Rzut oka na współczesna matematyke spotkanie 2: od

Rzut oka na współczesną matematykę
spotkanie 2: od zasady szufladkowej do
osobliwości niezderzeniowych
P. Strzelecki
[email protected]
Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
MISH UW, semestr zimowy 2011-12
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
1 / 37
Cele na dziś
Porozmawiać o bardzo prostym twierdzeniu: zasadzie
szufladkowej Dirichleta;
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
2 / 37
Cele na dziś
Porozmawiać o bardzo prostym twierdzeniu: zasadzie
szufladkowej Dirichleta;
Zrozumieć, dlaczego np. liczba 3n zaczyna się, dla pewnej
wartości n ∈ N, od daty bitwy pod Grunwaldem albo mojego
numeru telefonu komórkowego.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
2 / 37
Cele na dziś
Porozmawiać o bardzo prostym twierdzeniu: zasadzie
szufladkowej Dirichleta;
Zrozumieć, dlaczego np. liczba 3n zaczyna się, dla pewnej
wartości n ∈ N, od daty bitwy pod Grunwaldem albo mojego
numeru telefonu komórkowego.
Zobaczyć, że nie chodzi tu o czczą zabawę:
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
2 / 37
Cele na dziś
Porozmawiać o bardzo prostym twierdzeniu: zasadzie
szufladkowej Dirichleta;
Zrozumieć, dlaczego np. liczba 3n zaczyna się, dla pewnej
wartości n ∈ N, od daty bitwy pod Grunwaldem albo mojego
numeru telefonu komórkowego.
Zobaczyć, że nie chodzi tu o czczą zabawę:
To ma wiele wspólnego z metodami matematycznymi fizyki
i opisem ruchu wielu ciał pod wpływem grawitacji.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
2 / 37
Zasada szufladkowa Dirichleta
Sformułowanie potoczne: Jeśli n przedmiotów włożymy do r
szuflad, przy czym r < n, to w którejś szufladzie znajdą się
przynajmniej dwa przedmioty.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
3 / 37
Zasada szufladkowa Dirichleta
Sformułowanie potoczne: Jeśli n przedmiotów włożymy do r
szuflad, przy czym r < n, to w którejś szufladzie znajdą się
przynajmniej dwa przedmioty.
Dokładniej, w pewnej szufladzie znajdzie się przynajmniej d nr e
przedmiotów.
Uwaga: dxe oznacza sufit liczby x, tzn. najmniejszą liczbę
całkowitą nie mniejszą od x.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
3 / 37
Zasada szufladkowa Dirichleta
Sformułowanie potoczne: Jeśli n przedmiotów włożymy do r
szuflad, przy czym r < n, to w którejś szufladzie znajdą się
przynajmniej dwa przedmioty.
Dokładniej, w pewnej szufladzie znajdzie się przynajmniej d nr e
przedmiotów.
Uwaga: dxe oznacza sufit liczby x, tzn. najmniejszą liczbę
całkowitą nie mniejszą od x.
Przykład. Wybieramy 101 liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 200}.
Na pewno są wśród nich dwie liczby a, b takie, że a dzieli b.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
3 / 37
Wyjaśnienie przykładu z podzielnością
Każdą liczbę 1 6 n 6 200 zapisujemy w postaci
n = 2k · (2m + 1) .
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
4 / 37
Wyjaśnienie przykładu z podzielnością
Każdą liczbę 1 6 n 6 200 zapisujemy w postaci
n = 2k · (2m + 1) .
Wybranych liczb jest 101, a różnych dostępnych części
nieparzystych tylko 100 (to liczby 1, 3, 5, . . . , 199).
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
4 / 37
Wyjaśnienie przykładu z podzielnością
Każdą liczbę 1 6 n 6 200 zapisujemy w postaci
n = 2k · (2m + 1) .
Wybranych liczb jest 101, a różnych dostępnych części
nieparzystych tylko 100 (to liczby 1, 3, 5, . . . , 199). Któreś dwie
liczby muszą więc mieć tę samą część nieparzystą, tzn. jest
a = 2k (2m + 1),
b = 2` (2m + 1)
dla pewnych a, b spośród wybranych 101 liczb. Jedna z tych liczb
dzieli drugą.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
4 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4, 8,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4, 8, 1,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4, 8, 1, 3,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
5,
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
5,
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
2,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
5,
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
2, 4,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
5,
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
2, 4, 8,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
5,
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
2, 4, 8, 1,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
5,
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2,
2, 4, 8, 1, 3,
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
5,
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, . . .
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, . . .
Czy w tym ciągu kiedykolwiek pojawia się cyfra 7? Albo 9?
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, . . .
Czy w tym ciągu kiedykolwiek pojawia się cyfra 7? Albo 9?
Głupia odpowiedź. Tak; d46 = 7, bo 246 = 70368744177664.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Przykład 2: początkowe cyfry potęg dwójki
Rozważmy ciąg dn początkowych cyfr liczb 2n , gdzie n = 0, 1, 2, . . .:
1,
1,
1,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5,
2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, . . .
Czy w tym ciągu kiedykolwiek pojawia się cyfra 7? Albo 9?
Głupia odpowiedź. Tak; d46 = 7, bo 246 = 70368744177664.
Pytanie nie dla komputera, tylko dla człowieka: Czy w tym ciągu
pojawia się nieskończenie wiele siódemek?
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
5 / 37
Niewymierność log 2 i wyjaśnienie przykładu
Motto:
Matematycy są jak Francuzi: zaraz wszystko przekładają
na swój własny język i od tej pory znaczy to zupełnie co
innego.
J. W. Goethe
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
6 / 37
Niewymierność log 2 i wyjaśnienie przykładu
Motto:
Matematycy są jak Francuzi: zaraz wszystko przekładają
na swój własny język i od tej pory znaczy to zupełnie co
innego.
J. W. Goethe
210 = 1024 ≈ 1000, a mnożenie przez 1000 = dopisywanie 3 zer.
Dlatego wydaje się z początku, że ciąg dn ma okres 10. Jednak. . .
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
6 / 37
Niewymierność log 2 i wyjaśnienie przykładu
Motto:
Matematycy są jak Francuzi: zaraz wszystko przekładają
na swój własny język i od tej pory znaczy to zupełnie co
innego.
J. W. Goethe
210 = 1024 ≈ 1000, a mnożenie przez 1000 = dopisywanie 3 zer.
Dlatego wydaje się z początku, że ciąg dn ma okres 10. Jednak. . .
Gdzie tu log 2? Cierpliwości.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
6 / 37
Co to znaczy, że ‘2n ma pierwszą cyfrę 7’?
Mamy dn = 7 ⇔
7 · 10k < 2n < 8 · 10k
m
k + log 7 < n log 2 < k + log 8
(bo log jest rosnący!)
m
an := n log 2 − [n log 2] ∈ (log 7, log 8).
Stwierdzenie. Dla dowolnych 0 < a < b < 1 nieskończenie wiele
liczb an należy do (a, b).
Inaczej: ciąg (an ) jest gęsty w przedziale (0, 1).
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
7 / 37
Dowód stwierdzenia, kluczowe obserwacje
log 2 jest niewymierny (gdyby log 2 = p/q, to 10p = 2q )
wszystkie liczby an = n log 2 − [n log 2] są różne
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
8 / 37
Dowód stwierdzenia, kluczowe obserwacje
log 2 jest niewymierny (gdyby log 2 = p/q, to 10p = 2q )
wszystkie liczby an = n log 2 − [n log 2] są różne
Odcinek [0, 1] identyfikujemy z okręgiem długości 1
(nawijamy oś liczbową R na okrąg jak nitkę na szpulkę);
przekształcenie an 7→ an+1 to obrót tego okręgu.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
8 / 37
Dowód stwierdzenia, kluczowe obserwacje
log 2 jest niewymierny (gdyby log 2 = p/q, to 10p = 2q )
wszystkie liczby an = n log 2 − [n log 2] są różne
Odcinek [0, 1] identyfikujemy z okręgiem długości 1
(nawijamy oś liczbową R na okrąg jak nitkę na szpulkę);
przekształcenie an 7→ an+1 to obrót tego okręgu.
Dzielimy okrąg na N łuków–szufladek długości
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
1
N
< b − a.
10.10.2011
8 / 37
Dowód stwierdzenia, kluczowe obserwacje
log 2 jest niewymierny (gdyby log 2 = p/q, to 10p = 2q )
wszystkie liczby an = n log 2 − [n log 2] są różne
Odcinek [0, 1] identyfikujemy z okręgiem długości 1
(nawijamy oś liczbową R na okrąg jak nitkę na szpulkę);
przekształcenie an 7→ an+1 to obrót tego okręgu.
Dzielimy okrąg na N łuków–szufladek długości
1
N
< b − a.
Szufladki ⇒ istnieją dwa wyrazy aj i aj+k o numerach 6 N + 1,
należące do tego samego łuku.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
8 / 37
Dowód stwierdzenia, kluczowe obserwacje
log 2 jest niewymierny (gdyby log 2 = p/q, to 10p = 2q )
wszystkie liczby an = n log 2 − [n log 2] są różne
Odcinek [0, 1] identyfikujemy z okręgiem długości 1
(nawijamy oś liczbową R na okrąg jak nitkę na szpulkę);
przekształcenie an 7→ an+1 to obrót tego okręgu.
Dzielimy okrąg na N łuków–szufladek długości
1
N
< b − a.
Szufladki ⇒ istnieją dwa wyrazy aj i aj+k o numerach 6 N + 1,
należące do tego samego łuku.
Obroty aj 7→ aj+k 7→ aj+2k 7→ . . . są o bardzo mały kąt, < 2π/N.
Dla pewnego m punkt aj+mk wpada w odcinek (a, b).
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
8 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
n=0
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
9 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
n = 0, 1
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
10 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
06n63
23 = 8
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
11 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 10
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
12 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 30
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
13 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 45
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
14 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 46
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
15 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 60
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
16 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 70
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
17 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 85
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
18 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 100
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
19 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 300
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
20 / 37
Liczby an (tzn. 2n, ale w skali logarytmicznej
i po nawinięciu osi liczbowej na okrąg)
0 6 n 6 1000
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
21 / 37
Konkluzje
1
Każdy skończony ciąg cyfr pojawia się na początku zapisu
dziesiętnego pewnej potęgi 2.
Na przykład: data bitwy pod Grunwaldem. Albo numer
telefonu (wstawić dowolne imię i nazwisko).
2
W rozumowaniu ważna była tylko jedna własność liczby 2:
niewymierność log 2. Zatem, podobnie jest z początkowymi
cyframi an , gdy log a jest liczbą niewymierną.
Np. można wziąć a = 3 albo a = 7, albo dowolną inną liczbę,
która nie jest naturalną potęgą dziesiątki.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
22 / 37
Co jeszcze było ważne w rozwiązaniu?
Otóż, dwie własności obrotu:
obrót jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym;
obrót zachowuje naturalną miarę na okręgu, tzn. długość łuku.
Na uogólnieniu tej obserwacji opiera się słynne twierdzenie
Poincarégo o powracaniu.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
23 / 37
Twierdzenie Poincarégo o powracaniu
D – ograniczony obszar przestrzeni euklidesowej;
T : D → D — dowolne przekształcenie ciągłe i wzajemnie
jednoznaczne, zachowujące objętość.
T n (x) = T (T (. . . T (x) . . .)) (tzw. iteracja przekształcenia T )
| {z }
n razy
Twierdzenie. W każdej kuleczce B ⊂ D istnieje taki punkt x, który
podczas iterowania przekształcenia T powraca do B, tzn.
T n (x) ∈ B dla nieskończenie wielu n > 0.
Dowód: zasada szufladkowa.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
24 / 37
Paradoksalne skutki twierdzenia o powracaniu
Dlaczego to ważne twierdzenie? Bo tzw. potok fazowy dowolnego
układu hamiltonowskiego (nieformalnie: układu mechanicznego,
podlegającego zasadom dynamiki Newtona) zachowuje objętość w
przestrzeni fazowej (tzn. w przestrzeni położeń układu).
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
25 / 37
Paradoksalne skutki twierdzenia o powracaniu
Dlaczego to ważne twierdzenie? Bo tzw. potok fazowy dowolnego
układu hamiltonowskiego (nieformalnie: układu mechanicznego,
podlegającego zasadom dynamiki Newtona) zachowuje objętość w
przestrzeni fazowej (tzn. w przestrzeni położeń układu).
Uwaga. Przestrzeń fazowa miewa wiele wymiarów. Np. położenie
10 punktów przestrzeni można opisać, podając 30 liczb, tzn. 1 punkt
przestrzeni 30-wymiarowej. Matematykowi to nie przeszkadza.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
25 / 37
Paradoksalne skutki twierdzenia o powracaniu
Dlaczego to ważne twierdzenie? Bo tzw. potok fazowy dowolnego
układu hamiltonowskiego (nieformalnie: układu mechanicznego,
podlegającego zasadom dynamiki Newtona) zachowuje objętość w
przestrzeni fazowej (tzn. w przestrzeni położeń układu).
Uwaga. Przestrzeń fazowa miewa wiele wymiarów. Np. położenie
10 punktów przestrzeni można opisać, podając 30 liczb, tzn. 1 punkt
przestrzeni 30-wymiarowej. Matematykowi to nie przeszkadza.
Paradoks: jeśli usuniemy przegrodę między komorą z gazem i
komorą próżniową, to po pewnym czasie molekuły gazu znów
zgrupują się (niemal) w pierwszej komorze.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
25 / 37
Paradoksalne skutki twierdzenia o powracaniu
Dlaczego to ważne twierdzenie? Bo tzw. potok fazowy dowolnego
układu hamiltonowskiego (nieformalnie: układu mechanicznego,
podlegającego zasadom dynamiki Newtona) zachowuje objętość w
przestrzeni fazowej (tzn. w przestrzeni położeń układu).
Uwaga. Przestrzeń fazowa miewa wiele wymiarów. Np. położenie
10 punktów przestrzeni można opisać, podając 30 liczb, tzn. 1 punkt
przestrzeni 30-wymiarowej. Matematykowi to nie przeszkadza.
Paradoks: jeśli usuniemy przegrodę między komorą z gazem i
komorą próżniową, to po pewnym czasie molekuły gazu znów
zgrupują się (niemal) w pierwszej komorze.
Wyjaśnienie: czas oczekiwania jest dużo dłuższy od czasu
istnienia Układu Słonecznego.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
25 / 37
Paradoksalne skutki twierdzenia o powracaniu
Dlaczego to ważne twierdzenie? Bo tzw. potok fazowy dowolnego
układu hamiltonowskiego (nieformalnie: układu mechanicznego,
podlegającego zasadom dynamiki Newtona) zachowuje objętość w
przestrzeni fazowej (tzn. w przestrzeni położeń układu).
Uwaga. Przestrzeń fazowa miewa wiele wymiarów. Np. położenie
10 punktów przestrzeni można opisać, podając 30 liczb, tzn. 1 punkt
przestrzeni 30-wymiarowej. Matematykowi to nie przeszkadza.
Paradoks: jeśli usuniemy przegrodę między komorą z gazem i
komorą próżniową, to po pewnym czasie molekuły gazu znów
zgrupują się (niemal) w pierwszej komorze.
Wyjaśnienie: czas oczekiwania jest dużo dłuższy od czasu
istnienia Układu Słonecznego.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
25 / 37
Isaac Newton (25 grudnia 1642–20 marca 1727)
2. zasada dynamiki:
F = ma
Prawo grawitacji:
F=G
Mm
R2
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
26 / 37
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
27 / 37
Zagadnienie n ciał (badane od XVII wieku)
Ruch n punktów materialnych pod wpływem oddziaływań
grawitacyjnych opisuje układ n równań różniczkowych
mj
1
2
3
d2 xj X
xi − xj
=
m
m
,
i
j
3
dt2
|x
i − xj |
i6=j
j = 1, . . . , n.
mj to masa, a xj = xj (t) — współrzędne j-tego punktu w
zwykłej przestrzeni trójwymiarowej R3 ;
zmienna t ∈ R to czas;
stała grawitacji G = 1 wskutek doboru jednostek.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
28 / 37
Zagadnienie n ciał (badane od XVII wieku)
Ruch n punktów materialnych pod wpływem oddziaływań
grawitacyjnych opisuje układ n równań różniczkowych
mj
1
2
3
d2 xj X
xi − xj
=
m
m
,
i
j
3
dt2
|x
i − xj |
i6=j
j = 1, . . . , n.
mj to masa, a xj = xj (t) — współrzędne j-tego punktu w
zwykłej przestrzeni trójwymiarowej R3 ;
zmienna t ∈ R to czas;
stała grawitacji G = 1 wskutek doboru jednostek.
Sens: na każde ciało działa wypadkowa sił przyciągania
ze strony wszystkich pozostałych ciał.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
28 / 37
Typowe pytania
Matematyk, widząc układ równań różniczkowych – taki, jak np.
opis ruchu n ciał – zadaje m.in. następujące pytania:
Czy rozwiązania istnieją?
Czy są określone jednoznacznie?
Co ze stabilnością?
Czy istnieją rozwiązania (prawie) okresowe?
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
29 / 37
Typowe pytania
Matematyk, widząc układ równań różniczkowych – taki, jak np.
opis ruchu n ciał – zadaje m.in. następujące pytania:
Czy rozwiązania istnieją?
Czy są określone jednoznacznie?
Co ze stabilnością?
Czy istnieją rozwiązania (prawie) okresowe?
Zagadnienie n ciał:
istnienie rozwiązań dla małych czasów oraz ich
jednoznaczność — łatwe.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
29 / 37
Typowe pytania
Matematyk, widząc układ równań różniczkowych – taki, jak np.
opis ruchu n ciał – zadaje m.in. następujące pytania:
Czy rozwiązania istnieją?
Czy są określone jednoznacznie?
Co ze stabilnością?
Czy istnieją rozwiązania (prawie) okresowe?
Zagadnienie n ciał:
istnienie rozwiązań dla małych czasów oraz ich
jednoznaczność — łatwe.
Reszta pytań: trudne.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
29 / 37
Zagadnienie dwóch ciał
Twierdzenie (Newton).
Wszystkie rozwiązania
zagadnienia dwóch ciał to
krzywe stożkowe.
1
2
Okresowy ruch 2 ciał pod
wpływem grawitacji odbywa
się po elipsach.
Możliwy jest także ruch po
paraboli lub hiperboli.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
30 / 37
Zagadnienie dwóch ciał
Twierdzenie (Newton).
Wszystkie rozwiązania
zagadnienia dwóch ciał to
krzywe stożkowe.
1
2
Okresowy ruch 2 ciał pod
wpływem grawitacji odbywa
się po elipsach.
Możliwy jest także ruch po
paraboli lub hiperboli.
Uwaga. Kepler przewidywał to wcześniej, ale tylko na podstawie
analizy danych obserwacyjnych, które zgromadził Tycho Brahe.
Różnica: twierdzenie Newtona ma dowód.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
30 / 37
Zagadnienie trzech ciał
Znaczenie: umiejętność rozwiązywania pozwala prognozować
przypływy i odpływy morza.
Przykra niespodzianka: zagadnienie trzech ciał nie jest
całkowalne w kwadraturach, tzn. nie ma żadnego ‘jawnego’
wzoru na wszystkie rozwiązania (Bruns, 1887).
Powód: za mało jest tzw. całek pierwszych.
Jawnych (szczególnych) rozwiązań zagadnienia trzech ciał
znamy bardzo niewiele: Lagrange, Euler (XVIII w.),
Hill (XIX w.), Chenciner i Montgomery (XX/XXI w).
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
31 / 37
Osobliwości. Problem Painlevégo.
Gdy xi = xj (dwa ciała są w tym samym miejscu), to w układzie
równań Newtona jest osobliwość (‘zerowa odległość dwóch ciał ⇒
nieskończona siła’).
Zbiór zderzeń to inaczej zbiór wszystkich złych położeń
n
: dla pewnych i, j jest xi = xj }.
Z = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R3
Twierdzenie (Painlevé, 1895). Flirt z osobliwością jest
niemożliwy. (Jeśli x(ti ) → Z dla pewnego ciągu chwil ti → t∗ , to
x(t) → Z dla wszystkich czasów t → t∗ .)
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
32 / 37
Pytanie Painlevégo: czy istnieją osobliwości
niezderzeniowe?
Czy może się zdarzyć, że w zagadnieniu n ciał
x(t) zbliża się dowolnie do zbioru Z, ale mimo to nie dąży do
żadnego ustalonego punktu q ∈ Z?
(Sam Painlevé wykazał, że w zagadnieniu trzech ciał nie ma
osobliwości niezderzeniowych.)
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
33 / 37
Nieoczekiwane własności i rozwiązanie
problemu
Twierdzenie (von Zeipel, 1908). Osobliwość niezderzeniowa w
chwili t∗ ⇔ możliwa jest podróż do nieskończoności w
skończonym czasie , tzn. dla t → t∗ suma odległości wszystkich
ciał rośnie do nieskończoności.
Uwaga: to nie przeczy zasadzie zachowania energii. Wprawdzie
energia kinetyczna rośnie bez ograniczeń, ale za to energia
potencjalna układu spada bez ograniczeń.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
34 / 37
Nieoczekiwane własności i rozwiązanie
problemu
Twierdzenie (von Zeipel, 1908). Osobliwość niezderzeniowa w
chwili t∗ ⇔ możliwa jest podróż do nieskończoności w
skończonym czasie , tzn. dla t → t∗ suma odległości wszystkich
ciał rośnie do nieskończoności.
Uwaga: to nie przeczy zasadzie zachowania energii. Wprawdzie
energia kinetyczna rośnie bez ograniczeń, ale za to energia
potencjalna układu spada bez ograniczeń.
Twierdzenie (Zhihong Xia, 1992). Osobliwości niezderzeniowe
istnieją dla wszystkich n > 5.
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
34 / 37
Konstrukcja Xia
Dwa masywne ciała w płaszczyźnie xy; niewielki
‘wahadłowiec’ na osi z;
Przeszkoda zapobiegająca ucieczce wahadłowca: dwa inne
masywne ciała w płaszczyźnie równoległej do xy.
Wskutek starannego doboru mas i warunków początkowych
Tuż po przejściu przez każdą z płaszczyzn 2 masywnych ciał
wahadłowiec jest potężnie pchnięty w przeciwną stronę;
ten scenariusz powtarza się nieskończenie wiele razy
w skończonym czasie.
Uwaga: Warunków początkowych, przy których konstrukcja Xia
działa, jest b. mało (mają zerową objętość w p-ni fazowej).
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
35 / 37
Pytania bez odpowiedzi
Czy wszystkie osobliwości niezderzeniowe są znikomo
prawdopodobne?
Czy istnieją dobory mas, dla których osobliwość
niezderzeniowa nie może się pojawić?
Ile jest dobrych orbit — takich, dla których odległości
wszystkich ciał są cały czas ograniczone z góry i z dołu?
Czy istnieje w przestrzeni fazowej otwarty zbiór D, w całości
wypełniony dobrymi orbitami?
Czy Układ Słoneczny jest stabilny?
Gdyby zbiór niedobrych orbit był gęsty, to . . .
małe zaburzenie ⇒ kolizja lub ucieczka!
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
36 / 37
P. Strzelecki [email protected] (IM)
Rzut oka. . . 2. Szufladki i osobliwości
10.10.2011
37 / 37