1. Korzystając z tablic trwania życia wyznacz prawdopodobieństwa

matematyka w ubezpieczeniach
III rok matematyki finansowej
lista 4
1. Korzystając z tablic trwania życia wyznacz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń
(a) (20) przeżyje jeszcze co najmniej rok;
(b) dożycie 3 roku życia;
(c) (90) dożyje 100 lat;
(d) (15) przeżyje jeszcze co najmniej 50 lat;
(e) (50) przeżyje dokładnie 2 lata (umrze pomiędzy 52 a 53 rokiem życia);
(f) (30) nie dożyje 31 urodzin;
(g) (80) przeżyje dokładnie 5 lat;
(h) (15) umrze w wieku 30 lat;
(i) (35) nie dożyje 45 urodzin;
(j) (65) umrze przed osiągnięciem 70 roku życia.
2. Niech X ∼ U [0, ω] oraz l0 = 100000, obliczyć lx oraz dx dla x = 1, . . . , ω.
1
3. Mając dane lx = (115 − x) 2 dla 0 ≤ x ≤ 115 obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku
34 lat umrze miedzy 66 a 79 rokiem życia.
4. Korzystając tylko z wartości umieszczonych w tablicy zycia w kolumnie px wyznacz prawdopodobieństwa zdarzenia plegającego na tym, że losowo wybrany
a) (15) przeżyje co najmniej 3 lata;
b) (20) przeżyje co najmniej 2 lata;
c) (12) nie dożyje 14 roku życia;
d) (70) nie dożyje 74 urodzin;
e) noworodek nie dożyje wieku 5 lat.
5. Niech X będzie zmienna losową o dystrybuancie
F (x) = 1 − e−λx
a) obliczyć ilość zgonów pomiędzy 45 a 50 rokiem życia przyjmując l0 = 100000;
b) pokazać, że qx = qx+1 = qx+2 = . . .
6. Znaleźć lx , jeśli l0 = 1000 oraz µt = at.
7. Dla populacji (l0 = 100000) noworodków w której s(10) = 0, 971,
0, 990 obliczyć
15 p10
= 0, 986 oraz
a) oczekiwaną liczbę osób, które dożyją wieku 25 lat;
b) oczekiwaną liczbę zgonów pomiędzy wiekiem 10 a 15 lat;
c) prawdopodobieństwo, że (10) umrze pomiędzy 15 a 25 rokiem życia.
10 p15
=
8. Jakim funduszem trzeba dysponować w chwili obecnej, aby obiecać grupie 1000 osób w wieku
35 lat płatności w wysokości 1j.p., które zostaną dokonane za 20 lat tym osobom, które dożyją
55 roku życia? Założyć stopę procentową w wysokości i = 5%.
hipotezy interpolacyjne
9. Zakładając UDD pokazać, że
◦
a) ex = ex + 12 ;
b) V ar(T ) = V ar(K) +
1
.
12
10. Mając dane q50 = 0, 02 oraz q51 = 0, 03, obliczyć
przy założeniu HCFM.
1
|
4
q50 przy założeniu UDD, Balducciego oraz
11. Mamy dane:
µ(80, 5) = 0, 0202
µ(81, 5) = 0, 0408
µ(82, 5) = 0, 0619,
zakładając UDD obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 80,5 umrze w ciągu dwóch lat.
12. Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona 35-latków, które umrą po ukończeniu 36 lat
i 4 miesięcy życia i przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy założenie Balducciego,
dotyczące umieralności w okresach ułamkowych. Dane są
q35 = 3 · 10−3 q36 = 6 · 10−3 q37 = 9 · 10−3
1
roku. Podać najbliższą wartość:
Przyjąć, że 1 miesiąc to 12
Odpowiedź: (A) 9934, (B) 9944, (C) 9954, (D) 9966, (E) 9976.
13. Przy założeniu UDD obliczyć
10|1,5 q30 ,
wiedząc, że
l30 = 523 l40 = 436 l41 = 427 l42 = 417.
14. Uzupełnić następującą tablicę trwania życia przy założeniu UDD, wiedząc, że p20 = 0, 99969
oraz q21 = 0, 00032
lx
x
20 98597
20, 5
21
21, 5
22
zadania z egzaminów aktuarialnych
1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest
stała aż do następnych narodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z miliona 60-latków, które
umrą po ukończeniu 61 lat i 8 miesięcy, a przed skończeniem 62 lat i 4 miesięcy. Dane są:
q60 = 0, 01
q61 = 0, 03
q62 = 0, 05
1
Przyjąc, że 1 miesiąc to 12
roku. Podać najbliższą wartość.
A) 26067 B) 26071 C) 26075 D) 26079 E) 26083
2. Rozpatrujemy grupę osób w wieku (x+ 13 ) lat i analizujemy śmiertelność w tej grupie do wieku (x+
1) lat. Znamy jedynie qx = 0, 06, dlatego rozważamy założenie UDD oraz założenie Balducciego.
Podać, dla jakiego u intensywność wymierania µx+ 1 +u będzie o 2% wyższa wg Balducciego w
3
stosunku do UDD. Podać najbliższą wartość.
A) 0, 168 B) 0, 172 C) 0, 176 D) 0, 180 E) 0, 184
3. Dany jest wiek całkowity x oraz
3 px
= 0, 83904
2 px+ 1
2
= 0, 893388
px+1 = 0, 95
Oblicz px oraz px+2 stosując założenie o jednostajnym rozkładzie śmierci w ciągu roku. Podać
najbliższą wartość.
A) px = 0, 94 px+2 = 0, 92
B) px = 0, 96 px+2 = 0, 94
C) px = 0, 96 px+2 = 0, 92
D) px = 0, 98 px+2 = 0, 94
E) px = 0, 98 px+2 = 0, 91
4. Rozważmy grupę 1000 osób urodzonych 1 kwietnia 1950 roku, żyjących 1 stycznia 2001. Wyznaczyć dalsze trwanie życia tych osób (sumę przeżytych lat) w okresie od 1 stycznia 2001 do 31
grudnia 2002, jeżeli wiadomo, że w tej populacji intensywność zgonów jest funkcją schodkową ze
skokiem w każdą rocznicę urodzin i stałym poziomem aż do następnych urodzin. Dane są:
q50 = 0, 10
q51 = 0, 15
q52 = 0, 20
Podać najbliższą wartość.
A) 1587 B) 1632 C) 1687 D) 1717 E) 1842
5. Rozpatrzmy osobę, która ukończyła 1 stycznia 1998 roku 30 lat. Przy założeniu Balducciego
(1−u qx+u = (1 − u)qx dla całkowitego x i u ∈ [0, 1]) prawdopodobieństwo śmierci tej osoby w
ciągu pierwszych 170 dni roku 2028 jest równe prawdopodobieństwu jej śmierci w pozostałej
części tego roku. Znajdź p60 (podaj najbliższą liczbę). Przyjmujemy, że 1 rok = 365 dni.
A) dane są sprzeczne B) 0, 77 C) 0, 82 D) 0, 87 E) 0, 92