartego dziecka?
Zadanie 9.4. Menedżer pewnej firmy ma pięciu pracowników A, B, C, D i E, którym pragnie przydzielić pięć
różnych prac a,b,c,d i e. Według jego oceny osoba A nie jest odpowiednia do prac b i c, B- a i c, C- b i d i e, D może
wykonywać każdą z prac a E wszystkie z wyjątkiem d. Na ile sposobów może on przydzielić prace pracownikom?
Zadanie 9.5. W ilu permutacjach liczb 1, 2, . . . , 9 pierwsza liczba jest większa od 1, a ostatnia jest mniejsza od 8?
Zadanie 9.6. Mamy wysłać sześć kartek świątecznych K1 , K2 , . . . , K6 do trzech ciotek C1 , C2 , C3 i trzech wujków
W1 , W2 , W3 , pamiętając, że C1 nie lubi kartek typu K2 i K4 , C2 nie lubi kartek K1 i K5 , W1 nie lubi K2 i K5 , W2
- K4 , a W3 - K6 . Na ile różnych sposobów możemy przydzielić kartki krewnym?
22szczegóły na tablicy i wyjaśnienie poniższych wzorów i oznaczeń
29
10. Algorytmy
Bardzo proszę o spróbowanie samodzielnego napisania algorytmów generujących proste obiekty kombinatoryczne: permutacje, wariacje, podzbiory zbioru, podziału zbioru na bloki, a następnie zapoznanie się z algorytmami
poniższymi, zrozumienie jak działają, w jakiej kolejności wypisują poszczególne ciągi/podzbiory/bloki.
AlgorytmPermutacjaLosowa
Dane: n - długość permutacji
Wyniki: Losowo wybrana permutacja liczb {1, . . . , n};
Reprezentacja permutacji: tablica P [1..n]
procedure zamien(var x,y:Byte);
begin
pom := x; x := y; y := pom;
end ;
begin
for k := 1 to n do P[k] := k;
for k := n downto 2 do
begin
l := Random(k) + 1; zamien(P[l], P[k]);
end ;
Write(P)
end .
———————————–
Algorytm Antylex
Dane: n - długość permutacji
Wyniki: Ciąg permutacji w porządku antyleksykograficznym;
Reprezentacja permutacji: tablica P[1..n]
procedure odwróć(m)
begin i := 1; j := m;
while i < j do
begin
Zamień(P[i],P[j]); i := i + 1; j := j - 1;
end;
end
procedure Antylex(m)
begin
if m = 1 then Write(P)
else
for i:=1 to m do
begin
Antylex(m - 1);
if i < m then
begin Zamień(P[i],P[m]); odwróć(m - 1) end
end ;
end ;
Wywołanie: Antylex(n)
————————————————————–
Algorytm Wariacje;
Dane: n - liczba elementów zbioru, k - długość wariacji.
Wyniki: Ciąg wszystkich wariacji z powtórzeniami elementów {0, 1, ..., n?1} taki, że następna wariacja różni się od
poprzedniej jednym elementem;
Reprezentacja wariacji: tablica W[1..k]
function index(m, n);
begin
i := 0;
30
while m mod n = 0 do
begin i := i + 1; m := m div n; end ;
index := i;
end ;
procedure Wariacja;
begin
for i := 1 to k do
begin W[i] := 0; skok[i] := 1; end ;
m := 0;
repeat
Write(W);
m:=m+1;
i := index(m, n) + 1;
if i <= k then
begin
W[i] := W[i] + skok[i];
if W[i] = 0 then skok[i] := 1;
if W[i] = n - 1 then skok[i] := - 1;
end ;
until i > k;
end ;
—————————————————————
AlgorytmPodzbiory1;
Dane: n - liczba elementów zbioru.
Wyniki: Ciąg wszystkich podzbiorów zbioru {1, ..., n}
Reprezentacja podzbioru: tablica S[1..n] (funkcja charakterystyczna podzbioru23)
procedure Podzbior;
begin
for m := 0 to 2n - 1 do
begin
for i := 1 to n do
begin S[i] := m mod 2; m := m div 2;end ;
Write(S);
end ;
end ;
—————————————————————–
Algorytm Podzbiory2;
Dane: n - liczba elementów zbioru.
Wyniki: Ciąg wszystkich podzbiorów zbioru {1, ..., n} taki, że następny podzbiór różni się od poprzedniego jednym
elementem;
Reprezentacja podzbioru: tablica S[1..n] (funkcja charakterystyczna podzbioru).
function index (m);
begin
i := 0;
while m mod 2 = 0 do
begin i := i + 1; m := m div 2; end ;
index := i;
end ;
procedure Podzbior;
begin
for i := 1 to n do S[i] := 0;
m := 0;
repeat
Write(S);
23tzn. jeśli na k-tym miejscu w l-tym wierszu tablicy jest 1, to k-ty element zbioru jest w l-tym podzbiorze, jeśli na k-tym miejscu
jest 0, to k-tego elementu nie ma w tym podzbiorze
31
m:=m+1;
i := index (m) + 1;
if i <= n then
S[i] := 1 - S[i];
until i > n;
end ;
————————————————————
Algorytm k-Podzbiory:
Dane: n, k;
Wyniki: Ciąg wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, w porzadku leksykograficznym. Każdy podzbiór reprezentowany jest przez listę elementów A[1], . . . ,A[k].
begin
for i := 1 to k do A[i]:=i; (*pierwszy podzbiór *)
p := k;
while p ≤ 1 do
begin
Write(A);
if A[k] = n then p := p - 1
else p := k;
if p ≥ 1 then
for i := k downto p do A[i] := A[p] + i - p + 1
end
end ;
——————————————————————
Algorytm PodziałyZbioru:
Dane: n - liczba elementów zbioru.
Wyniki: Ciąg wszystkich podziałów zbioru n-elementowego.
Reprezentacja podziału: tablica P[0..n], gdzie P[0] oznacza liczbę bloków podziału, a P[l] = i oznacza, że liczba l
należy do bloku i.
procedure poczatek(var podz:blok);
begin
for i := 0 to n do P[i] := 0;
end ;
procedure podzial(m;P);
begin
for l := 1 to P[0] + 1 do
begin
P[m] := l;
if l > P[0] then P[0] := l;
if m = n then Write(P) else podzial(m+1,P);
end ;
end ;
Wywołanie: poczatek(P); podzial(1,P);
———————————————————Algorytm k-PodziałyZbioru:
Dane: n - liczba elementów zbioru, k - liczba bloków.
Wyniki: Ciąg wszystkich podziałów zbioru n-elementowego na k bloków.
procedure podzial(m;P);
begin
for l := 1 to min(P[0] + 1, k) do
begin
P[m] := l;
P[0]:=max(P[0], l);
if P[0] + n - m >= k then
if m = n then Write(P)
else
podzial(m+1,P);
end ;
32
end ;
Wywołanie: poczatek(P); podzial(1,P);
33
11. Oznaczenia
|A| – moc zbioru A.
N = {1, 2, 3, . . .}.
N0 = N ∪ {0}.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .}.
R – zbiór liczb rzeczywistych.
[n] := {1, 2, . . . , n} dla n ∈ N.
A[k] = {B ⊂ A; |B| = k} dla k ∈ N0 .
bxc = max{k ∈ Z : k ≤ x}.
Wnk - liczba k-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego.
(x)n := x · (x − 1) · . . . · (x − n + 1) dla x ∈ R, n ∈ N; (x)0 := 1.
(x)n := x · (x + 1) · . . . · (x + n − 1) dla x ∈ R, n ∈ N; (x)0 := 1.
Vnk - ilość k-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego.
Wnk - ilość k-elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego.
Cnk - ilość k-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru n-elementowego.
CCnk - ilość k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego.
34
Rysunek 1. To co powyżej i na następnych stronach tego rozdziału zostało przekopiowane z wykładu Matematyka dyskretna Alexander Denisjuk dostępnego w internecie
35
36
37
38
39
12. Grafy - podstawowe pojęcia
(1) Graf prosty G składa się z niepustego zbioru skończonego V (G), którego elementy nazywamy wierzchołkami,
i skończonego zbioru E(G) różnych par nieuporządkowanych różnych elementów zbioru V (G), które nazywamy krawędziami. Mówimy, że krawędź {u, v} łączy wierzchołki u i v. A więc E(G) ⊂ {A ⊂ V (G) :
A ma dwa elementy}.
(2) Graf (ogólny) składa się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V (G) i skończonego multizbioru
dwuelementowych multizbiorów, o elementach z V (G). (Tzn. graf może zawierać też krawędzie wielokrotne
i pętle).
(3) Mówimy, że grafy są izomorficzne, jeśli istnieje wzajemie jednoznaczna odpowiedniość między wierzchołkami
tych grafów, taka, że liczba krawędzi łączących dane dwa wierzchołki w jednym grafie i wierzchołki im
odpowiadające w drugim grafie, jest taka sama.
(4) Jeśli nie nazywamy wierzchołków, mówimy o grafach nieoznakowanych.
(5) Jeśli G1 = (V (G1 ), E(G1 )), G2 = (V (G2 ), E(G2 )), przy czym V (G1 ) i V (G2 ) są rozłączne, to sumą tych
grafów nazywamy graf, którego zbiorem wierzchołków jest V (G1 ) ∪ V (G2 ) a zbiorem krawędzi jest E(G1 ) ∪
E(G2 ). Jeśli graf G nie można przedstawić w postaci sumy grafów, to nazywamy go spójnym. Każdy graf
niespójnyG można przedstawić w postaci sumy grafów spójnych, nazywamy je składowymi spójnymi grafu
G.
(6) Mówimy, że dwa wierzchołki grafu są sąsiednie jeżeli istnieje krawędź, która je łączy. Mówimy wtedy, że są
one incydentne z tą krawędzią. Dwie krawędzie są sąsiednie jeżeli są incydentne z tym samym wierzchołkiem.
(7) Stopień wierzchołka v, oznaczamy deg(v), jest liczbą krawędzi incydentnych z tym wierzchołkiem, przy czy
pętle liczymy podwójnie. Wierzchołek stopnia zero nazywamy izolowanym, wierzchołek stopnia jeden nazywamy końcowym. Ciąg stopni grafu składa się ze stopni wszystkich wierzchołków w kolejności wzrastającej.
Zauważmy, że (Lemat o uściskach dłoni, Euler, 1736) w każdym grafie suma stopni wszystkich wierzchołków
jest liczbą parzystą. Wniosek: liczba wierzchołków o nieparzystych stopniach jest parzysta.
(8) Podgrafem grafu G nazywamy graf, którego wszystkie wierzchołki należą do V (G), a krawędzie do E(G).
Jeśli e jest krawędzią grafu G, to symbolem G − e oznaczamy podgraf otrzymany z grafu G przez usunięcie
krawędzi e.
Jeśli F ⊂ E(G), to G − F = (V (G), E(G) \ F ).
Jeśli v ∈ V (G), to symbolem G − v oznaczymy graf powstały z G przez usunięcie wirzchołka v i wszystkich
krawędzi z nim incydentnych.
Jeśli S ⊂ V (G), to symbolem G − S oznaczamy graf powstały z G przez usunięcie wszystkich wierzchołków
ze zbioru S i wszystkich krawędzi incydentnych z którymkolwiek z tych wierzchołków.
Jeśli e jest krawędzią grafu G, to symbolem G \ e oznaczamy graf powstały z G przez usunięcie krawędzi
e i zidentyfikowanie dwóch wierzchołków z nią incydentnych. ten nowy wierzchołek jest incydentny z tymi
krawędziami, które były incydentne z którymś z dwu wierzchołków incydentnych z e.
(9) Jeśli graf G ma wierzchołki oznaczone {1, 2, . . . n}, to macierzą sąsiedztwa A nazywamy macierz wymiaru
n × n, taką, że w i-tym wierszu i j-tej kolumnie jest liczba krawędzi łączących wierzchołek i z wierzchołkiem
j.
(10) Jeśli oznaczymy wierzchołki {1, 2, . . . , n}, a krawędzie {1, 2, . . . , m}, to macierzą incydencji M nazywamy
macierz wymiaru n × m, taką, że wyraz z i-tego wiersza i j-tej kolumny jest równy 1 lub 0 w zależności od
tego, czy wierzchołek i jest incydentny z krawędzią j, czy nie.
(11) Grafy puste to grafy, których zbiór krawędzi jest pusty. Graf pusty o n wierzchołkach oznaczamy Nn .
(12) Graf prosty, w którym każda para różnych wierzchołków jest połączona krawędzią, nazywamy grafem pełnym.
Graf pełny o n wierzchołkach oznaczamy Kn .
(13) Graf, w którym każdy wierzchołek ma ten sam stopień, nazywamy grafem regularnym. Jeśli każdy wierzchołek ma stopień r, to ten graf nazywamy grafem regularnym stopnia r lub krócej r-grafem.
Grafy kubiczne, to grafy regularne stopnia 3.
Graf Petersena, grafy platońskie 24
(14) Graf spójny regularny stopnia 2 nazywamy grafem cyklicznym. Symbolem Cn oznaczamy graf cykliczny o
n wierzchołkach.
(15) Przez Pn oznaczamy graf otrzymany z Cn przez usunięcie jednej krawędzi, nazywamy go grafem liniowym.
(16) Graf powstały z Cn−1 przez połączenie każdego wierzchołka z nowym wierzchołkiem, nazywamy kołem i
oznaczamy symbolem Wn .
(17) Jeżeli zbiór wierzchołków grafu G można podzielić na dwa niepuste, rozłączne podzbiory A, B, A∪B = V (G)
tak, aby kazda krawędź łączyła wierzchołek ze zbioru A z wierzchołkiem ze zbioru B, to graf G nazywamy
dwudzielnym.
Graf pełny dwudzielny to taki graf dwudzielny, w którym każdy wierzchołek ze zbioru A jest połączony
24do przemalowania z tablicy
40
jedną krawędzią z każdym wierzchołkiem zbioru B. Jeśli A ma r elementów, a B ma s elementów, to taki
graf pełny dwudzielny oznaczamy symbolem Kr,s .
(18) Jeżeli wierzchołki grafu G możemy oznaczyć k elementowymi ciągami binarnymi, przy czym krawędź łączy
te wierzchołki, które różnią się dokładnie jednym wyrazem, to taki graf nazywamy k-kostką .
(19) Dopełnieniem grafu prostego G nazywamy graf Ḡ = (V (G), {A ⊂ V (G) : cardA = 2, A ∈
/ E(G)}).
12.1. Drogi i cykle.
(20) Trasą lub marszrutą w danym grafie G nazywamy skończony ciąg krawędzi, w którym każde dwie kolejne
krawędzie są albo sąsiednie, albo identyczne. Zamiast zapisywać ({v0 , v1 }, {v1 , v2 }, . . . , {vm−1 , vm }) piszemy
v0 → v1 → v2 → . . . → vm−1 → vm . Długość takiej trasy to m, v0 nazywamy wierzchołkiem początkowym,
a vm wierzchołkiem końcowym. Mówimy też wtedy o trasie od wierzchołka v0 do wierzchołka vm .
(21) Trasę, w której wszystkie krawędzie są różne nazywamy ścieżką.
(22) Ścieżkę, w której wszystkie wierzchołki są różne (z wyjątkiem być może równości v0 = vm ) nazywamy drogą.
(23) Droga lub ścieżka jest zamknięta, jeżeli v0 = vm .
(24) Drogę zamkniętą mającą co najmniej jedną krawędź nazywamy cyklem.
Cykl długości 3 nazywamy trójkątem.
(25) Obwodem grafu G nazywamy długość najkrótszego cyklu w tym grafie.
(26) Odległością d(v, w) wierzchołka v od wierzchołka w nazywamy długość najkrótszej drogi prowadzącej z v
do w.
Twierdzenie 12.1. G jest grafem dwudzielnym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy cykl ma długość parzystą.
12.2. Spójność.
Twierdzenie 12.2.
• Graf jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy każda para wierzchołków może być połączona
drogą.
• G jest grafem dwudzielnym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy cykl ma długość parzystą.
• Jeżeli G jest grafem prostym mającym n wierzchołków i k składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia
nierówności
n − k ≤ m ≤ (n − k)(n − k + 1)/2.
• Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż (n − 1)(n − 2)/2 krawędzi, jest spójny.
(27) Zbiorem rozspajającym grafu spójnego G nazywamy zbiór krawędzi, których usunięcie spowoduje, ze graf
przestaje być spójny.
Rozcięcie to taki zbiór rozspajający, którego żaden podzbiór właściwy nie jest zbiorem rozspajającym.
Jeżeli rozcięcie składa się z jednej krawędzi, to krawędź tę nazywamy mostem.
(28) Jeżeli G jest grafem (niekoniecznie spójnym), to zbiorem rozspajającym nazywamy zbiór krawędzi, których
usunięcie zwiększa liczbę składowych grafu G, a rozcięciem nazywamy zbiór rozspajający, którego żaden
podzbiór właściwy nie jest rozspajający.
(29) Jeżeli graf G jest spójny, to jego spójnością krawędziową λ(G) nazywamy liczbę krawędzi należących do
najmniej licznego rozcięcia grafu G.
Mówimy, że graf jest k-spójny krawędziowo jeżeli λ(G) ≥ k.
(30) Zbiorem rozdzielającym grafu spójnego G nazywamy zbiór wierzchołków, których usunięcie powoduje, że
graf przestaje być spójny.
Jeżeli zbiór rozdzielający składa się z jednego wierzchołka, to ten wierzchołek nazywamy rozcinającym.
Dla grafów niespójnych, analogiczne definicje ze zwiększeniem liczby składowych.
(31) Jeśli G jest grafem spójnym i nie jest grafem pełnym, to jego spójnością (wierzchołkową) κ(G) nazywamy
liczbę elementów najmniej licznego zbioru rozdzielającego.
Mówimy, że G jest k-spójny, gdy κ(G) ≥ k.
Twierdzenie 12.3. Jeżeli G jest grafem spójnym, to κ(G) ≤ λ(G).
12.3. Grafy eulerowskie.
(32) Graf spójny nazywamy grafem eulerowskim, jeśli istnieje zamknięta ścieżka zawierająca każdą krawędź grafu
G. Taką ścieżkę nazywamy cyklem Eulera.
(33) Graf, który nie jest eulerowski, nazywamy półeulerowskim, gdy istnieje ścieżka zawierająca każdą krawędź
grafu G.
(34) Problem mostów królewieckich
Twierdzenie 12.4.
• Jeśli w grafie G każdy wierzchołek ma stopień równy co najmniej 2, to graf G zawiera
cykl.
• (Euler, 1736) Graf spójny G jest grafem eulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy stopień każdego wierzchołka
grafu G jest liczbą parzystą.
41
• Graf spójny jest grafem eulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy jego zbiór krawędzi można podzielić na rozłączne
cykle.
• Graf spójny jest grafem półeulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa wierzchołki nieparzystych
stopni.
Twierdzenie 12.5 (Algorytm Fleury’ego). Niech G będzie grafem eulerowskim. Wtedy następująca konstrukcja jest
wykonalna i daje w wyniku cykl Eulera w grafie G.
Zacznij cykl w dowolnym wierzchołku u i przechodź krawędzie w dowolnej kolejności, dbając jedynie o zachowanie
następujących zasad:
(a) usuwaj z grafu przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane powstające w wyniku usuwania tych krawędzi;
(b) w każdym momencie przechodź przez most tylko wtedy, gdy nie masz innej możliwości.
12.4. Grafy Hamiltonowskie.
(35) Zamkniętą drogę przechodzącą dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek grafu (z wyjątkiem tego, że
zaczyna się i kończy w tym samym) nazywamy cyklem Hamiltona, a graf, który ma taki cykl nazywamy
hamiltonowskim.
(36) Graf niehamiltonowski nazywamy półhamiltonowskim, gdy istnieje droga przechodząca przez każdy wierzchołek dokładnie jeden raz.
Twierdzenie 12.6.
• (Ore, 1960) Jeżeli graf prosty G ma n wierzchołków (gdzie n ≥ 3) oraz
deg(v) + deg(w) ≥ n
dla każdej pary wierzchołków niesąsiednich v i w, to graf G jest hamiltonowski.
• (Dirac, 1952) Jeśli w grafie prostym G, który ma n wierzchołków (gdzie n ≥ 3), deg(v) ≥ n/2, dla każdego
wierzchołka v, to graf G jest hamiltonowski.
12.5. Zagadnienie najkrótszej drogi. Mamy daną mapę z miastami i siecią dróg o danej długości. Znaleźć
najkrótszą drogę łączącą wybrane dwa miasta.
• Algorytm25
12.6. Zadanie chińskiego listonosza. mamy daną mapę z miastami siecią dróg o zadanej długości. Listonosz
ma przejść przez każdą drogę i powrócić do punktu wyjścia. Jaka jest najktrótsza możliwa jego trasa? (Znalezienie
trasy zamkniętej, której całkowita waga jest minimalna i w której każda krawędź występuje co najmniej raz.)
• Algorytm26
12.7. Problem komiwojażera. Mamy daną mapę z miastami i drogami o danej długości. Komiwojażer chce
odwiedzić wszystkie miasta i powrócić do punktu wyjścia. Jaka jest najkrótsza możliwa jego trasa? (Znalezienie
cyklu Hamiltona o najmniejszej możliwej wadze w danym grafie z wagami).27
12.8. Drzewa.
(37) Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli, a drzewem las spójny. Zauważmy, że lasy i drzewa są grafami
prostymi.
Twierdzenie 12.7. Niech T będzie grafem mającym n wierzchołków. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(a) T jest drzewem,
(b) T nie zawiera cykli i ma n − 1 krawędzi,
(c) T jest grafem spójnym i ma n − 1 krawędzi,
(d) T jest grafem spójnym i każda krawędź jest mostem,
(e) kazde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną drogą,
(f ) T nie zawiera cykli, ale po dodaniu jednej nowej krawędzi otrzymany graf ma dokładnie jeden cykl.
Wniosek 12.1. Jeśli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i m składowych, to G ma n − m krawędzi.
(38) Jeśli wybierzemy jakiś cykl w grafie i usuniemy z niego krawędź, to otrzymany graf będzie dalej grafem spójnym. Możemy powtarzać tę procedurę usuwania którejkolwiek krawędzi z cyklu, aż nie będzie
żadnego cyklu. powstanie w ten sposób drzewo, które spina wszystkie wierzchołki grafu. Nazywamy je
drzewem spinającym grafu albo rozpinającym graf.
(39) Las spinający to las złożony z drzew spinających składowe grafu.
(40) Łączną liczbę krawędzi usuniętych z grafu G, aby dostać las spinający, nazywaamy rzędem cykliczności grafu
lub liczbą cyklomatyczną grafu G i oznaczamy γ(G). Zauważmy, że jeśli G ma n wierzchołków, k krawędzi
i m składowych, to γ(G) = k − n + m.
25na tablicy
26na tablicy
27patrz podrozdział 12.9 “Problem najkrótszych połączeń”
42
(41) Rząd spójności lub rząd rozcięcia to liczba krawędzi w lesie spinającym. Oznaczamy go przez ξ(G). Zauważmy, że ξ(G) = n − m.
(42) Dopełnieniem lasu spinającego T grafu G nazywamy graf powstały z grafu G po usunięciu krawędzi należących do T .
Twierdzenie 12.8. Jeśłi T jest lasem spinającym grafu G, to
(a) każde rozcięcie ma wspólną krawędź z T ,
(b) każdy cykl w grafie G ma wspólną krawędź z dopełnieniem T .
Twierdzenie 12.9 (Cayley, 1889). Istnieje nn−2 różnych drzew oznakowanych mających n wierzchołków.
Wniosek 12.2. Graf Kn ma nn−2 drzew spinających.
Twierdzenie 12.10 (Macierzowe twierdzenie o drzewach). Niech G będzie spójnym grafem prostym, którego zbiorem
wierzchołków jest {v1 , v2 , . . . , vn } i niech M = (mij ) będzie macierzą wymiaru n × n taką, że mii = deg(vi ),
mij = −1, gdy wierzchołki vi i vj są sąsiednie oraz mij = 0 w przeciwnym razie. Wtedy licza drzew spinających
graf G jest równa dopełnieniu algebraicznemu dowolnego wyrazu macierzy M .
12.9. Problem najkrótszych połączeń. Chcemy wybudować sieć kolejową, która połaczy n miast, w taki sposób,
że można z każdego miasta dostać się do dowolnego innego, a całkowita długość linii ma być najmniejsz możliwa.
• Algorytm zachłanny.
• Ograniczenie dolne rozwiązania problemu komiwojażera.
12.10. Drzewa przeszukiwań.
• Metoda poszukiwania w głąb,
• Metoda poszukiwania wszerz.
12.11. Planarność.
(43) Grafem planarnym nazywamy graf, który można narysować na płaszczyźnie bez przecięć, tzn. tak, aby żadne
dwie krawędzie nie przecinały się na rysunku poza wierzchołkiem, z którym obie są incydentne. Każdy taki
rysunek nazywamy rysunkiem płaskim albo grafem płaskim. Zauważmy, że podgraf grafu planarnego jest
planarny, a graf, który ma podgraf nieplanarny też nie jest planarny.
Twierdzenie 12.11. Każdy planarny graf prosty można narysować za pomocą odcinków.
Twierdzenie 12.12. Grafy K3,3 i K5 są nieplanarne.
(44) Grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli oba je można otrzymać z tego samego grafu przez wstawienie
nowych wierzchołków stopnia dwa wewnątrz ich krawędzi.
(45) Graf G jest ściągalny do grafu H, gdy graf H powstał z grafu przez “zlepienie” pewnych par wierzchołków
sąsiadujących ze sobą (i usunięcie krawędzi z nimi incydentnej), czyli G \ {e1 , e2 , . . . , es } = H dla pewnych
krawędzi e1 , . . . , es grafu G 28
Twierdzenie 12.13. (a) (Kuratowski, 1930) Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu
homeomorficznego z grafem K3,3 lub z grafem K5 .
(b) Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu ściągalnego do grafu K3,3 lub K5 .
(46) Jeśli graf G jest grafem planarnym, to każdy rysunek płaski grafu G dzieli zbiór punktów płaszczyzny, które nie leżą na G, na obszary zwane ścianami. Jedna z nich jest nieograniczona, nazywamy ją
ścianą nieskończoną.
Twierdzenie 12.14. (a) [Euler, 1750] Niech G będzie rysunkiem płaskim spójnego grafu płaskiego i niech n, k, f
oznaczają odpowiednio liczbę jego wierzchołków, krawędzi i ścian. Wtedy n − k + f = 2.
W wielościanie o n wierzchołkach, k krawędziach i f ścianach mamy n − k + f = 2.
(c) Jeśli graf płaski ma n wierzchołków, k krawędzi i f ścian oraz m składowych, to n − k + f = m + 1.
(d) Jeśli G jest spójnym planarnym grafem prostym mającym n wierzchołków (n ≥ 3) i k krawędzi, to k ≤ 3n − 6.
Jeśli ponadto graf nie ma trójkątów, to k ≤ 2n − 4.
12.12. Kolorowanie grafów.
12.12.1. Kolorowanie wierzchołków.
(47) Jeśli G jest grafem bez pętli, to mówimy jest grafem k-kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi można
przypisać jeden z k kolorów w taki sposób, by sąsiednie wierzchołki miały różne kolory.. Jeśli graf jest k- kolorowalny, ale nie jest k − 1-kolorowalny, to mówimy, że jest k-chromatyczny, lub że jego liczba chromatyczna,
χ(G), jest równa k.
28przypomnij sobie punkt (8)
43
Uwaga 12.1. χ(Kn ) = n;
χ(G) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grafem pustym;
χ(G) = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy G jest niepustym grafem dwudzielnym;
każde drzewo jest 2-kolorowalne;
każdy cykl mający parzystą liczbę wierzchołków jest 2-kolorowalny;
graf Petersena, grafy cykliczne i koła o nieparzystej liczbie wierzchołków są 3-kolorowalne;
koła o parzystej liczbie wierzchołków są 4-kolorowalne.
Twierdzenie 12.15. (a) Jeśli G jest grafem prostym, w którym największym stopniem wierzchołka jest ∆, to graf
G jest ∆ + 1-kolorowalny.
(b) [Brooks, 1941], Jeśli G jest spójnym grafem prostym, nie będącym grafem pełnym, i jesli największy stopień
wierzchołka grafu G wynosi ∆ (∆ ≥ 3), to graf G jest ∆-kolorowalny.
(c) [Appel i Haken, 1976], Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny.
12.12.2. Kolorowanie ścian.
(48) Mapą będziemy nazywać graf planarny nie zawierający rozcięć mających jedną lub dwie krawędzie (w
szczególności nie ma wierzchołków stopnia 1 lub 2, i mostów).
(49) Mapa jest k-kolorowalna(f), gdy jej ściany można pokolorować k kolorami, tak aby żadne dwie ściany
ograniczone wspólną krawędzią nie były pokolorowane tym samym kolorem.
(50) Jeśli mamy dany rysunek płaski grafu planarnego G, to konstruujemy inny graf G∗ , który nazwiemy
grafem geometrycznie dualnym do grafu G w następujący sposób:
(a) wewnątrz każdej ściany grafu G wybieramy po jednym punkcie- to będą wierzchołki grafu G∗ ,
(b) dla każdej krawędzi e grafu G prowadzimy linię ją przecinającą (ale nie przecinającą żadnej innej krawędzi grafu G) i łączącą dwa wierzchołki G∗ należące do ścian oddzielonych krawędzią e.
(51) Zauważmy, że graf dualny do planarngo grafu eulerowskiego jest dwudzielnym grafem planarnym i na
odwrót.
Wniosek 12.3. (a) Niech G będzie grafem planarnym bez pętli i niech G∗ będzie do niego geometrycznie dualny.
Wówczas G jest k-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy G∗ jest k-kolorowalny(f ).
(b) Każda mapa jest 4-kolorowalna(f ).
Twierdzenie 12.16. Mapa G jest 2-kolorowalna, wtedy i tylko wtedy, gdy graf G jest grafem eulerowskim.
12.12.3. Kolorowanie krawędzi.
(52) Mówimy, że garf jest k-kolorowalny(e), (krawędziowo), jeśli jego krawędzie można pokolorować k kolorami
tak, aby żadne dwie sąsiednie nie miały tego samego koloru.
(53) Jeśli graf jest k-kolorowalny(e), ale nie jest k − 1-kolorowalny(e), to mówimy, że jego indeks chromatyczny
wynosi k i piszemy χ0 (G) = k.
Twierdzenie 12.17. (Vizing, 1964) Jeśli G jest grafem prostym, w którym największy stopień wierzchołka wynosi
∆, to ∆ ≤ χ0 (G) ≤ ∆ + 1.
χ0 (Cn ) = 2 dla n parzystych,
χ0 (Cn ) = 3 dla n nieparzystych,
χ0 (Wn ) = n − 1 dla n ≥ 4,
χ0 (Kn ) = n dla n nieparzystych n ≥ 3,
χ0 (Kn ) = n − 1 dla n parzystych.
(König, 1916) Jeśli w grafie dwudzielnym największy stopień wierzchołka wynosi ∆, to chi0 (G) = ∆.
χ0 (Kr,s ) = max{r, s}.
12.12.4. Kolorowanie wierzchołków raz jeszcze- wielomiany chromatyczne.
(54) Niech G będzie grafem prostym, przez PG (k) oznaczmy liczbę sposobów pokolorowania wierzchołków grafu G k-kolorami tak, aby sąsiednie wierzchołki nie miały tego samego koloru. Funkcję PG nazywamy
funkcją chromatyczną grafu G.
Twierdzenie 12.18. Jeśli G jest grafem prostym, to funkcja PG (k) jest wielomianem zmiennej k .
PG (k) = PG−e (k) − PG\e (k).
44
Rysunek 2. Powyżej i na następnych stronach tego rozdziału przekopiowane z wykładu Matematyka dyskrena Alexander Denisjuk dostępnego w internecie.
45
46
47
48
49
ZADANIA
Zadanie 12.1. Narysuj grafy: K1 , K2 , K3 , K4 , K6 , N1 , N2 , C2 , C3 , C4 , C5 , W3 , W4 , W5 , W6 , P2 , P3 , P4 , K1,1 ,
K1,2 , K1,3 , K2,2 , K2,3 , K3,3 , K3,4 , 1-kostkę, 2-kostkę, 3-kostkę.
Jakie mają macierze sąsiedztwa i incydencji?
Jakie są stopnie ich wierzchołków?
Ile mają krawędzi, wierzchołków?
Czy są eulerowskie, półeulerowskie, hamiltonowskie, półhamiltonowskie?
Znaleźć przykładowe drzewa spinające te grafy.
Czy są planarne? Jeśli tak to wykonaj rysunki płaskie tych grafów, jeśli nie to wskaż podgrafy homeomorficzne z
K3,3 lub K5 oraz podgrafy ściągalne do K3,3 lub K5 .
Znajdź ich indeksy chromatyczne i wielomiany chromatyczne.
Zadanie 12.2. O czym mówi suma elementów wiersza macierzy sąsiedztwa? A kolumny macierzy incydencji? A
wiersza macierzy incydencji?
Zadanie 12.3. Narysować graf, którego wierzchołki są dwuelementowymi podzbiorami zbioru czteroelementowego,
a para wierzchołków A, B jest połączona krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy A i B mają dokładnie jeden element
wspólny. Znaleźć cykl Hamiltona w tym grafie.
Zadanie 12.4. Czy grafy z rysunku oznaczonego jako 2.20 są izomorficzne? A z rysunku 2.21?
Zadanie 12.5. Wyznacz liczby κ(G) i λ(G) dla grafów G równych C6 , W6 , K4,7 , Q4 .
Zadanie 12.6. Znajdź cykl Eulera w grafie z rysunku 6.9.
50
51
Rysunek 3. Znajdź najkrótsze drogi z S do każdego innego wierzchołka.
Rysunek 4. Wyznacz drzewo spinające o najmniejszej wadze.